福建省厦门第一中学2025-2026学年第二学期期末考试模拟测试高二数学试卷

福建省厦门第一中学2025一2026学年度 第二学期期末模拟测试 高二年数学试卷 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知点2在直线1：x+2y-3=0上，点P(3,5),且P2⊥1，则点2的坐标为 195 A.（-1,2) B.(1,1) c 33 2.已知a,b,c∈R,若-2，a,b,c,-8成等比数列，则abc= A.32 B.±64 C.-64 D.64 3.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时 间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34 分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则 A.P(X≤30)<P(Y≤34) B.P(X≤38)<P(Y≤38) C.若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D.若某天只有38分钟可用，小明应选择坐公交车 ⅓ X的密 Y的密 度曲线 度曲线 26303438tmin 第3题图 4.已知(a-√)的展开式中的x的系数是280，则a= A.2 B.-2 C.1 D.-1 5.一排有6个座位，3个人随机入座，则恰有2人相邻的概率为 B. 3 D. 4 10 6。已知点P(6)是曲线y=上的动点，则k一为的最小值为 A.1 B.√2 C.2 D.2√2 高二数学试题第1页（共4页） 7.已知01=(a6,0(a<b)为单位向量，且0A与0元=11,0)夹角的余弦值为75，向量 10 OB=(0,b,c),则cos∠AOB A.有最大值 B.有效小值等 e有佞大位 D.有最小怕 .y2 ⑧，已知椭圆C+31a>b>0)的左、石焦点分别为耳，乃，且乃为抛物线 I:y=2px(p>0)的焦点.设T与C在第一象限的交点为P,若P-PR引=R, 则C的离心率为 a月 B. 5 3 c.2 2 D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体E-ABCD-F,P为棱BC 上一点，则 A.AE‖平面BC五 B.八面体E-ABCD-F的体积为16 C.EP+FP的最小值为26 D.点A到平面BCP的距离为4W5 3 第9题图 10.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F。过点P(2P,2p)作C的切线1,1与y轴，x轴 分别交于点2，K;过坐标原点O作1的垂线(，1与直线PF交于点M,则 A.,1的斜率为 B.KF=PF C.OM‖QF D.△OMF是等腰三角形 11.在等比数列{a}中，a+4+4+a4=1,4+a+a+a4=3,则a= A青 B. c. D.-8 -5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.圆0：x2+y2-1上的点到直线1：3x-4y+15=0的距离的最小值为▲ 13.己知函数f(x)=hx-ax+1的最大值为0，则a=▲ 14.空间直角坐标系0-z中，A1,0,√2)，B1,V5,0),C(0,W5,V2),1为三棱锥 O-ABC的内切球的球心，由OI与平面ABC所成角的正弦值为▲ 高二数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 一辆快递车从A地往B地运送快递，沿途（包括A,B)共有2m(m∈N)站.从A地 出发时，装上发往后面2-1站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快 递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数 构成数列{a}(n∈N,n≤2m). (1)求a,4,并写出a.与a-1(2≤n≤2m)的递推关系式： (2)求数列{a}(n∈N,n≤2m)的通项公式，并求出a的最大值， 16.(15分) 如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,将△ABD沿矩形对角线BD翻折至△SBD, 使得点S在底面BCD内的投影点O在CD上，M为BS的中点. (1)求证：SD⊥MC; (2)求二面角D-MC-S的余弦值. M D 第16题图 17.(15分) 己知函数f(x)=ex-ax, (1)讨论f(x)的单调性： (2)当x>0时，f(x)≥x2-x+1恒成立，求a的取值范围. 高二数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已如双由线C号若-a>060)的一条衡近线1的方程为-2y=0,以C的右 焦点F为圆心，半径为2的圆F被1截得的弦长为2√5，A(1,0) (1)求C的方程； (2)已知C上的动点M,N关于x轴对称，直线AM与C交于另外一点P,证明： 直线PN恒过定点： (3)设与C的渐近线不平行的两条直线，，均与C相切，且交点为 D(,)(:≠±2)，当，，的斜率之积为-二时，判断是否存在定点B,使得DA+DB 为定值？若存在，求出B点的坐标：若不存在，请说明理由. 19.(17分) 如图，数字1至8按顺时针方向排成一圈，将一棋子放在数字8处，按如下规则移动棋 子：抛掷一枚质地均匀的硬币1次，若正面朝上，棋子按顺时针方向连续移动3个相邻位置： 若反面朝上，则按逆时针方向连续移动3个相邻位置.若连续投掷硬币次，并按上述规则 移动棋子，记最终棋子所处的数字为随机变量X,·例如：若连续3次抛掷硬币均为正面朝 上，则棋子移动3次，第1次从数字8处移动到数字3处，第2次移动到数字6处，第3次移 动到数字1处，即X3=1. (1)求P(X2=2),P(X3=3): (2)证明：P(X,=1)=P(X,=7): (3)现设计一项游戏：游戏包含若干轮，每轮开始时将棋子放在数字8处，玩家连续 投掷6次硬币并按上述规则移动棋子，当X。<4时玩家获胜，游戏结束，否则进行下一轮， 游戏最多进行10轮.记游戏结束时的轮数为随机变量Y,求Y的分布列，并证明E(Y)<4, 5 第19题图 高二数学试题第4页（共4页）厦门一中2025一2026学年第二学期高二年级质量检测模拟测试 数学试题参考答案与评分标准 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1~4:BCBA 5~8:CAAD 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.ACD 10.BCD 11.AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.213.114. 3v11 11 14.提示：如图，易知三棱锥O-ABC的四个顶点也是长方体OD的顶点.此时四面体 O-ABC为等腰四面体，它的四个面是全等的锐角三角形，其外心T为OD的中点， 且TO=TA=TB=TC=】OD,所以三棱锥T-OAB,T-OAC,T-OBC,T-ABC 是4个全等的三棱锥，由此可知T到平面OAB,平面OAC,平面OBC,平面ABC的 距离相等，故T与I重合. 由AB=(0,V5,-√)，AC=（-1,V5,0),可得平面ABC的法向量=(6,2，√3) 又o7=1§2 2’2’2 所以OI与平面ABC所成角的正弦值为 oT.3匝 07网 11 M 以D G少 第14题答题图 第16题答题图 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解析：(1)由题意可知4=2-1,42=a-1+(2m-2)=2m-1-1+2m-2=4-4, -2分 在第n个快递站御下n-1件快递，同时装上2m-n件快递，-----------3分 则an=a-1-(n-1)+(2m-nm)，所以a.=a-1+2m+1-2n,2≤n≤2m.---5分 (2)由(1)知a.-a-1=2m+1-2n,2≤n≤2m.- --6分 可得an=a+(a3-a)+(a3-a)+…+(an-a-1) =(2-1)+(2-3)+(2m-5)+…+(2m+1-2n） n[(2m-1)+(2m+1-20]_-2+2mn≥2） -9分 2 a=2-1也符合上式，所以a.=-n2+2n(n∈N,n≤2.------11分 当n=时，a的最大值为am=m2.- --13分 高二数学试题第1页（共4页） 16.解析：(1)由题意知SO⊥平面BCD,BCc平面BCD,所以SO1BC.--1分 又因为BC⊥CD,SO∩CD=O,SO,CDc平面SCD,所以BC1平面SCD.3分 因为SDC平面SCD,所以BC⊥SD.--- --4分 又SDL BS,且BS∩BC=B,BS,BCc平面SBC,所以SD⊥平面SBC.--6分 因为MCC平面SBC,所以SD L MC.-------7分 (2)如图，以O为坐标原点，OS所在直线为二轴，OC所在直线为x轴，在平面BCD 内，以过O且垂直于CD的直线为y轴，建立空间直角坐标系O-灯， 由SD⊥平面SBC,SCc平面SBC,得SD⊥SC.- --8分 结合SD=2,CD=4,得∠SDC=60°，OD=1,OS=√5，OC=3 -9分 则C(3,0,0),S00,5),D(-1,0,0),B(3,-2,0),所以M 1 3 --10分 由题意可知，平面S8C的法向量为D丽=(1,0，V). -11分 设平面CM法向为-(,且C[ CD=(4,0,0) MC.n=0, 由 x+y-5 2=0 得x=0,令=2，则y=5,=(0,5,2) DC.n=0 4x=0 -13分 因为二面角D-MC-S的平面角O显然为锐角， 所以cos0=cos(元，DS〉》 n.DS √21 :D 7 即二面角D-MC-S的余弦值为V 7 --15分 17.解析：(1)由题意知x∈R,且f'(x)=e-a. -1分 若a≤0，则f'(x)>0,xeR,f(x)在R上单调递增， -3分 若a>0,令f'(x)=0,得x=lna.当x∈(ha,+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 当x∈(-o,lna)时，∫'(x)<0，f(x)单调递减： -5分 综上，当a≤0时，f(x)的递增区间是(-w,+o),没有单调递减区间， 当a>0时，f(x)的递减区间是(-0，ha,递增区间是(ha,+o).---6分 (2)当x>0时，f(y)≥x-x+1恒成立，即x>0时，e-ax≥2-x+1恒成立，也 即a<c-+-l在(0，+四)上恒成立. -8分 令g(m)=c-r+-x>0), g(x)-fc'-2x+1)x-(e'-x+x-1)_x-c-x+1_(x-D)(c-x-1) 10分 x2 x2 x2 令h(x)=e-x-1(x>0),由(1)知函数y=e-x在(0，+o)上单调递增，所以函数 h(x)在(0，+o)上单调递增. 则有h(x)>h(0)=0，,即e-x-1>0(x>0).-- --12分 所以当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(1，+o)时，则g'(x)>0,g(x) 单调递增，所以函数g(x)在x=1处取最小值g(1)=e-1. -14分 于是a≤e-1,即a的取值范围为(-o,e-1].- -15分 高二数学试题第2页（共4页） 18.解析：(1)设C的右焦点F(c,0),则F到渐近线x-2y=0的距离为d= 51分 由题意知22-正=24-写=25，解得c=5. -2分 nb=,结合c2=d+b2,解得b=1,a=2. 由已知2=。 -3分 a 2 所以C的方程为 4-y2=1 -4分 第18题答题图 (2)证明：由对称性，若直线PN过定点，则该定点在x轴上. ---5分 由题知直线AM的斜率存在且不为零，设其方程为x=y+1(m≠0)， x=y+1, 联立-4-4-0消去r并整理得(r-4y+2m-3=0. ---6分 则m2-4≠0，且△△=4m2+12(m2-4)>0,得m∈（-o,-5)U(V5,+o）,且m2≠4. 设M(%+1片)，P(y2+1,y2),则N(%+1,-y). 3 所以片+=，2”44；29=3(0+为) -7分 直线PW的方程为：y+%二方r-m-), --8分 令y=0,得x= 为D+m+1=2+1=3+1=4. y+3 y+y 所以直线PN过定点(4,0). ----10分 (3)设过D点，与C只有一个公共点，且与C的渐近线不平行的直线方程为 y-为=k(x-k≠±2)： .1 联立”%=(x-6, x2-4y2-4=0 ，消去少并整理，得 (1-4k2)）x2-8k(0%-x)x-4(06-)-4=0. 12分 则1-4k2≠0，且△=64K(06-1)+41-42)4(%-)+4=0,整理得 (-4)k2-2xk++1=0. --14分 设，1的斜率分别为乃，飞，则k,飞是上面关于k的方程的两个实根 又4.的斜率之积为分所发片5理内号店=1 厅以动点D在椭圆T:;+y=1上，且点A为其右焦点 --15分 所以存在定点B(-1,0)(T的左焦点)，使得DA+DB=2W2,为定值.--17分 高二数学试题第3页（共4页） 19.解析：(1)记Sn为棋子顺时针移动n次，N为棋子逆时针移动n次， 则SN,(i+j=t,i,jeN)与SN,(e+f=t,e,feN)(i≠e)互斥. -2分 所以红----号 -3分 P=)=PN)= -4分 a因为Px)-sN+)c+c[音 --6分 P(X=7)=P(SN4+S)=( 所以P(X=1)=P(X,=7) --8分 (3)先分析连续移动6次后X。的取值情况：6次均为顺时针，则X。=2: 5次顺时针1次逆时针，则X。=4；4次顺时针2次逆时针，则X。=6: 3次顺时针3次逆时针，则X。=8;2次顺时针4次逆时针，则X。=2; 1次顺时针5次逆时针，则X。=4;6次逆时针，则X。=6 -10分 散Px4x2+)c2)C4 …12分 所议了的可能取值为L,2a4561,8910,共中PY=)-()0sis9ieN), 3130 P(Y=10)= 4)4+4= 所以随机变量Y的分布列如下： 4 2 3 i1≤i≤9，ieN*) 9 10 3 3 4×4 4 4 所以)--3+90) 14分 s--2经，++新 则2++ 两式相减， -+)町-门 sg用目s -16分 故E(Y）)=4-3× 又因为neN,所以E(Y)<4. -17分 高二数学试题第4页（共4页）福建省厦门第一中学2025一2026学年度 第二学期期末模拟测试 高二年数学试卷 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1. 已知点2在直线1：x+2y-3=0上，点P(3,5),且P2⊥1， 则点2的坐标为 5 A.（-1,2) B.(1,1) C. 19 3 D. 3 2 答案：B 解析：由点2在直线1：x+2y-3=0上，故可设(-2%+3，%).因为P9⊥1，P(3,5), 所以k2k= 6-5 1 2%+3-3 =-1,解得=1，所以21,1)，故应选B. 2.已知a,b,c∈R,若-2，a,b,c,-8成等比数列，则abc= A.32 B.±64 C.-64 D.64 答案：C 解析：由已知可得b2=ac=(-2)×(-8)=16,又因为等比数列奇数项符号相同，所以 b=4,所以abc=-64,故应选C. 3.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时 间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36：骑自行车平均用时34 分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则 A.P(X≤30)<P(Y≤34) B.P(X≤38)<P(Y≤38) C.若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D.若某天只有38分钟可用，小明应选择坐公交车 yA 的密 ! Y的密 度曲线 度曲线 26303438tmin 第3题图 高二数学试题第1页（共11页) 答案：B 解析：易知X~N(4,o),Y-N(h,o),其中4=30，σ=6，凸=34，o=2。 由P(X≤4)=0.5=P(Y≤h),即P(X≤30)=P(Y≤34)=0.5，即知选项A错误. 因为4+01=30+6<38<4+201=30+12=42，而4+2o2=34+4=38,由3o原则 可知P(X≤38)<P(Y≤38)，选项B正确. 因为34>4=30，所以P(X≤34)>P(≤30)=0.5，故P(Y≤34)=0.5，因此 P(X≤34)>P(Y≤34)，坐公交车准时概率更高，应选坐公交车，选项C错误， 由选项B知P(X≤38)<P(Y≤38)，即骑自行车准时到达的概率更高，选项D错误， 4. 已知(a-√)的展开式中的x的系数是280，则a= A.2 B.-2 C.1 D.-1 答案： A 解析：(a-V可展开式的通项为Te=Ca(=C5a-(-1旷x, k=0,12,7.令 -2,得k=4,则x项的系数为C1a-4(-1)4=C1a2=35a,由 35a3=280,解得a=2.故应选A. 5. 一排有6个座位，3个人随机入座，则恰有2人相邻的概率为 1 A. 3 B. c D. 10 答案：C 解析：所有可能的排法共A=120种.满足条件的排法为：第1步，从3人中选2人使之 相邻，共有C=3种选法；第2步，从3个空座位形成的4个空隙中选出两个插入上述 恰有2人相邻的3个人，共有A=12种方法；第3步，相邻的2人排序，共有A=2种 排法.故恰有2人相邻的概率P=4_3x12×2_3 120 ,故应选C 6.己知点P(,)是曲线y= 血x上的动点，则：-的最小值为 A.1 B.√5 C.2 D.2W5 答案：A 解析：点P(6,6)在曲线y=血x上，且点P(G,为)到直线y=x,即x-y=0的距离 d=为，因此可先求点P(G)到y=x距离的最小值.当函数y=在P(,乃) 2 处的切线与y=x平行，即斜率为1时，点P(x,)到y=x的距离最小. 由y= ←c,得ynx，,今=1，解得x=1,y=0.点，0)到直线y=x的跟 离d=5,所以点P(5,)到y=x距离的最小值为5. 所以-的最小值为 2 5×5-1. 故应选A 2 评注亦可把-%转化为6 Ino 再利用导数工具求最值. 高二数学试题第2页（共11页） 7.已知OA=(a,b,0)(a<b)为单位向量，且OA与OC=(1,1,0)夹角的余弦值为 7W2 ，向量 10 OB=(0,b,c),则coS∠AOB A.有数大怡号 B.有最小道 c.有技大号 D.有操小写 答案：A 解析：由题可知oc.O-s∠A0C=V2x1x75_7 10-5 =a+b. 又o时-a+公-1，结合a<6,得a6号 16 OA.OB 6 25 164 所以C0S∠AOB OAOB Vb2+c2 6+c2 V255,当c=0时等号成立.故应 V2 选A. 评注空间直角坐标系中画出图形，利用最小角定理可简化运算，且发现OA为单位向量 为多余条件 8. 之知椭圆C:乙大 6 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为耳，耳，且E为抛物线 「y=2px(P>0)的焦点.设T与C在第一象限的交点为P,若P-P风=)R, 则C的离心率为 1 A B.V3 c.2 2 3 2 4 1 P FO F2 第8题答题图 答案：D 解析：如图，作抛物线的准线l,则1过椭圆的左焦点耳，过P作PN⊥1交1于N, 因为椭圆与抛物线有共同的焦点，所以p=2c,设P(x,)。 因为P+P=2a,P-Pg=c,所以PAl=a+号PR=a-分 又因为州-P以a号无c:所以无a当 在直角三角形PRN中，|PNP+N=|PE, 所以 -ta-a+ 解得a=3c,所以e= 1 2 故应选D. 高二数学试题第3页（共11页） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体E-ABCD-F,P为棱BC 上一点，则 A.AE‖平面BCF B.八面体E-ABCD-F的体积为16 C.EP+FP的最小值为26 D.点A到平面BCP的距离为4N5 第9题图 第9题答题图 答案：ACD 解析：易知该八面体是棱长为2√5的正八面体，四边形AFCE为菱形，所以AE‖CF, 又因为CFC平面BCF,AE￠平面BCF,所以AE‖平面BCF,选项A正确 易知四枝能日-ABCD的高为2，体积为2V万x2可)<25 所以八面体 B-ABCD-F的体积为16×2=32， 3 ,选项B错误 把两个正三角形△EBC与△FBC沿着BC翻折，使它们在同一个平面内，易知当P为 BC中点时，E,P,F三点共线，此时EP+FP取得最小值EF=2x x22 26. 2 选项C正确。 设M,N分别为AD,BC的中点，易知BC⊥平面MNF,平面BCF⊥平面MNF, 且AD‖平面BCF,故点A到平面BCF的距离可转化为M到NF的距离.△MNF中， M=N=V6,MN=2W6,由等面积法可知M到NT的距离为4V5 选项D正确. 综上，应选ACD 评注亦可建立空间直角坐标系，用空间向量的方法求得点A到平面BCF的距离， 10.抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F.过点P(2p,2p)作C的切线1,1与y轴，x轴 分别交于点2，K:过坐标原点O作1的垂线，1与直线PF交于点M,则 A.1的斜率为 B.KF=PF 2 C.OM‖OF D.△OMF是等腰三角形 高二数学试题第4页（共11页） 0 第10题答题图 答案：BCD 解析：易知1的方程为2p=pr+p2p,即y=)+p,所以(0，p),K(0,-2p）。 所以长-片选项4错保 又-号(2p-,财川-号2p号，选项B正输。 ”22 0、 -之，kax=ker,所以OM1OF,选项C正确 2 因为k=-2,k=2卫-04 2p-23,所以tan∠FOM=2,tan∠OPM=4 2 4 2+ 所以tan∠OMF=-tan(∠FOM+∠OFM）=- 3 =2=tan∠FOM, 4 1-2x1 3 所以∠OMF=∠FOM,所以△OMF是等腰三角形. 综上，应选BCD 11.在等比数列{a}中，a+a+4+a4=1,a++a+a4=3,则a= A. B._1 4 c. D. 5 答案：AC 解析：若公比q>0,则4+a+4+a4=4+4+4+a,与1≠3矛盾，故q<0. （i)当4>0时，有a+a9+4q+4q3=1,4-a9+a-a44=3 两式相加得2a+2ag2=4,即a(1+q)=2: 两式相减得24g+2ag:-2.刷4g+9)-1:解得g=分g-号 (i)当a<0时，有a+49+aq+aq3=1,-a+a9-ag+49=3. 两式相加得2a49+24=4,即aq1+g2）=2: 两武相减得2a+24g=-2,即a1+g）-1:解得9=-2，a= 综上，应选AC 高二数学试题第5页（共11页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.圆0：x2+y2=1上的点到直线1：3x-4y+15=0的距离的最小值为 答案：2 解析：该圆的圆心为O(0,0),半径r=1,O到直线1的距离d= 5 =3>r,所 V32+49 以圆O与直线1相离，其上一点到1的距离的最小值为d-r=3-1=2. 13. 已知函数f(x)=nx-ax+1的最大值为0，则a=▲ 答案：1 解析：了y-是a,e(Q+o). (i)当a≤0时，f()>0,f(x)在(0，+o)上单调递增，无最大值，不合题意； (i)当a>0时，令f(=0,得=合且当xe0日时，f网0，闲单 1 意8：e合+时，了八0.儿单时途流 由即fe-f月-日-a1=-,由加-0,0a-1. a 综上可知，a=l满足题意 14.空间直角坐标系0-9z中，A1,0,V2),B1,V5,0),C(0,V5,√2)，I为三棱锥 O-ABC的内切球的球心，由OI与平面ABC所成角的正弦值为▲ A T 第14题答题图 答案：3 11 解析：如图，易知三棱锥O-ABC的四个顶点也是长方体OD的顶点.此时四面体 O-ABC为等腰四面体，它的四个面是全等的锐角三角形，其外心T为OD的中点， 且T0=TA=TB=TC=1OD,所以三棱锥T-OAB,T-OAC,T-OBC,T-ABC 是4个全等的三棱锥，由此可知T到平面OAB,平面OAC,平面OBC,平面ABC的 距离相等，故T与I重合. 由AB=(0,V5,-V2),AC=(-1,V3,0),可得平面ABC的法向量n=(N6,V2,V): 又07= 13V2 OT.n 311 2’22 所以OI与平面ABC所成角的正弦值为 o-7 11 高二数学试题第6页（共11页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 一辆快递车从A地往B地运送快递，沿途（包括A,B)共有2m(m∈N)站.从A地 出发时，装上发往后面2-1站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快 递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数 构成数列{a}(ne,n≤2m). (1)求4,4，并写出a.与a-1(2≤n≤2m)的递推关系式： (2)求数列{a}(n∈N,n≤2m)的通项公式，并求出a.的最大值 解析：(1)由题意可知a=2-1,%2=a-1+(2m-2)=2m-1-1+2-2=4m-4. 在第n个快递站卸下n-1件快递，同时装上2m-n件快递， 则a.=a1-(n-1)+(2m-n),所以a.=a1+2m+1-2n,2≤n≤2m. (2)由(1)知a,-an-1=2m+1-2n,2≤n≤2. 可得a.=4+(a-a)+(a-a)+…+(a.-a-1) =(21-1)+(2-3)+(2-5)+…+(2m+1-2n) n[(2m-1+(2m+1-20】-E+2mm.0n≥2） 2 a=2m-1也符合上式，所以a.=-n2+2mm(neN,n≤2m. 当n=n时，an的最大值为am=m2. 16.(15分) 如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,将△ABD沿矩形对角线BD翻折至△SBD, 使得点S在底面BCD内的投影点O在CD上，M为BS的中点. (1)求证：SD⊥MC; (2)求二面角D-MC-S的余弦值. M B< D 第16题图 解析：(1)由题意知SO⊥平面BCD,BCc平面BCD,所以SO1BC 又因为BC⊥CD,SO∩CD=O,SO,CDC平面SCD,所以BC⊥平面SCD 因为SDc平面SCD,所以BC⊥SD. 又SD⊥BS,且BS∩BC=B,BS,BCC平面SBC,所以SD⊥平面SBC. 因为MCc平面SBC,所以SD⊥MC. (2)如图，以O为坐标原点，OS所在直线为二轴，OC所在直线为x轴，在平面BCD 内，以过O且垂直于CD的直线为y轴，建立空间直角坐标系O-, 由SD⊥平面SBC,SCc平面SBC,得SD⊥SC. 结合SD=2,CD=4,得∠SDC=60°，OD=1,OS=√3，OC=3 则CB00.510a).-100,sg20.所以n径-15 2 由题意可知，平面SBC的法向量为D5=(1,0,V3), 高二数学试题第7页（共11页） 设平面CDM的法向量为=(x,y=),且MC= cD=4,00) MC.n=0, =0 由 gx+5 DC.n=0 得x=0,令：=2，则y=V5,n=(0,V5,2 4x=0 因为二面角D-MC-S的平面角θ显然为锐角， n.DS 所以c0sB= cos(，D v2i 7 即二面角D-MC-S的余弦值为V M B< 0 第16题答题图 17.(15分) 已知函数f(x)=e-ax. (1)讨论∫(x)的单调性： (2)当.x>0时，f(x)≥x2-x+1恒成立，求a的取值范围. 解：(I)由题意知xeR,且f'(x)=e-a. 若a≤0，则f'(x)>0,xeR,f(x)在R上单调递增. 若a>0,令f'(x)=0,得x=na. 当x∈(na,+o)时，∫"(x)>0,f(x)单调递增； 当xe(-o,lna时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 综上，当a≤0时，f(x)的递增区间是(-0，+∞)，没有单调递减区间， 当a>0时，f(x)的递减区间是(-o,lha),递增区间是(na,+o). (2)当x>0时，f(x)≥r-x+1恒成立，即x>0时，e-ax≥x2-x+1恒成立，也 即a≤e-r+-l在(0，+m)上恒成立. 令gg)--r+-x>0). 则g0y)-e-2r+r-e-r+r-_e-c-r+1c-0e--） 令h(x)=e-x-1(x>0),由(1)知函数y=e-x在(0，+o)上单调递增，所以函数 h(x)在(0，+o)上单调递增. 则有h(x)>h(0)=0,即e-x-1>0(x>0). 所以当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(1，+o)时，则g'(x)>0,g(x) 单调递增，所以函数g(x)在x=1处取最小值g(1)=e-1. 于是a≤e-1,即a的取值范围为(-m,e-1]. 高二数学试题第8页（共11页） 18.(17分) 已知双崔线C号芳-1(a>06:0)的一条新近线1的方程为r-2y-=0,以C的右 焦点F为圆心，半径为2的圆F被1截得的弦长为2√5，A(1,0). (1)求C的方程： (2)已知C上的动点M,N关于x轴对称，直线AM与C交于另外一点P,证明： 直线PN恒过定点； (3)设与C的渐近线不平行的两条直线l,(均与C相切，且交点为 D心5，⅓5≠士2)当，4的斜率之积为时，判断是香存在定点及，俊得D4+Da例 为定值？若存在，求出B点的坐标；若不存在，请说明理由 第18题答题图 解析：(1)设C的右焦点F(c,0),则F到渐近线x-2y=0的距离为d= 5 由题意知2√2-dP=2,4- =25,解得c=√5， 5 的已知乌1 日2结合c2=a+6,解得b-1,a=2. 所以C方程为苦严-1 (2)证明：由对称性，若直线PN过定点，则该定点在x轴上 由题知直线AM的斜率存在且不为零，设其方程为x=y+1(≠0)， x=y+1, 联立-4-4=0消去x并整理得(m-4y+2m-3=0. 则m2-4≠0，且△△=4m2+12(m2-4)>0,得m∈-0，-√5)U(V5,+）,且m2≠4. 设M(+1,),P(+1与)，则N(%+1,-y). 2m 所以片+y2= 3 n4为=m4 2%y3=3(y+y2). 直线PN的方程为：y+片=之+片（化-m,-). m(乃-) 令y=0,得x= 04-2+m+12m+1=3+1=4. y+y 片+ 所以直线PN过定点(4,0) (3)设过D点，与C只有一个公共点，且与C的渐近线不平行的直线方程为 y%-=》 高二数学试题第9页（共11页） 联立 y-%=k(-》,消去y并整理，得 x2-4y2-4=0 (1-42)x2-8k(%-x)x-4(%-)}-4=0. 则1-42≠0，且△=642(0-)+41-42)4(%-)+4=0，整理得 (-4)k2-2x%k+后+1=0 设，1的斜率分别为片，k2,则k,飞是上面关于k的方程的两个实根 又上的率之积为：分所以-子整得+1 所以动点D在椭圆T+y1上，点A为其右焦点 所以存在定点B(-1,0)(T的左焦点)，使得DA+DB=2√2，为定值 19.(17分) 如图，数字1至8按顺时针方向排成一圈，将一棋子放在数字8处，按如下规则移动棋 子：抛掷一枚质地均匀的硬币1次，若正面朝上，棋子按顺时针方向连续移动3个相邻位置； 若反面朝上，则按逆时针方向连续移动3个相邻位置.若连续投掷硬币次，并按上述规则 移动棋子，记最终棋子所处的数字为随机变量X,·例如：若连续3次抛掷硬币均为正面朝 上，则棋子移动3次，第1次从数字8处移动到数字3处，第2次移动到数字6处，第3次移 动到数字1处，即X3=1. (1)求P(X2=2),P(X3=3): (2)证明：P(X=1)=P(X,=7)； (3)现设计一项游戏：游戏包含若干轮，每轮开始时将棋子放在数字8处，玩家连续 投掷6次硬币并按上述规则移动棋子，当X。<4时玩家获胜，游戏结束，否则进行下一轮， 游戏最多进行10轮.记游戏结束时的轮数为随机变量Y,求Y的分布列，并证明E(Y)<4. 6 第19题图 解析：(1)记Sn为棋子顺时针移动n次，Nn为棋子逆时针移动n次， 则SN,(i+j=t,ijeN)与S,N,(e+f=t,e,feN)i≠e)互斥. 质K-)-c- ) ②因为=-PwN)-写c传君 Prx--P+8-cc[。 3 所以P(X=1)=P(X=7). 高二数学试题第10页（共11页） (3)先分析连续移动6次后X。的取值情况： 6次均为顺时针，则X。=2;5次顺时针1次逆时针，则X=4: 4次顺时针2次逆时针，则X。=6；3次顺时针3次逆时针，则X。=8; 2次顺时针4次逆时针，则X。=2;1次顺时针5次逆时针，则X。=4; 6次逆时针，则X。=6. 版x0P=2)P+8)-c- 所以T份可作取值为1234567.89,10，其中P0--(×号0s1三9eN. w-- 所以随机变量Y的分布列如下： 2 3 i(1≤i≤9，ieN*) 9 10 图好 所以)=-+新÷+910 2好 4 两式相减， + …j团 故E(Y)=4-3× 又因为neN,所以E(Y)<4 高二数学试题第11页（共11页）