1.4.1充分条件与必要条件讲义（知识点+4题型+随堂演练）-2025-2026学年暑假自学新高一人教A版数学

1.4.1 充分条件与必要条件 模块一 筑·知能要点 一、充分条件与必要条件 知识梳理　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出 关系 p⇒q p⇏q 条件 关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 注意点： (1)p⇒q，有方向，条件在前，结论在后. (2)若p⇒q，则p是q的充分条件且q是p的必要条件；若p⇏q，则p不是q的充分条件且q不是p的必要条件. (3)充分、必要条件可以不唯一. (4)判断p是q的充分、必要条件的方法 ①经常用到的是判断p能否推出q，以及q能否推出p. ②也可利用集合的关系判断，如果条件p：“x∈A”，条件q：“x∈B”.若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件. 二、充分条件与必要条件的应用 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 充分条件的判断 1．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 3．（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是（    ） A．若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半 B．若两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，则这两个图形关于这点中心对称 C．若圆内一条直径平分另一条直径，则这两条直径互相垂直 D．若平面内有不在同一条直线上的三个点，则这三个点确定一个圆 4．是一元二次方程存在实数根的______（充分/必要）条件． 5．下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 二、题型二 必要条件的判断 6．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 7．老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知集合，，则“”是“”的______（充分/必要）条件． 9．指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 10．下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 三、题型三 已知充分条件求参数 11．若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 14．使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 15．已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 四、题型四 已知必要条件求参数 16．使成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 17．已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________. 18．已知集合，． (1)若，求； (2)若，，且是的必要条件，求的取值范围． 19．已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 20．已知命题p：关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)若p是真命题，求实数m的取值集合A； (2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 模块三 巩·随堂演练 一、单选题 1．两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 2．已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 3．下列选项正确的是（    ） A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 4．使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．若是全集的真子集，则下列五个命题：①； ②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 8．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要条件的图为（    ） A．   B．   C．   D．   10．已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．s是r的充要条件 D．r是q的充要条件 11．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有_______ （1）若是无理数，则是无理数． （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． （3）若，则. （4）若和都是偶数，则是偶数． 13．已知，其中．若是的必要条件，则实数的取值范围是_____． 14．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是___________；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是___________． 四、解答题 15．已知集合，，． (1)若是的充分条件，求实数的范围； (2)若，求实数的范围． 16．集合，. (1)若，求，； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 17．已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 18．已知全集，集合 ． (1)若，求 ； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 19．已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 充分条件与必要条件 模块一 筑·知能要点 一、充分条件与必要条件 知识梳理　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出 关系 p⇒q p⇏q 条件 关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 注意点： (1)p⇒q，有方向，条件在前，结论在后. (2)若p⇒q，则p是q的充分条件且q是p的必要条件；若p⇏q，则p不是q的充分条件且q不是p的必要条件. (3)充分、必要条件可以不唯一. (4)判断p是q的充分、必要条件的方法 ①经常用到的是判断p能否推出q，以及q能否推出p. ②也可利用集合的关系判断，如果条件p：“x∈A”，条件q：“x∈B”.若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件. 二、充分条件与必要条件的应用 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 充分条件的判断 1．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解绝对值不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系即可. 【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】C 【分析】根据菱形、矩形、平行四边形的性质特征，结合充分条件的定义及正方形的性质判断命题间的关系. 【详解】根据正方形的判定及菱形、矩形、平行四边形的性质，知A，B，D中描述的四边形均为正方形，是“四边形是正方形”的充分条件， 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C不是“四边形是正方形”的充分条件. 故选：C 3．（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是（    ） A．若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半 B．若两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，则这两个图形关于这点中心对称 C．若圆内一条直径平分另一条直径，则这两条直径互相垂直 D．若平面内有不在同一条直线上的三个点，则这三个点确定一个圆 【答案】AD 【分析】根据图形的性质，结合充分条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半， 即，所以是的充分条件，所以A正确； 对于B中，根据中心对称的性质可得，线段被该点总是平分时， 这两个图形才关于这点中心对称，即，所以B错误； 对于 C中，若圆内一条直径平分另一条直径，此时这两条直径不一定互相垂直， 即，所以C错误； 对于D中，根据圆的作法可得，若平面内有不在同一条直线上的三个点， 则这三个点确定一个圆，即，D正确． 故选：AD. 4．是一元二次方程存在实数根的______（充分/必要）条件． 【答案】充分 【分析】结合一元二次方程存在实数根的条件，再根据充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】若一元二次方程存在实数根，则， 即，解得或， 所以若，则一元二次方程一定存在实数根，若一元二次方程存在实数根，则不一定等于2； 所以，“”是“一元二次方程存在实数根”的充分条件． 故答案为：充分 5．下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分条件； (2)p是q的充分条件； (3)p不是q的充分条件． 【分析】（1）（2）（3）利用充分条件的定义，逐一判断各个命题. 【详解】（1）在中，，所以p是q的充分条件． （2）由于，所以p是q的充分条件． （3）方法一  由，所以p不是q的充分条件． 方法二  设集合，，则真包含于，所以p不是q的充分条件． 二、题型二 必要条件的判断 6．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】AB 【详解】若，则，即是的必要条件，故A正确；由“”可以推出“”，故B正确；取，，满足mn为无理数，但m为有理数，故C错误；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故D错误. 7．老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”， 但“做难题”一定可以推出“做容易题”， 故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件， 故选：B. 8．已知集合，，则“”是“”的______（充分/必要）条件． 【答案】必要 【分析】结合交集运算性质根据充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】当时，不能推出，所以充分性不成立． 反之，若，则.故“”是“”的必要条件. 故答案为：必要. 9．指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 【答案】（1）（2）命题中p是q的必要条件． 【分析】（1）（2）根据必要条件的定义分析判断即可. 【详解】（1）在中，由大角对大边知，， 所以p是q的必要条件． （2）由，故p是q的必要条件． 故（1）（2）命题中p是q的必要条件． 10．下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 【答案】(1)q是p的必要条件 (2)q是p的必要条件 (3)q不是p的必要条件 【分析】根据必要条件的定义判断即可. 【详解】（1）因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． （2）由，可得， 所以，所以q是p的必要条件． （3）当时，推不出， 故，所以q不是p的必要条件. 三、题型三 已知充分条件求参数 11．若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】依题意，，解不等式，得， 由不等式成立的充分条件是，得， 于是，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 12．设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件定义即得. 【详解】由，是的充分条件， 所以，故 故选：C 13．已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由题意先求出的充要条件，然后结合是的充分条件可得实数的范围，从而对比选项即可得解. 【详解】由题意， 若是的充分条件，则当且仅当， 对比选项可知实数可以是3. 故选：A. 14．使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充分条件的定义及集合间的关系判定即可. 【详解】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误. 故选：AB. 15．已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合交集和并集的概念直接计算求解即可； （2）将充分条件转化为集合包含关系进而列式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， （2）因为“”是 “”的充分条件， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以实数的取值范围为 四、题型四 已知必要条件求参数 16．使成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据必要条件的基本概念逐项判断即可得到答案. 【详解】对于选项A，由不能推出，由可以推出， 所以是的必要条件. 对于选项B，由不能推出，由可以推出， 所以是的必要条件. 对于选项C，由能推出，由不能推出， 所以是的充分条件. 对于选项D，由能推出，由不能推出， 所以是的充分条件. 故选：AB. 17．已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据题意得到是的子集，从而得到不等式，求出答案. 【详解】因为是的必要条件，所以是的子集， 故，解得， 故答案为： 18．已知集合，． (1)若，求； (2)若，，且是的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据集合并集运算的定义即可得解； （2）将必要条件，转化为集合的关系：，再根据集合关系求出参数得取值范围即可. 【详解】（1）当时，集合， 又 所以． （2）因为，且是的必要条件， 所以， 当时，，解得； 当时， 又，故． 综上，的取值范围为. 19．已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集定义直接求解即可； （2）根据必要条件定义可得，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当时，，. （2）“”是“”的必要条件，， 又，，解得：，即实数的取值范围为. 20．已知命题p：关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)若p是真命题，求实数m的取值集合A； (2)在（1）的条件下，集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，解得即可； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）若是真命题，则，解得， 则； （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围为． 模块三 巩·随堂演练 一、单选题 1．两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 【答案】D 【分析】由全等三角形的判定定理可得结果. 【详解】根据全等三角形的判定定理可得， 当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等． 故选：D. 2．已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】若求出的取值，当时判断是否正确，判断时，是否可能为. 【详解】若，则且， 所以或，故当时有， 而时，不一定是， 故是的充分而不必要条件. 故选：A. 3．下列选项正确的是（    ） A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可解. 【详解】对于A中，平行四边形的对角线互相垂直是菱形的判定定理，即，所以A正确； 对于B中，三边分别为3，4，5的三角形是周长为12的直角三角形， 三边为4，4，4的三角形是等边三角形，两三角形周长相等但不全等，即，所以B错误； 对于C中，例如：当时，满足，但， 所以是的充分条件，所以C错误； 对于D中，若，满足，但不成立，所以D错误． 故选：A. 4．使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出不等式，然后根据充分条件的定义求解即可. 【详解】由，即， 因为， 所以使不等式成立的一个充分条件是， 而其他选项皆不满足. 故选：A. 5．若是全集的真子集，则下列五个命题：①； ②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据交并补运算结果，借助韦恩图，对每个命题进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对①，即为，故符合； 对②，即为，故不符合； 对③，结合图可得即为，故符合； 对④，即为，故可得，但得不到，故不符合； 对⑤，因为是的必要不充分条件，故是的真子集，这与不等价， 故五个命题中，与等价的有2个， 故选：B. 6．设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用赋值法，取不同的x与y代入，可排除A、C、D. 【详解】对于A，当时，满足，但命题不成立； 对于C，D，当时，满足，，但命题不成立. 故选：B. 7．可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出关于的一元二次方程有实数解的充要条件，结合选项得出其必要条件． 【详解】因为关于的一元二次方程有实数解， 所以， 解得，而可以推出， 所以可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件， 故选：A． 8．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 二、多选题 9．设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要条件的图为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】对于，开关闭合灯亮，反过来灯泡亮，也可能是开关闭合， 是的充分不必要条件； 对于，只有一个开关，灯如果要亮，开关必须闭合， 是的充要条件； 对于灯亮必须和同时闭合，是的必要不充分条件； 对于，灯一直亮，跟开关没有关系，是的既不充分也不必要条件. 故选：BC. 10．已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．s是r的充要条件 D．r是q的充要条件 【答案】BCD 【分析】根据充分条件、必要条件的定义求解即可. 【详解】因为p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件， 所以，，，， 所以，，则， 所以p是q的必要条件，故A错误，B正确； s是r的充要条件，故C正确； r是q的充要条件，故D正确. 故选：BCD. 11．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意得解得．本题要求的是充分不必要条件，对照选项只有B，D符合题意． 三、填空题 12．下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有_______ （1）若是无理数，则是无理数． （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． （3）若，则. （4）若和都是偶数，则是偶数． 【答案】（1）（2）（4） 【分析】根据必要条件的定义即可逐一求解. 【详解】（1）若是无理数，则是无限不循环小数，所以是无限不循环小数， 所以是无理数，所以，所以是的必要条件． （2）全等三角形面积相等，所以，所以是的必要条件． （3）若，则或； 所以，所以是的不必要条件． （4）两个偶数的乘积仍是偶数．所以，所以是的必要条件． 故答案为：（1）（2）（4）. 13．已知，其中．若是的必要条件，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】记集合，由题意得，进而得，解出即可. 【详解】记集合． 因为是的必要条件，所以， 即，所以， 故答案为：. 14．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是___________；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由p是q的充分条件，知p可推出q，所以；由p是q的必要条件，知q可推出p，所以． 四、解答题 15．已知集合，，． (1)若是的充分条件，求实数的范围； (2)若，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若是的充分条件，则，由子集性质计算即可得； （2）若，则，结合子集性质，对与分类讨论并计算即可得. 【详解】（1）若是的充分条件，则， 即，即实数的范围是； （2）由，故， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 综上所述，的取值范围为. 16．集合，. (1)若，求，； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集和并集的概念求解即可. （2）根据题意得到，从而得到，再解不等式组即可. 【详解】（1）若，，. 则，. （2）因为是的必要条件，所以. 所以. 17．已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，或，则， 又因为，故. （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 18．已知全集，集合 ． (1)若，求 ； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入的值，得到集合B， 根据补集的定义求出集合B的补集，根据交集运算求出答案. （2）由“”是“”的必要条件，得到 B⊆A.讨论和两种情况，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）若，则，所以或. 所以． （2） ∵“”是“”的必要条件，∴，∴B⊆A. 当，即 时，，满足 B⊆A． 当时，由 B⊆A，得，解得：. 综上所述，实数 m的取值范围是． 19．已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】利用充要条件与集合的关系，结合集合的包含关系即可得解. 【详解】（1）设或，或， 因为是的充分条件，所以， 当时，即，此时，不满足题意； 当时，即，有，解得； 综上：m的取值范围为. （2）因为是的必要条件，所以， 当时，即，此时，成立； 当时，即，有，无解. 综上：m的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $