第02讲 集合间的基本关系（知识详解+8典例精讲+课后作业）讲义-2026年暑假新高一预习数学人教A版必修第一册

第02讲 集合间的基本关系（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：子集 知识点02：真子集 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：集合的子集(真子集)的个数 题型02：求集合的子集(真子集) 题型03：判断两个集合的包含关系 题型04：根据集合的包含关系求参数 题型05：判断两个集合是否相等 题型06：根据两个集合相等求参数 题型07：空集的概念以及判断 题型08：空集的性质及应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】子集 1．Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 【例1】已知集合，集合，①判断和的包含关系；②写出集合的全部子集。 【知识点02】真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅⊂A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 注意点： (1)在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}． 【例2】已知集合，①写出集合的所有真子集；②说明空集与集合的关系。 【题型01】判断集合的子集(真子集)的个数 【典例1-1】（25-26高一下·江西赣州·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式1-1】（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知集合，则集合的子集有________个． 【变式1-3】（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，其子集个数为__________，真子集个数为__________． 【题型02】求集合的子集(真子集) 【典例2-1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列是集合的子集的为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）写出集合的一个真子集__________. 【变式2-3】（24-25高一上·广西桂林·阶段检测）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 【题型03】判断两个集合的包含关系 【典例3-1】（25-26高一上·青海西宁·期中）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024高一上·全国·专题练习）是菱形____是平行四边形；是等边三角形}______是等腰三角形 【变式3-3】（23-24高一下·全国·随堂练习）判定下列集合之间的关系： (1){x|x是矩形}，{x|x是平行四边形}； (2)， 【题型04】根据集合的包含关系求参数 【典例4-1】（25-26高一上·河北·期中）已知集合，，若，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D．1或2 【变式4-1】（多选）（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·湖南怀化·期末）若，则实数的值为__________. 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，是否存在实数，使得是的子集？若存在，求出集合，；若不存在，请说明理由． 【题型05】判断两个集合是否相等 【典例5-1】（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）与集合相等的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】集合与__________（填“是”或“不是”）相等集合． 【题型06】根据两个集合相等求参数 【典例6-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）设，若P=Q，则（   ） A． B．5 C． D．1 【变式6-1】（多选）（25-26高一上·河北保定·阶段检测）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 【变式6-2】（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【变式6-3】设，若P=Q，求的值. 【题型07】空集的概念以及判断 【典例7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【变式7-1】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】下列集合：①；②；③；④；⑤．表示空集的有_______ 【变式7-3】给出下列选项，其中正确的有________ （1）∈{{ }} （2）⊆{{ }} （3）∈{ } （4）{ } 【题型08】空集的性质及应用 【典例8-1】下列关系表述正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 【变式8-2】已知集合，若，则实数a的取值范围为___． 【变式8-3】已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 知识点01核心知识框架 1. 子集 （1）定义 对于集合，若集合中任意一个元素都属于集合，则称是的子集。 （2）符号与读法 （读作：包含于）；（读作：包含） （3）两大基础规定 任何集合都是自身的子集： 空集是任意集合的子集： 2. 真子集 （1）定义 若，且存在元素，同时，则称是的真子集。 （2）符号与读法 （读作：真包含于）；（读作：真包含） （3）基础规定 空集是任意非空集合的真子集：若，则 3. 集合相等 若且，则。 知识点02子集与真子集对比表格（高频考点） 比较维度 子集 真子集 集合相等关系 允许 不允许，必须 是否包含自身 集合是自身的子集 集合不是自身的真子集 空集关系 一切集合 一切非空集合 推导关系 知识点03有限集合子集个数万能公式（必背） 设集合中有个元素（）： 1.子集个数： 2.真子集个数： 3.非空子集个数： 4.非空真子集个数： 记忆口诀：总子集为二的n次方，去自身减一，去空集减一，二者都去减二 知识点04本节高频易错点（避坑总结） 关系符号严禁混用：描述元素与集合的从属关系；描述集合与集合的包含关系 分清空集误区：是空集，无任何元素；是以空集为元素的集合，二者完全不同 列举子集必查空集：列举子集、真子集时，最容易遗漏空集，做题优先写空集 相等关系判断：双向包含即可判定两集合相等，是证明集合相等的唯一方法 一、单选题 1．（25-26高一下·云南普洱·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 2．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 3．（24-25高一下·湖北黄石·阶段检测）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 4．（25-26高一上·福建宁德·期末）设，，，若，则实数a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．8 7．（2024高一上·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 8．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 二、多选题 9．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 11．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，若，则__，__. 13．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 14．（25-26高一上·山东德州·期中）已知集合，集合，若，记的所有取值构成的集合为，则集合的子集个数为_____. 四、解答题 15．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 16．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 17．（23-24高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 18．已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 集合间的基本关系（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：子集 知识点02：真子集 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：集合的子集(真子集)的个数 题型02：求集合的子集(真子集) 题型03：判断两个集合的包含关系 题型04：根据集合的包含关系求参数 题型05：判断两个集合是否相等 题型06：根据两个集合相等求参数 题型07：空集的概念以及判断 题型08：空集的性质及应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】子集 1．Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 【例1】已知集合，集合，①判断和的包含关系；②写出集合的全部子集。 解：判断集合包含关系 逐一检验元素：，， 集合内所有元素均属于集合， 根据子集定义可得：。 列举集合A所有子集 集合含有2个元素，按照空集→单元素子集→集合本身分类书写： 空集：、一元子集：、集合本身： 综上：；集合的全部子集为。 【知识点02】真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅⊂A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 注意点： (1)在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}． 【例2】已知集合，①写出集合的所有真子集；②说明空集与集合的关系。 解：书写全部真子集 集合含有3个元素，真子集不包含集合自身，分类列举： 空集：、 一元真子集：、二元真子集： 即所有真子集：。 判断空集与M的关系 集合为非空集合，根据真子集规定：空集是一切非空集合的真子集， 因此：。 【题型01】判断集合的子集(真子集)的个数 【典例1-1】（25-26高一下·江西赣州·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：由题意得，其元素个数为3，子集个数为． 【变式1-1】（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为集合A的元素的个数为，故集合A的所有真子集的个数为. 【变式1-2】（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知集合，则集合的子集有________个． 【答案】4 【分析】求得集合，可求子集. 【详解】因为，所以集合的子集有共4个. 故答案为：4. 【变式1-3】（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，其子集个数为__________，真子集个数为__________． 【答案】 【详解】集合的元素个数为4， 集合的子集个数为：个； 集合的真子集个数为：个． 【题型02】求集合的子集(真子集) 【典例2-1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列是集合的子集的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】写出集合的所有子集即可得解. 【详解】集合的子集为． 故选：ABD 【变式2-2】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）写出集合的一个真子集__________. 【答案】 答案不唯一 【分析】先求出集合的元素，在结合真子集的定义即可. 【详解】由，则，则是其一个真子集. 故答案为： 【变式2-3】（24-25高一上·广西桂林·阶段检测）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）子集：；真子集：. （2）子集：；真子集：. 【分析】根据题意，由子集与真子集的定义，即可得到结果. 【详解】（1）集合的子集：；集合的真子集. （2）集合的子集：； 集合的真子集：. 【题型03】判断两个集合的包含关系 【典例3-1】（25-26高一上·青海西宁·期中）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程化简集合A，然后根据元素与集合的关系、集合与集合的关系逐项判断. 【详解】集合， 所以，，，. 故选项A正确，选项BCD错误. 故选：A 【变式3-1】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与集合的关系依次判断各选项即可得答案. 【详解】对于A，混淆元素与集合，集合与集合的关系，为的真子集，故错误； 对于B，是的真子集 ，不存在大小关系，故错误； 对于C，，正确； 对于D，空集是任何集合的子集，即，不是的元素，故错误. 故选：C 【变式3-2】（2024高一上·全国·专题练习）是菱形____是平行四边形；是等边三角形}______是等腰三角形 【答案】 ⫋ ⫋ 【分析】由菱形是特殊的平行四边形，等边三角形是特殊的等腰三角形即可得. 【详解】菱形是特殊的平行四边形；等边三角形是特殊的等腰三角形， 故是菱形⫋是平行四边形，是等边三角形}⫋是等腰三角形． 故答案为：⫋；⫋. 【变式3-3】（23-24高一下·全国·随堂练习）判定下列集合之间的关系： (1){x|x是矩形}，{x|x是平行四边形}； (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据子集定义可判断； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； 【详解】（1）x是矩形是平行四边形，； （2），， ，， 的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数， 例如： 所以； 【题型04】根据集合的包含关系求参数 【典例4-1】（25-26高一上·河北·期中）已知集合，，若，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D．1或2 【答案】B 【分析】解方程得集合，根据集合的关系即可得结果. 【详解】集合， 因为，，所以的值为2， 故选：B. 【变式4-1】（多选）（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的性质列不等式，集合的包含关系列方程可求结论. 【详解】因为，， 所以且且， 所以且且且， 因为， 所以或， 所以或或（舍去）， 故选：BD. 【变式4-2】（25-26高一上·湖南怀化·期末）若，则实数的值为__________. 【答案】0 【分析】由条件结合集合包含关系的定义可得，列方程求，利用集合元素的互异性排除增根即可.. 【详解】因为，所以， 故或，解得或， 当时：，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时：，，满足条件， 故答案为： 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，是否存在实数，使得是的子集？若存在，求出集合，；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，， 【分析】分、两种情况讨论，求出的值，以及此时集合，，即可得解. 【详解】存在，理由如下： 若，则，此时，，符合题意； 若，则无实根，故不成立； 综上所述，存在实数，使得是的子集，此时，． 【题型05】判断两个集合是否相等 【典例5-1】（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合相等的条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误， 对于B，集合的元素是点，所以B错误， 对于C，由，解得或， 所以，故C正确， 对于D，集合中有二个元素，，所以D错误， 故选：C. 【变式5-1】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相同集合的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，与表示不同的点，则，二者不是同一集合； 对于B，是数集，是点集，二者不是同一集合； 对于C，集合表示大于或者等于的数，集合也表示大于或者等于的数， 则，二者是同一集合； 对于D，集合表示二次函数中取值的集合，为数集， 而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，为点集， 则，二者不是同一集合. 故选：C. 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）与集合相等的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】分析集合中的关系式得到题目中集合对应的区间，然后逐个分析各个选项，集合对应区间相同即可. 【详解】∵，∴， A选项中，∴，A选项错误； B选项为函数函数图像上所有的点的集合，B选项错误； C选项∵，∴，C选项正确； D选项∵，∴，D选项正确. 故选：CD. 【变式5-3】集合与__________（填“是”或“不是”）相等集合． 【答案】是 【分析】解出集合，利用集合相等的概念可得出结果. 【详解】因为，所以或． 又，所以． 故答案为：是. 【题型06】根据两个集合相等求参数 【典例6-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）设，若P=Q，则（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】根据集合相等的定义求得，得解. 【详解】由P=Q，可得，解得， . 故选：C. 【变式6-1】（多选）（25-26高一上·河北保定·阶段检测）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】AC 【分析】分或或三种情况讨论的值即可求解. 【详解】若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，这不符合集合中元素的互异性，所以不符合题意； 若，则，此时，符合题意． 故选：AC 【变式6-2】（2026高一·全国·专题练习）已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【分析】根据集合相等的定义求得后可得结论． 【详解】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 【变式6-3】设，若P=Q，求的值. 【答案】 【分析】由集合相等可得元素相同，由此建方程求解即可. 【详解】由P=Q，则， 因为，所以. 所以，解得， 此时，满足题意. 故. 【题型07】空集的概念以及判断 【典例7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，因为，不为空集，故A错误； 对于B，因为，不为空集，故B错误； 对于C，因为，不为空集，故C错误； 对于D，因为，所以无解， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式7-2】下列集合：①；②；③；④；⑤．表示空集的有_______ 【答案】②④/④② 【分析】由空集的概念，结合各项集合的描述及表示判断空集即可. 【详解】，故为空集；为空集，而、、均不是空集. 故答案为：②④ 【变式7-3】给出下列选项，其中正确的有________ （1）∈{{ }} （2）⊆{{ }} （3）∈{ } （4）{ } 【答案】（2）（3）（4） 【分析】结合空集、元素与集合、集合与集合的关系确定正确结论. 【详解】对于（1），不是{{}}的元素，故不正确；对于（2），是任何集合的子集，所以是{{}}的子集，故正确；对于（3），是{}的元素，故正确；对于（4），是任何非空集合的真子集，{}有一个元素，是非空集合，故正确. 故答案为：（2）（3）（4）. 【题型08】空集的性质及应用 【典例8-1】下列关系表述正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空集的定义和性质以及两集合之间的包含关系可判断每个选项 【详解】解：对于A，空集不含任何元素，故A错误； 对于B，是只含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合，故B错误； 对于C，是含有一个元素的集合，是不含任何元素的集合，故C错误； 对于D，表述正确，故D正确， 故选：D 【变式8-1】已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 【变式8-2】已知集合，若，则实数a的取值范围为___． 【答案】． 【解析】分和两种情况讨论，分别求得满足题意的a的范围，综合即可得答案. 【详解】当时，方程化为，解得，此时，满足题意， 当时，要使，则，解得且， 所以使的实数a的取值范围为． 故答案为：． 【变式8-3】已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 知识点01核心知识框架 1. 子集 （1）定义 对于集合，若集合中任意一个元素都属于集合，则称是的子集。 （2）符号与读法 （读作：包含于）；（读作：包含） （3）两大基础规定 任何集合都是自身的子集： 空集是任意集合的子集： 2. 真子集 （1）定义 若，且存在元素，同时，则称是的真子集。 （2）符号与读法 （读作：真包含于）；（读作：真包含） （3）基础规定 空集是任意非空集合的真子集：若，则 3. 集合相等 若且，则。 知识点02子集与真子集对比表格（高频考点） 比较维度 子集 真子集 集合相等关系 允许 不允许，必须 是否包含自身 集合是自身的子集 集合不是自身的真子集 空集关系 一切集合 一切非空集合 推导关系 知识点03有限集合子集个数万能公式（必背） 设集合中有个元素（）： 1.子集个数： 2.真子集个数： 3.非空子集个数： 4.非空真子集个数： 记忆口诀：总子集为二的n次方，去自身减一，去空集减一，二者都去减二 知识点04本节高频易错点（避坑总结） 关系符号严禁混用：描述元素与集合的从属关系；描述集合与集合的包含关系 分清空集误区：是空集，无任何元素；是以空集为元素的集合，二者完全不同 列举子集必查空集：列举子集、真子集时，最容易遗漏空集，做题优先写空集 相等关系判断：双向包含即可判定两集合相等，是证明集合相等的唯一方法 一、单选题 1．（25-26高一下·云南普洱·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】C 【详解】由题意得，其元素个数为3，子集个数为． 2．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 3．（24-25高一下·湖北黄石·阶段检测）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【答案】D 【分析】利用子集的概念及性质可判断①，利用相等集合的概念可判断②，利用空集的定义可判断③、⑥，利用元素与集合的关系进行判断④，利用集合与集合间的关系可判断⑤． 【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. 4．（25-26高一上·福建宁德·期末）设，，，若，则实数a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】，，， ，，，解得，即，，符合题意. 故选：B. 5．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个集合相等，则元素相同，据此分类讨论求解即可. 【详解】由题意可知，故或， 或或 由集合元素互异性可知， 则实数的取值集合为. 故选：. 6．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论求出，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】由题意有：当时，，满足题意， 当时，，所以， 由，所以或， 解得或， 所以数取值集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C. 7．（2024高一上·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 8．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】方法一：根据集合关系写出所有满足题意的集合C即可得答案. 方法二：转化为求集合的任意一个真子集的个数求解即可. 【详解】方法一：因为集合，， 所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个． 方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素， 故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集， 因为集合的真子集的个数为， 所以满足条件的集合C有 二、多选题 9．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，解得，集合， 中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确； 中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误； 等于集合，是集合A的子集，故C正确； 中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确． 10．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】BCD 【分析】先求出集合，再根据分情况讨论集合的情况即可确定的值. 【详解】集合，， 当时，，符合题意； 当时，，即，符合题意； 当时，，即，符合题意； 综上，实数的值可以是0，1，. 故选：BCD 11．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用枚举法逐一判断即可. 【详解】当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，不满足. 故选：ABD 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，若，则__，__. 【答案】 5 6 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以一元二次方程的两个实数根为， 所以有. 13．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 【答案】72 【分析】根据集合之间的关系写出集合B所有的情况，再计算即可. 【详解】因为，， 集合B可以为， 所有元素之和为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·山东德州·期中）已知集合，集合，若，记的所有取值构成的集合为，则集合的子集个数为_____. 【答案】8 【分析】接着分别和求出B结合求集合C，进而可得其子集个数. 【详解】因为集合，集合，且， 当时，则，满足； 当时，则，可得或，解得或； 综上所述：，集合的子集个数为. 故答案为：8. 四、解答题 15．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 16．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，分和进行讨论； （2）由的子集有两个得出只含有一个元素，分和进行讨论. 【详解】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 17．（23-24高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【详解】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 18．已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，然后根据条件即可确定实数的值； （2）由条件集合知，集合中至多有2个元素，对集合中的元素个数进行分类讨论即可. 【详解】（1）易知集合，由得： 或，解得：. （2）（1）当时满足； （2）当时 ①当即时，满足，. ②当即时，，不满足. ③当即时，满足，只能， 无解. 综上所述：或. 19．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $