2025-2026学年高二数学下学期期末复习卷 解析版

**基本信息** 2025-2026学年高二数学下学期期末复习卷，聚焦函数、概率统计、导数应用，融入航天零件生产、快递配送延迟等现实情境，通过分层设计考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数极值、独立事件、二项分布|基础概念辨析，如极大值点判断、回归分析拟合效果| |多选题|3/18|正态分布、排列组合、导数单调性|多选项逻辑推理，如空位相邻问题、函数极值点性质| |填空题|3/15|定积分、切线方程、同余定义|抽象概念应用，如过点作切线的参数范围| |解答题|5/77|线性回归、概率分布、导数证明、泊松分布|现实情境综合，如航天零件次品分析、快递延迟概率估计，融合数学建模与数据分析|

2025-2026学年高二数学下学期期末复习卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数在上的极大值点为(    ) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是(    ) 若事件与互相独立，且，，则 在回归分析中，对一组给定的样本数据，，，而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差反之，则模型的拟合效果越好 若随机变量服从二项分布，则 设随机变量服从正态分布，则 A. B. C. D. 3.在的展开式中，项的系数为(    ) A. B. C. D. 4.已知随机变量的分布列如下表，若，则(    ) A. B. C. D. 5.某大学一宿舍名同学参加研究生招生考试，其中两人顺利被录取，还有两人需要调剂，这两名学生准备分别从，，，，，这所大学中任选三所大学申请调剂，那么他们各自所选择的三所大学中恰好只有一所大学相同的概率为(    ) A. B. C. D. 6.若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.某学校在假期组织位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆个城市参加研学活动每个学生可自由选择个城市中的任意个不要求每个城市必须要有学生选择若每个学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则选择前往北京或上海研学的概率最大的学生人数为(    ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8.已知实数，满足，则下列关系一定不成立的是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知随机变量，，满足，，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. C. D. 10.现将把椅子排成一排，位同学随机就座，每人坐一把椅子，则． A. 个空位全都相邻的坐法有种 B. 个空位中只有个相邻的坐法有种 C. 个空位均不相邻的坐法有种 D. 个空位中至多有个相邻的坐法有种 11.已知函数，则下列说法正确的有(    ) A. 若是的极小值点，则在上单调递减 B. 当时，若在上单调递减，则 C. 当时，若有个零点，则的取值范围为 D. 若不等式的解集为，且，则图象的对称中心为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则           ． 13.已知函数  经过点  只可作  的两条切线，则的取值范围           ． 14.定义：给定一个正整数，如果两个整数，满足能够被整除，就称整数，对模同余，记作若，，，则的最小值为          ． 顾客性别 玩偶颜色 合计 蓝色 粉色 男 女 合计 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.现给出某零售店在某日上午的两种颜色玩偶的销售数据统计表假定每人限购一个玩偶 若“认为顾客购买的玩偶颜色与顾客性别有关”犯错误的概率不超过，求的最小值 在中取得最小值的条件下，现从所有顾客中选出人，记选到的人中女顾客人数为，求的分布列及数学期望． 附：． 16.某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示． 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 比赛胜率 当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率． 当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率． 若某场比赛该运动队获胜，且甲参加比赛，则甲最可能被安排在什么位置 17.探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量． 某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在百件产品中，得到次品数量单位：件的情况汇总如下表所示，且单位：件与单位：百件线性相关： 百件 件 根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产件的任务？ “战神”太空空间站工作人员需走出太空站完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过分钟，如果有人分钟内不能完成任务则撤回，再派下一个人，直到完成任务为止．现在一共有个人可派，工作人员，，，，各自在分钟内能完成任务的概率都为，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为，的数学期望为，证明：． 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式 ；参考数据：， 18.已知，函数． 求曲线在点处的切线方程； 证明函数存在唯一的极值点； 若，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19．泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） (3)若，且，求的取值范围. 参考数据：若，，，则有，，. 第1页，卷七 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年高二数学下学期期末复习卷 答案 1.【答案】  解：，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，函数在上的极大值点为． 2.【答案】  解：若事件  与  互相独立，且，， 可得，则 ，故正确； 在回归分析中，对一组给定的样本数据 ， ，， 而言，残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故正确； 若随机变量  服从二项分布 ，则， ，故正确； 随机变量服从正态分布  ，可得，，则 ，故错误； 3.【答案】  解：在的展开式中，通项公式为． 对于，通项公式为，，、，． 令，可得，故，，故项的系数为，故选：． 4.【答案】  解：由题设，，即，则， 而， 所以．故选：． 5.【答案】  解：两名同学要从，，，，，所大学中任选三所大学申请调剂，假设每所学校被选到的概率相等，则所有可能为， 这两名同学所选大学恰好有一所大学相同的个数为， 所以这两名同学所选大学恰好相同的概率为，故选B． 6.【答案】  解：，若在区间上存在单调递增区间，则在上有解，即在上有解，，由，得，故，即实数的取值范围是． 7.【答案】 解：设有X个学生选择前往北京或上海研学, 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率P==,则X~B(30,), 设有k个学生选择前往北京或上海研学的概率最大,则 即​​​即 解得k.又k,所以k=7,所以有7个学生选择前往北京或上海研学的概率最大.故选B. 8.【答案】  解：选项A令，，得成立，故A正确 选项B由得，得， 若且，得，则 若且，得，则，从而不可能成立B错误 由得， 令，则与可以是方程的两个根． ，由，得，在内单调递增， 由，得，在内单调递减，得注意到， 故可绘制出的大致图象根据图象，存在且的情形，此时 ，，得，成立，故C，选项正确．综上所述，选择． 9.【答案】  解：，， 由，等式化简为：，故A正确； 二项分布方差为：，当时，， 此时，对于其他，，故B错误；，此时，因此，故C错误； 由正态分布的对称性，和关于对称，根据对称性，，故D正确．故选：． 10. 【答案】  解：将个空位当成一个整体，全部的坐法有种，故A正确 先排个同学，有种方法，然后将个相邻的空位当成一个整体，和另个空位插入到由个同学形成的个空当中，有种方法，所以一共有种坐法，故B错误 先排个同学，有种方法，个空位是一样的，然后将个空位插入到由个同学形成的个空当中，有种方法，所以一共有种坐法，故C正确 至多有个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由可知都不相邻的坐法有种，空位有两组个相邻的坐法有种，空位只有一组个相邻的坐法有种，所以一共有种坐法，故D错误故选AC． 11.【答案】  解：对于选项A：由于为三次函数，其三次项系数为，若为的极小值点，设为的极大值点，， 则在单调递减，在单调递增，在单调递减，故A正确； 对于选项B：，，若在上单调递减，则恒成立，即，解得，故B错误； 对于选项C：当时，，和， 由题意，故，解得，C正确； 对于选项D：即，解集为， 故方程的根为重根和， 即， 从而解得，，，， 导函数关于对称，且，故图象的对称中心为，D正确．故选：． 12.【答案】  解：因为，所以， 即，解得或．又，所以．故答案为． 13.【答案】解： ， ， 设切点坐标为 ，则切线方程 ， 把 代入切线方程有 ，化简得到， 设 ，则 ，令 得 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，， 当 时， ，当 时， ， 依题意过 存在两条切线，即方程 有两解， 根据 的图象：可得 ，即 ，所以的取值范围为．   14. 【答案】 解：依题意得能够被整除． 而 ， 所以能够被整除． 当时，在最小为的时能被整除， 当时，不存在使被整除， 当时，在最小为的时能被整除， 当时，因，则，综上的最小值为，此时，．故答案为：． 15.解：不妨给出零假设顾客购买的玩偶颜色与顾客性别无关． 由题意知该假设成立的概率小于等于，又， 所以，解得． 又，，所以的最小值为． 由知的最小值为，此时女顾客一共有人，男顾客一共有人． 从所有顾客中选出人，所以的所有可能取值是，，，，，，，，，， 则服从超几何分布，且，，． 所以的分布列为，，，，，，，，，，，所以．  16.记“甲跑第一棒”，“甲跑第二棒”，“甲跑第三棒”，“甲跑第四棒”，“运动队获胜”， 则 ， 所以当甲出场比赛时，该运动队获胜的概率为． ， 所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第一棒的概率为． ，，， 又，所以，所以甲最可能跑第四棒．  17.解：由已知可得：；； 又因为； ； 由回归直线的系数公式知： ， ，所以， 当百件时，，符合有关要求， 所以按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时试生产件的任务． 由题意知：， ，；， 所以，  ， 两式相减得： ， 故． 18. 解：因为，所以，而， 所以在处的切线方程为； 令， 令，得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减， 又，且当时，， 又，在上恒成立，即在上无零点， ，， ， 在上有一个零点，不妨记为， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，为的极大值点，无极小值点，得证． 由知，，即能成立， 又，即，， 则能成立，即能成立， 由知．令， 令，解得，，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ，的取值范围为  19．【详解】（1）当时，泊松分布近似于正态分布， 即，，要计算， 根据正态分布的性质，因，故. （2）设为配送延迟包裹数，则，， 因为，，， 所以， 那么，某天至少3起配送延迟的概率约为 . （3）由，可得， 根据泊松分布的概率公式：，，可得. 设，由，可知在上为减函数. 因为，所以， 所以，即，故的取值范围为. 第1页，卷七答案 学科网（北京）股份有限公司 $