暑假培优：与曲面结合的平抛运动、空间抛体问题、平抛运动中的临界问题 专项训练-2025-2026学年高一升高二暑假物理（人教版必修第二册）

**基本信息** 聚焦平抛运动三大难点，通过曲面结合、空间拓展、临界分析三维度，以典例变式构建从基础规律到复杂情境的解题逻辑 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |与曲面结合的平抛运动|5题（例1-3变式1-2）|传送带/圆弧曲面与平抛结合，涉及摩擦热量、落点动能极值|基于平抛运动分解规律，结合曲面几何关系（半径/角度）推导位移速度关系| |空间抛体问题|4题（例1-2变式1-2）|正方体/长方体框架内三维抛体，需空间坐标系分解运动|将二维平抛扩展至三维，利用空间几何确定水平位移多方向分量，应用运动学公式| |平抛运动中的临界问题|4题（例1-2变式1-2）|速度范围/最小动能/刚好击中类临界条件分析|在平抛规律基础上，通过函数极值或几何边界确定临界状态，强化科学推理与模型建构|

暑假培优：与曲面结合的平抛运动、空间抛体问题、平抛运动中的临界问题专项训练 暑假培优：与曲面结合的平抛运动、空间抛体问题、平抛运动中的临界问题专项训练 考点目录 与曲面结合的平抛运动 空间抛体问题 平抛运动中的临界问题 考点一 与曲面结合的平抛运动 例1．（25-26高一下·湖北荆州·期中）如图所示，一水平传送带B、C两点间的距离L=6m，B、C两点分别是传送带两侧轮缘的顶端，传送带左侧与光滑平台AB平滑相连于B点，以C点为圆心、半径为的圆弧DE固定于传送带右侧，CD连线水平。两质量均为m=2kg的小滑块a、b用一根长为d=0.25m的不可伸长的轻细线拴接，传送带以速度v0=2.5m/s顺时针匀速转动。在t=0时，将滑块b从B点由静止释放。已知两滑块a、b与传送带间的动摩擦因数均为μ=0.1，滑块a、b可视为质点，取重力加速度大小g=10m/s2。求： (1)小滑块a运动至B点时的速度大小； (2)在小滑块b从B点运动至C点的过程中，两滑块a、b与传送带因摩擦而产生的总热量； (3)若改变传送带的转动速率，现剪断细线后将小滑块b轻放上传送带的B点，小滑块b能从C点水平飞出并落在圆弧DE上。要使滑块b落在圆弧上时的动能最小，则传送带的速率应调整为多大？ 【答案】(1)0.5m/s (2)12.5J (3) 【详解】（1）到达点前，只有在传送带上受滑动摩擦力，在光滑平台不受摩擦力。对a、b整体，由牛顿第二定律，得 解得 从开始到到达点，整体位移为绳长，初速度为0，由匀变速直线运动速度与位移的关系，得 解得 （2）到达点前，由匀变速直线运动速度与时间的关系，得运动时间 传送带位移 相对位移 热量 进入传送带后，加速到与传送带共速，a、b都受滑动摩擦力，由牛顿第二定律，得 解得加速度 由匀变速直线运动速度与时间的关系，得加速到的时间 滑块位移 两小滑块未滑离传送带，该过程传送带的位移 相对位移 两个滑块均受滑动摩擦力，总热量 共速后滑块与传送带相对静止，不再生热，总热量 （3）从点水平抛出后做平抛运动，设落点与的连线和水平方向夹角为（），则平抛位移满足， 联立可得 由动能定理，落点动能 代入整理得 由基本不等式，可知 当且仅当时，​最小，此时​ 则 将代入，解得 将、代入，解得 小滑块b轻放上传送带后，由牛顿第二定律，得 解得在传送带上的加速度 在传送带上一直加速的最大末速度 因此传送带速度调整为后，滑块b加速到与传送带共速，从右端飞出，满足动能最小。 例2．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，水平放置的圆柱体圆心O的正上方有一点P，将一小球从P点以的速度水平抛出，其飞行一段时间后，恰从Q点沿切线飞过。已知OP与半径OQ的夹角，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求： (1)小球从P点运动到Q点所用的时间t。 (2)P点到圆柱体最高点的距离H。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设小球在Q点时的速度为，在Q点时竖直方向上的速度为，如图所示 根据几何关系可知，小球在Q点时的速度方向与水平方向的夹角为θ，则　 小球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有　 解得小球从P点运动到Q点所用的时间 （2）小球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，有　 由几何关系可得　 竖直方向上的位移　 P点距圆柱体最高点的高度　 联立可得 例3．（25-26高一上·江苏常州·期末）某极限运动公园内设有专业滑板赛道，赛道有倾斜直道、圆弧赛道、倾斜直道和水平赛道平滑连接而成。圆弧的圆心为的中点，图中角均为（，），圆弧半径，，将运动员和滑板视为质点，忽略空气阻力，取， (1)若运动员从点以速度水平飞出，恰好落在点，求的大小； (2)若运动员从点沿赛道切线方向以速度水平飞出后，恰好落在点，求的大小； (3)若运动员从点以的速度水平飞出，求他在空中运动的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设运动员在空中运动时间为，则 则 （2）设运动员在空中运动时间为，则 则 解得 （3）设运动员在空中运动时间为，则有 解得或（舍） 故运动员在空中运动了。 变式1．（24-25高一下·四川南充·开学考试）如图甲所示，水平传送带AB的长度L=12m，以的速度顺时针匀速运动，皮带轮的大小可以忽略不计。现有一物体（视为质点）轻放在传送带左端A点，到达B端后物块在空中做平抛运动。已知物体与传送带间动摩擦因数为μ=0.5，传送带上表面距地面的高度h=5m，g取 (1)求物体从A端到达B端的时间； (2)求物体从B端到落地的位移大小； (3)若在传送带右侧加装一个收集装置，其内边界截面为四分之一圆形，如图乙为传送带右半部分和装置的示意图，B点为圆心，半径为，若要使该物体从B点抛出后落到收集装置时的速度最小，则传送带速度应该调节为多大？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物体放上传送带后做匀加速运动，有 可得 令物体达到传送带速度的时间为，位移为，则， 由于，故物体与传送带共速后做匀速直线运动。设匀速运动时间为，则有 解得 物体从A端到达B端的时间为 （2）物体从B点飞出后做平抛运动，设运动时间为，竖直方向有 解得 水平方向位移为 则物体从B端到落地的位移大小为 （3）设落到收集装置时速度为，则 设B点抛出时水平速度为，落到收集装置时水平位移x，竖直位移y，则有，， 联立可得 解得 则有 由数学知识可知，当，最小；可得 由 解得   故应将传送带速度调到。 变式2．（24-25高一上·黑龙江·期末）如图所示，光滑水平面的左侧有一以的速度顺时针转动的倾斜传送带，传送带与水平面间的夹角且与水平面平滑连接。水平面右侧竖直平面内有一以为圆心，半径的圆弧坡，以弧面最低点O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立直角坐标系xOy，某时刻有一物体以初速度从水平面冲上传送带。已知传送带足够长，物体与传送带间动摩擦因数，，，，物体可视为质点，不考虑其经过传送带与水平面连接处时的速率变化。求： (1)物体冲上传送带瞬间的加速度大小； (2)物体在传送带上运动的总时长t； (3)物体返回水平面后，从右端飞出落在坡上的落点坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物体冲上传送带瞬间，设物体的加速度为，根据牛顿第二定律 解得 （2）从物体冲上传送带到与传送带共速，物体的加速度为，运动时间设为，运动学公式 从物体与传送带共速到物体离开传送带，设物体的加速度为，运动时间为，根据牛顿第二定律和运动学公式， 解得，或（舍） 则运动的总时间 （3）返回水平面物体的速度 物体离开水平面后，水平方向 竖直方向 根据几何关系 解得， 故落点坐标为。 考点二 空间抛体问题 例1．（25-26高一下·安徽宣城·阶段检测）如图所示，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架，棱长为L，从顶点A沿不同方向水平抛出一小球（可视为质点）。已知重力加速度为g，空气阻力不计。 （1）若改变小球平抛的初速度方向，能使小球落在平面的范围，求小球平抛初速度的最大值； （2）若小球以初速度且与AB夹角为30°方向平抛，从平面离开，求离开时距的高度。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）小球平抛时，落点在C1时，初速度最大，有 联立，解得 （2）小球以初速度且与AB夹角为30°方向平抛时，水平方向，有 又 竖直方向，有 联立，解得 例2．（25-26高一下·山西·期中）如图所示，水平地面上放置一边长为a的正方体无盖的储物盒，P为底面对角线的交点，O为延长线上与距离为a的点，M为O点正上方距地面高度为4a的点。现有一同学整理杂物，将各种杂物（可视为质点）从M点以不同的速度水平抛出，均能落入储物盒中。不计空气阻力，重力加速度为g。 （1）若一杂物水平抛出，落在盒中的P点，求此杂物抛出时的速度大小； （2）若要使所有杂物都能落在盒子中，求杂物水平抛出的速度大小范围。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）若一杂物水平抛出，落在盒中的P点，根据平抛运动规律有 ， 解得 （2）若杂物恰好经过A，此时速度最小，根据平抛运动规律有 ， 解得 若杂物恰好经过C，此时速度最大，根据平抛运动规律有 ， 解得 可知，若要使所有杂物都能落在盒子中，杂物水平抛出的速度大小范围为 变式1．（25-26高三上·云南·阶段检测）如图所示，空间有一底面处于水平地面上的长方体框架长为，且，从顶点沿不同方向平抛完全相同的小球（可视为质点），重力加速度为。求： （1）从线段上射出的小球中的最小初速度； （2）分别击中点和点的小球的初动能之比； （3）所有运动轨迹与线段相交的小球在交点处的速度偏转角（可用三角函数表示）。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）从线段上射出的小球中，从射出的小球初速度最小，此时 解得 （2）对击中的小球，有 其动能 击中的小球的初动能与击中的小球的初动能相同，即 联立解得二者动能比为 （3）由题意得，当运动轨迹与线段相交时，所有小球的位移偏转角相同，其正切值 故速度偏转角的正切 即速度偏转角为 变式2．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）如图所示，某天早晨小李骑着电动自行车外出，车上挂着一包生活垃圾（可视为质点），当以v0 = 2 m/s的速度匀速骑行到一段平直道路时，发现前方路沿外侧有一与路沿平行的长方体型垃圾桶，车辆离路沿垂直距离d1 = 0.3 m，垃圾桶最近边距路沿垂直距离d2 = 0.2 m。骑行至距垃圾桶桶口A点的直线距离L = 1.3 m位置时（平行于地面的距离），小李以垂直于车身前进轴线方向（以车为参考系）将垃圾抛出，垃圾包划过一条弧线，从桶口A点落入桶内。已知垃圾桶口为正方形，边长s = 0.4 m，桶口距地面高度H = 1.5 m，抛出点距地面高度h = 1.2 m。可将垃圾包、车辆、人看作质点，忽略空气阻力的影响，g = 10 m/s2。求： (1)抛出后，垃圾包在空中运动的时间； (2)垃圾包抛出瞬间，相对地面的速度大小； (3)若确保垃圾包能抛人垃圾桶内，则垃圾包相对于抛出点上升的最大高度为多少？ 【答案】(1)t = 0.6 s (2) (3) 【详解】（1）垃圾包抛出时，由于惯性的原因，在沿电动车行进的方向上，垃圾包的速度与车辆一致，，匀速运动，由勾股定理可知，垃圾包沿电动车行进方向上运动的位移 解得 （2）垃圾包实际运动轨迹为抛物线，将该运动分解为平行地面运动和垂直地面向上的运动。 ①平行地面方向且与路沿平行的速度，运动时间。平行地面方向且与路沿垂直方向上的位移为x2，则 解得 与地面平行方向的速度 ②垂直地面向上的方向：竖直方向为初速度为v3，加速度为g，位移为0.3 m的匀变速直线运动，则 解得 v2和v3合成即为垃圾包抛出时的对地速度，即 （3）由上题可知 当时取极小值，垃圾包在空中运动的最短时间，垃圾包在空中运动的最长时间 由上述分析可知，运动时间越长，v3越大，上升高度越大，将式代入 可得最大的竖直速度 因此最大竖直上升高度为 考点三 平抛运动中的临界问题 例1．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）如图质量为的物体（可视为质点），沿圆弧轨道下滑至最低点时，已知，随后以水平速度飞出，恰好沿传送带方向在点无能量损耗地滑上传送带，传送带与水平方向的夹角，速度为，方向如图。物体与传送带之间的动摩擦因数为，圆弧轨道半径，长度。（取，，） (1)求物体刚滑上传送带点时的速度大小及、间高度差； (2)求物体在传送带上滑行的时间及在传送带上的划痕长度。 【答案】(1)5m/s，0.45m (2)0.6s，0.25m 【详解】（1）物体由B到C做平抛运动，到达C点的速度 竖直方向速度为 所以 （2）因，物体m受到的滑动摩擦沿传送带向下，根据牛顿第二定律得 可得 经过与传送带共速，有 解得 对应位移 共速后物体m受到的滑动摩擦沿传送带向上，有 解得 设经到达传送带底端D点，对应位移， 解得 故 第一过程痕迹长 第二过程痕迹长 与部分重合，故痕迹总长为0.25m。 例2．（25-26高三上·河北保定·阶段检测）如图所示，在粗糙水平面上P点放置一质量m=1kg的物块（视为质点），在台阶右侧固定了一个圆弧挡板，圆弧半径R=4m，圆弧的圆心在台阶边缘O点。物块在与水平方向的夹角斜向下、大小F=13N的拉力作用下，从静止开始沿粗糙水平面做匀加速直线运动，物块运动到O点时撤去拉力，物块离开水平面后做平抛运动并击中挡板。不计空气阻力，物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.5，取重力加速度大小g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 (1)求物块在水平面上运动时的加速度大小a； (2)若物块击中挡板上的Q点，OQ与水平方向的夹角α=53°，求物块从P点运动到Q点的时间t； (3)若改变物块出发点的位置，可使其击中挡板上的不同点，求击中挡板时物块的最小速度vmin（结果可保留根式）。 【答案】(1)1.5m/s2 (2)2.8s (3) 【详解】（1）对物块受力分析，沿水平方向有 竖直方向有 解得a=1.5m/s2 （2）物块从O点飞出后做平抛运动，设经过时间t2击中Q点，则有， 解得，t2=0.8s 设物块P到O做匀加速直线运动的时间为t1，则 解得t1=2s 可知物块从P点运动到Q点的时间 （3）假设物块从O点飞出的速度为时，经过时间t3击中挡板，此过程根据平抛运动规律有， 根据几何关系有 解得 击中挡板时的速度 可得 当时，即时，最小，解得 变式1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图所示，圆柱形水桶放置在水平面上，拧开水龙头，水从离地高为2h放置的水平水管A端流出，刚好从水桶口中心B处无阻挡地落到桶底边沿C处，已知水桶高为h，直径为D，水管的内径为d（），求： (1)水从A点流出时的速度及水管末端A与水桶口中心B之间水平距离； (2)充满整个水管截面的水从水管末端A流出时开始计时，经过多长时间将水桶装满。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）流出的水做平抛运动，从A点到B点，水平方向上 竖直方向上 从A点到C点，水平方向上 竖直方向上 解得， （2）单位时间流量为 水桶的体积为 则灌满水 解得 除此之外还要计算水从水管末端A流出至B的时间，故整个时间为 变式2．（2025·重庆渝中·模拟预测）骑射有定点骑射和运动骑射。靶心O高度为h=1.5m的圆形目标靶垂直地面固定于A点，一运动员骑着马可以在直线MPN上任意一点的正上方平行于地面射出箭矢。已知所有箭矢都从离地面高度为h1=2m处射出，dPA=10m，靶的半径为r=0.3m，且P点的竖直正上方点正对靶心，即PQ平行于AO。忽略空气阻力及箭矢长度，重力加速度，则： (1)若箭头均射中靶心O，求箭矢运动的时间； (2)若箭头在PQ上沿平行于PA方向水平射出。且马静止，要使箭能击中靶，求射出箭矢的速度范围； (3)若箭头在PQ上朝某一方向水平射出，恰好击中靶心，此时马以v1 =15m/s的速度水平向右运动，求射出瞬间箭矢的速度大小和方向（用正切值表示）。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）根据题意可知，箭矢射出后做平抛运动，由于箭头均射中靶心O，所以箭矢的下落高度为 由竖直方向自由落体运动有 解得若箭头均射中靶心O，箭矢运动的时间为 （2）当箭矢击中靶的最上端时，竖直位移为 根据 代入数据解得箭矢运动的时间为 箭矢水平方向做的是匀速直线运动，水平位移为 解得此时射出箭矢的速度为 同理有当箭矢击中靶的最下端时，竖直位移为 根据 代入数据解得箭矢运动的时间为 水平位移为 解得此时射出箭矢的速度为 综上所得射出箭矢的速度范围是。 （3）因为箭矢恰好击中靶心，由（1）可知，箭矢的运动时间为，所以箭矢在垂直直线MPN方向的速度为 根据运动的合成与分解可得射出瞬间箭矢的速度大小为 射出瞬间箭矢的速度方向与水平方向的夹角的正切值为 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：与曲面结合的平抛运动、空间抛体问题、平抛运动中的临界问题专项训练 暑假培优：与曲面结合的平抛运动、空间抛体问题、平抛运动中的临界问题专项训练 考点目录 与曲面结合的平抛运动 空间抛体问题 平抛运动中的临界问题 考点一 与曲面结合的平抛运动 例1．（25-26高一下·湖北荆州·期中）如图所示，一水平传送带B、C两点间的距离L=6m，B、C两点分别是传送带两侧轮缘的顶端，传送带左侧与光滑平台AB平滑相连于B点，以C点为圆心、半径为的圆弧DE固定于传送带右侧，CD连线水平。两质量均为m=2kg的小滑块a、b用一根长为d=0.25m的不可伸长的轻细线拴接，传送带以速度v0=2.5m/s顺时针匀速转动。在t=0时，将滑块b从B点由静止释放。已知两滑块a、b与传送带间的动摩擦因数均为μ=0.1，滑块a、b可视为质点，取重力加速度大小g=10m/s2。求： (1)小滑块a运动至B点时的速度大小； (2)在小滑块b从B点运动至C点的过程中，两滑块a、b与传送带因摩擦而产生的总热量； (3)若改变传送带的转动速率，现剪断细线后将小滑块b轻放上传送带的B点，小滑块b能从C点水平飞出并落在圆弧DE上。要使滑块b落在圆弧上时的动能最小，则传送带的速率应调整为多大？ 例2．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，水平放置的圆柱体圆心O的正上方有一点P，将一小球从P点以的速度水平抛出，其飞行一段时间后，恰从Q点沿切线飞过。已知OP与半径OQ的夹角，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。求： (1)小球从P点运动到Q点所用的时间t。 (2)P点到圆柱体最高点的距离H。 例3．（25-26高一上·江苏常州·期末）某极限运动公园内设有专业滑板赛道，赛道有倾斜直道、圆弧赛道、倾斜直道和水平赛道平滑连接而成。圆弧的圆心为的中点，图中角均为（，），圆弧半径，，将运动员和滑板视为质点，忽略空气阻力，取， (1)若运动员从点以速度水平飞出，恰好落在点，求的大小； (2)若运动员从点沿赛道切线方向以速度水平飞出后，恰好落在点，求的大小； (3)若运动员从点以的速度水平飞出，求他在空中运动的时间。 变式1．（24-25高一下·四川南充·开学考试）如图甲所示，水平传送带AB的长度L=12m，以的速度顺时针匀速运动，皮带轮的大小可以忽略不计。现有一物体（视为质点）轻放在传送带左端A点，到达B端后物块在空中做平抛运动。已知物体与传送带间动摩擦因数为μ=0.5，传送带上表面距地面的高度h=5m，g取 (1)求物体从A端到达B端的时间； (2)求物体从B端到落地的位移大小； (3)若在传送带右侧加装一个收集装置，其内边界截面为四分之一圆形，如图乙为传送带右半部分和装置的示意图，B点为圆心，半径为，若要使该物体从B点抛出后落到收集装置时的速度最小，则传送带速度应该调节为多大？ 变式2．（24-25高一上·黑龙江·期末）如图所示，光滑水平面的左侧有一以的速度顺时针转动的倾斜传送带，传送带与水平面间的夹角且与水平面平滑连接。水平面右侧竖直平面内有一以为圆心，半径的圆弧坡，以弧面最低点O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立直角坐标系xOy，某时刻有一物体以初速度从水平面冲上传送带。已知传送带足够长，物体与传送带间动摩擦因数，，，，物体可视为质点，不考虑其经过传送带与水平面连接处时的速率变化。求： (1)物体冲上传送带瞬间的加速度大小； (2)物体在传送带上运动的总时长t； (3)物体返回水平面后，从右端飞出落在坡上的落点坐标。 考点二 空间抛体问题 例1．（25-26高一下·安徽宣城·阶段检测）如图所示，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架，棱长为L，从顶点A沿不同方向水平抛出一小球（可视为质点）。已知重力加速度为g，空气阻力不计。 （1）若改变小球平抛的初速度方向，能使小球落在平面的范围，求小球平抛初速度的最大值； （2）若小球以初速度且与AB夹角为30°方向平抛，从平面离开，求离开时距的高度。 例2．（25-26高一下·山西·期中）如图所示，水平地面上放置一边长为a的正方体无盖的储物盒，P为底面对角线的交点，O为延长线上与距离为a的点，M为O点正上方距地面高度为4a的点。现有一同学整理杂物，将各种杂物（可视为质点）从M点以不同的速度水平抛出，均能落入储物盒中。不计空气阻力，重力加速度为g。 （1）若一杂物水平抛出，落在盒中的P点，求此杂物抛出时的速度大小； （2）若要使所有杂物都能落在盒子中，求杂物水平抛出的速度大小范围。 变式1．（25-26高三上·云南·阶段检测）如图所示，空间有一底面处于水平地面上的长方体框架长为，且，从顶点沿不同方向平抛完全相同的小球（可视为质点），重力加速度为。求： （1）从线段上射出的小球中的最小初速度； （2）分别击中点和点的小球的初动能之比； （3）所有运动轨迹与线段相交的小球在交点处的速度偏转角（可用三角函数表示）。    变式2．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）如图所示，某天早晨小李骑着电动自行车外出，车上挂着一包生活垃圾（可视为质点），当以v0 = 2 m/s的速度匀速骑行到一段平直道路时，发现前方路沿外侧有一与路沿平行的长方体型垃圾桶，车辆离路沿垂直距离d1 = 0.3 m，垃圾桶最近边距路沿垂直距离d2 = 0.2 m。骑行至距垃圾桶桶口A点的直线距离L = 1.3 m位置时（平行于地面的距离），小李以垂直于车身前进轴线方向（以车为参考系）将垃圾抛出，垃圾包划过一条弧线，从桶口A点落入桶内。已知垃圾桶口为正方形，边长s = 0.4 m，桶口距地面高度H = 1.5 m，抛出点距地面高度h = 1.2 m。可将垃圾包、车辆、人看作质点，忽略空气阻力的影响，g = 10 m/s2。求： (1)抛出后，垃圾包在空中运动的时间； (2)垃圾包抛出瞬间，相对地面的速度大小； (3)若确保垃圾包能抛人垃圾桶内，则垃圾包相对于抛出点上升的最大高度为多少？ 考点三 平抛运动中的临界问题 例1．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）如图质量为的物体（可视为质点），沿圆弧轨道下滑至最低点时，已知，随后以水平速度飞出，恰好沿传送带方向在点无能量损耗地滑上传送带，传送带与水平方向的夹角，速度为，方向如图。物体与传送带之间的动摩擦因数为，圆弧轨道半径，长度。（取，，） (1)求物体刚滑上传送带点时的速度大小及、间高度差； (2)求物体在传送带上滑行的时间及在传送带上的划痕长度。 例2．（25-26高三上·河北保定·阶段检测）如图所示，在粗糙水平面上P点放置一质量m=1kg的物块（视为质点），在台阶右侧固定了一个圆弧挡板，圆弧半径R=4m，圆弧的圆心在台阶边缘O点。物块在与水平方向的夹角斜向下、大小F=13N的拉力作用下，从静止开始沿粗糙水平面做匀加速直线运动，物块运动到O点时撤去拉力，物块离开水平面后做平抛运动并击中挡板。不计空气阻力，物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.5，取重力加速度大小g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 (1)求物块在水平面上运动时的加速度大小a； (2)若物块击中挡板上的Q点，OQ与水平方向的夹角α=53°，求物块从P点运动到Q点的时间t； (3)若改变物块出发点的位置，可使其击中挡板上的不同点，求击中挡板时物块的最小速度vmin（结果可保留根式）。 变式1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图所示，圆柱形水桶放置在水平面上，拧开水龙头，水从离地高为2h放置的水平水管A端流出，刚好从水桶口中心B处无阻挡地落到桶底边沿C处，已知水桶高为h，直径为D，水管的内径为d（），求： (1)水从A点流出时的速度及水管末端A与水桶口中心B之间水平距离； (2)充满整个水管截面的水从水管末端A流出时开始计时，经过多长时间将水桶装满。 变式2．（2025·重庆渝中·模拟预测）骑射有定点骑射和运动骑射。靶心O高度为h=1.5m的圆形目标靶垂直地面固定于A点，一运动员骑着马可以在直线MPN上任意一点的正上方平行于地面射出箭矢。已知所有箭矢都从离地面高度为h1=2m处射出，dPA=10m，靶的半径为r=0.3m，且P点的竖直正上方点正对靶心，即PQ平行于AO。忽略空气阻力及箭矢长度，重力加速度，则： (1)若箭头均射中靶心O，求箭矢运动的时间； (2)若箭头在PQ上沿平行于PA方向水平射出。且马静止，要使箭能击中靶，求射出箭矢的速度范围； (3)若箭头在PQ上朝某一方向水平射出，恰好击中靶心，此时马以v1 =15m/s的速度水平向右运动，求射出瞬间箭矢的速度大小和方向（用正切值表示）。 2 学科网（北京）股份有限公司 $