精品解析：陕西省西安中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

西安中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 一、选择题(本题共8小题，每小题3.5分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 的虚部是 2. 已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一表示成(为实数),则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 3. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 6. 某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（ ） A. 6n mile B. 7n mile C. n mile D. n mile 7. 在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8. 将边长为2，的菱形ABCD沿对角线BD折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题4分共16分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.） 9. 已知平面向量，，与的夹角为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”，则（ ） A. A与B为互斥 B. B与C为对立 C. 与为互斥 D. 与为对立 11. 下列说法正确的是（ ） A. 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第60百分位数是6 B. 已知一组数据2，3，5，x，8的平均数为5，则这组数据的方差是 C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D. 若，，…，的方差为2，则，，…，的方差是18 12. 如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点含边界，P是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为 B. 过三点作正方体的截面，则截面面积为 C. 三棱锥 的体积最大值为 D. 若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为 三、填空题：(本题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上相应位置.) 13. 复数在复平面内对应点的坐标为______. 14. 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为__________． 15. 某校高一年级共有学生500人，其中男生300人，按男、女生比例进行分层随机抽样，样本量为50，进行身高测量，男生样本的身高平均数为170厘米，女生样本的身高平均数为160厘米，则可估计该校高一年级学生的平均身高为__________厘米. 16. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________． 四、解答题：(本题共5小题，共40分．应写出文字说明、证明过程演和算步骤．) 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 18. 已知的内角所对的边分别为，向量，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 19. 某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量单位：kg），并绘制频率分布直方图如图7所示. （1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表； （2）一次进货太多，水果会变得不新鲜;进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求即在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求请问每天应该进多少千克苹果? 20. 进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. （1）求和的值； （2）试求两人共答对3道题的概率. 21. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）求二面角的大小； （2）求三棱锥的体积； （3）点在直线上，满足（），在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 一、选择题(本题共8小题，每小题3.5分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 的虚部是 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数运算、共轭复数及模长的性质一一分析即可. 【详解】由，故A错误； ，则，故B正确； ，故C错误； 的虚部是-2，故D错误； 故选：B 2. 已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一表示成(为实数),则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量基本定理只需不共线即可. 【详解】由题意得,平面内的任一向量c都可以唯一表示成(为实数), 则一定不共线,所以,解得, 所以m的取值范围是. 故选：D. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解. 3. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】对A，平行于同一个平面的两条直线可能平行，也可能相交和异面，故A错误； 对B，两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线一定与另一个平面平行，故B正确； 对C，两平面垂直，分别在两个平面的直线的位置关系不能确定，故C错误； 对D，两平面垂直，其中一个平面的垂线与另一个平面平行或在另一个平面内，故D错误. 5. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【解析】 【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项. 【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M， 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确； 新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确； 故选A. 点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果. 6. 某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（ ） A. 6n mile B. 7n mile C. n mile D. n mile 【答案】D 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求解BC即可. 【详解】在中，， 由正弦定理得 n mile， 在中，， 由余弦定理得， 所以 n mile. 7. 在边长为的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又，C(1,1)，所以， 所以， 因为0≤x≤1，所以， 即的取值范围是. 故选C. 点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用． 8. 将边长为2，的菱形ABCD沿对角线BD折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点为，连接，得到，取等边和的中心分别为，得到平面，且平面，设三棱锥的外接球的球心为，利用球的截面圆的性质，求得，结合球的体积公式即可求解． 【详解】如图所示，因为菱形边长为， 所以和均为等边三角形，且边长为，沿对角线折成直二面角， 取的中点为，分别连接，则且， 所以为二面角的平面角，所以， 取等边和的中心分别为， 设三棱锥的外接球的球心为，连接， 根据球的截面圆的性质，可得平面，且平面， 因为等边和等边边长均为，可得， 且，， 在直角中，， 即外接球的半径为， 所以四面体的外接球的体积为． 二、选择题（本题共4小题，每小题4分共16分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.） 9. 已知平面向量，，与的夹角为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算求解判断A，根据向量模的坐标运算判断B，根据向量垂直的坐标形式运算判断C，根据向量夹角的坐标公式运算判断D. 【详解】对于A，若，则，，故A错误； 对于B，若，则，故，故B正确； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：BCD 10. 甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”，则（ ） A. A与B为互斥 B. B与C为对立 C. 与为互斥 D. 与为对立 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】因为事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”， 对于A中，事件与可能同时发生，所以A错误； 对于B中，由事件的对立事件为甲乙都不中奖，所以B错误； 对于C中，由事件表示甲乙都中奖，事件表示甲乙都不中奖， 所以不可能同时发生，所以与为互斥事件，所以C正确； 对于D中，由事件表示甲乙都不中奖，事件表示甲乙至少有一人中奖， 所以与为对立事件，所以D正确. 故选：CD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第60百分位数是6 B. 已知一组数据2，3，5，x，8的平均数为5，则这组数据的方差是 C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D. 若，，…，的方差为2，则，，…，的方差是18 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，，第60百分位数为第6位和第7位数据的平均值，即，故A错误； 对于B，由数据2，3，5，x，8的平均数为5，得； ，故B正确； 对于C，分层随机抽样为等概率抽样，每个个体被抽到的概率等于样本容量与总体容量的比值，与个体所在层的个体总数无关，因此各层个体被抽到的概率相同，故C错误； 对于D，，，…，的方差为2，则，，…，的方差为. 12. 如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点含边界，P是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为 B. 过三点作正方体的截面，则截面面积为 C. 三棱锥 的体积最大值为 D. 若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出正方体相邻两个侧面的展开图，对比线段的长度即可得到最短路程，知A正确；作出截面，由矩形面积公式可求得B错误；利用等体积法可知当与重合时，体积最大，通过计算可求得C正确；分析可知点轨迹是以中点为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，结合扇形弧长公式可求得D正确. 【详解】对于A，将侧面和侧面沿展成平面，如下图所示，    此时； 将底面和侧面沿展成平面，如下图所示，    此时； ，沿正方体的表面从点到点的最短路程为，A正确； 对于B，取中点，连接， ，四点共面， 则过三点作正方体的截面，截面即为四边形，如下图阴影部分所示，    平面，平面，， ，，四边形为矩形， 又，，，B错误； 对于C，， 因为平面，所以即底面上的高的长，即， 又（其中是指边上的高）， 因为点为侧面（含边界）上的一个动点，则当点在边上时最大，即， 即面积最大值为，此时三棱锥 的体积取最大值为   ，C正确； 对于D，若，则点在以为球心，为半径的球面上， 取中点，则，，    点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，即劣弧，如图所示， ，，劣弧的长度为：， 则点在侧面内运动路径的长度为，D正确. 三、填空题：(本题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上相应位置.) 13. 复数在复平面内对应点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，由此可得出复数在复平面内对应点的坐标. 【详解】，因此，复数在复平面内对应点的坐标为. 故答案为：. 14. 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为__________． 【答案】 【解析】 【详解】如图，连BD,AC交于点O,连，由正方体可知OE//,所以异面直线与所成角为，不妨设正方体棱长为2，，所以由余弦定理，由于，所以=，填． 15. 某校高一年级共有学生500人，其中男生300人，按男、女生比例进行分层随机抽样，样本量为50，进行身高测量，男生样本的身高平均数为170厘米，女生样本的身高平均数为160厘米，则可估计该校高一年级学生的平均身高为__________厘米. 【答案】 【解析】 【详解】按男、女生比例进行分层随机抽样，男生抽30人，女生抽20人， 样本的平均身高为厘米. 所以估计该校高一年级学生的平均身高为166厘米. 16. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答. 【详解】设的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h， 侧面水平放置时，水的体积为 当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得， 所以当底面水平放置时，液面高为12. 故答案为：12 四、解答题：(本题共5小题，共40分．应写出文字说明、证明过程演和算步骤．) 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明：如图，连，，， 平面平面，平面 （2）证明：平面平面，， 菱形为菱形的对角线，， 平面， 平面． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理进行证明； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知的内角所对的边分别为，向量，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示可得，利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得，由此可得； （2）利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式可求得结果. 【小问1详解】 ，，由正弦定理得：， 即， ，，，， 即，又，. 【小问2详解】 由余弦定理得：，解得：； . 19. 某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量单位：kg），并绘制频率分布直方图如图7所示. （1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表； （2）一次进货太多，水果会变得不新鲜;进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求即在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求请问每天应该进多少千克苹果? 【答案】（1）众数为，平均数为. （2）每天应该进千克苹果． 【解析】 【小问1详解】 由图可知，区间的频率最大，所以众数为； . 该水果店苹果日销售量的众数为85，平均数89.75. 【小问2详解】 日销售量在区间的频率为，日销售量在区间的频率为，故所求的量位于内. 由，得. 每天应该进千克苹果． 20. 进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. （1）求和的值； （2）试求两人共答对3道题的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得； （2）分别求出两人答对1道题的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论． 【小问1详解】 设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，. 设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}， 则，. 由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以， . 由题意可得 即解得或 由于，所以，. 【小问2详解】 设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2. 由题意得，，， ，. 设{甲乙二人共答对3道题}，则. 由于和相互独立，与相互互斥， 所以. 所以，甲乙二人共答对3道题的概率为. 21. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）求二面角的大小； （2）求三棱锥的体积； （3）点在直线上，满足（），在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）根据二面角的定义，过点分别作，，则为二面角的平面角，即可求解；（2）利用等体积转化，再求解点到平面的距离，即可求解体积；（3）方法一，分两种情况，当点在线段上时，当点在延长线上时，分别利用线线，线面平行关系求得的值；方法二，利用线线平行，线面平行关系，构造面面平行，利用面面平行的性质定理，求解的值. 【详解】（1）过点分别作，，分别交，于，，连接， 则为二面角的平面角， 因为四边形为正方形，， 所以，， 由已知得， 所以． （2）过点作，垂足为． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，， 所以． 因为， 所以平面． 因为平面， 所以． 因为，，平面， 所以平面， 所以为三棱锥的高，． 因为， 所以． （3）方法一： 假设存在点． ①当点在线段上时，连接交于， 则， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以． ②当点在延长线上时，连接交于， 则， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以． 综上，在直线上存在点，使平面，的值为或． 方法二： 当点在线段上时，过点作交于，连接，过点作交于点， 因为， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以． 当点在线段延长线上时，过点作交于，连接，过点作交于点． 因为， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． 所以． 综上，在上存在点使得平面，此时或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $