暑假培优：计算中心天体的质量、计算中心天体的密度、天体运动中机械能的变化 专项训练-2025-2026学年高一升高二暑假物理（人教版必修第二册）

**基本信息** 以天体运动实际情境为载体，构建“质量计算-密度推导-机械能分析”递进式训练体系，强化科学推理与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计算中心天体的质量|2例+2变式|结合嫦娥六号、火星探测等情境，考查万有引力提供向心力及黄金代换式应用|以万有引力定律为核心，通过匀速圆周运动模型推导质量计算通式，衔接表面重力加速度关联| |计算中心天体的密度|2例+2变式|涉及近月圆轨道、斜坡平抛等场景，需结合体积公式及轨道半径与星体半径关系|在质量计算基础上，融入球体体积公式，建立密度与周期、半径的定量关系，强化科学论证| |天体运动中机械能的变化|3例+3变式|聚焦变轨、双星系统、黑洞等复杂模型，应用引力势能公式分析能量转化|从运动观念过渡到能量观念，通过椭圆轨道、变轨过程分析动能与势能转化，深化能量守恒思想|

暑假培优：计算中心天体的质量、计算中心天体的密度、天体运动中机械能的变化专项训练 暑假培优：计算中心天体的质量、计算中心天体的密度、天体运动中机械能的变化专项训练 考点目录 计算中心天体的质量 计算中心天体的密度 天体运动中机械能的变化 考点一 计算中心天体的质量 例1．（25-26高一下·江苏连云港·期末）如图所示，“嫦娥六号”飞船仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并在点变轨绕月球做匀速圆周运动。已知飞船绕月做圆周运动的轨道半径为，周期为，引力常量为，月球的半径为，忽略月球自转。求月球的： (1)质量； (2)表面重力加速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据万有引力提供向心力有 代入数据可得 （2）在月球表面有由 可得 例2．（25-26高一下·浙江丽水·期末）2023年哈工大建成的“地面空间站”可以模拟月球重力场，某实验员在里面完成了圆周和平抛一系列实验。实验装置如图所示，水平圆盘可绕过圆心的竖直转轴转动，圆盘半径，离水平月面高度。在圆盘边缘放置一质量的小物块，物块与圆盘间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。圆盘从静止开始缓慢加速转动，当角速度时，物块恰好与圆盘发生相对滑动并滑离圆盘后落至“月球表面”。求：（计算结果可保留根式） (1)“月球表面”的重力加速度； (2)落地点与在“月面”上的投影的距离； (3)已知月球的半径，引力常量，计算月球质量的数量级。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物体刚好滑动时，最大静摩擦力提供向心力，有 代入数据可得 （2）月球表面平抛运动：竖直方向，根据 得 平抛的速度 水平位移 根据矢量的合成 联立可得 （3）月球表面有 得 代入数据，， 可得 变式1．（25-26高一下·陕西延安·阶段检测）中国载人航天工程将在新起点上深化推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务。若在载人月球探测中，探测器登陆月球前一段时间内在到月球中心距离为的轨道上做匀速圆周运动，周期为，引力常量为，不考虑月球的自转。 (1)求探测器做匀速圆周运动的角速度大小以及线速度大小； (2)求月球的质量； (3)已知月球表面的重力加速度大小为，求月球的半径。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）匀速圆周运动的角速度为一个周期内转过的圆心角与周期的比值，一个周期转过的圆心角为，因此 线速度为一个周期内运动的弧长与周期的比值，轨道周长为，因此 （2）探测器做匀速圆周运动的向心力由月球的万有引力提供，根据牛顿第二定律得 代入 解得月球的质量 （3）不考虑月球自转时，月球表面物体的重力等于月球对物体的万有引力，设物体质量为，有 整理得 代入 解得月球的半径 变式2．（25-26高一下·广东肇庆·阶段检测）中新社北京2019年3月3日电：全国政协委员、中国探月工程总设计师吴伟仁在北京透露明年中国将发射火星探测器，实现火星的环绕着陆和巡视探测。设火星探测器在距离火星表面h高度做周期为T的匀速圆周运动。已知火星的半径为R，引力常量为G。则： (1)探测到的火星质量等于多少？ (2)探测到的火星表面的重力加速度等于多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据万有引力提供向心力有 解得 （2）对于火星表面的物体，由万有引力等于重力有 解得 代入小问1火星质量可得 考点二 计算中心天体的密度 例1．（25-26高一下·安徽芜湖·期末）我国国防科技工业局已证实，嫦娥七号将于2026年下半年择机发射，主要任务是去月球的南极寻找水源，为月球基地建设做准备。假设嫦娥七号先进入近月圆轨道I，再进入椭圆轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的Q点与返回器对接，图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R，近月圆轨道I的轨道半径近似为月球的半径，嫦娥七号在轨道I的运行周期为T，Q点离月球表面的高度为h，万有引力常量为G。求： (1)月球的平均密度ρ； (2)嫦娥七号第一次从P点飞行到Q点的时间t； (3)嫦娥七号在P点和Q点速度大小之比。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设月球质量为，嫦娥七号质量为，由向心力公式得 月球的体积为 整理得 （2）椭圆的半长轴为 由开普勒定律得 得到 从P到Q飞行的是半个椭圆轨道，所以飞行时间 （3）根据开普勒第二定律，相同时间扫过的面积相等，有 化简得到 例2．（25-26高一下·陕西西安·期末）如图所示，在半径为、质量分布均匀的某星球表面，有一倾角为的斜坡。宇航员以初速度从斜坡顶端点水平抛出一个小球，经过时间小球落在斜坡上的点。求： (1)该星球表面附近的重力加速度； (2)该星球的第一宇宙速度大小； (3)该星球的平均密度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 如图，由平抛运动位移关系得， 根据 解得 （2）某环绕天体绕该星球表面附近做匀速圆周运动，根据重力提供向心力可得 解得 （3）根据环绕天体在该星球表面附近重力等于引力可得 根据星球体积公式 解得该星球的平均密度 变式1．（25-26高一下·天津宝坻·期中）北京时间2024年4月25日20时，神舟十八号载人飞船圆满发射成功，并于25日6时成功对接于天和核心舱。已知天和核心舱距离地面高度，环绕地球运动视为匀速圆周运动，运行周期为，地球半径为，引力常量为，假设地球可视为质量分布均匀的球体。则： (1)地球的密度； (2)地球表面的重力加速度； (3)飞船从近地点到远地点的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据万有引力提供向心力有 所以 地球的密度 （2）由 得 （3）根据开普勒第三定律可得 飞船从近地点P到远地点Q的时间为 所以 变式2．（25-26高一下·四川南充·期中）中国火星探测器“天问一号”抵达火星轨道的过程，可以简化成如图所示的三个阶段，沿轨道Ⅰ的地火转移轨道，在轨道Ⅱ上运行的火星停泊轨道及沿圆轨道Ⅲ运行的科学探测轨道。三条轨道相切于点，且A、B两点分别为轨道Ⅱ的近火点和远火点，其距离火星地面的高度分别为和，火星探测器在轨道Ⅲ上运行的周期为，火星的半径为，引力常量为。求： (1)探测器在轨道Ⅱ上运行的周期； (2)火星表面的重力加速度； (3)火星的平均密度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据开普勒第三定律得     （2）火星探测器在轨道Ⅲ上，根据万有引力定律     在火星表面     联立解得， （3）火星的平均密度为     火星的质量和体积分别为，     联立解得 考点三 天体运动中机械能的变化 例1．（25-26高一下·北京西城·期中）宇宙中一些质量高度集中的天体，若其逃逸速度很大，光都不能逃出其引力束缚，则这种天体称为黑洞。探索黑洞是人类不懈的追求。已知太空中两星体间的引力势能表达式为，其中为两星体间的球心距离，为引力常量，真空中光速为，取无穷远处引力势能为零。 (1)严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前，1799年科学家拉普拉斯就根据牛顿引力理论预言过黑洞的存在。请你利用所学知识，推测质量为的黑洞，之所以能够成为黑洞，其半径最大不能超过多少； (2)2023年“中国天眼”发现著名的GRS黑洞（质量为）存在微弱的射电“脉搏”，由此推断该黑洞与某质量较大的恒星（质量为）均围绕二者连线上的一点做圆周运动，且恒星上的外层物质会不断被吸入到黑洞中，逐渐被吞噬。若在开始的短时间内，二者间距可认为不变，二者质量之和不变且一直满足。推理说明该段时间内，该双星系统的总能量将如何变化； (3)引力波探测为黑洞研究提供了重要手段，2015年人类首次探测到的引力波信号，证实了恒星级黑洞双星系统的存在。为深入理解引力波辐射的物理机制，可建立如下理想化的双星系统模型：两颗质量均为的星体，间距为，仅在万有引力作用下绕其连线中点做匀速圆周运动；假设双星系统因持续辐射引力波而损失能量，导致连续减小，辐射的引力波功率可表示为，其中为光速，此过程可以认为天体的质量保持不变。则经过一段时间，两星体间距减小了（），辐射引力波的能量为。某同学认为该模型中两星体间距会减小的越来越快，你是否同意他的想法，请说明理由。 【答案】(1) (2)总能量减小 (3)同意该同学想法，理由见解析 【详解】（1）物体刚好从天体表面逃逸的临界条件为表面总机械能等于无穷远处机械能（无穷远处动能、引力势能均为0），即 黑洞的临界情况为逃逸速度等于光速，即，代入解得 （2）双星系统角速度ω相同，由万有引力提供向心力有 同时 可推得 因总质量M+m、间距L均不变，故ω恒定。 则系统总动能 总势能为 总能量为动能与引力势能之和，则有 吞噬过程中，L、M+m不变，m增大、M减小，且M>m；两数和为定值时，差越小乘积越大，因此Mm增大，减小，即总能量减小。 （3）同意该同学的想法，推导如下： 两星体质量均为m，间距r，推导得系统总能量 辐射引力波损失能量，满足 当Δr≪r时，近似得 根据题意代入，可得 r越小，r减小的速率越大，因此r减小得越来越快。 例2．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）卫星发射过程一般要经过多次变轨方可到达预定轨道。下图为发射某一颗质量为m的卫星的轨道示意图，先将卫星发射到距离地面高度忽略不计的圆轨道Ⅰ上运动，在Q点加速后进入椭圆轨道Ⅱ上运动，再在椭圆轨道Ⅱ的远地点P处加速后到达预定圆轨道Ⅲ上运动。已知地球半径为R，圆轨道Ⅲ距离地面高度为2R，地球表面的重力加速度为g，卫星在变轨过程中质量近似不变。求： (1)卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小； (2)卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期； (3)卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率（引力势能的表达式为，式中M表示地球的质量，m表示卫星的质量，r表示卫星到地球中心的距离）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）卫星在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动，有 其中 对地球表面物体有 联立解得 （2）卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有 联立解得 卫星在椭圆轨道Ⅱ上运动时半长轴 由开普勒第三定律 联立解得 （3）卫星在椭圆轨道Ⅱ上运动时，由开普勒第二定律得 又由机械能守恒定律得 联立解得 例3．（25-26高一下·河南漯河·阶段检测）探索宇宙深空，逃离地球的引力束缚是第一步。某同学设计了一个使航天器飞离地球到达无穷远处的方案：如图，先将航天器发射到一个较低的绕地球圆轨道1，该轨道与圆轨道3共面。在位置加速（航天器瞬间完成加速）进入公转周期为的椭圆轨道2，其远地点在轨道3的点，航天器在点点火加速，被推进入轨道4后到达无穷远。已知地球的质量为，航天器在轨道3的环绕半径为，引力常量为G。航天器绕地球做椭圆运动时，近地点速率与近地点到地心距离的乘积等于远地点速率与远地点到地心距离的乘积。已知质量为的中心天体将质量为的物体从无穷远处吸引到距中心天体处（>中心天体半径），万有引力做功为。不计地球以外其他星体引力对航天器的影响。 (1)求航天器在位置时到地心的距离； (2)要使航天器能在轨道4上飞到无穷远，求其在A点点火加速后相对于地球的最小速度大小； (3)若航天器质量为，求从轨道1上加速变轨到轨道2，发动机为航天器提供的能量。（用（1）问中的和其他已知量表示结果） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设航天器的质量为，在轨道2运行时，位置到地心的距离，故椭圆的半长轴为 对圆轨道3，设航天器绕地球做圆周运动的周期为，由万有引力提供向心力得 解得 根据开普勒第三定律可知 联立解得 （2）要使航天器能在轨道4上飞到无穷远，则航天器到达无穷远时动能为0，是其在A点点火加速后的最小速度的情况。根据题意，航天器从运动到无穷远，万有引力做功 由动能定理得 解得航天器在A点点火加速后相对于地球的最小速度 （3）轨道1是半径为的圆轨道，航天器受到的万有引力提供向心力，满足 整理得航天器在变轨前的动能为 对椭圆轨道2，设航天器在B点的速度为，A点的速度为，由题意知 取无穷远处引力势能为0，则可知航天器在A、B点的引力势能分别为， 航天器在轨道2运行时机械能守恒，满足 联立解得航天器变轨后在B点动能 在B点变轨前后，航天器的引力势能不变，发动机提供的能量为动能增量，即 变式1．（2026·河北沧州·二模）阿尔忒弥斯2号于2026年4月1日发射，四名宇航员完成约10天绕月飞行后返回地球。一同学将飞船的运动轨迹简化为如图所示：飞船先在距地心的圆形高地球轨道I上运行，经A点时短暂点火使飞船沿切线方向加速变轨，进入以A为近地点、B为远地点的椭圆转移轨道Ⅱ；B点与月球轨道相切，月球轨道可视为半径为的圆轨道Ⅲ。已知地球质量为M，飞船质量为m（近似不变），万有引力常量为G；以无限远处为零势能点，飞船引力势能（r为飞船到地心距离）；根据开普勒第二定律可知飞船与地心连线单位时间内扫过的面积（v为飞船速度，φ为速度方向与飞船和地心连线的夹角）。求： (1)飞船在轨道Ⅰ上运行的周期； (2)飞船在轨道Ⅰ上运行时的机械能； (3)飞船在A点变轨过程中增加的机械能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据万有引力提供向心力，有 解得 （2）飞船在轨道I上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 解得 飞船在轨道I上的动能 由题意得引力势能 总机械能 解得 （3）根据开普勒第二定律，飞船在转移轨道A、B两点单位时间内扫过的面积相等： 解得 飞船在转移轨道上机械能守恒，有 解得飞船在转移轨道上A点的速度 点火时间极短，飞船位置不变，引力势能不变，机械能增量等于动能增量 解得 变式2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）北京时间2024年6月4日7时38分，嫦娥六号着陆器上的上升器携带月球样品自月球背面起飞，成功将上升器送入预定环月轨道。6月6日14时48分，嫦娥六号上升器成功与轨道器和返回器组合体（简称“组合体”）完成环月轨道的交会对接，完成对接后沿月地转移轨道返回地球。已知上升器（含样品）的总质量为m，组合体质量为，月球质量为M，月球的半径为R，组合体到月球中心的距离为r，引力常量为G，忽略月球的自转。求： (1)组合体在轨运动的周期； (2)证明月球对组合体的引力与距离的平方成反比； (3)取上升器与月球相距无穷远时引力势能为零，它们距离为r时，引力势能为，求上升器从月球表面返回并与组合体成功对接所需要的能量E。 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）组合体绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由万有引力定律和向心力公式 解得 （2）组合体做匀速圆周运动，月球对组合体的引力提供向心力，因此 根据开普勒第三定律，所有绕月球运动的天体满足 联立可得 式中为定值，因此月球对组合体的引力大小与距离r的平方成反比，得证。 （3）对接后上升器在环月轨道做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 得上升器动能 由题意，此时引力势能 因此对接后上升器总机械能 上升器初始静止在月球表面，初始动能为0，初始引力势能 需要的能量等于上升器机械能的变化量 变式3．（25-26高一下·山西临汾·阶段检测）在发射卫星时，先将卫星发射至距地心为r1的近地停泊圆形轨道Ⅰ上，在卫星经过A点时短暂开动发动机实施变轨，进入椭圆转移轨道Ⅱ，椭圆轨道的近地点为A，远地点为B。在卫星沿椭圆轨道运动经过B点时再次点火实施变轨，将卫星送入轨道半径为r2的工作圆轨道Ⅲ。已知转移轨道Ⅱ分别与轨道Ⅰ和轨道Ⅲ相切，两次点火过程均使卫星沿切向方向加速，且点火时间很短可忽略。地球质量为M，卫星质量为m（近似不变），万有引力常量为G。已知：①选无限远处为零势能点时，卫星的引力势能大小为，其中r为卫星到地心之间的距离；②根据开普勒第二定律，卫星与地球连线在单位时间内扫过的面积为，其中v是某时刻卫星在轨道上的速率，r是此时卫星到地心的中心距离，为速度方向与卫星和地心连线的夹角。求： (1)卫星在轨道Ⅰ上运行时的机械能； (2)卫星从轨道Ⅰ进入轨道Ⅲ运行的过程中，机械能的变化量； (3)卫星经过A点时开动发动机实施变轨的过程中，卫星增加的机械能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）卫星在轨道I上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 解得轨道I的运行速度 轨道I上卫星的动能 由题意得引力势能 总机械能 （2）同理，卫星在轨道上做匀速圆周运动，动能为 引力势能 轨道III的总机械能 机械能变化量 联立可得 （3）根据开普勒第二定律，卫星在转移轨道A、B两点单位时间扫过的面积相等，有 可得 转移轨道上机械能守恒，有 解得转移轨道 A点速度 点火时间极短，卫星位置不变，引力势能不变，机械能增量等于动能增量，有 联立可得 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：计算中心天体的质量、计算中心天体的密度、天体运动中机械能的变化专项训练 暑假培优：计算中心天体的质量、计算中心天体的密度、天体运动中机械能的变化专项训练 考点目录 计算中心天体的质量 计算中心天体的密度 天体运动中机械能的变化 考点一 计算中心天体的质量 例1．（25-26高一下·江苏连云港·期末）如图所示，“嫦娥六号”飞船仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并在点变轨绕月球做匀速圆周运动。已知飞船绕月做圆周运动的轨道半径为，周期为，引力常量为，月球的半径为，忽略月球自转。求月球的： (1)质量； (2)表面重力加速度大小。 例2．（25-26高一下·浙江丽水·期末）2023年哈工大建成的“地面空间站”可以模拟月球重力场，某实验员在里面完成了圆周和平抛一系列实验。实验装置如图所示，水平圆盘可绕过圆心的竖直转轴转动，圆盘半径，离水平月面高度。在圆盘边缘放置一质量的小物块，物块与圆盘间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。圆盘从静止开始缓慢加速转动，当角速度时，物块恰好与圆盘发生相对滑动并滑离圆盘后落至“月球表面”。求：（计算结果可保留根式） (1)“月球表面”的重力加速度； (2)落地点与在“月面”上的投影的距离； (3)已知月球的半径，引力常量，计算月球质量的数量级。 变式1．（25-26高一下·陕西延安·阶段检测）中国载人航天工程将在新起点上深化推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务。若在载人月球探测中，探测器登陆月球前一段时间内在到月球中心距离为的轨道上做匀速圆周运动，周期为，引力常量为，不考虑月球的自转。 (1)求探测器做匀速圆周运动的角速度大小以及线速度大小； (2)求月球的质量； (3)已知月球表面的重力加速度大小为，求月球的半径。 变式2．（25-26高一下·广东肇庆·阶段检测）中新社北京2019年3月3日电：全国政协委员、中国探月工程总设计师吴伟仁在北京透露明年中国将发射火星探测器，实现火星的环绕着陆和巡视探测。设火星探测器在距离火星表面h高度做周期为T的匀速圆周运动。已知火星的半径为R，引力常量为G。则： (1)探测到的火星质量等于多少？ (2)探测到的火星表面的重力加速度等于多少？ 考点二 计算中心天体的密度 例1．（25-26高一下·安徽芜湖·期末）我国国防科技工业局已证实，嫦娥七号将于2026年下半年择机发射，主要任务是去月球的南极寻找水源，为月球基地建设做准备。假设嫦娥七号先进入近月圆轨道I，再进入椭圆轨道Ⅱ，在轨道Ⅱ的Q点与返回器对接，图中P、Q分别为椭圆轨道的近月点和远月点。已知月球半径为R，近月圆轨道I的轨道半径近似为月球的半径，嫦娥七号在轨道I的运行周期为T，Q点离月球表面的高度为h，万有引力常量为G。求： (1)月球的平均密度ρ； (2)嫦娥七号第一次从P点飞行到Q点的时间t； (3)嫦娥七号在P点和Q点速度大小之比。 例2．（25-26高一下·陕西西安·期末）如图所示，在半径为、质量分布均匀的某星球表面，有一倾角为的斜坡。宇航员以初速度从斜坡顶端点水平抛出一个小球，经过时间小球落在斜坡上的点。求： (1)该星球表面附近的重力加速度； (2)该星球的第一宇宙速度大小； (3)该星球的平均密度。 变式1．（25-26高一下·天津宝坻·期中）北京时间2024年4月25日20时，神舟十八号载人飞船圆满发射成功，并于25日6时成功对接于天和核心舱。已知天和核心舱距离地面高度，环绕地球运动视为匀速圆周运动，运行周期为，地球半径为，引力常量为，假设地球可视为质量分布均匀的球体。则： (1)地球的密度； (2)地球表面的重力加速度； (3)飞船从近地点到远地点的时间。 变式2．（25-26高一下·四川南充·期中）中国火星探测器“天问一号”抵达火星轨道的过程，可以简化成如图所示的三个阶段，沿轨道Ⅰ的地火转移轨道，在轨道Ⅱ上运行的火星停泊轨道及沿圆轨道Ⅲ运行的科学探测轨道。三条轨道相切于点，且A、B两点分别为轨道Ⅱ的近火点和远火点，其距离火星地面的高度分别为和，火星探测器在轨道Ⅲ上运行的周期为，火星的半径为，引力常量为。求： (1)探测器在轨道Ⅱ上运行的周期； (2)火星表面的重力加速度； (3)火星的平均密度。 考点三 天体运动中机械能的变化 例1．（25-26高一下·北京西城·期中）宇宙中一些质量高度集中的天体，若其逃逸速度很大，光都不能逃出其引力束缚，则这种天体称为黑洞。探索黑洞是人类不懈的追求。已知太空中两星体间的引力势能表达式为，其中为两星体间的球心距离，为引力常量，真空中光速为，取无穷远处引力势能为零。 (1)严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前，1799年科学家拉普拉斯就根据牛顿引力理论预言过黑洞的存在。请你利用所学知识，推测质量为的黑洞，之所以能够成为黑洞，其半径最大不能超过多少； (2)2023年“中国天眼”发现著名的GRS黑洞（质量为）存在微弱的射电“脉搏”，由此推断该黑洞与某质量较大的恒星（质量为）均围绕二者连线上的一点做圆周运动，且恒星上的外层物质会不断被吸入到黑洞中，逐渐被吞噬。若在开始的短时间内，二者间距可认为不变，二者质量之和不变且一直满足。推理说明该段时间内，该双星系统的总能量将如何变化； (3)引力波探测为黑洞研究提供了重要手段，2015年人类首次探测到的引力波信号，证实了恒星级黑洞双星系统的存在。为深入理解引力波辐射的物理机制，可建立如下理想化的双星系统模型：两颗质量均为的星体，间距为，仅在万有引力作用下绕其连线中点做匀速圆周运动；假设双星系统因持续辐射引力波而损失能量，导致连续减小，辐射的引力波功率可表示为，其中为光速，此过程可以认为天体的质量保持不变。则经过一段时间，两星体间距减小了（），辐射引力波的能量为。某同学认为该模型中两星体间距会减小的越来越快，你是否同意他的想法，请说明理由。 例2．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）卫星发射过程一般要经过多次变轨方可到达预定轨道。下图为发射某一颗质量为m的卫星的轨道示意图，先将卫星发射到距离地面高度忽略不计的圆轨道Ⅰ上运动，在Q点加速后进入椭圆轨道Ⅱ上运动，再在椭圆轨道Ⅱ的远地点P处加速后到达预定圆轨道Ⅲ上运动。已知地球半径为R，圆轨道Ⅲ距离地面高度为2R，地球表面的重力加速度为g，卫星在变轨过程中质量近似不变。求： (1)卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小； (2)卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期； (3)卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率（引力势能的表达式为，式中M表示地球的质量，m表示卫星的质量，r表示卫星到地球中心的距离）。 例3．（25-26高一下·河南漯河·阶段检测）探索宇宙深空，逃离地球的引力束缚是第一步。某同学设计了一个使航天器飞离地球到达无穷远处的方案：如图，先将航天器发射到一个较低的绕地球圆轨道1，该轨道与圆轨道3共面。在位置加速（航天器瞬间完成加速）进入公转周期为的椭圆轨道2，其远地点在轨道3的点，航天器在点点火加速，被推进入轨道4后到达无穷远。已知地球的质量为，航天器在轨道3的环绕半径为，引力常量为G。航天器绕地球做椭圆运动时，近地点速率与近地点到地心距离的乘积等于远地点速率与远地点到地心距离的乘积。已知质量为的中心天体将质量为的物体从无穷远处吸引到距中心天体处（>中心天体半径），万有引力做功为。不计地球以外其他星体引力对航天器的影响。 (1)求航天器在位置时到地心的距离； (2)要使航天器能在轨道4上飞到无穷远，求其在A点点火加速后相对于地球的最小速度大小； (3)若航天器质量为，求从轨道1上加速变轨到轨道2，发动机为航天器提供的能量。（用（1）问中的和其他已知量表示结果） 变式1．（2026·河北沧州·二模）阿尔忒弥斯2号于2026年4月1日发射，四名宇航员完成约10天绕月飞行后返回地球。一同学将飞船的运动轨迹简化为如图所示：飞船先在距地心的圆形高地球轨道I上运行，经A点时短暂点火使飞船沿切线方向加速变轨，进入以A为近地点、B为远地点的椭圆转移轨道Ⅱ；B点与月球轨道相切，月球轨道可视为半径为的圆轨道Ⅲ。已知地球质量为M，飞船质量为m（近似不变），万有引力常量为G；以无限远处为零势能点，飞船引力势能（r为飞船到地心距离）；根据开普勒第二定律可知飞船与地心连线单位时间内扫过的面积（v为飞船速度，φ为速度方向与飞船和地心连线的夹角）。求： (1)飞船在轨道Ⅰ上运行的周期； (2)飞船在轨道Ⅰ上运行时的机械能； (3)飞船在A点变轨过程中增加的机械能。 变式2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）北京时间2024年6月4日7时38分，嫦娥六号着陆器上的上升器携带月球样品自月球背面起飞，成功将上升器送入预定环月轨道。6月6日14时48分，嫦娥六号上升器成功与轨道器和返回器组合体（简称“组合体”）完成环月轨道的交会对接，完成对接后沿月地转移轨道返回地球。已知上升器（含样品）的总质量为m，组合体质量为，月球质量为M，月球的半径为R，组合体到月球中心的距离为r，引力常量为G，忽略月球的自转。求： (1)组合体在轨运动的周期； (2)证明月球对组合体的引力与距离的平方成反比； (3)取上升器与月球相距无穷远时引力势能为零，它们距离为r时，引力势能为，求上升器从月球表面返回并与组合体成功对接所需要的能量E。 变式3．（25-26高一下·山西临汾·阶段检测）在发射卫星时，先将卫星发射至距地心为r1的近地停泊圆形轨道Ⅰ上，在卫星经过A点时短暂开动发动机实施变轨，进入椭圆转移轨道Ⅱ，椭圆轨道的近地点为A，远地点为B。在卫星沿椭圆轨道运动经过B点时再次点火实施变轨，将卫星送入轨道半径为r2的工作圆轨道Ⅲ。已知转移轨道Ⅱ分别与轨道Ⅰ和轨道Ⅲ相切，两次点火过程均使卫星沿切向方向加速，且点火时间很短可忽略。地球质量为M，卫星质量为m（近似不变），万有引力常量为G。已知：①选无限远处为零势能点时，卫星的引力势能大小为，其中r为卫星到地心之间的距离；②根据开普勒第二定律，卫星与地球连线在单位时间内扫过的面积为，其中v是某时刻卫星在轨道上的速率，r是此时卫星到地心的中心距离，为速度方向与卫星和地心连线的夹角。求： (1)卫星在轨道Ⅰ上运行时的机械能； (2)卫星从轨道Ⅰ进入轨道Ⅲ运行的过程中，机械能的变化量； (3)卫星经过A点时开动发动机实施变轨的过程中，卫星增加的机械能。 2 学科网（北京）股份有限公司 $