一次函数与全等三角形综合问题、一次函数新定义问题专项训练-2026年人教版数学八升九暑假培优

**基本信息** 聚焦一次函数与全等三角形综合及新定义问题，以模型（如K型图）和定义转化为核心方法，构建代数几何融合的知识逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与全等三角形综合|3例+3变式|模型识别（K型图）、坐标计算与几何构造|一次函数解析式与全等三角形判定的数形结合，动态点与存在性问题的推理应用| |一次函数新定义问题|3例+3变式|定义转化、分类讨论与性质迁移|新定义（如限变点、7字形距离）与一次函数图像性质的关联，培养模型观念与创新意识|

暑假培优：一次函数与全等三角形综合问题、一次函数新定义问题专项训练 暑假培优：一次函数与全等三角形综合问题、一次函数新定义问题专项训练 考点目录 一次函数与全等三角形综合问题 一次函数新定义问题 考点一 一次函数与全等三角形综合问题 例1．（25-26八年级下·天津河东·期末）如图直线：经过点，点的纵坐标为，点在轴正半轴上，且，直线交轴于点． (1)求点的坐标和直线解析式． (2)如图，在（1）的条件下，点是直线上的动点，设点横坐标为 ①若点在第一象限，且，求此时的值； ②当在直线上运动时，求的最小值为________； (3)如图，在（1）的条件下，连结，点是线段上一点，且满足，求点的坐标________． 例2．（25-26八年级下·四川眉山·期末）【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 例3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图1，在中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，易证明，我们称这个模型为“K型图”．请结合“K型图”解决以下问题． (1)如图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点A的坐标为，且，，求直线的解析式； (2)在（1）的条件下，直线交y轴于点D，过点D作直线，点P为直线m上一点，若，求此时点P的坐标； (3)如图3，直线n的表达式为：，点G的坐标为，在直线n上是否存在点T，使得直线与直线n的夹角为？若存在，请直接写出点T的坐标，若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，已知点的横坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接，过点作轴的垂线，若点为垂线上的一个动点，点为轴上的一个动点，点为射线上一点，连接，，，．当时，求此时点的坐标及的最小值； (3)如图3，连接，点为上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 变式2．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A，交y轴于D，以为边作正方形，连接，P是线段上（不与B，D重合）的一点，在线段上截取，点G在点P的下方，过G作交于F，连接，． (1)记，则________；________；点B的坐标为________； (2)与有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由； (3)y轴上是否存在一点Q，使得四边形是正方形？若存在，请求出P、Q两点的坐标；若不存在请说明理由． 变式3．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于D点，，． (1)求直线的解析式； (2)连接，点Q为直线上一动点，若有，求点Q的坐标； (3)点M为直线上一点，点N为y轴上一点，若M，N，C三点构成以为直角边的等腰直角三角形，求点M的坐标． 考点二 一次函数新定义问题 例1．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即， 定义理解： （1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点） 定义运用： （2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值； 定义拓展： （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）【概念引入】新定义：平面直角坐标系中，对于点和若满足时，时；则称是限变点．例如：的限变点是的限变点是． 【理解运用】 （1）点的限变点的坐标为__________；点的限变点的坐标为__________； （2）点中有一个点的可变点在函数图象上，这个点是__________；（填“”或“”） 【拓展延伸】 （3）若的限变点在函数的图象直线上，直线交轴于点，交轴于点． ①求直线的函数表达式； ②在x轴上是否存在一点，使是以为底的等腰三角形，若存在，求出点的限变点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）已知关于的一次函数，当时，我们称一次函数为“新函数”，一次函数为“新函数”的“关联函数”．“新函数”的图象记为直线，它的“关联函数”的图象记为直线． 例如：“新函数”的“关联函数”为． (1)直接写出“新函数”的“关联函数”表达式； (2)请说明：直线，直线与y轴的交点是同一个点； (3)如图，若“新函数”的表达式为，点在直线上，点在直线上，轴，，求点的坐标； (4)“新函数”的表达式为．若直线，直线与轴围成的图形面积为9，点在直线上，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，连接．设点的横坐标为，四边形的周长为，直接写出关于的函数表达式． 变式1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【定义1】如图1，在平面内，直线，点A、B分别为直线、上的点，当时，线段的长称为平行线、之间的距离，记为． 【定义2】如图2，在平面内，点P为直线l外一点（l既不是水平方向也不是竖直方向的直线），过点P分别作竖直方向和水平方向的直线，分别交直线l于点E、F，我们称折线为点P关于直线l的“7字形路径”，“7字形路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“7字形距离”． 【定义理解】（1）如图3，与是等腰直角三角形，，．① ，②点E关于直线的“7字形距离”为 ． 【定义应用】（2）如图4，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线向上平移5个单位得到直线，直线分别与x、y轴交于点A、B，直线分别与x、y轴交于点C、D． ①求； ②求点B关于直线的“7字形距离”． 【拓展应用】（3）如图5，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线沿y轴平移m个单位得直线，点P为直线上的动点．若点P关于直线的“7字形距离”为，求直线的表达式，并直接写出． 变式2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 变式3．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）定义：在平面直角坐标系中，将直线的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点①、②、③、 ④，在的 “k 倍伴随线”上的点有______（填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（    ）； A． B． C． D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确是是______（填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使为等腰直角三角形，求k的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：一次函数与全等三角形综合问题、一次函数新定义问题专项训练 暑假培优：一次函数与全等三角形综合问题、一次函数新定义问题专项训练 考点目录 一次函数与全等三角形综合问题 一次函数新定义问题 考点一 一次函数与全等三角形综合问题 例1．（25-26八年级下·天津河东·期末）如图直线：经过点，点的纵坐标为，点在轴正半轴上，且，直线交轴于点． (1)求点的坐标和直线解析式． (2)如图，在（1）的条件下，点是直线上的动点，设点横坐标为 ①若点在第一象限，且，求此时的值； ②当在直线上运动时，求的最小值为________； (3)如图，在（1）的条件下，连结，点是线段上一点，且满足，求点的坐标________． 【答案】(1)； (2)①② (3) 【分析】（1）将代入解得即可得，利用待定系数法求直线解析式即可； （2）①过点作轴，交于点，则和点，进一步得，那么即可解得； ②作点关于直线的对称点，连接、，则，当、、共线时取得最小值， ，根据直线的解析式求得，则，根据对称性得和，则是等腰直角三角形，进一步求得点和，利用两点之间距离求得即可； （3）结合已知条件和，得，过点作交延长线于点，则为等腰直角三角形，过点作轴于点，则，进一步利用证明，得和，求得点，利用待定系数法求得直线的解析式，联立直线解析式即可求得点． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， ， ， ， 设直线解析式为（）， 代入点、得， 解得，， ∴直线解析式为； （2）解：①过点作轴，交于点，如图， ∵点在直线上， ， ∵点在直线上， ， ∴， ， 解得； ②作点关于直线的对称点，连接、，如图， 则， 当、、共线时取得最小值， ， ∵直线：， ∴，， ∴， 则， 又，， ， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ， ，， 则， 那么，的最小值为； （3）解：设点G位于下图中， ，且， ， 过点作交延长线于点， 则为等腰直角三角形， ， 过点作轴于点， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 解得 ． 例2．（25-26八年级下·四川眉山·期末）【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为； (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据证明，结合全等三角形性质推出点坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，结合一次函数图象与性质，以及全等三角形性质推出点的坐标，再设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）设点的坐标为，过点作于点，过点作于点，根据点是直线上的一点，分两种情况①当点在轴上方时，②当点在轴下方时，结合全等三角形性质与判定，以及勾股定理分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 点， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：过点作轴于点， 由题知， 由（1）同理可证，， 一次函数的图象交轴于点，交轴于点， 且当时，，当时，， ，即， ， ， ， 设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为， 则， 反比例函数的表达式为， 又有， 解得， 直线的函数表达式为； （3）解：设点的坐标为， 过点作于点，过点作于点， ①当点在轴上方时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为； ②当点在轴下方时， 同理可求得， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 例3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图1，在中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，易证明，我们称这个模型为“K型图”．请结合“K型图”解决以下问题． (1)如图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点A的坐标为，且，，求直线的解析式； (2)在（1）的条件下，直线交y轴于点D，过点D作直线，点P为直线m上一点，若，求此时点P的坐标； (3)如图3，直线n的表达式为：，点G的坐标为，在直线n上是否存在点T，使得直线与直线n的夹角为？若存在，请直接写出点T的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点B作轴于点，证明，进一步求出．待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，设，作轴交分别于点，则，得到，，根据列方程求出，即可得到答案； （3）设点T，点是符合要求的两个点，即，设，过点T作直线平行轴，点作直线平行轴，过点作直线平行轴，与两条直线分别相交于点，证明，求出，由点在直线上，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：过点B作轴于点， 则， ∴，， ，， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：关于，令得，， ； 设直线的解析式为， 则 解得 ∴直线的解析式为， ∵直线， 设直线的解析式为，把代入得到， ∴直线的解析式为， 设，作轴交分别于点， 则， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得 ∴此时点P的坐标为； （3）解：存在，有两个点符合题意，点T的坐标为或，理由如下： 如图，设点T，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点T作直线平行轴，点作直线平行轴，过点作直线平行轴，与两条直线分别相交于点， 则， ， ，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，即， ∵点在直线上， ∴， ， ∴点T的坐标为或． 变式1．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，已知点的横坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接，过点作轴的垂线，若点为垂线上的一个动点，点为轴上的一个动点，点为射线上一点，连接，，，．当时，求此时点的坐标及的最小值； (3)如图3，连接，点为上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)或 【分析】（1）把代入函数，求出点E的坐标，再将点E的坐标代入直线，求解即可； （2）先求出点A，B，C，D的坐标，得到的长，根据求出的面积，设，其中，根据表示出的面积，根据列出方程，求出点P的坐标．作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称的性质得到，，因此，根据两点间距离公式求出，即可解答； （3）由点A，C，D的坐标可得出，都是等腰直角三角形，因此．过点D作x轴的垂线，且在垂线上取点F，使得，点F在x轴上方，连接，证明，得到，因此点Q是直线与直线的交点，待定系数法求出直线的解析式，联立直线与直线解析式，求出点Q的坐标．另外当点Q与点E重合时，也满足条件，即可解答． 【详解】（1）解：∵直线过点E，点E的横坐标为， 把代入函数，得， ． ∵直线过点， ， ， 直线的解析式为． （2）解：对于直线， 令，则； 令，则，解得， ∴，． 对于直线， 令，则； 令，则，解得， ∴，． ∵，， ． ∴． 点在射线上， 设，其中， ∴． ， ，解得 ∴． ∵，， ∴点、点关于轴对称． ∵直线过点且垂直于轴， 直线． 作点关于直线的对称点， 连接， ∵点A与点C关于x轴对称，点P与点关于直线对称， ∴，， ∴， 即的最小值为的长． 的最小值为． （3）解：∵，，， ∴， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∴． 过点D作x轴的垂线，且在垂线上取点F，使得，点F在x轴上方，连接． ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点Q是直线与直线的交点． ∵，轴，， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 解方程组，得， ∴． 当点Q与点E重合时，即，满足． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 变式2．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A，交y轴于D，以为边作正方形，连接，P是线段上（不与B，D重合）的一点，在线段上截取，点G在点P的下方，过G作交于F，连接，． (1)记，则________；________；点B的坐标为________； (2)与有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由； (3)y轴上是否存在一点Q，使得四边形是正方形？若存在，请求出P、Q两点的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)解：，，理由如下： 如图，作于点K． ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∵直线交x轴于A，交y轴于D， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 又∵在等腰中，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∴． (3)存在， ， 【分析】（1）先运用以及正方形的性质，推导出， ，再过点B作于点N，证，得出，，根据已知条件求出，的长度，从而求得点B坐标，注意B点在第四象限； （2）作于点K．先运用已知条件计算得到，从而证得 ，再证明，最后运用全等三角形的性质证得，； （3）过点P，Q分别作x轴的平行线，过点A，F分别作y轴的平行线，分别交于点N，E，M，H，连接，．易证， 设，点，点．求出直线的解析式，由点P在直线上，可将点P代入直线中，求得m的值，从而求出P、Q两点的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即； ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 即； 过点B作于点N． ∵， ∴， ∵正方形， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，． ∵直线交x轴于A，交y轴于D， ∴，， ∴，， ∴， ∵点B在第四象限， ∴． （2）略 （3）解：过点P，Q分别作x轴的平行线，过点A，F分别作y轴的平行线，分别交于点N，E，M，H，连接，． ∵，， ∴， 同理可证，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， 同理可证． 设， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵直线交x轴于A，交y轴于D， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点，点． ∵由（1）可知， 又∵， ∴设直线的解析式为：， 则有：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点P在线段上， ∴将点代入直线的解析式中，得：， ∴， ∴，． 变式3．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于D点，，． (1)求直线的解析式； (2)连接，点Q为直线上一动点，若有，求点Q的坐标； (3)点M为直线上一点，点N为y轴上一点，若M，N，C三点构成以为直角边的等腰直角三角形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)的所有坐标为 、、、 【分析】（1）先求直线与x轴交点A的坐标，因为已知且C在x轴负半轴，所以可得到C点坐标，再由得到D点坐标，最后用待定系数法代入C、D坐标求解的解析式． （2）先计算的值，从而得到的大小，通过割补法表示的面积列方程，再结合Q在上的条件求解． （3）设M点坐标（满足解析式）、N点坐标（在y轴上，横坐标为0），因为是以为直角边的等腰直角三角形，所以分两种情况：第一种直角顶点为N，此时且；第二种直角顶点为M，此时且，构造全等，根据线段长度相等列方程求解． 【详解】（1）解：对， 令，得， ； 令，得， ． ，在轴负半轴， 的横坐标为，即，． ，在轴正半轴， ． 设， 代入、： ， 解得． 的解析式为． （2）解：， ． ， 所以点D不可能在线段上， 设， 如图，当点Q在x轴下方， ， 解得， ， ． 如图，当点Q在x轴上方， ， 解得， ， ； 故点的坐标为或． （3）解：设，，；且以为直角边， 因此直角顶点要么为，要么为，分两类讨论： 情况1：直角顶点为，即且， 如图，过作轴于， ， ， ， 又， ， ，． ①在轴右侧（） ，， 代入得： ， 解得， ， ，符合条件． ②在轴左侧（）， ， ，，代入得： ， 解得， ， ， 此时，验证得是直角在的等腰直角三角形，符合条件． 情况2：直角顶点为，即且， 过作轴于，过作于， 同理可得， ，，， ， ①，，解得， ， ，验证符合条件． ②，，解得， ， ，验证符合条件． 综上，的所有坐标为 、、、． 考点二 一次函数新定义问题 例1．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即， 定义理解： （1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点） 定义运用： （2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值； 定义拓展： （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】解：（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）∵将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m， ∴直线m： ， 把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 例2．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）【概念引入】新定义：平面直角坐标系中，对于点和若满足时，时；则称是限变点．例如：的限变点是的限变点是． 【理解运用】 （1）点的限变点的坐标为__________；点的限变点的坐标为__________； （2）点中有一个点的可变点在函数图象上，这个点是__________；（填“”或“”） 【拓展延伸】 （3）若的限变点在函数的图象直线上，直线交轴于点，交轴于点． ①求直线的函数表达式； ②在x轴上是否存在一点，使是以为底的等腰三角形，若存在，求出点的限变点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）①②存在， 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，新定义，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，求出，的可变点，代入函数解析式，进行判断即可； （3）①根据新定义，求出，代入解析式进行求解即可；②求出点的坐标，作的中垂线，交轴于点，连接，设，利用勾股定理求出的值，得到点的坐标，根据新定义，求出点的坐标即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴点在直线上， 故这个点是； （3）①∵，， ∴，即， 把代入，得，解得， ∴； ②∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 作的中垂线，交轴于点，连接，则， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 例3．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）已知关于的一次函数，当时，我们称一次函数为“新函数”，一次函数为“新函数”的“关联函数”．“新函数”的图象记为直线，它的“关联函数”的图象记为直线． 例如：“新函数”的“关联函数”为． (1)直接写出“新函数”的“关联函数”表达式； (2)请说明：直线，直线与y轴的交点是同一个点； (3)如图，若“新函数”的表达式为，点在直线上，点在直线上，轴，，求点的坐标； (4)“新函数”的表达式为．若直线，直线与轴围成的图形面积为9，点在直线上，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，连接．设点的横坐标为，四边形的周长为，直接写出关于的函数表达式． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点A的坐标为或 (4) 【分析】本题属于一次函数的综合题，平行四边形的判定与性质，涉及一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． （1）直接根据“新函数”写出表达式即可； （2）求出“新函数”与它的“新函数”与y轴的交点即可； （3）先求出直线，直线的交点为，当点A在点B上面时，当点A在点B的下面时，分别求解即可； （4）先求出“新函数”表达式为，它的“关联函数”表达式为，再证明四边形为平行四边形即可． 【详解】（1）解：根据“新函数”的“关联函数”的定义可知： “新函数”的“关联函数”为； （2）在“新函数” 中，令，则， ∴直线与y轴交点为， 在它的“关联函数”中，令x=0，则， ∴直线与y轴交点为， ∴直线，直线与y轴的交点为同一个点； （3）“新函数”的表达式为， “关联函数”的表达式为， 令，则， ∴直线，直线的交点为， ∵点在直线上， ∴设 ∵点B在直线上， 当点A在点B上面时， 轴， ， ， ， 当点A在点B的下面时， ， 综上所述，点A的坐标为或； （4）①∵“新函数”的表达式为 ∴它的“关联函数”为， 令， ， ∴直线，直线交点为， 如图，则 ，，， ，即， ， ∴“新函数”的表达式为，它的“关联函数”表达式为， ，轴交于点F， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 轴， ， ， 又，轴， ， ∴四边形为平行四边形， ． 变式1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【定义1】如图1，在平面内，直线，点A、B分别为直线、上的点，当时，线段的长称为平行线、之间的距离，记为． 【定义2】如图2，在平面内，点P为直线l外一点（l既不是水平方向也不是竖直方向的直线），过点P分别作竖直方向和水平方向的直线，分别交直线l于点E、F，我们称折线为点P关于直线l的“7字形路径”，“7字形路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“7字形距离”． 【定义理解】（1）如图3，与是等腰直角三角形，，．① ，②点E关于直线的“7字形距离”为 ． 【定义应用】（2）如图4，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线向上平移5个单位得到直线，直线分别与x、y轴交于点A、B，直线分别与x、y轴交于点C、D． ①求； ②求点B关于直线的“7字形距离”． 【拓展应用】（3）如图5，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线沿y轴平移m个单位得直线，点P为直线上的动点．若点P关于直线的“7字形距离”为，求直线的表达式，并直接写出． 【答案】（1）①，②4；（2）①；②；（3）或； 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、一次函数的平移、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）①由题意可得，再说明；如图：过点D作，即是等腰直角三角形，再用等腰三角形的性质以及勾股定理可得即可解答；②由等腰三角形的性质可得竖直方向的长度；如图过点E作交于H，即是等腰直角三角形，再求得水平方向的长度为，进而完成解答； （2）①由一次函数的平移可得；如图，过点O作交于点F，交于点E，由可知，容易得到，均为直角三角形，进而求得、、、，再运用等面积法求得、，最后根据平行线、之间的距离求解即可；②如图，过点B作x轴的平行线交于点G，然后求得、，再根据“7字形距离”的定义求解即可； （3）由题意可得，设，过点P作轴交于点M，过点P作轴交于点N，进而可得，再根据点P关于直线的“7字形距离”为，可得，解得：，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵与是等腰直角三角形， ∴， ∴， 如图：过点D作，即是等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：（已舍去负值）； ∴． 故答案为：． ②∵与是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴竖直方向的长度， 如图：过点E作交于H，即是等腰直角三角形， ， ∴水平方向的长度为， ∴点E关于直线的“7字形距离”为． 故答案为4． （2）①由题意可知是由向上平移5个单位长度得到的，即 ； 如图，过点O作交于点F，交于点E，由可知，容易得到，均为直角三角形， 由， 令，得，则，； 令，得，则，； 由， 令，得，则，即； 令，得，则，即； 由等面积法可知， 则，， 所以； ②如图，过点B作x轴的平行线交于点G，则点B关于直线的“7字形距离”为， ， ∵，， ∴， 对于，令，得，则，所以 所以． （3）由题意可得， 设，过点P作轴交于点M，过点P作轴交于点N， 对于，令，则，可得； 令，则，即，可得， ，， ， 点P关于直线的“7字形距离”为， ， ，即， 或，即或 当时，同上得； 当时，同上得． 变式2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 【答案】（1）D；（2）C的坐标为；（3）的值为或． 【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解； （3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点， 直线的关联点的坐标是， 故答案为：D； （2）直线，当时，，解得， 点的坐标为， 直线，为常数）是点的关联直线， 点的关联直线为， 联立得，解得， 的坐标为； （3）点的关联直线为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 的坐标为， 把点代入得，； ②如图2，当点在直线右侧时， 同理可证， ，， 点的坐标为 把点代入得，， 综上所述，的值为或． 变式3．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）定义：在平面直角坐标系中，将直线的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点①、②、③、 ④，在的 “k 倍伴随线”上的点有______（填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（    ）； A． B． C． D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确是是______（填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， 设直线的“k倍伴随线”为， 将横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， 为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时，得， ∴， ∴， 当且时，得， ∴， ∴， 当且时，得， ∴， ∴， 综上所述，或3 2 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