第一周 第4天 全集、补集及综合应用 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第一周 第4天 全集、补集及综合运用 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.了解全集的含义及其符号表示. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.(重点) 3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 全集与补集 ❓问题　若U={2-}，A={2}，B={-}，集合U与集合A，B之间有什么关系？ 💡知识梳理 1.全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 元素，那么就称这个集合为 记法 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中 集合A的所有元素组成的集合称为集合A 全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 符号语言 ∁UA= 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU=∅，∁U∅=U； (3)∁U(∁UA)=A； (4)A∪(∁UA)=U；A∩(∁UA)=∅ ⚠️ 注意点： (1)“全集”不是固定不变的，是可以随着具体问题的改变而改变的. (2)补集是集合的一种运算，求集合A的补集时需要首先明确全集，且保证集合A是全集U的子集，当全集U不同时，得到的A的补集也不同，因此补集和全集是相互依存、不可分割的. (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 🎯例1-1　(课本例5)设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求∁UA，∁UB. 🎯例1-2　(1)设U={x|x是小于7的自然数}，A={2，3，4}，B={1，5，6}，求∁UA，∁UB. (2)已知A=R，B={x|0<x≤5}，求∁AB. 📐延伸探究1　若把例1(2)中的“A=R”改为“A={x|0≤x<9}”，求∁AB. 两种求补集的方法 (1)若所给的集合是用列举法表示的，则从全集中去掉集合A中元素后的剩余元素组成的集合即为所求补集，也可以采用Venn图求解. (2)若所给的集合是用描述法表示的，我们需要明确该集合具体表示的是什么，如果是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍. 反思 归纳 📐跟踪训练1　(1)若集合A={x|-1≤x<1}，当U={x|x≤2}时，∁UA=　　　　，当U={x|-4≤x≤1}时，∁UA=　　　　. (2)(多选)已知U为全集，若A∩B=A，则(　　) A.A⊆B B.B⊆A C.(∁UA)⊆(∁UB) D.(∁UB)⊆(∁UA) 知识点2 交、并、补集的综合运算 🎯例2　若在例1(2)的条件中增加“C={x|-1≤x<3}”，求： (1)(∁AB)∩(∁AC)； (2)∁A(B∪C)； (3)∁A(B∩C)； (4)(∁AB)∪(∁AC). 反思感悟　(1)进行集合的交、并、补运算时，要首先明确题目中包含哪些运算，再依据各自的定义，并结合集合的表示形式，选择用Venn图法或数轴法来求解. (2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算. (3)从上面的例题我们可以得到以下两个结论：①(∁AB)∩(∁AC)=∁A(B∪C)，②∁A(B∩C)=(∁AB)∪(∁AC)，同学们可以用Venn图验证上面的结论. 反思 归纳 📐跟踪训练2　(1)设全集U={1，3，5，6，8}，A={1，6}，B={5，6，8}，则(∁UA)∩B等于(　　) A.{6} B.{5，8} C.{6，8} D.{3，5，6，8} (2)(2023·全国乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}等于(　　) A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN 知识点3 利用集合间的关系求参数范围 🎯例3　已知全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥3}，B={x|2m+1<x<m+7}，若(∁UA)∩B=B，求实数m的取值范围. 📐延伸探究2　若把本例的条件“(∁UA)∩B=B”改为“(∁UA)∪B=B”，则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限，可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个，一般利用数轴分析法求解. 反思 归纳 自学小结 全集、补集及综合运用 1.知识清单： (1)全集与补集及性质. (2)交、并、补集的综合运算. (3)利用集合间的关系求参数范围. 2.方法归纳：观察法、分析法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：解决含参的集合运算时要注意空集及端点. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.设全集U={x|x是小于5的非负整数}，A={2，4}，则∁UA等于(　　) A.{1，3} B.{1，3，5} C.{0，1，3} D.{0，1，3，5} 2.设全集U是实数集R，M={x|x<-2或x>2}，N={x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为(　　) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x<3} C.{x|x≤2或x>3} D.{x|-2≤x≤2} 3.已知全集U={-1，1，3}，集合A={a+2，a2+2}，且∁UA={-1}，则a的值是(　　) A.-1 B.1 C.3 D.±1 4.已知U={x|x>0}，A={x|2≤x<6}，则∁UA= 　　　　　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第一周 第4天 全集、补集及综合运用 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.了解全集的含义及其符号表示. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.(重点) 3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 全集与补集 ❓问题　若U={2-}，A={2}，B={-}，集合U与集合A，B之间有什么关系？ 💬 提示　集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B=∅，A∪B=U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系. 💡知识梳理 1.全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 U 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU=∅，∁U∅=U； (3)∁U(∁UA)=A； (4)A∪(∁UA)=U；A∩(∁UA)=∅ ⚠️ 注意点： (1)“全集”不是固定不变的，是可以随着具体问题的改变而改变的. (2)补集是集合的一种运算，求集合A的补集时需要首先明确全集，且保证集合A是全集U的子集，当全集U不同时，得到的A的补集也不同，因此补集和全集是相互依存、不可分割的. (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 🎯例1-1　(课本例5)设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求∁UA，∁UB. 解　根据题意可知，U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA={4，5，6，7，8}，∁UB={1，2，7，8}. 🎯例1-2　(1)设U={x|x是小于7的自然数}，A={2，3，4}，B={1，5，6}，求∁UA，∁UB. 解　根据题意可知，U={0，1，2，3，4，5，6}，所以∁UA={0，1，5，6}，∁UB={0，2，3，4}. (2)已知A=R，B={x|0<x≤5}，求∁AB. 解　由题意可知∁AB={x|x≤0或x>5}. 📐延伸探究1　若把例1(2)中的“A=R”改为“A={x|0≤x<9}”，求∁AB. 解　由题意可知∁AB={x|x=0或5<x<9}. 两种求补集的方法 (1)若所给的集合是用列举法表示的，则从全集中去掉集合A中元素后的剩余元素组成的集合即为所求补集，也可以采用Venn图求解. (2)若所给的集合是用描述法表示的，我们需要明确该集合具体表示的是什么，如果是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍. 反思 归纳 📐跟踪训练1　(1)若集合A={x|-1≤x<1}，当U={x|x≤2}时，∁UA=　　　　，当U={x|-4≤x≤1}时，∁UA=　　　　. 答案　{x|x<-1或1≤x≤2}　{x|-4≤x<-1或x=1} 解析　当U={x|x≤2}时，把集合U和A表示在数轴上，如图所示. 由图知∁UA={x|x<-1或1≤x≤2}. 当U={x|-4≤x≤1}时，把集合U和A表示在数轴上，如图所示. 由图知∁UA={x|-4≤x<-1或x=1}. (2)(多选)已知U为全集，若A∩B=A，则(　　) A.A⊆B B.B⊆A C.(∁UA)⊆(∁UB) D.(∁UB)⊆(∁UA) 答案　AD 解析　因为A∩B=A，所以A⊆B，故A正确，B错误； 所以(∁UB)⊆(∁UA)，故C错误，D正确. 知识点2 交、并、补集的综合运算 🎯例2　若在例1(2)的条件中增加“C={x|-1≤x<3}”，求： (1)(∁AB)∩(∁AC)； (2)∁A(B∪C)； (3)∁A(B∩C)； (4)(∁AB)∪(∁AC). 解　由数轴(图略)可得 ∁AB={x|x≤0或x>5}，∁AC={x|x<-1或x≥3}， B∪C={x|-1≤x≤5}，B∩C={x|0<x<3}. (1)(∁AB)∩(∁AC)={x|x<-1或x>5}. (2)∁A(B∪C)={x|x<-1或x>5}. (3)∁A(B∩C)={x|x≤0或x≥3}. (4)(∁AB)∪(∁AC)={x|x≤0或x≥3}. 反思感悟　(1)进行集合的交、并、补运算时，要首先明确题目中包含哪些运算，再依据各自的定义，并结合集合的表示形式，选择用Venn图法或数轴法来求解. (2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算. (3)从上面的例题我们可以得到以下两个结论：①(∁AB)∩(∁AC)=∁A(B∪C)，②∁A(B∩C)=(∁AB)∪(∁AC)，同学们可以用Venn图验证上面的结论. 反思 归纳 📐跟踪训练2　(1)设全集U={1，3，5，6，8}，A={1，6}，B={5，6，8}，则(∁UA)∩B等于(　　) A.{6} B.{5，8} C.{6，8} D.{3，5，6，8} 答案　B 解析　∵∁UA={3，5，8}，∴(∁UA)∩B={5，8}. (2)(2023·全国乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}等于(　　) A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN 答案　A 解析　由题意可得M∪N={x|x<2}， 则∁U(M∪N)={x|x≥2}，故A正确； ∁UM={x|x≥1}， 则N∪∁UM={x|x>-1}，故B错误； M∩N={x|-1<x<1}， 则∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1}，故C错误； ∁UN={x|x≤-1或x≥2}， 则M∪∁UN={x|x<1或x≥2}，故D错误. 知识点3 利用集合间的关系求参数范围 🎯例3　已知全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥3}，B={x|2m+1<x<m+7}，若(∁UA)∩B=B，求实数m的取值范围. 解　因为A={x|x≤-2或x≥3}， 所以∁UA={x|-2<x<3}， 因为(∁UA)∩B=B， 所以B⊆(∁UA). ①当B=∅时，即2m+1≥m+7， 所以m≥6，满足(∁UA)∩B=B. ②当B≠∅时，则无解. 故实数m的取值范围是{m|m≥6}. 📐延伸探究2　若把本例的条件“(∁UA)∩B=B”改为“(∁UA)∪B=B”，则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 答案　 解析　因为(∁UA)∪B=B， 所以(∁UA)⊆B， 所以 解得-4≤m≤- 故实数m的取值范围为. 由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限，可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个，一般利用数轴分析法求解. 反思 归纳 自学小结 全集、补集及综合运用 1.知识清单： (1)全集与补集及性质. (2)交、并、补集的综合运算. (3)利用集合间的关系求参数范围. 2.方法归纳：观察法、分析法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：解决含参的集合运算时要注意空集及端点. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.设全集U={x|x是小于5的非负整数}，A={2，4}，则∁UA等于(　　) A.{1，3} B.{1，3，5} C.{0，1，3} D.{0，1，3，5} 答案　C 2.设全集U是实数集R，M={x|x<-2或x>2}，N={x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为(　　) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x<3} C.{x|x≤2或x>3} D.{x|-2≤x≤2} 答案　A 解析　由题图可知，阴影部分表示的集合为∁U(M∪N)， ∵M∪N={x|x<-2或x≥1}， ∴∁U(M∪N)={x|-2≤x<1}. 3.已知全集U={-1，1，3}，集合A={a+2，a2+2}，且∁UA={-1}，则a的值是(　　) A.-1 B.1 C.3 D.±1 答案　A 解析　由已知A={1，3}， 又∵a2+2>1，∴a2+2=3且a+2=1，∴a=-1. 4.已知U={x|x>0}，A={x|2≤x<6}，则∁UA= 　　　　　　　　. 答案　{x|0<x<2或x≥6} 解析　如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁UA={x|0<x<2或x≥6}. 学科网（北京）股份有限公司 $