暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练-2026年八升九暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦一次函数与几何综合，通过角度及特殊四边形存在性问题，系统融合函数图像性质与几何判定，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数中的角度存在性问题|3例+3变式|坐标轴上找点使角度相等/特殊，结合图像交点与面积计算|以一次函数图像为载体，通过坐标转化角度关系，运用方程思想解决存在性问题| |一次函数中的特殊四边形存在性问题|3例+3变式|构造平行四边形/正方形，涉及顶点坐标确定与性质应用|基于函数图像与四边形判定，建立代数模型，通过坐标运算探究几何图形存在性|

暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 考点一 一次函数中的角度存在性问题 考点目录 一次函数中的角度存在性问题 一次函数中的特殊四边形存在性问题 3 例1.(25-26八年级下·湖南株洲期末)如图，直线1：片=-4x+m与y轴交于点A(0,6),与x轴交于点E,直 线，为=+b经过点B(-2,0)和点C0,1),且与相交于点D,连接B。 B E (1)求直线和的函数表达式： (2)当取何值时， y>2g (3)求△ABD的面积： (4)已知点P为x轴上一点，且在y轴的左侧，当∠PAB=∠ABD时，请直接写出满足条件的点P的坐标. 【臀案10眉线的表达式为：为=寻+6，百线L的表达武为：为方+1： 1 a<4时，>乃 (3)15 (④点P的坐标为 -12,0) 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 (2)联立两直线，求得交点的横坐标，结合图形判断即可： (3)先求出点E坐标，利用3m=5-5求三角形的面积即可： APIIL (4)可判断 再利用待定系数法求出直线4P,即可作答。 3 【详解】(1)解：将A0,6)代入直线y=4+m得：m=6: 3 则直线1的表达式为：片=一4x+6: b=1 将点B(-2,0)和点C(0,1)分别代入直线2=c+b得：-2k+b=0, [k= 2 解得b=1, 1 则直线的表达式为：片2x+, (2②)解：令=为，得子+6 3 2x+1 解得x=4, D(4,3) 则点 结合图象可知x<4时，少>为 3》解：将，=0代入=子+6，得到0=子 4+6,解得x=8: E(8,0) 点 8-20) .BE=10, A5m=5e-Sex8BEx(,o）x10x6-3)=15. (4)解：当点P在y轴左侧时， ∠PAB=∠ABD, .API 2 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 设AP的解析式为y=2x+9, A(0,6) 把 代入解析式，得9=6 1 故直线AP的表达式为y 2x+6 令y=0得x=-12, 则点P的坐标为 -12,0) 例2.(25-26八年级下重庆大渡口期末)己知函数y=-x+4的图象与x轴、y轴分别交于点B、A,函数 2） )=+6的图象与x辅、y轴分别交于点C、D,且两个函数图象交于点 YA D E E 4 B B B 图1 图2 图3 (I)求直线CD的函数表达式： 35 (②)若点F在射线4E上使得CEF的面积为3，过线段OB中点G,作直线11x轴，点P为y轴上一动点，作 POL卖I,2 FP OB FP+Pg+QB 直线于点，连接、 ,求 的最小值； (3)若M为直线AB上的动点，∠MCE=45°，写出点M的坐标并选择一种情况写出解答过程. 【答案】(1)y=2x+6 (2)12 (3)解：①当点M在点E的右侧时，如图 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 过点E作EN⊥CM于点N,过点N作NH⊥x轴于点H,过点E作ES⊥HN的延长线于点S, ∴∠ENC=∠ESN=∠NHC=90°， ∴∠SEN=90°-∠ENS=∠CNH, :∠ECM=45°， ∴△CEN CN=EN 是等腰直角三角形，且 ∴.aESN≌aNHC(AAS) .ES =NH,CH SN c0.) ∴.CH=xw-(-3)=xw+3 SW=14 w, NH=,SE=+1, 2 xx+3=yw 七w+3= 14 3 -YN 1 XN-2 解得 7 6 4 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 设直线C的解析式为'=c+b(k≠0)， 17 将C(-3,0、26)分别代入，符 -3k+b=0 5+6=7 7 6 解得b=1 :直线CW的解析式为y=3+1, y=-x+4 1 联立y=3x+1, 解得 9 x= 4 7 y=4 ∴.M ②当点M在点E的左侧时，如图 M EXD H/C O 过点E作EN⊥CM于点N,过点N作NH⊥x轴于点H,过点E作ES⊥HN的延长线于点S, △ESN≌aWHC(AAS) 由①同理可得 ∴.ES=NH,CH=SN 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 由0同理可得：B5=专，NH=:CH=-3-,Sw- 2 3w. 2 -XN=YN 3 14 -3-Xw= 3w 25 XN = 6 解得 7 yN=2 由①同理可得，直线CW的解析式为y=-3x-9, y=-x+4 联立y=-3x-9, x=-13 2 解得21· y=2 M 97 1321 综上所述， 4'4或22 214 E214) 【分析】(1)先求出气33，再将气33)代入y=c+6,求出k=2,即可解答： 49 (2)先求出A(0,4),C(-3,0),B(4,0),得到BC=7,O4=4,根据三角形的面积公式，求出S,E= 3，设 F(m-m+4),由Sc=S.ce+S求出m=4,得到F(-4,8》,过点F作FM∥Pe,且BM=PO,连接0， 推导出四边形POMF是平行四边形，得到FP+P2+QB=MQ+QB+2,继而推导出当点M,O,B三点共线时， M0+QB取得最小值，为MB,即FP+PO+QB也取得最小值，进而求出MB=I0,即可求出FP+PO+QB也取 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 得最小值为10+2=12 (3)①当点M在点E的右侧时，过点E作EN⊥CM于点V,过点N作H⊥x轴于点H,过点E作ES⊥HN的 E长线于点s,指导出Ewe,NiC(AAS.)得到CH=,-(3)=,+3.w=号w,NM=W,E= 2 y=-x+4 求出 17 2'6 进面求直线cw的解新式为y+1,联立p-专1，求以（到师可：色当点在 E的左侧时，同①的解题思路进行求解即可： E 2 【详解】(1)解：将3代入y=-x+4,得 .214 E 将气3’3)代入y=:+6,得 142k+6, 33 解得k=2, ∴直线CD的函数表达式为y=2x+6: (2)解：当x=0时，y=4, .A(0,4) 当y=0时， 2x+6=0 解得x=-3, .C(-3,0) > 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 当y=0时，-x+4=0, 解得x=4, ,B(4,0) .BC=7,OA=4, 】 设F(m-m+4 ,则 SABCF =SCEF+SBCE _35+49 4)x7x仁m+④)33 m=-4, .F(-4,8) 过点F作FM /PO,且FM=PO,如图，连接M犯， F MY 四边形 是平行四边形， POMF .MO=PF,FM=PO, A(0,4)B(4,0 ,点C是OB的中点， .G2,0) I1x轴，P№⊥1， .PQ=2,PQ⊥y轴， 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 M(-2,8) .FM=2,即 ·.FP+PQ+QB=Mg+QB+2, 当点M,Q,B三点共线时，如图 M ，此时 取得最小值，为，即 也取得最小值， MO+OB=MB MO+OB MB FP+PO+OB :MB=V(-2-4)}+(8-02=V36+64=V100=10 ..MO+OB 的最小值为10， 此时FP+PO+QB也取得最小值，为10+2=12. (3)略 例3.(25-26八年级下重庆合川期末)如图，己知一次函数y=&x+10(k≠0)的图象分别与x轴，'轴交于点 A,B. V B 图1 图2 (I)如图1，当k=2时，以AB为边在第二象限构造正方形ABCD,连接AC,BD,求直线BD的表达式： (2)如图2，当k<0时，以AB为边在第一象限构造正方形ABCD,连接OC,求△OBC的面积： (3)若k=-2,点P在正比例函数y=x的图象上，且∠ABP=45°，直接写出满足条件的点P的坐标. 【答案】①y=3x+10 (2)50 9 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 1515 3)点P的坐标为2’2或(-5，-5) 【分析】(I)过点D作DE⊥x轴于点E,证明△BAO≌△ADE,求得点D的坐标，再用待定系数法即可求解； (2)过点C作CF1y轴于点F,证明△CFB≌aBOA,即可求得面积的值： (3)过点D作DG⊥x轴于点G,证明三角形全等易求得点D的坐标，求得直线BD的解析式，与直线y=x的交 点即为点P,延长DA交直线y=x于点H,连接BH,则点H也满足题意. 【详解】(1)解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E, ,四边形ABCD为正方形， .AB=AD,∠BAD=∠AED=∠BOA=90°， ∴.∠BAO=90°-∠DAE=∠ADE, 在△BA0与△ADE中， ∠BOA=∠AED ∠BAO=∠ADE AB=AD △BAO≌△ADE(AAS) .AE=OB,DE=OA 当k=2时，y=2x+10」 令x=0,则y=10;令y=0,则x=-5, B(0,10),A(-5,0) OB=10,0A=5, .OE=OA+AE=15. D(-15,5) 设直线BD的解析式为y=mx+b, b=10 把B、D两点坐标分别代入得-15m+b=5, 10 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 1 m=3 解得b=10: 1 即直线BD的解析式为y=3x+10, B E AO衣 图1 (2)解：如图，过点C作CF1y轴于点F, ,四边形ABCD为正方形， AB=BC,∠ABC=LCFB=∠BOA=90°， ∴.∠ABO=90°-∠CBF=∠BCF, 在△CFB与△BOA中， [∠ABO=∠BCF ∠BOA=∠CFB AB=BC △CFB≌△BOA(AAS) .CF=OB 对于y=+10,令x=0,则y=10: 即OB=10 ∴.CF=OB=10, 10B-CF=x10x10=50 .S.oc=2 2 女 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 图2 (3)解：如图，过点D作DG⊥x轴于点G, ,四边形ABCD为正方形， .AB=AD,∠BAD=∠AGD=∠BOA=90°，∠ABD=45°， .∠BAO=90°-∠DAG=∠ADG. 在△BAO与△ADG中， ∠BOA=∠AGD ∠BAO=∠ADG AB=AD △BAO≌△ADG(AAS) .AG=OB,DG=OA. 当k=-2时，y=-2x+10」 令x=0,则y=10;令y=0,则x=5, B(0,10),A(5,0) .OB=10,OA=5. ..OG=0A+AG=15. :D155) 设直线BD的解析式为 =mx+b b=10 把B、D两点坐标分别代入得15m,+b=5, 12 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 1 m123 解得b=10’ 即直线0的解析式为=+10。 .15 令y= 3x+10=x,解得x=2, 少5 2’ p515) （2’2, 此时∠ABP=∠ABD=45°： 延长DA交直线y=x于点H,连接BH, 设直线1D的解析式为 y=k2x+b2 5k2+b2=0 把A、D两点坐标分别代入得15k2+b,=5, 1 k22 解得 5 b2=-2 15 “直线4D的解析式为y=2一2， 15 令y=2X-2=x,解得x=-5 y=-5 H(-5,-5) 即 :AD=VAG2+DG=55,AH=-5-5}'+(-5-0=55 .AD=AH, AB⊥AD, ∴.AB垂直平分线段DH, .BD=BH, 13 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 ∠BDA=45°， .∠BHA=45°， ∴.∠ABH=45°， 即点H满足条件， 1515 综上，点P的坐标为2’2)或(5，-5)」 图2 1 变式1.(25-26八年级下湖南株洲期末)如图1，在平面直角坐标系x0中，直线1：)=2X-3与x轴，y轴分 别交于A,B两点，直线与轴，'轴分别交于4，C两点（点C在'轴的正半轴上），且OA=OC x-3 4:y=2x3 B 图1 备用图 ()求出A,B两点的坐标及直线的表达式： (②)若点M是线段AB上的一点，过点M作y轴的平行线交直线2于点N,连接BN,若MN=6,求△BCN的面 积 (3)已知P是直线上一点，满足∠ABP=45,请直接写出点P的坐标. 【答案】①1(6,0)，B(0,-3).y=-x+6 14 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 (2)9 p9,15)p2715 3)(4'4或22 【分析】(1)利用x和y轴的特性，设x=0和y=0分别求出对应的纵坐标和横坐标，即可求出A,B两点坐标： 根据01=0C即可知道C点坐标，通过待定系数法即可求出直线？的表达式。 C2②利用直线释折式，设参数N-+6),根据半行的性质指出从，N的精丝标一样，设套数“宁-3） 1 结合MN=6,即可求出x的值，即可知道N到y轴距离，根据面积公式即可求出△BNC的面积. (3)通过∠ABP=45°，构造等腰直角三角形，利用一线三垂直去证明RtDEBS≌RtDFA,推出DE=DF和 BE=AP,分情况讨论O当点P在A上方时，②当点P在点A下方时，设D(m,m),利用线段相等转化为与m”有 关的方程，解出即可求出D点坐标，通过待定系数法求出直线BP的解析式，再结合y=-x+6即可求出P点坐标. 1 【详解】(1)解：y=2-3与x轴，y轴分别交于A”B两点， 六x=0时，y=-3即B(0,-3) 即 y=0时，x=6即16.0） ·A(6,0)0A=0C .C(0,6) “直线与产辅。》辅分别交于4，C两点， [6k+b=0 [k=-1 .设直线b2的解析式为y=ax+b,则b=6解得b=6, 直线的解析式为》=-x+6」 。23y=-x+6 (2)解：“N是在直线： 上， 15 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 N(x,-x+6) 设 'NM∥BC, .M,N到y轴的距离相等，即两个点的横坐标相等， 1 :M在线段AB上，即满足直线解析式y=2x-3, MN=6. .6=-x+6- - ∴x=2, .-x+6=-2+6=4, .N(2,4) .N到BC的距离为2. B(0,-3)C(0,6) .BC=6+3=9, S0-2x2x9=9, (3)解：①当点P在A上方时，如图所示，连接BP,过点A作AD⊥BP于点D,过点D作DE⊥BC于点E,过 点D作DF⊥OA于点F, B :AO⊥OC ∴∠ADB=∠DFA=∠DEB=∠DFO=∠EOA=90°， ∴∠ADF+∠BDF=9O°，四边形EDFO为矩形， ∴.∠EDF=90°， 16 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 .∠EDB+∠BDF=90°， .LEDB=∠FDA」 ∠ADB=90°，∠ABP=45°， .∠ABP=∠DAB=45°， ∴△ADB为等腰三角形， .AD=BD. 「∠BED=∠AFD ∠EDB=∠FDA 在 和 中， Rt△DEB RtADFA BD=AD .Rt△DEB≌Rt△DFA, .DE=DF,BE=AF. m=n 3 设D(m,m),则6-m=3+n解得m=n= 2, n3别 B(0,-3) b=-3 没直线p的解析式为v三+b则K+b3触得K= 3 2解得b=-3 .直线BP的解析式为y=3x-3 点P既在直线解析式y=3x-3上，也在y=-x+6上， 3x-3=-x+6. 9 .x= 4 y=-x+6= 4+6=15 9 44 别 ②当点P在点A下方时，如图所示，连接BP,过点A作AD⊥BP于点D,过点D作DE⊥BC于点E,过点D作 17 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 DF⊥OA 于点F， C $$l _ { 1 } ： y = \frac { 1 } { 2 } x - 3$$ A $$\overrightarrow { x }$$ B $$l _ { 2 }$$ E D P∵AO⊥OC $$\therefore \angle A D B = \angle D F A = \angle D E B = \angle D F O = \angle E O A = 9 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A D F + \angle B D F = 9 0 ^ { \circ } ，$$ 四边形 EDFO 为矩形， $$\therefore \angle E D F = 9 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle E D B + \angle B D F = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∴∠EDB=∠FDA. $$\because \angle A D B = 9 0 ^ { \circ } ， \angle A B P = 4 5 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A B P = \angle D A B = 4 5 ^ { \circ } ，$$ ∴△ADB 为等腰三角形， ∴AD=BD. ∠BED=∠AFD ∠EDB=∠FDA 在 和 中 ， Rt△DEB B Rt△DFA BD=AD $$\therefore R t _ { \triangle D E B } \cong R t _ { \triangle D F A } ，$$ ∴DE=DF，BE=AF. D(m，n)， 设D(m，n)，则 $$\left\{ \begin{array}{l} m = - n \\ 6 - m = - n - 3 \end{matrix} \right.$$ 解得 $$m = \frac { 9 } { 2 } ， n = - \frac { 9 } { 2 }$$ $$\therefore D \left( \frac { 9 } { 2 } ， - \frac { 9 } { 2 } \right) .$$ ∵B(0，-3)， 18 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 b=-3 1 k=- 2k+b= 9 3 设直线BP的解析式为y=:+b则 BP 2解得b=-3, 33 :直线BP的解析式为y= 小点p腰在直战斩式=方-3上，被在y-X+6上， 1 3-3=-x+6 27 ..x= 2 .y=-x+6= 6、15 27 2· 别 【点睛】本题考查了一次函数和几何综合，涉及到三角形全等、二元一次方程组、等腰直角三角形的性质与判定， 平行线的性质，解题的易错点在于看清题意是线段还是直线，从而确定是一种情况还是多种情况. 变式2.(25-26八年级下湖北襄阳期末)如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A, 8两点，直线BC与产轴交于点C(80) B B CT 0 图1 备用图 (I)直接写出A,B的坐标及直线BC的解析式： (2)点P在线段AB上，点在线段BC上，当四边形POC是平行四边形时，求点O的坐标； ⊙)点在直线4B上，者AC10C,求点的华标 【答案】A(-40),B0,4),直线BC的解析式为：y= 3+4 19 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 a o兰引 【分析】(1)分别令y=0,x=0,代入y=x+4求得A,B的坐标，进而待定系数法求得直线BC的解析式： 4 (2)根据平行四边形的性质可得P01CQ,PQ∥C0得出直线PO的解析式为V=一无，联立y=x+4求得p的纵 坐标，进而代入BC的解析式求得Q的坐标，即可求解： (3)先构造半角，进而构造全等三角形，求得直线CH的解析式，联立直线AB的解析式进而求得点H的坐标， 即可求解。 【详解】(1)解：：直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A,B两点， 当y=0时，x=-4；当x=0时，y=4 :4(-4,0).B(0,4) 设直线BC的解析式为 =+bk≠0)代入B0,4),C(3,0) 3k+b=0 k=4 3 b=4，解得： b=4 直线C的解新式为：=学+4， (2)解：如图， A C 图1 ,四边形POCQ是平行四边形 20 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 .POlICO,Pg∥Co 直线P0的解析式为y= 4 3+ y=x+4 4 联立y=3 解得：1 16 =7 将♪16 代入y=-4 164 x+4,即= 3+4 9 解得：= e9 (3)解：.B(0,4C6,0) OB=4,OC=3 .BC=5, 如图，在'轴上截取BD=BC=5,则D(0,)】 .OD=9 ..BC=BD .∠D=∠BCD 又，∠OBC=∠D+∠BCD=2∠D D号0ac 在轴的负半轴取60)，在茶=案限原点(-63.连接QEF,C华交B于么以. CF=9=OD EF=OC=3,CF=OD=9,∠COD=∠EFC=90° 21 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 OCDE≌aFEC(ASA) A∠ECF=∠ACH=∠D=∠OBC 2 D B E(-6,3) 以 F(6.0 A C 图1 设直线CH的解折式为'=r+6(≠0)代入C(3,0),E(-6,3) 3k+b=0 3 6k+b=3,解得：b=1 直线CH的解析式为y=3x+1 二x+1 联立y=x+4 9 x=- 4 解得： 7 y=4 叫 当H在x轴下方时，同理可得直线CH的解析式为y=3x-1 「1 y=3- 联立y=x+4 22 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 15 x=- 2 解得： 2 y= 引 综上所述， 变式3. (2526八年级下安徽阜阳期末)如图，两条直线，交于点C,分别与轴交于点4，B,直线的 函数表达式为y= 2x+2,直线，与y轴交于点D(0,-4),且0A=20B· (1)求出直线的函数表达式： 2若点E在轴上，且 c=25.a,求点E的坠标： )若点F在'轴上，且在直线上方， ∠ACF=2∠CAO △BCF 求证： 是等腰直角三角形， 【答案】(1)y=2x-4 (2点E的坐标为1,0)或5,0) 3)证明：如图，设直线与'轴相交于点V,过点C作CM∥ 轴交'轴于点M 23 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 VA M 轴， .∠MCA=∠CAO CM⊥y N(0,2) 又：∠ACF=2∠CAO ∴.∠MCA=∠MCF=∠CAO ∴.MF=MN A(-4,0)C(4,4) ∴.OA=MC=4 又：∠CMF=∠AON=90°， '.△CMF≌△AON(ASA) ∴.MF=ON=2, ..MN=MF=2,OF=ON+MN+MF=6 .F(0,6) .CF2=42+(6-4)2=20 CB2=42+(4-2)}=20, FB2=22+62=40, .CF2+CB2=FB2,CF=CB, ∴△BCF是等腰直角三角形. 【分析】(1)令y=0,可求出A点的坐标，根据OA=2OB可得点B的坐标，利用待定系数法即可得直线的函数 表达式： (2)联立直线和直线？求出点C的坐标，设 点E(m,0）,根据三角形的面积公式即可得出答案： (3)设直线与'轴相交于点N,过点C作CM/x轴交'轴于点M,可证 CMF≌AAON(ASA) 求出点F的坐 234 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 标，然后利用勾股定理的逆定理求解即可. 【详解】(1)解：y=2+2,令y=0,则0=+2，解得=4 .A(-4,0)）.0A=4 又0A=20B,0B=2, ∴.B(2,0) 设直线的函数表达式为：)=c+b, B(2,0),D0-4)分别代入y=+b, [2k+b=0 得b=-4 [k=2 解得b=-4 直线的函数表达式为： y=2x-4 (2):点C是直线和的交点， 1 y=5x+2 21 x=4 y=2x-4解得y=4 .C(4,4) :A(-4,0)B(2,0) AB=6, 1 △ABC的面积为：2 AByc=2 ×6×4=12 :S△HBc=2 SABCE .SABCE =6 25 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 设Em0.则Sas-8E%m-244=6, 1 解得m=-1或5， ·点E的坐标为L0)或(5,0) 或 (3)略 26 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 考点二 一次函数中的特殊四边形存在性问题 4:y=kx+1 2:y=-x+b 例1.(25-26八年级下吉林四平期末)如图，直线 与x轴交于点D,直线 经过定点 B15且与错交于点4，自线、交于点C2m 备用图 (1)求直线的解析式： (2)在x轴上是否存在一点E,使△BDE与△ACD的面积相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由： (3)平面内是否存在点Q,使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由。 【答案】（①=2x+1 (2)存在， 创存在，Q点坐标为台-5)或5,5)或-7,5) 【分析】(1)将点 (-1司代入在我5小.求b的独，再路点C2入立载中可求解的位.用将点心代 入直线中即可求解： (2)根据题意可得△ACD的面积，再由△BDE与△ACD的面积相等，求出DE的长，再求E点坐标即可； (③)设(：)，分三种情况讨论即可：当AD为平行四边形的对角线时，当4B为平行四边形的对角线时，当 AQ为平行四边形的对角线时，结合点的平移求解即可 27 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 【详解】(1)解：：直线：y=-x+ 经过定点 B(-1,5) 5=-(-1)+b 解得b=4 2:y=-x+4 直线 :直线、5交于点 C(2,m) m=-2+4=2, (2,2) 点 六2=2+1，解得=) 2 1 ∴直线的解析式为y= *1 E （_20 (2)解：存在， 5或5 1 直线：y=2x+1与x轴交于点D, 1 令y=0,则2x+1=0,解得x=-2 点D-20) 3y=-x+4 直线 与x轴交于点A. 令y=0,则-x+4=0,解得x=4, (4,0) 点 :D=4-(-2)=6 点C2,2) ÷m0x6x2=6, 28 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 ,点E在x轴上，设点 E(x,0) DEDE5-DE 1 S.BDE 若△BDE与△ACD的面积相等， 则有3DE=6,可得DE=2 5 5 D(-2,0) :点 :k-(2到-号回*42=号 解得= 或s、 2 22 5 (3)解：存在点Q,以A、B、D、为顶点的四边形为平行四边形， 点440，点B(1.5),点D(-2,0), 点 设() 当AD为平行四边形的对角线时，如图， ,点B向右平移5个单位，向下平移5个单位得到点A, .点D向右平移5个单位，向下平移5个单位得到点Q, .x=-2+5=3,y=0-5=-5, 点35) 29 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 当AB为平行四边形的对角线时，如图， 点D向右平移1个单位，向上平移5个单位得到点B, ∴.点A向右平移1个单位，向上平移5个单位得到点Q, x=4+1=5,y=0+5=5 Q(5,5) 点 当AQ为平行四边形的对角线时，如图， :点A向左平移5个单位，向上平移5个单位得到点B, .点D向左平移5个单位，向上平移5个单位得到点Q, x=-2-5=-7,y=0+5=5, 点-7,5) 综上，Q点坐标为3-5)或6,5)或-7,5) 例2.(2526八年级下·湖南长沙阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2交x轴于A,交y轴于 D,以AD为边作正方形ABCD,连接BD,P是线段BD上（不与B,D重合）的一点，在线段BD上截取 PG=V10 2,点G在点P的下方，过G作GF⊥BD交BC于F,连接AP,PF. 30 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 (1)记∠AD0=a,则∠DAO= ∠BAO= 一；点B的坐标为 (2)AP与PF有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由； (3少轴上是否存在一点Q,使得四边形APF0是正方形？若存在，请求出P、Q两点的坐标；若不存在请说明理由. 【答案】(I)∠DA0=90°-a,∠BA0=aB(1,-） (2)解：AP=PF,AP⊥PF,理由如下： 如图，作AK⊥BD于点K :正方形ABCD, .AB=AD,∠DAB=90°， .∠ABK=45°， AK⊥BD, BK-k= AB :直线y=2x+2交x轴于A,交y轴于D, :1-10),D0,2) .A0=1,D0=2, 31 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 ∠AOD=90° :D=VA0+0D2=VP+22=5 ∴B=D=5k=张=24B=0 2 2. PG=BK =10 , .PK =BG ,正方形ABCD, ∴∠DBC=∠ABD=)∠ABC=45 .GF⊥BD, .∠FGB=90°， .△FGB是等腰直角三角形. 又，在等腰Rt△FGB中，BG=FG, .PK=FG. 在△APK和△PFG中， AK=PG ∠AKP=∠PGF PK=BG △APK≌△PFG(SAS) AP=PF,∠PAK=∠FPG, 又：∠PAK+∠APK=90°， .∠FPG=∠APK=90°， 即∠APF=90°， ∴.AP⊥PF (3)存在， o- 【分析】(1)先运用∠D0A=90°以及正方形的性质，推导出∠DA0=90°-a, ∠BAO=Q,再过点B作BN L AO:于点N,证△ADO≌aBAN,得出AO=BN,DO=AN，,根据己知条件求出AO 32 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 DO的长度，从而求得点B坐标，注意B点在第四象限： (2)作4K1BD于点K.先运用己知条件计算得到B=D=5 从而证得 BK-4K=2 Bs 2 2,再证明△MPK≌△PFG(SMS),最后运用全等三角形的性质证得AP=PF,AP⊥PF: (3)过点P,O分别作x轴的平行线，过点A,F分别作y轴的平行线，分别交于点N,E,M,H,连接AQ, OF t△PNA≌Rt△AEQ≌Rt△QHF≌Rt△FMP 易证 设PN=AE=QH=FM=m,点P(m-L,I),点O,-m).求出直线BD的解析式，由点P在直线BD上，可将点P 代入直线BD中，求得m的值，从而求出P、Q两点的坐标. 【详解】(1)解：.∠AD0=a,∠DOA=90°」 ∴.∠DA0=180°-∠D0A-∠AD0=180°-90°-a=90°-a, 即∠DA0=90°-a; ,正方形ABCD, ∠DAB=90°， ∴.∠DAO+∠BAF=90°， ∠BA0=90°-∠DA0=90°-(90°-a)=a& 即∠BAO=a: 过点B作BN⊥AO于点N. :BN⊥AO ∴.∠ANB=90°=∠DOA, ,正方形ABCD, .AD=AB 3 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 在△ADO和△BAN中， ∠ADO=∠BAF ∠AOD=∠BNA AD=AB △ADO≌△BAN(AAS) .AO=BN,DO=AN :直线y=2x+2交x轴于A,交y轴于D, 4-1.0)）D0,2) ∴AO=BN=1,DO=AW=2. 0N=AW-A0=2-1=1, ,点B在第四象限， B(1,-1) (2)略 (3)解：过点P,分别作x轴的平行线，过点A,F分别作y轴的平行线，分别交于点N,E,M,H,连接A0 OF D BH :NA∥DO,∠NAO+∠DOA=180°， .∠N=180°-∠NA0=90°， 同理可证，∠E=90°， :四边形APFO是正方形， 34 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 ∠PA0=90°，PA=A0, .∠NAP+∠EAQ=90° 又：∠NAP+∠NPA=180°-∠N=90°， ∠EA0=∠NPA, 在△PNA和△AEQ中， [∠NPA=∠EAQ ∠N=∠E AP=A0 △PNA≌△AEQ(AAS) Rt△PNA≌Rt△AEQ≌Rt△QHF≌Rt△FMP 同理可证 设PN=AE=QH=FM=m, :∠E=∠EA0=∠A0Q=90°， .四边形AEQ0为矩形， E0=A0. :直线y=2x+2交x轴于A,交y轴于D, :-10)D0,2) ∴.A0=1,D0=2, .EO=A0=1. .NA=EO=HF=MP=1, 点P(m-l,),点0，-m). ·由(1)可知B1,-1), 35 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 又 D(0,2) ∴设直线BD的解析式为：y=a+b, 「k+b=-1 则有：b=2 「k=-3 解得：b=2, .直线BD的解析式为：y=-3x+2, ,点P在线段BD上， ∴将点Pm-,)代入直线BD的解析式中，得：-3(m-)+2=1, m=3, 6.0) 例3.(2526八年级下四川广安期末)如图，已知直线：y=-1与直线：4=+相交于点 P(2,1) 直线 4与轴交于点 (3,0) (1)求出直线的解析式. 回“是直线上一动点，当 S.BPM =1 时， ①求出点M的坐标： ②平面内是否存在点N,使四边形BPMN为正方形，若存在，直接写出N点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】()卢=-x+3 36 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 20M.0)或M(B,2）,②X(2,-1或(4 【分析】(1)直接将 P2,,B(3,0代入直线？的解析式得出方程组，求出方程组的解即可： (2)①设 Mm,m-D,过点M作MH∥y轴，交于点H,连接BM,再表示出M,然后根据S-1 得出 方程，求出解即可得出答案： ②当点M(L,O),此时点M与点A重合，再根据勾股定理求出PM=PB,∠BPM=90°，过点M作 MN∥PB,MN,=PB BPMN 此时四边形 M(3,2 是正方形，然后根据中点坐标得出答案；当点 时，可得PM=PB 且∠BPM=90°，过点M作 MN2∥PB,MN2=PB BPMN, ，此时四边形是正方形，仿照上述过程解答. P(2,1),B(3,0) 【详解】(1)解：直线经过点 2k+b2=1 代入2=+b,得3k+b=0, [k=-1 解得b,=3, ·直线的解析式为为=-x+3, (2)解：①设 Mm,m-D,过点M作 H∥y轴，交于点H,连接BM, O M B .点H(m,-m+3), ,MH=-m+3-(m-1)=-2m+4 aw2m+4G)1, 37 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 -2m+4=2 即 解得m=1或m=3, 点M,0)或3,2)： ②今为=-1=0，则x=1,故40)， 如图所示，当点M,0),此时点M与点A重合， P OA(M B D N 点P(2,1),B(3,0) PM2=(2-1)2+(1-0)2=2,PB2=(2-3)2+1-0)2=2,AB2=(3-1)2=4 即PM2+PB2=AB2,且PM=PB, .∠BPM=90°， MN∥PB,MN=PB BPMN 过点M作 ,此时四边形是正方形， :点P2,1),B(3,0),M(1,0). X(4-2,0-0,即点X2-, 点 当点M(3,2)时， y 12 N D A B 点P(2,1),B(3,0)」 38 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 PM2=(2-3)2+(1-2)2=2,PB2=(2-3)2+(1-0)2=2 .PM=PB,且∠BPM=90 MN2∥PB,MN2=PB 过点M作 此时四边形 BPMN, 是正方形， 点P2,1),B(3,0),M3,2). 点 N2(6-2,2-1) N2(4,1) ,即点 N(2,-I)N2(4,1) 综上所述，点 ”或 变式1，(25-26八年级下重庆江津期末)已知，如图，直线与轴、y轴分别交于A、B两点，直线？的解析 式为=，与相交于点C,04=0,其中人、“满足依+2+a-2-=0. 3 图1 图2 (1)求点4的坐标与直线的解析式： (2)若 ∠CAO=∠COA 求直线的解析式： 6)在(2)的条件下，如图2，将直线向下平移2个单位得到直线，与直线交于点D,M是直线上一点， 在x轴上是否存在点N,使以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标： 若不存在，请说明理由 【答案】01(-2,0)，y=-2x (2)y=2x+4 39 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 3)存在， N(2,0)N(-4,0) 或 【分析】(4)由平方和二次根式的非负性即可求出人、“的值，即可求出点A的坐标与直线？的解析式： (2)由等角对等边得△ACO为等腰三角形，由等腰三角形的性质三线合一可求出C点的横坐标，进而求出点C的 坐标，即可求出直线的解析式： a+m b+n (3)若A(a,b),B(m,),则AB的中点为2,2， 由平行四边形的对角线互相平分分类讨论即可得. 【详解】(1)解：k+2y+Va2=0 ∴k=-2,a=2, 0A=2, 4-2,0 直线？的解析式为=-2x (2) B C 图1 过点C作CF⊥AO于点F, :∠CAO=∠COA, :.AC=OC, CF⊥A0,OA=2, 0F=201=1, 把x=-代入直线的解析式=-2x中，得’=2， 1 ∴C(-1,2) 40 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 y=mx+n 设直线的解析式为 (-1,2)A(-2,0), 把 代入得 -m+n=2 m=2 -2m+n=0,解得n=4, y=2x+4 直线的解析式为 当x=0时，y=4, ∴.B(0,4) (3)存在， 由题意可知：直线的解折式为=2x-2, 3 [y=2x+4 x=2 联立y=-2x-2,得y=1, 别 M(t,-2t-2）N(a,0) 设 平行四边形的对角线互相平分， (35 当BD、MN是对角线时，中点坐标为4'2) 5 -t-1= 2 4’ 2 7 ..t=- 2’a=2: ∴N(2,0) 41 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 3 当 BN DM 为对角线时，中点坐标的横坐标为？“ 22, 4+01-21-2 纵坐标为2 2 t=- 2’a=-4’ ∴.N(-4,0) 当BM、DN是对角线时， 3 中点横坐标 02a 2 2, 4-2t-21+0 纵坐标为2 2 1 .∴.t= 2’a=2: .N(2,0) 综上所述 (2,0)或N(-4,0) 变式2.(25-26八年级下山西长治期末)综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=+ 的图象经过点 (-2,6),且与轴相交于点B,与正比例函数 y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1. y=3x 6 B y=kx+b (1)求一次函数的解析式： 1 (2)若点D在x轴上，且满足Saco-Sac,求点D的坐标： (3)在坐标平面内，是否存在点P，使得以O、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P 42 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 的坐标，若不存在，说明理由， 【答案】(1)y=-x+4. 4。 (3)存在，P点坐标为(3，-3)或(-3,3)或(5,3). 【分析】(1)由待定系数法求直线解析式即可； (2)白题意可得2=×3×00.求0点坐标即可。 [4=1+x (3)设P(x,y),根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论：①当B0为平行四边形对角线时，0=3+y, [1=4+x 4+1=x P3,-3):②当BP为平行四边形对角线时，3=y，P(-3,3):③当BC为平行四边形对角线时，y=3, P(5,3) 【详解】(1)解：点C的横坐标为1，且点C在正比例函数y=3x图象上， .当x=1时，y=3x1=3, .C0,3)」 将点A(-2,6),C(L,3)代入y=a+b, 「k+b=3 -2k+b=6, [k=-1 解得b=4, y=-x+4, (2)解：y=-x+4, 当y=-x+4=0时，x=4, .B(4,0) 43 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 OB=4, .C1,3). 11 :2S0c=××4×3=2 32 -:S.GOD=5S。BO 3 1 ∴.Scop=2=5×3×OD :0D=4 3 (3)解：存在点P,使得以O、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形， 设P》,由)(2)可知： C(1,3)B(4,0) 0+4=1+x ①当BO为平行四边形对角线时， 0+0=3+y, [x=3 y=-3, P(3,-3) 0+1=4+x ②当BP为平行四边形对角线时，则0+3=y+0, x=-3 .y=3, .P(-3,3): 4+1=x+0 ③当BC为平行四边形对角线时，则y+0=3+0, 44 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 x=5 y=3, .P5,3): 综上所述：P点坐标为(3，-3)或(-3,3)或(5,3). 变式3.(25-26八年级下湖北黄石期末)如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上， B(16,8) B /D (I)求出AC所在直线的解析式. (2)把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D,F,E,求点D和 点E的坐标， (3)若点M在x轴上，则在平面直角坐标系中是否存在这样的点W,使得以CE、N、M为顶点的四边形是菱形？ 若存在.请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】①)y=- +8 2D(6,0）.E10,8) 反to-9(话s 【分析】（山）根据矩形的性质和点8的坐标可求出1(Q,8),C16,0,设4C所在直线的解折式为=众+8， 利用 待定系数法求解，即可解题； (2)连接AD,由折叠性质可知，AD=CD,设OD=m,则AD=CD=16-m,利用勾股定理建立等式求出m, 即可得到点D的坐标，同理求出BE,即可得到点E的坐标； (3)分三种情况：当CE,NE为菱形的边时，当CE,ME为菱形的边时，当CM,CN为菱形的边时，讨论求解即可. 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 【详解】(1)解：四边形OABC为矩形， ∴.OC⊥BC,OA=BC. B(16,8) .0C=16,OA=BC=8. ∴.A(0,8),C(16,0) 设AC所在直线的解析式为y=c+8, 16k+8=0 解得、1 2 1 “4C所在直线的解析式为y=2+8: (2)解：如图所示，连接AD, YA B δ 由折叠的性质可知AD=CD, 设OD=m,则AD=CD=16-m, ∠AOD=90°， 六由勾股定理得4D=04+0D,即16-m=8+m2 解得m=6, .D(6,0)AD=10 同理可得BE=6, 则AE=10, .E(10,8) (3)解：当CE,NE为菱形的边时，则NE IICM,由(2)可得CE=NE=10, 云 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 ,点M在x轴上， .NE‖x轴， ∴.点N的纵坐标为8，横坐标为10-10=0或10+10=20， 二点V的坐标为0,8)或(20,8) 或 当CE,ME为菱形的边时，则CM垂直平分EN, ∴，点E到CM的距离等于点N到CM的距离， ,点M在x轴上， 点E与点N关于x轴对称， 10,-8) ∴点N的坐标为 当CM,CW为菱形的边时，则EN=CN,EN CM, 4 B M 点M在x轴上， NE‖x轴， 设8) .EN2=CN2, .-10+(8-8=-16+(8-0 解得空。 :点N的坐标为8人 徐上途点的标为@m发09到R 47暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 暑假培优：一次函数中的角度存在性问题、一次函数中的特殊四边形存在性问题专项训练 考点目录 一次函数中的角度存在性问题 一次函数中的特殊四边形存在性问题 考点一 一次函数中的角度存在性问题 例1．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：经过点和点，且与相交于点，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当取何值时，？ (3)求的面积； (4)已知点为轴上一点，且在轴的左侧，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 例2．（25-26八年级下·重庆大渡口·期末）已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，函数的图象与轴、轴分别交于点、，且两个函数图象交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若点在射线上，使得的面积为，过线段中点，作直线轴，点为轴上一动点，作直线于点，连接、，求的最小值； (3)若为直线上的动点，，写出点的坐标并选择一种情况写出解答过程． 例3．（25-26八年级下·重庆合川·期末）如图，已知一次函数（）的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，，求直线的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 变式1．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点（点在轴的正半轴上），且． (1)求出，两点的坐标及直线的表达式； (2)若点是线段上的一点，过点作轴的平行线交直线于点，连接，若，求的面积； (3)已知是直线上一点，满足，请直接写出点的坐标． 变式2．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于，两点，直线与轴交于点． (1)直接写出，的坐标及直线的解析式； (2)点在线段上，点在线段上，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3)点在直线上，若，求点的坐标． 变式3．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，两条直线，交于点，分别与轴交于点，，直线的函数表达式为，直线与轴交于点，且． (1)求出直线的函数表达式； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在轴上，且在直线上方，．求证：是等腰直角三角形． 考点二 一次函数中的特殊四边形存在性问题 例1．（25-26八年级下·吉林四平·期末）如图，直线与x轴交于点D，直线经过定点且与x轴交于点A．直线、交于点． (1)求直线的解析式； (2)在x轴上是否存在一点E，使与的面积相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A，交y轴于D，以为边作正方形，连接，P是线段上（不与B，D重合）的一点，在线段上截取，点G在点P的下方，过G作交于F，连接，． (1)记，则________；________；点B的坐标为________； (2)与有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由； (3)y轴上是否存在一点Q，使得四边形是正方形？若存在，请求出P、Q两点的坐标；若不存在请说明理由． 例3．（25-26八年级下·四川广安·期末）如图，已知直线 与直线相交于点，直线与轴交于点． (1)求出直线的解析式． (2)是直线上一动点，当 时， ①求出点的坐标； ②平面内是否存在点N，使四边形为正方形，若存在，直接写出N点的坐标，若不存在，说明理由． 变式1．（25-26八年级下·重庆江津·期末）已知，如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线的解析式为，与相交于点，，其中、满足． (1)求点的坐标与直线的解析式； (2)若，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，如图，将直线向下平移个单位得到直线，与直线交于点，是直线上一点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26八年级下·山西长治·期末）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，且满足，求点的坐标； (3)在坐标平面内，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 变式3．（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在轴、轴上，． (1)求出所在直线的解析式． (2)把矩形沿直线对折使点落在点处，直线与、、的交点分别为，求点和点的坐标． (3)若点在轴上，则在平面直角坐标系中是否存在这样的点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在．请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $