1.2 集合间的基本关系（6个题型归纳）（原卷版）人教A版2026年新高一数学暑假预习讲义

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【1.2 集合间的基本关系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．空集： 定义 不含任何元素___的集合叫做空集 符号 ___ 规定 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集___ 2．Venn图 （1）定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法． （2）适用范围：元素个数较少的集合． （3）使用方法：把__元素____写在封闭曲线的内部． 3．子集、真子集、集合相等： 概念 图示 性质 子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_任意一个__元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的_子集__ ，记作___ (或__ __)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)   任何一个集合是它本身的子集，即; 对于集合A，B，C，如果，且，那么 集合 相等 一般地，如果集合A的_任何一个__元素都是集合B的元素，同时集合B的_任何一个__元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作___ ，且; ，且，则 真子集 如果集合___ ，但存在元素，且___ ，就称集合A是集合B的真子集，记作_A⫋B__ (或_BA__ )   A⫋B，且B⫋C，则A⫋C; ，且，则A⫋B 4．传递性 若，，则________；若，，则________. 5．如果中有个元素，则的所有子集的个数为______，所有非空子集的个数为_____，所有非空真子集的个数为________. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断两个集合的包含关系】 【练方法】 公式结论 1.若集合A内所有元素都属于集合B称A是B的子集记作 2.若且存在元素属于B但不属于A称A是B的真子集记作 3.空集是任意集合的子集空集是任意非空集合的真子集 4.且 方法技巧 1.列举型集合逐个核对A中全部元素是否都在B内 2.描述法数集借助数轴标出取值范围范围完全落在内部即为包含 3.出现空集优先套用空集子集性质快速判断 易错提醒 1.混淆与用于集合与集合用于元素与集合符号不可混用 2.真子集判定遗漏条件只满足不验证存在独有元素就判定真子集 3.数轴判断边界端点漏标等号造成包含关系判断颠倒 4.忽略空集特殊性质忘记空集是所有集合的子集 已知集合，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 已知集合，，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． （2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 （2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　）小试牛刀2 A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 已知集合，，，则集合的关系是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 【题型2：求集合的子集（真子集）】 【练方法】 公式结论 设集合含有个元素 1.子集包含空集与集合本身 2.真子集包含空集不包含集合本身 方法技巧 1.列举子集遵循元素个数从小到大书写0个元素即空集再依次1个2个直至全部元素 2.真子集列举完成后去掉与原集合完全相同的那一组 3.少量元素集合枚举不重不漏多元素结合个数公式辅助验证 易错提醒 1.列举子集遗漏空集或集合自身 2.求真子集时未剔除集合本身多写一组 3.元素重复书写违背集合互异性写出重复子集 4.混淆子集与真子集定义二者边界区分不清 （25-26高一·全国·寒假作业）已知集合满足，求集合及其个数．经典例题1例题 【答案】答案见解析 【分析】根据已知条件，结合子集的定义进行求解即可. 【详解】当中含有两个元素时，为； 当中含有三个元素时，为； 当中含有四个元素时，为； 当中含有五个元素时，为； 所以满足条件的集合为， 集合的个数为8． （25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合.经典例题2例题 (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据的正负情况讨论求解即可； （2）根据子集的定义即可求解. 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . （25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合．小试牛刀1 (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【答案】(1)或或； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据方程有两个不同的解的问题直接可得； （2）根据方程有一个解进行分类讨论可得实数的取值，再列所有子集. 【详解】（1）由中有两个元素，得方程有两个不同的解， 所以，，解得或且. 故实数的取值集合为或或. （2）由中只有一个元素，得方程有一个解. 当时，方程有一个解； 当时，，解得或. 所以实数的取值集合， 故集合B的所有子集有：，，，，，，，. （24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且.小试牛刀2 (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. （24-25高一上·广西桂林·阶段检测）（1）写出集合的子集和真子集．小试牛刀3 （2）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）子集：；真子集：. （2）子集：；真子集：. 【分析】根据题意，由子集与真子集的定义，即可得到结果. 【详解】（1）集合的子集：；集合的真子集. （2）集合的子集：； 集合的真子集：. 【题型3：求集合的子集，真子集，非空真子集个数】 【练方法】 公式结论 集合有个元素 1.子集总个数 2.真子集个数 3.非空子集个数 4.非空真子集个数 方法技巧 1.先统计集合有效元素个数再直接代入对应指数公式计算 2.空集子集个数无真子集无非空真子集 3.含参集合先根据互异性确定元素数量再计算个数 易错提醒 1.记混四类个数公式非空真子集错写成 2.空集代入公式运算错误算出真子集非空真子集数量 3.统计元素个数未去重将重复元素计入导致指数计算错误 4.指数运算失误计算数值出错 （2026高一·全国·专题练习）满足条件的集合的个数是____经典例题1例题 【答案】7 【分析】根据子集和真子集的概念即可求解. 【详解】由题意，是集合的真子集，且集合为集合的子集， 所以集合至少有3个元素，最多有5个元素， 如果集合有3个元素：，，； 如果集合有4个元素：，，； 如果集合有5个元素：； 所以满足条件的集合共有7个. （25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ）经典例题2例题 A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 满足条件的集合的个数为（    ）小试牛刀1 A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. （24-25高二下·四川德阳·期末）含有个元素的集合的非空真子集的个数为（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据集合子集的计数性质，含有个元素的集合，其所有子集的总个数为， 非空真子集是指既不是空集，也不等于原集合， 因此需要从总子集数中排除空集、原集合共2个不符合要求的子集， 所以该集合的非空真子集个数为． （2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ）小试牛刀3 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由题意得，元素个数为，子集个数为. 【题型4：与空集有关的概念辨析】 【练方法】 公式结论 1.不含任何元素 2.对任意集合恒成立 3.仅对任意非空集合成立 4.是以空集为元素的集合与不相等 方法技巧 1.区分{0}三者含义无元素0是数字有一个元素 2.题目未说明集合非空时必须分空集非空两类讨论 3.判断包含关系优先考虑目标集合为空集的特殊情况 易错提醒 1.混淆与误判二者相等 2.认为空集是任意集合的真子集忽略集合为空集时不成立 3.符号混用写成代替 4.含参子集题型漏掉目标集合为空集的讨论情况 （2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，， ，不是的子集，故ABD错误，C正确. （25-26高一上·江苏·阶段检测）（多选）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空集概念和集合间的关系求解即可. 【详解】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC （湖北省黄石市第六中学2024-2025学年高一下学期4月教学质量检测数学试卷）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ）小试牛刀1 A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【答案】D 【分析】利用子集的概念及性质可判断①，利用相等集合的概念可判断②，利用空集的定义可判断③、⑥，利用元素与集合的关系进行判断④，利用集合与集合间的关系可判断⑤． 【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. （24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____.小试牛刀2 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： （24-25高一上·上海·阶段检测）已知：集合，.小试牛刀3 (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 【题型5：由集合的子集，真子集求参数范围】 【练方法】 公式结论 1.若则A中所有元素取值全部落在B的取值区间内 2.若除包含关系外还需B存在不属于A的元素 方法技巧 1.分两类讨论集合A为空集集合A非空 2.数集类画出数轴端点对齐列不等式组求解参数 3.求出参数后回代检验互异性与包含关系是否成立 易错提醒 1.遗漏子集问题中A为空集的临界讨论 2.数轴列不等式端点等号取舍错误造成参数范围扩大或缩小 3.解出参数不回代检验出现集合元素重复或不满足包含关系 4.真子集求解只满足包含未保证两集合不相等 （2026高一·全国·专题练习）设集合，.经典例题1例题 (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. （2026·安徽安庆·三模）设集合，若，则的取值范围（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 所以，所以. （25-26高二·全国·暑假作业）设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________．小试牛刀1 【答案】 【详解】因为是的真子集且，所以或 ， 解得，即的取值范围是． 设全集，集合，非空集合.小试牛刀2 (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. （25-26高一上·河北保定·期中）已知集合．小试牛刀3 (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 【题型6：由集合相等求参数】 【练方法】 公式结论 1.且两集合元素完全一致 方法技巧 1.分多组对应情况联立方程求解参数 2.所有解回代原集合检验元素互异性与集合相等条件 3.集合无序不用固定元素左右一一对应匹配 易错提醒 1.仅元素个数相等就判定集合相等不验证元素全部相同 2.分类讨论不完整漏掉多种元素匹配方案 3.求出参数后产生重复元素不主动舍去不合理解 4.忽略空集相等判定条件两个空集才相等一空一非空不相等 （2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______．经典例题1例题 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. （2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________.经典例题2例题 【答案】1 【分析】根据集合相等的定义求得后可得结论． 【详解】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. （25-26高二上·江西宜春·期中）设a，，集合，，若，则__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合相等求出，即可得到的值. 【详解】因为集合，所以0是集合的一个元素， 因为，所以， 此时，所以，解得. 所以. 故答案为： （25-26高一上·山东济南·开学考试）已知集合，，若，则实数________.小试牛刀2 【答案】 【分析】分别讨论当时，时和时，所对应的值，从而求出，即可求解. 【详解】由于，当时，无解； 当时，,此时，,不满足条件； 当时，,此时，,此时,满足条件； 故答案为： （25-26高一上·吉林·阶段检测）已知集合，．若，则______．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据集合的性质和相等进行求解即可. 【详解】因为集合， 所以当时，（此时不满足集合元素的互异性，故舍去）或. 当时，集合，集合. 因为，所以，即. 此时. 当时，要使得，则. 那么有，即（此时不满足集合元素的互异性，故舍去）. 故答案为：. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一·全国·寒假作业）给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【分析】根据元素与集合，集合与之间的关系一一判断即可. 【详解】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥， 故选：D. 2．设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合间的关系求出参数范围即可. 【详解】由题意知，要满足，则有，所以． 故选：A ． 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为集合A的元素的个数为，故集合A的所有真子集的个数为. 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合子集的性质可得 【详解】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 5．（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的性质和子集的概念得到答案. 【详解】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误. 故选：B 6．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 7．（2026·四川成都·二模）设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合间的包含关系，判断端点大小关系即可. 【详解】集合，因为，所以. 8．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 9．（24-25高一上·山东烟台·期中）若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】先确定出的子集，然后根据集合中元素个数分类讨论，由此可求结果. 【详解】的所有子集有：； （1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，共组； （2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； 综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组. 故选：D. 10．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解． 【详解】当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，故选：C 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 12．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 13．已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过证明和，来判断与的相等关系． 【详解】对任意，有且，从而有且，进一步，即，所以； 对任意，有，从而有且，进一步有且，即，所以． 综上所述，有． 故选：C． 二、多选题 14．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，解得，集合， 中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确； 中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误； 等于集合，是集合A的子集，故C正确； 中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确． 15．（23-24高一上·江苏无锡·阶段检测）已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（   ） A． B．若，且，则 C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则 【答案】ABD 【分析】利用定义直接判断A；利用定义推理判断B；举例说明判断C；利用定义结合反证法推理判断D. 【详解】对于A，令是非空数集S的元素，则，A正确； 对于B，由，得，可推得，即， 又，则，从而，则，因此，B正确； 对于C，符合要求，此集合为有限集，C错误； 对于D，由S中最小的正数为5，，可推得， 假设里有形如，那么， 与5是集合中的最小正整数矛盾，因此，D正确. 故选：ABD 16．（25-26高一上·湖南永州·期中）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 【答案】AC 【分析】求出集合，再根据分情况讨论集合，进而求出实数取值的集合，依次判断选项即可. 【详解】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合， 则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，非空子集为个，故C正确，D错误； 故选：AC 17．（25-26高一上·湖南长沙·期中）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由子集的概念逐项判断即可. 【详解】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合A的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合A的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合A的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数加1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里， 所以D选项的集合是集合A的子集． 故选：BCD． 18．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解． 【详解】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 三、填空题 19．（25-26高一上·上海·期末）设，集合，若，则符合条件的实数组成的集合为________． 【答案】 【分析】由集合间的包含关系确定中的元素都在中，进而讨论的取值即可. 【详解】由题意得，因为， 当时，，符合题意， 当时，，则或，解得或， 综上，实数组成的集合为. 20．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 【答案】 【详解】因为，，， 所以集合可以为 21．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】化简集合，分类讨论，根据求解. 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 四、解答题 22．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，且.若，求实数的值. 【答案】 【分析】解出，由题意知或或，由此即可解出实数的值. 【详解】因为 所以 解得或， 所以， 因为且， 所以或或， 当时，，方程无解； 当时，； 当时，，方程无解； 综上所述：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【1.2 集合间的基本关系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．空集： 定义 不含任何元素___的集合叫做空集 符号 ___ 规定 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集___ 2．Venn图 （1）定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法． （2）适用范围：元素个数较少的集合． （3）使用方法：把__元素____写在封闭曲线的内部． 3．子集、真子集、集合相等： 概念 图示 性质 子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_任意一个__元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的_子集__ ，记作___ (或__ __)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)   任何一个集合是它本身的子集，即; 对于集合A，B，C，如果，且，那么 集合 相等 一般地，如果集合A的_任何一个__元素都是集合B的元素，同时集合B的_任何一个__元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作___ ，且; ，且，则 真子集 如果集合___ ，但存在元素，且___ ，就称集合A是集合B的真子集，记作_A⫋B__ (或_BA__ )   A⫋B，且B⫋C，则A⫋C; ，且，则A⫋B 4．传递性 若，，则________；若，，则________. 5．如果中有个元素，则的所有子集的个数为______，所有非空子集的个数为_____，所有非空真子集的个数为________. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断两个集合的包含关系】 【练方法】 公式结论 1.若集合A内所有元素都属于集合B称A是B的子集记作 2.若且存在元素属于B但不属于A称A是B的真子集记作 3.空集是任意集合的子集空集是任意非空集合的真子集 4.且 方法技巧 1.列举型集合逐个核对A中全部元素是否都在B内 2.描述法数集借助数轴标出取值范围范围完全落在内部即为包含 3.出现空集优先套用空集子集性质快速判断 易错提醒 1.混淆与用于集合与集合用于元素与集合符号不可混用 2.真子集判定遗漏条件只满足不验证存在独有元素就判定真子集 3.数轴判断边界端点漏标等号造成包含关系判断颠倒 4.忽略空集特殊性质忘记空集是所有集合的子集 已知集合，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．A、B没有包含关系 已知集合，，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　）小试牛刀2 A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 已知集合，，，则集合的关系是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：求集合的子集（真子集）】 【练方法】 公式结论 设集合含有个元素 1.子集包含空集与集合本身 2.真子集包含空集不包含集合本身 方法技巧 1.列举子集遵循元素个数从小到大书写0个元素即空集再依次1个2个直至全部元素 2.真子集列举完成后去掉与原集合完全相同的那一组 3.少量元素集合枚举不重不漏多元素结合个数公式辅助验证 易错提醒 1.列举子集遗漏空集或集合自身 2.求真子集时未剔除集合本身多写一组 3.元素重复书写违背集合互异性写出重复子集 4.混淆子集与真子集定义二者边界区分不清 （25-26高一·全国·寒假作业）已知集合满足，求集合及其个数．经典例题1例题 （25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合.经典例题2例题 (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. （25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合．小试牛刀1 (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． （24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且.小试牛刀2 (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. （24-25高一上·广西桂林·阶段检测）（1）写出集合的子集和真子集．小试牛刀3 （2）写出集合的所有子集和真子集． 【题型3：求集合的子集，真子集，非空真子集个数】 【练方法】 公式结论 集合有个元素 1.子集总个数 2.真子集个数 3.非空子集个数 4.非空真子集个数 方法技巧 1.先统计集合有效元素个数再直接代入对应指数公式计算 2.空集子集个数无真子集无非空真子集 3.含参集合先根据互异性确定元素数量再计算个数 易错提醒 1.记混四类个数公式非空真子集错写成 2.空集代入公式运算错误算出真子集非空真子集数量 3.统计元素个数未去重将重复元素计入导致指数计算错误 4.指数运算失误计算数值出错 （2026高一·全国·专题练习）满足条件的集合的个数是____经典例题1例题 （25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ）经典例题2例题 A．15 B．31 C．32 D．64 满足条件的集合的个数为（    ）小试牛刀1 A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 （24-25高二下·四川德阳·期末）含有个元素的集合的非空真子集的个数为（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ）小试牛刀3 A．2 B．4 C．6 D．8 【题型4：与空集有关的概念辨析】 【练方法】 公式结论 1.不含任何元素 2.对任意集合恒成立 3.仅对任意非空集合成立 4.是以空集为元素的集合与不相等 方法技巧 1.区分{0}三者含义无元素0是数字有一个元素 2.题目未说明集合非空时必须分空集非空两类讨论 3.判断包含关系优先考虑目标集合为空集的特殊情况 易错提醒 1.混淆与误判二者相等 2.认为空集是任意集合的真子集忽略集合为空集时不成立 3.符号混用写成代替 4.含参子集题型漏掉目标集合为空集的讨论情况 （2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·江苏·阶段检测）（多选）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （湖北省黄石市第六中学2024-2025学年高一下学期4月教学质量检测数学试卷）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ）小试牛刀1 A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 （24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____.小试牛刀2 （24-25高一上·上海·阶段检测）已知：集合，.小试牛刀3 (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【题型5：由集合的子集，真子集求参数范围】 【练方法】 公式结论 1.若则A中所有元素取值全部落在B的取值区间内 2.若除包含关系外还需B存在不属于A的元素 方法技巧 1.分两类讨论集合A为空集集合A非空 2.数集类画出数轴端点对齐列不等式组求解参数 3.求出参数后回代检验互异性与包含关系是否成立 易错提醒 1.遗漏子集问题中A为空集的临界讨论 2.数轴列不等式端点等号取舍错误造成参数范围扩大或缩小 3.解出参数不回代检验出现集合元素重复或不满足包含关系 4.真子集求解只满足包含未保证两集合不相等 （2026高一·全国·专题练习）设集合，.经典例题1例题 (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 （2026·安徽安庆·三模）设集合，若，则的取值范围（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二·全国·暑假作业）设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________．小试牛刀1 设全集，集合，非空集合.小试牛刀2 (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. （25-26高一上·河北保定·期中）已知集合．小试牛刀3 (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【题型6：由集合相等求参数】 【练方法】 公式结论 1.且两集合元素完全一致 方法技巧 1.分多组对应情况联立方程求解参数 2.所有解回代原集合检验元素互异性与集合相等条件 3.集合无序不用固定元素左右一一对应匹配 易错提醒 1.仅元素个数相等就判定集合相等不验证元素全部相同 2.分类讨论不完整漏掉多种元素匹配方案 3.求出参数后产生重复元素不主动舍去不合理解 4.忽略空集相等判定条件两个空集才相等一空一非空不相等 （2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______．经典例题1例题 （2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________.经典例题2例题 （25-26高二上·江西宜春·期中）设a，，集合，，若，则__________.小试牛刀1 （25-26高一上·山东济南·开学考试）已知集合，，若，则实数________.小试牛刀2 （25-26高一上·吉林·阶段检测）已知集合，．若，则______．小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一·全国·寒假作业）给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 2．设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 5．（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 7．（2026·四川成都·二模）设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·山东烟台·期中）若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 10．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 12．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 13．已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·江苏无锡·阶段检测）已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（   ） A． B．若，且，则 C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则 16．（25-26高一上·湖南永州·期中）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 17．（25-26高一上·湖南长沙·期中）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 三、填空题 19．（25-26高一上·上海·期末）设，集合，若，则符合条件的实数组成的集合为________． 20．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 21．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 四、解答题 22．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，且.若，求实数的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $