专题03有理数的乘除法、乘方、混合运算（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版数学七年级上册.

专题03有理数的乘除法、乘方、混合运算暑假预习讲义 （苏科版新教材） ✺知识框架 1.有理数乘除法：有理数二级核心运算，突破小学无符号运算的思维局限，核心掌握符号判定与绝对值运算方法，是复杂有理数运算的基础工具。 2.有理数乘方：特殊的连乘简化运算，是乘法运算的进阶升级形式，为后续科学记数法、幂的运算、代数式求值等重难点知识夯实基础。 3.有理数混合运算：整合加减、乘除、乘方的综合性运算体系，明确初中数学运算优先级与解题规范，培养严谨有序的代数运算思维。 ✅本节为七年级上册有理数运算的进阶核心内容，承接有理数加减法基础运算，完善有理数完整运算知识体系。 内容由浅入深、层层递进，包含有理数乘除法、有理数乘方、有理数混合运算三大核心板块，是初中代数运算的核心基石，也是后续整式计算、方程求解、实数运算的必备前置知识。 ✺学习目标： 1.知识掌握：熟记有理数乘、除法的课内标准法则，理解倒数的定义与求解方法，熟练掌握并灵活运用乘除运算律； 精准掌握乘方、底数、指数、幂的核心定义，厘清易混淆的乘方书写形式与运算意义； 牢记有理数三级运算优先级，明确乘方、乘除、加减的运算层级，掌握含括号算式的运算顺序； 掌握有理数简便运算的常用思路，能够借助运算律简化算式，有效规避各类基础运算易错点。 2.能力提升：能够独立完成有理数乘除、乘方基础运算，精准判定运算符号，从根源规避符号出错、底数识别错误等高频问题； 熟练掌握分步解题规范，规范书写乘方、有理数混合运算步骤，养成条理清晰、严谨规范的解题习惯； 3.数学素养：建立分级运算、转化化简的数学思维，体会特殊到一般的数学思想，养成步骤完整、严谨细致的运算习惯，为后续初中代数学习筑牢核心根基。 ✺题型归纳： 题型1.两个有理数的乘法运算 题型2.多个有理数的乘法运算 题型3.有理数乘法的实际应用 题型4.倒数 题型5.有理数乘法运算律 题型6.有理数的除法运算 题型7.有理数的除法应用 题型8.有理数乘除混合运算 题型9.有理数乘除中的简便运算 题型10.有理数四则混合运算 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 题型12.根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型13.数轴上的翻折问题 题型14.有理数幂的概念理解 题型15.有理数的乘方运算 题型16.有理数乘方逆运算 题型17.乘方运算的符号规律 题型18.乘方的应用 题型19.用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型20.将科学记数法表示的数变回原数 题型21.程序流程图与有理数计算 题型22.算“24”点 题型23.含乘方的有理数混合运算 题型24.计算器进行有理数运算 题型25.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一：有理数的乘法 1.乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积均为0。 示例：(+3)×(+4)=12，(-3)×(-4)=12，(+3)×(-4)=-12，0×(-15)=0。 2.多个有理数相乘法则：多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负。 若算式中含有因数0，则乘积直接为0，无需计算绝对值。 示例：(-2)×(-3)×(-4)=-24（3个负因数，积为负）；(-2)×(-3)×4=24（2个负因数，积为正）。 3. 乘法运算律： 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。公式：a×b=b×a 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。公式：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 公式：a×(b+c)=a×b+a×c 💡预习易错点拨：多个有理数相乘需严格遵循“先定符号、再算数值”的解题顺序，不可跳过符号判断直接计算； 若算式含因数0，可直接判定结果为0，简化运算过程。 知识点二、倒数与有理数除法 1.倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，倒数是相互依存的成对概念。 0没有倒数，任意非零有理数都有唯一对应的倒数。 示例：2与、-3与-互为倒数。 求倒数遵循“符号不变、数值倒置”的原则：整数的倒数为该整数分之一，分数的倒数为分子、分母互换位置。 2.有理数除法法则 法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数，都得0。 法则二：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。公式：a÷b=a×(b≠0) 3.除法运算注意事项 乘法分配律仅适用于乘法运算，除法不具备分配律，不可随意拆分除数进行运算；0不能作为除数，所有除法运算均需保证除数不为0。 示例：(-8)÷2=-4，(-6)÷（-）=-6×(-2)=12。 💡预习易错点拨：预习时需严格区分相反数与倒数两大易混概念：互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1；倒数不改变原数符号，这是与相反数最大的区别。 4.有理数乘法与除法核心对比 为清晰区分有理数乘除法的运算规则、规避概念混淆，现将两大运算核心要点汇总对比，便于快速记忆、精准解题： 对比维度 有理数乘法 有理数除法 符号规则 同号得正，异号得负 同号得正，异号得负（与乘法完全一致） 数值运算 两数绝对值相乘 两数绝对值相除 特殊数值0 任意数×0=0 0除以非0数得0；0不能作除数 运算转化 无转化，直接运算 除法可转化为乘法：除以一个数=乘这个数的倒数 运算律适用 交换律、结合律、分配律均适用 无分配律，仅可转化为乘法后使用运算律 多数运算规则 积的符号由负因数个数决定 多数连除需逐步转化为乘法后再判断符号、计算数值 ★板块总结：有理数乘除法符号判定规则完全相同，核心区别在于数值运算方式、0的限定条件与运算律的适用范围，所有除法运算均可转化为乘法统一计算，是解题的核心技巧。 知识点三、有理数的乘方 1.乘方的定义：求若干个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的运算结果称为幂。在乘方表达式中，a为底数（参与相乘的相同因数），n为指数（相同因数的个数），读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 示例：，底数是2，指数是3，表示3个2相乘，即=2×2×2=8。 2.乘方符号法则 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1。 示例：=4，=-8，=0。 3.重点概念辨析 本节核心易混点：严格区分与(-a)n的运算意义。底数为a，表示a的n次方的相反数；(-a)n底数为-a，表示n个-a连续相乘，二者底数、运算逻辑完全不同，计算结果存在明显差异，是本节最易混淆的考点。 示例：-32=-9，=9，二者意义与结果完全不同。 💡预习易错点拨：任意非零数均可看作自身的一次方，指数1通常省略不写，属于数学规范写法。进行乘方运算时，精准识别底数是规避运算失误的关键。 知识点四、有理数混合运算 1.运算顺序 有理数混合运算严格遵循苏科版课内标准顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左至右依次进行；含有括号时，优先计算括号内运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序由内向外逐层计算。 2.核心运算原则 分级运算：数学规定乘方为三级运算、乘除为二级运算、加减为一级运算，运算时优先计算高级运算； 同级运算：只有加减或只有乘除时，严格从左往右依次计算，杜绝随意跳步运算； 括号优先：所有括号内运算优先完成，多层括号由内向外逐层计算。 3.简便运算技巧 在不改变运算结果的前提下，可灵活运用乘法运算律简化运算，优先凑整、约分、抵消互为相反数的数，精简计算步骤，降低出错概率。 💡预习易错点拨：混合运算的高频错误集中在运算层级混乱、随意跳步、乘方底数识别错误、同级运算顺序颠倒。暑假预习需养成分步书写、逐级运算、不口算跳步的习惯，从源头规避运算失误。 ✺题型精讲 题型1.两个有理数的乘法运算 1．计算 （     ） A． B． C． D． 2．规定，求的值为( ) 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2.多个有理数的乘法运算 1．如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中（） A．最多有一个数为0 B．至少有一个数为0 C．均为0 D．均不为0 2．在五个数，，，，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 __． 3．不计算，说出下列各式积的符号： (1)； (2)． 题型3.有理数乘法的实际应用 1．文博学校教学楼共5层，美术社团要在此教学楼召开会议．如果从1层到5层每层的参会人数分别为2，1，2，1，1，要使所有参会人员到会议地点的楼层距离之和最短，则会议地点应设在（    ） A．1层 B．2层 C．3层 D．4层 2．某地居民电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如下表： 年用电量（度） 对应电价（元/度） 3000度及以下 超过3000度但不超过4700度的部分 超过4700度的部分 若该地某家在2025年累计年用电量为5000度，则他家应缴电费__________元． 3．某校学生食堂要购进袋土豆，以每袋千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录(单位：千克)如下： 每袋与标准质量的差 0 2 3 袋数 1 3 4 3 3 4 2 (1)求这袋土豆的平均质量是多少？ (2)若土豆每千克的售价为元，求买这袋土豆共需多少钱？ 题型4.倒数 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．若，则“”表示的数是____． 3．已知与互为相反数． (1)求a、b的值； (2)求的倒数． 题型5.有理数乘法运算律 1．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．简便运算：________． 3．黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 题型6.有理数的除法运算 1．若，则□内的数字是（     ） A． B． C． D． 2．_______ 3．计算时，方方同学的计算过程如下： 原式请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 题型7.有理数的除法应用 1．先锋小学开展奖章兑换活动，20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，可以换（   ）支钢笔 A．40 B．5 C．10 D．20 2．龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 3．【问题背景】智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一，赣南是脐橙之乡，赣州某果业公司为了提高采摘效率决定引进相关机器人，据了解某品牌的脐橙采摘机器人，可以识别周边一定范围内的脐橙，并自动对成熟的脐橙进行采摘，它的一个机械手可以采摘一个脐橙． 【构建联系】 （1）若采摘机器人需要识别范围内的脐橙，所需识别时间随着每秒识别范围（单位：，且不为）的变化而变化，根据下表机器人的每秒识别范围，分别计算对应所需要的识别时间．填写下表： 每秒识别范围（单位：） … 识别时间（单位：） … （2）根据（1）思考，每秒识别范围与识别时间是反比例关系吗？为什么？ 【深入探究】 （3）若该机器人搭载了个机械手（），假设所有机械手同时独立工作，它与采摘工人同时工作，已知工人平均可以采摘一个脐橙，则机器人可比工人多采摘多少个脐橙？ 题型8.有理数乘除混合运算 1．( ) A．2 B． C．1 D．4 2．一批衣服进价为50元，打算以的利润卖出，卖了后打折，全部衣服卖完后的总利润只有不打折售卖利润的，则打了______折． 3．把一个底面积是、高为的圆锥形钢块，熔铸成一个长是、宽的长方体钢块，这个长方体钢块的高是多少厘米？ 题型9.有理数乘除中的简便运算 1．计算： 2．计算： (1)； (2)． 3．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 题型10.有理数四则混合运算 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，，则( )． 3．在方框内填上数字，使等式成立，数字不能重复． 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 1．小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 2．甲、乙两地相距800千米，一辆汽车计划8小时由甲地到达乙地．汽车开出1小时后，由于情况紧急，速度提高，那么还要______小时才能到达． 3．某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 题型12.根据点在数轴的位置判断式子的正负 1．表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 2．已知、两个数在数轴上的位置如图所示，有如下几个结论： ；；；，其中正确的是______．（填序号） 3．有理数在数轴上对应的位置如图所示，0为原点． (1)a______0，______0，______0，______0（填“＜”或“＞”或“＝”） (2)化简． 题型13.数轴上的翻折问题 1．小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 2．一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点与点B之间的距离为2，则C点表示的数是__________． 3．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 题型14.有理数幂的概念理解 1．对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．为了简便，可以将记为_____． 3．请指出下列各式表示的意义： ，，，，． 题型15.有理数的乘方运算 1．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 2．若，则_________． 3．计算题 (1)； (2)． 题型16.有理数乘方逆运算 1．已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 2．定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 3．数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 题型17.乘方运算的符号规律 1．计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如果n是正整数，则_____ ． 3．观察下面三行数： ；① ；② ；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的，通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是_________，第n个数是_________； (2)第②行的第n个数是_________，第③行的第n个数是_________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 题型18.乘方的应用 1．数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．将一张长方形的纸对折，如图1所示，对折1次后纸片上有1条折痕．再次对折，对折时折痕与上次的折痕保持平行，如图2所示，对折2次后纸片上有3条折痕．按照上述方法连续对折10次，则纸面上一共有_____条折痕． 3．阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 题型19.用科学记数法表示绝对值大于1的数 1．据文旅部2026年4月7日公布的数据，2026年清明节假期3天，全国国内出游亿人次，国内出游总花费亿元，创历史新高．数据“亿元”用科学记数法表示为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．2026年4月22日是第57个世界地球日，我国活动主题为“珍爱自然资源守护美丽中国”．希望我们每个人从点滴做起，如每人每年努力节约1度电，相当于节约0.4千克标准煤，由此估计，全国每年就节约14亿度电，相当于全国每年节约______千克标准煤（用科学记数法表示）． 3．据科学家测算，用1吨废纸造出的再生好纸相当于亩森林木材的造纸量．某市今年大约有名初中毕业生，每个毕业生离校时大约有12千克废纸，若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸，那么至少可使多少亩森林免遭砍伐？ 题型20.将科学记数法表示的数变回原数 1．北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 2．用“>”或“”号填空：__________，__________． 3．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)； (2)； (3)． 题型21.程序流程图与有理数计算 1．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 3．数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 题型22.算“24”点 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 3．学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 题型23.含乘方的有理数混合运算 1．六进制数表示为十进制是（    ） A．457 B．445 C．2706 D．451 2．计算：_______． 3．计算： (1)； (2) 题型24.计算器进行有理数运算 1．用计算器计算的按键顺序是（   ） A． B． C． D． 2．用计算器计算： （1）_________________． （2）___________________． 3．（1）用计算器计算下列各式，将结果写在横线上．________；________；________；________． （2）根据（1）的计算结果，你发现了什么规律？ （3）不用计算器，你能直接写出的结果吗？ ✺巩固测试 一、单选题 1．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 2．如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列判断正确的是（   ） ……第①步 ……第②步 ．……第③步 A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 3．若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 4．金漪湖、金满湖、金澧湖，“三大湖”各具特色的玩法，让金东成为周边城市游客“微度假”的高频目的地。据统计，五一假期期间，全区全域旅游接待人次，同比增长，增速全市第一，数字用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 5．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．的倒数为________ 7．下列有理数的运算中正确的有___________（填序号） ①   ②   ③    ④ 8．定义新运算：，例如：☆，则_____． 9．若，则的值为_______． 10．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且点、之间的距离为，则点表示的数是_____________． 三、解答题 11．计算 (1) (2) (3) (4) 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 14．焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)B在A地哪个方向？相距多少千米？ (2)若该警车每千米耗油升，那么这天共耗油多少升？ (3)若油箱中有升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？ 15．小哪吒有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大这两张卡片上的数字分别是_________． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，这两张卡片上的数字分别是_________． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加活号），使其运算结果为24，写出运算式子：_________．（写出一种即可） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03有理数的乘除法、乘方、混合运算暑假预习讲义 （苏科版新教材） ✺知识框架 1.有理数乘除法：有理数二级核心运算，突破小学无符号运算的思维局限，核心掌握符号判定与绝对值运算方法，是复杂有理数运算的基础工具。 2.有理数乘方：特殊的连乘简化运算，是乘法运算的进阶升级形式，为后续科学记数法、幂的运算、代数式求值等重难点知识夯实基础。 3.有理数混合运算：整合加减、乘除、乘方的综合性运算体系，明确初中数学运算优先级与解题规范，培养严谨有序的代数运算思维。 ✅本节为七年级上册有理数运算的进阶核心内容，承接有理数加减法基础运算，完善有理数完整运算知识体系。 内容由浅入深、层层递进，包含有理数乘除法、有理数乘方、有理数混合运算三大核心板块，是初中代数运算的核心基石，也是后续整式计算、方程求解、实数运算的必备前置知识。 ✺学习目标： 1.知识掌握：熟记有理数乘、除法的课内标准法则，理解倒数的定义与求解方法，熟练掌握并灵活运用乘除运算律； 精准掌握乘方、底数、指数、幂的核心定义，厘清易混淆的乘方书写形式与运算意义； 牢记有理数三级运算优先级，明确乘方、乘除、加减的运算层级，掌握含括号算式的运算顺序； 掌握有理数简便运算的常用思路，能够借助运算律简化算式，有效规避各类基础运算易错点。 2.能力提升：能够独立完成有理数乘除、乘方基础运算，精准判定运算符号，从根源规避符号出错、底数识别错误等高频问题； 熟练掌握分步解题规范，规范书写乘方、有理数混合运算步骤，养成条理清晰、严谨规范的解题习惯； 3.数学素养：建立分级运算、转化化简的数学思维，体会特殊到一般的数学思想，养成步骤完整、严谨细致的运算习惯，为后续初中代数学习筑牢核心根基。 ✺题型归纳： 题型1.两个有理数的乘法运算 题型2.多个有理数的乘法运算 题型3.有理数乘法的实际应用 题型4.倒数 题型5.有理数乘法运算律 题型6.有理数的除法运算 题型7.有理数的除法应用 题型8.有理数乘除混合运算 题型9.有理数乘除中的简便运算 题型10.有理数四则混合运算 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 题型12.根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型13.数轴上的翻折问题 题型14.有理数幂的概念理解 题型15.有理数的乘方运算 题型16.有理数乘方逆运算 题型17.乘方运算的符号规律 题型18.乘方的应用 题型19.用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型20.将科学记数法表示的数变回原数 题型21.程序流程图与有理数计算 题型22.算“24”点 题型23.含乘方的有理数混合运算 题型24.计算器进行有理数运算 题型25.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一：有理数的乘法 1.乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积均为0。 示例：(+3)×(+4)=12，(-3)×(-4)=12，(+3)×(-4)=-12，0×(-15)=0。 2.多个有理数相乘法则：多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负。 若算式中含有因数0，则乘积直接为0，无需计算绝对值。 示例：(-2)×(-3)×(-4)=-24（3个负因数，积为负）；(-2)×(-3)×4=24（2个负因数，积为正）。 3. 乘法运算律： 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。公式：a×b=b×a 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。公式：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 公式：a×(b+c)=a×b+a×c 💡预习易错点拨：多个有理数相乘需严格遵循“先定符号、再算数值”的解题顺序，不可跳过符号判断直接计算； 若算式含因数0，可直接判定结果为0，简化运算过程。 知识点二、倒数与有理数除法 1.倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，倒数是相互依存的成对概念。 0没有倒数，任意非零有理数都有唯一对应的倒数。 示例：2与、-3与-互为倒数。 求倒数遵循“符号不变、数值倒置”的原则：整数的倒数为该整数分之一，分数的倒数为分子、分母互换位置。 2.有理数除法法则 法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数，都得0。 法则二：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。公式：a÷b=a×(b≠0) 3.除法运算注意事项 乘法分配律仅适用于乘法运算，除法不具备分配律，不可随意拆分除数进行运算；0不能作为除数，所有除法运算均需保证除数不为0。 示例：(-8)÷2=-4，(-6)÷（-）=-6×(-2)=12。 💡预习易错点拨：预习时需严格区分相反数与倒数两大易混概念：互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1；倒数不改变原数符号，这是与相反数最大的区别。 4.有理数乘法与除法核心对比 为清晰区分有理数乘除法的运算规则、规避概念混淆，现将两大运算核心要点汇总对比，便于快速记忆、精准解题： 对比维度 有理数乘法 有理数除法 符号规则 同号得正，异号得负 同号得正，异号得负（与乘法完全一致） 数值运算 两数绝对值相乘 两数绝对值相除 特殊数值0 任意数×0=0 0除以非0数得0；0不能作除数 运算转化 无转化，直接运算 除法可转化为乘法：除以一个数=乘这个数的倒数 运算律适用 交换律、结合律、分配律均适用 无分配律，仅可转化为乘法后使用运算律 多数运算规则 积的符号由负因数个数决定 多数连除需逐步转化为乘法后再判断符号、计算数值 ★板块总结：有理数乘除法符号判定规则完全相同，核心区别在于数值运算方式、0的限定条件与运算律的适用范围，所有除法运算均可转化为乘法统一计算，是解题的核心技巧。 知识点三、有理数的乘方 1.乘方的定义：求若干个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的运算结果称为幂。在乘方表达式中，a为底数（参与相乘的相同因数），n为指数（相同因数的个数），读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 示例：，底数是2，指数是3，表示3个2相乘，即=2×2×2=8。 2.乘方符号法则 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1。 示例：=4，=-8，=0。 3.重点概念辨析 本节核心易混点：严格区分与(-a)n的运算意义。底数为a，表示a的n次方的相反数；(-a)n底数为-a，表示n个-a连续相乘，二者底数、运算逻辑完全不同，计算结果存在明显差异，是本节最易混淆的考点。 示例：-32=-9，=9，二者意义与结果完全不同。 💡预习易错点拨：任意非零数均可看作自身的一次方，指数1通常省略不写，属于数学规范写法。进行乘方运算时，精准识别底数是规避运算失误的关键。 知识点四、有理数混合运算 1.运算顺序 有理数混合运算严格遵循苏科版课内标准顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左至右依次进行；含有括号时，优先计算括号内运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序由内向外逐层计算。 2.核心运算原则 分级运算：数学规定乘方为三级运算、乘除为二级运算、加减为一级运算，运算时优先计算高级运算； 同级运算：只有加减或只有乘除时，严格从左往右依次计算，杜绝随意跳步运算； 括号优先：所有括号内运算优先完成，多层括号由内向外逐层计算。 3.简便运算技巧 在不改变运算结果的前提下，可灵活运用乘法运算律简化运算，优先凑整、约分、抵消互为相反数的数，精简计算步骤，降低出错概率。 💡预习易错点拨：混合运算的高频错误集中在运算层级混乱、随意跳步、乘方底数识别错误、同级运算顺序颠倒。暑假预习需养成分步书写、逐级运算、不口算跳步的习惯，从源头规避运算失误。 ✺题型精讲 题型1.两个有理数的乘法运算 1．计算 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．规定，求的值为( ) 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型2.多个有理数的乘法运算 1．如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中（） A．最多有一个数为0 B．至少有一个数为0 C．均为0 D．均不为0 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的性质，若多个有理数的积为0，则至少有一个因数为0，据此即可解答． 【详解】解：∵2025个有理数相乘所得的积为0， ∴这2025个数中至少有一个数为0． 故选：B． 2．在五个数，，，，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 __． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据题意可知将最小的负数和最大的两个正数相乘结果即为本题答案． 【详解】解：要使得积最小，则必为负数，则所取三个数中有一个或三个负数， ∵， ∴当所取三个数中有一个负数，可取最小的负数是，最大的两个正数是和， 此时积为． 当所取三个数中有三个负数，即取， 此时积为． ∵， ∴最小的积等于 ． 故答案为：． 3．不计算，说出下列各式积的符号： (1)； (2)． 【答案】(1)负 (2)正 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算．通过计数每个表达式中负因数的个数来确定乘积的符号．负因数个数为奇数时，积为负；为偶数时，积为正． （1）根据负因数个数为3即可判断． （2）根据负因数个数为2即可判断． 【详解】（1）解：式子中有三个负因数：、、， 负因数个数为3，是奇数， 所以积为负． （2）解：式子中有两个负因数：、， 负因数个数为2，是偶数， 所以积为正． 题型3.有理数乘法的实际应用 1．文博学校教学楼共5层，美术社团要在此教学楼召开会议．如果从1层到5层每层的参会人数分别为2，1，2，1，1，要使所有参会人员到会议地点的楼层距离之和最短，则会议地点应设在（    ） A．1层 B．2层 C．3层 D．4层 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算的应用，本题可通过分别计算会议地点设在每层时所有参会人员的距离之和，再比较大小得出距离之和最短的楼层． 【详解】解：分别计算各楼层作为会议地点的总距离： ∵ 设在1层时，总距离为 设在2层时，总距离为 设在3层时，总距离为 设在4层时，总距离为 设在5层时，总距离为 又∵ ∴ 会议地点设在3层时，所有参会人员到会议地点的距离之和最短． 故选：C． 2．某地居民电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如下表： 年用电量（度） 对应电价（元/度） 3000度及以下 超过3000度但不超过4700度的部分 超过4700度的部分 若该地某家在2025年累计年用电量为5000度，则他家应缴电费__________元． 【答案】2458 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，读懂题目信息，理解阶梯电价的收费方法和电费的计算方法是解题的关键． 根据阶梯电价标准，年用电量5000度超过4700度，需分三部分计算电费：3000度及以下部分、超过3000度但不超过4700度部分、超过4700度部分． 【详解】解：第一阶梯电费为元； 第二阶梯电费为元； 第三阶梯电费为元； ∴总电费为元． 故答案为： 3．某校学生食堂要购进袋土豆，以每袋千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录(单位：千克)如下： 每袋与标准质量的差 0 2 3 袋数 1 3 4 3 3 4 2 (1)求这袋土豆的平均质量是多少？ (2)若土豆每千克的售价为元，求买这袋土豆共需多少钱？ 【答案】(1)千克； (2)元 【分析】（1）先计算袋土豆与标准质量的差值总和，再结合标准总质量求出实际总质量，最后除以袋数得到平均质量； （2）利用“总价=总质量×单价”的数量关系，代入数据计算即可． 【详解】（1）解： (千克)， 20袋土豆的实际总质量为(千克)， 平均质量为(千克)． （2）解：总费用为(元)， 答：买这袋土豆共需元． 题型4.倒数 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“乘积为1的两个数互为倒数”计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴的倒数是． 2．若，则“”表示的数是____． 【答案】 【分析】根据倒数的定义可得与互为倒数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与互为倒数， ∴“”表示的数是． 3．已知与互为相反数． (1)求a、b的值； (2)求的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性，解题的关键是利用“互为相反数的两个数和为0”，并结合非负性求解． （1）根据互为相反数的两数和为0，结合绝对值与平方数的非负性，列方程求解； （2）代入的值计算，再求其倒数． 【详解】（1）解：由题意可得：． 解得； （2）解：将代入，得： ， 5的倒数是， 的倒数是． 题型5.有理数乘法运算律 1．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 【详解】解：． 2．简便运算：________． 【答案】 【分析】根据积的变化规律，将各项变形得到相同公因数，再逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 3．黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 题型6.有理数的除法运算 1．若，则□内的数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知一个因数与积，求另一个因数，用除法计算即可． 【详解】解：设内的数字为， ∵， ∴， 因此内的数字为． 2．_______ 【答案】 【分析】根据有理数除法法则将除法运算转化为乘法运算，再约分计算即可． 【详解】解： ． 3．计算时，方方同学的计算过程如下： 原式请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】不正确，正确的计算过程见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 先计算括号内的，再根据有理数的除法法则计算． 【详解】解：不正确，正确的计算过程如下： ． 题型7.有理数的除法应用 1．先锋小学开展奖章兑换活动，20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，可以换（   ）支钢笔 A．40 B．5 C．10 D．20 【答案】D 【分析】先计算出兑换1支钢笔所需的奖章数，再计算100个奖章可兑换的钢笔数量． 【详解】解：支， 故可以换20支钢笔． 2．龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 【答案】6 【详解】解：设工作总量为1，甲队效率为，乙队效率为，则两队合作效率为， 故合作需天． 3．【问题背景】智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一，赣南是脐橙之乡，赣州某果业公司为了提高采摘效率决定引进相关机器人，据了解某品牌的脐橙采摘机器人，可以识别周边一定范围内的脐橙，并自动对成熟的脐橙进行采摘，它的一个机械手可以采摘一个脐橙． 【构建联系】 （1）若采摘机器人需要识别范围内的脐橙，所需识别时间随着每秒识别范围（单位：，且不为）的变化而变化，根据下表机器人的每秒识别范围，分别计算对应所需要的识别时间．填写下表： 每秒识别范围（单位：） … 识别时间（单位：） … （2）根据（1）思考，每秒识别范围与识别时间是反比例关系吗？为什么？ 【深入探究】 （3）若该机器人搭载了个机械手（），假设所有机械手同时独立工作，它与采摘工人同时工作，已知工人平均可以采摘一个脐橙，则机器人可比工人多采摘多少个脐橙？ 【答案】（1）见解析；（2）反比例关系，理由见解析；（3）机器人可比工人多采摘个脐橙． 【分析】本题考查代数式的应用，有理数除法的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）用除以每秒识别范围即可求出识别时间，再填表即可； （2）根据（1）中所得数据求解； （3）列代数式表示出机器人采摘量，减去人工采摘量即可． 【详解】解：（1）， ，，，， 填写表格数据如下： 每秒识别范围（单位：） … 识别时间（单位：） … （2）每秒识别范围与识别时间是反比例关系， 理由：每秒识别范围识别时间，积一定， 每秒识别范围与识别时间是反比例关系； （3）， 机器人可摘：个， 人工可摘：个， 机器人可比工人多采摘个脐橙． 题型8.有理数乘除混合运算 1．( ) A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是掌握同级运算从左到右依次进行，或把除法转化为乘法后再计算，注意符号的处理． 【详解】解： ． 故选：D． 2．一批衣服进价为50元，打算以的利润卖出，卖了后打折，全部衣服卖完后的总利润只有不打折售卖利润的，则打了______折． 【答案】八/8 【分析】本题考查了商品折扣问题，正确理解题意，合理利用假设法是解题的关键． 不妨设这批衣服有10件，根据售价进价利润率，折扣实际售价原价求解即可． 【详解】解：设这批衣服有10件， 总利润：（元）， 卖出的利润：（元）， 实际总利润：（元）， 剩余每件利润：， 打折：， 故答案为：八． 3．把一个底面积是、高为的圆锥形钢块，熔铸成一个长是、宽的长方体钢块，这个长方体钢块的高是多少厘米？ 【答案】 【分析】熔铸前后钢块的体积不变，先根据圆锥体积公式求出圆锥形钢块的体积，即得到长方体钢块的体积，再根据长方体体积公式计算长方体的高即可． 【详解】解：圆锥形钢块的体积为， 长方体的底面积为 ， 所以，长方体钢块的高为 ． 答: 这个长方体钢块的高是． 题型9.有理数乘除中的简便运算 1．计算： 【答案】 【详解】解：原式 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，能够进行简便计算是解题的关键． （1）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算； （2）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1)小刚的解题是对的，小明的解题是不对的，见解析 (2)小华的思路正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 题型10.有理数四则混合运算 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 【详解】选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确； 2．已知，，则( )． 【答案】 【分析】根据混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 3．在方框内填上数字，使等式成立，数字不能重复． 【答案】，，，，；，，，（答案不唯一） 【分析】本题是数字填数类逻辑题，解题核心是结合四则运算规则和数字不重复的条件，分步试算、排除矛盾，找到满足等式的数字组合． 【详解】解：根据题干分析可得出：，， 因此要使等式成立，数字不重复，方框里应填，，，，；，，，（答案不唯一，符合条件即可）． 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 1．小明的妈妈买了 4 筐萝卜，以每筐 25 千克为标准，超过的千克数记为正数， 不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为，小红快速准确地算出了 4 筐萝卜的总质量为（    ） A．千克 B．1千克 C．99千克 D．101千克 【答案】C 【分析】每筐相对于标准超过为正数，不足为负数，称重后记为正或负，都是相对于标准的，因此把标准质量乘以筐数，再加上各筐相对于标准的质量即可． 【详解】解：4 筐萝卜的总质量为千克． 2．甲、乙两地相距800千米，一辆汽车计划8小时由甲地到达乙地．汽车开出1小时后，由于情况紧急，速度提高，那么还要______小时才能到达． 【答案】 【分析】先求出原计划行驶速度，再求出行驶1小时后剩余的路程，接着计算提速后的速度，最后求出剩余路程所需的时间． 【详解】解：由题意得，原计划速度为（千米/时）， 汽车开出1小时后，剩余路程为 （千米）， 速度提高后，新速度为（千米/时）， 因此剩余路程所需时间为（小时）． 3．某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： (1)求该便利店这一周平均每天营业额多少元； (2)每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 【答案】(1)元 (2)元 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）， 答：该便利店这一周平均每天营业额为元； （2）解： （元）， 答：这周总盈利元． 题型12.根据点在数轴的位置判断式子的正负 1．表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的特点，数形结合确定代数式的符号，由此即可求解． 【详解】解：由数轴可知：，B选项正确，不符合题意； ∴，A选项正确，不符合题意； ，C选项错误，符合题意； ，D选项正确，不符合题意； 故选：C． 2．已知、两个数在数轴上的位置如图所示，有如下几个结论： ；；；，其中正确的是______．（填序号） 【答案】 【分析】先根据、在数轴上的位置确定出、的符号，以及、的大小，再进行解答即可． 【详解】解：由数轴可知，，则，原结论错误，不符合题意； 由数轴可知，则，原结论错误，不符合题意； 由数轴可知，则，原结论正确，符合题意； 由数轴可知，则，原结论正确，符合题意； ∴正确的是． 3．有理数在数轴上对应的位置如图所示，0为原点． (1)a______0，______0，______0，______0（填“＜”或“＞”或“＝”） (2)化简． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查利用数轴比较数字的大小以及绝对值的化简，根据数轴判断出a、b、c、0的大小顺序是解题关键． （1）根据数轴判断出a、b、c、0及其绝对值的大小顺序，再分别判断出、、与0的大小关系即可． （2）根据（1）的结论，去绝对值，计算出结果即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知： 且， ∴，，． 故答案为：，，，； （2）解：∵，，，， ∴ ． 题型13.数轴上的翻折问题 1．小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】先确定折叠处（对称中心）表示的数，再根据对称点到对称中心的距离相等计算对应点表示的数． 【详解】解：∵折叠后数轴上表示的点与表示的点重合， ∴折叠处（对称中心）表示的数为， ∵表示的点与所求点关于对称， ∴所求点表示的数为． 2．一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点与点B之间的距离为2，则C点表示的数是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴知识列出方程．设点C表示的数为c，根据两点间距离公式得出，，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：点A、B表示的数分别是和7，点A对应的点与点B之间的距离为2，假设点C表示的数为c， ，， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：， 点表示的数是或． 故答案为：或． 3．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】（1）7；（2）①，；②、 【分析】本题考查数轴上的折叠问题，解题的关键是确定对折中心点： （1）根据左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，得到对折中心点为原点，即可得出结果； （2）①根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，求出对折中心点，进而求出对折后与6表示的点重合的点表示的数即可；②根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合， ∴对折中心点为原点， ∴表示的点与7表示的点重合； （2）①由题意，对折中心点为， ； 故对折后6表示的点与数表示的点重合； ②解：由题意可得：、两点距离对折中心点的距离为， 因为对折中心点所表示的数为2的点，，； 所以、两点表示的数分别为：、． 题型14.有理数幂的概念理解 1．对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 2．为了简便，可以将记为_____． 【答案】 【分析】n个相同因数相乘可以写成该数的n次方形式，据此进行解答． 【详解】解：根据乘方的定义， n个相同的因数5相乘，记为5的n次方，即． 3．请指出下列各式表示的意义： ，，，，． 【答案】表示3个4相乘． 表示10个3相乘． 表示4个5相乘． 表示10个相乘． 表示4个相乘． 【分析】本题考查幂的意义，即乘方运算表示多个相同因数相乘． 【详解】解：∵ 表示 n 个 a 相乘， ∴表示3个4相乘． 表示10个3相乘． 表示4个5相乘． 表示10个相乘． 表示4个相乘． 题型15.有理数的乘方运算 1．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【详解】解：． 2．若，则_________． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．计算题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． （2） 解：． 题型16.有理数乘方逆运算 1．已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则． 根据题意得出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义运算． 根据题目给出的新定义计算即可． 【详解】解：根据新定义，若，则． ∵， ∴， 即． 故答案为：3． 3．数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘方逆运算，掌握乘方逆运算法则、分类讨论思想的运用是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算即可； （2）逆用运算法则列一元一次方程求解； （3）根据题意分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得 ； ； 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ∴ ， 解得； （3）解：根据题意得，可分为三种情况， 当指数相等，且底数不为0时，即，且。 ∴ 解得， ∵， ∴符合题意， 当底数为时，即 解得， 此时指数为， 式子为，符合条件； 当底数为时，且指数差为偶数，即，且是偶数， ∴ 解得， 计算指数差： ， 此时，符合条件， ∴x的值． 题型17.乘方运算的符号规律 1．计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：当时，∴，故A选项错误； 根据有理数乘方法则，互为相反数的两个数的偶次幂相等，，故B选项正确； 当时，，而，故C选项错误； 当时，，而，故D选项错误． 故选B． 2．如果n是正整数，则_____ ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方运算的符号规律，解题关键是掌握有理数的乘方法则． 直接利用有理数的乘方法则计算． 【详解】解： ． 3．观察下面三行数： ；① ；② ；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的，通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是_________，第n个数是_________； (2)第②行的第n个数是_________，第③行的第n个数是_________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）不难看出奇数项是正数，偶数项是负数，其数字部分是，据此进行作答即可； （2）第②行的数是第一行对应的数减去2，第③行的数是第①行对应的数除以，据此即可求解； （3）根据（1）（2）的规律，写出每行的第10个数再相加即可． 【详解】（1）解：∵∴第①行的第8个数是， 第n个数是； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴第②行的第n个数是； ∵， ∴第③行的第n个数是； 故答案为：；； （3）解：根据题意得：第①行的第10个数是，第②行的10个数是，第③行的第10个数是， ∴这三个数的和为 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的乘方，解答的关键是分析清楚所存在的规律． 题型18.乘方的应用 1．数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 2．将一张长方形的纸对折，如图1所示，对折1次后纸片上有1条折痕．再次对折，对折时折痕与上次的折痕保持平行，如图2所示，对折2次后纸片上有3条折痕．按照上述方法连续对折10次，则纸面上一共有_____条折痕． 【答案】1023 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察图形并结合折痕的条数可得，折痕的条数加上1后成2的指数次幂变化，根据此规律找出第n次对折后的折痕的条数表达式，然后把代入进行计算即可得解． 【详解】解：对折1次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 对折2次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 对折3次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 对折4次时，有条折痕，因为纸被分成了份； …… 同样，对折10次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 故答案为：1023 3．阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给的错位相减法进行求解即可． 【详解】解：设①， 将等式两边同时乘以6得：②， 再将得：， 即． 题型19.用科学记数法表示绝对值大于1的数 1．据文旅部2026年4月7日公布的数据，2026年清明节假期3天，全国国内出游亿人次，国内出游总花费亿元，创历史新高．数据“亿元”用科学记数法表示为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：亿元． 2．2026年4月22日是第57个世界地球日，我国活动主题为“珍爱自然资源守护美丽中国”．希望我们每个人从点滴做起，如每人每年努力节约1度电，相当于节约0.4千克标准煤，由此估计，全国每年就节约14亿度电，相当于全国每年节约______千克标准煤（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】先算出14亿度电，相当于全国每年节约多少千克标准煤，再用科学记数法表示． 【详解】解：14亿=1400000000， （千克）． 3．据科学家测算，用1吨废纸造出的再生好纸相当于亩森林木材的造纸量．某市今年大约有名初中毕业生，每个毕业生离校时大约有12千克废纸，若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸，那么至少可使多少亩森林免遭砍伐？ 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法、有理数乘法运算等知识点，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键． 先根据毕业生人数和人均废纸量计算废纸总重量，然后将单位换算为吨；最后根据题干“至少”的要求，即乘以系数，从而计算出可使森林免遭砍伐的最小亩数，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：所有毕业生共有废纸：（吨）， （亩）． 答：至少可使森林免遭砍伐亩． 题型20.将科学记数法表示的数变回原数 1．北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 【答案】B 【详解】解：． 2．用“>”或“”号填空：__________，__________． 【答案】 > > 【分析】本题考查了有理数的大小比较，科学记数法，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法． 对于第一个空，比较两个负数，根据有理数大小比较法则，绝对值大的负数反而小；对于第二个空，比较科学记数法表示的数，先比较10的指数，指数大的数更大． 【详解】解：∵ ，，通分得，， ∵ ，∴ ， ∴ ， 故答案为：> ； ∵ ，，∵ ， ∴ ， 故答案为 ：> ． 3．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)200000 (2)5180 (3)7040000 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，当把一个用科学记数法表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉即可． （1）利用科学记数法的法则解答即可； （2）利用科学记数法的法则解答即可； （3）利用科学记数法的法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的原数为200000； （2）解：∵， ∴的原数为5180； （3）解：∵， ∴的原数为7040000． 题型21.程序流程图与有理数计算 1．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】将代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘3 、减去5，判断结果是否大于0，若不大于0，则再次代入计算，直到结果大于0，输出结果． 【详解】解：当时，， ， 所以输出的值为7． 2．如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 【答案】9 【分析】根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴输出的结果是9． 3．数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 【答案】(1)65； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘法，最后再计算加减法； （2）根据所给顺序进行运算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （3） 解：由题意得． 题型22.算“24”点 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 2．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 3．学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2） 答：可以，． 题型23.含乘方的有理数混合运算 1．六进制数表示为十进制是（    ） A．457 B．445 C．2706 D．451 【答案】D 【分析】只需将六进制数按位权展开后求和，即可得到对应的十进制数． 【详解】解： ， ∴六进制数表示为十进制是． 2．计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型24.计算器进行有理数运算 1．用计算器计算的按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了用计算器计算有理数，有理数的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确计算器的按键顺序． 根据计算器的按键顺序，可得答案． 【详解】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：． 故选：D． 2．用计算器计算： （1）_________________． （2）___________________． 【答案】【小题1】 【小题2】 【分析】本题考查了利用计算器进行乘方运算，需熟悉计算器上乘方的操作步骤，掌握底数输入，乘方键，指数输入，等号的流程是解题的关键. 【详解】解：（1）； （2）. 故答案为：， ． 3．（1）用计算器计算下列各式，将结果写在横线上．________；________；________；________． （2）根据（1）的计算结果，你发现了什么规律？ （3）不用计算器，你能直接写出的结果吗？ 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】(1)利用计算器一一计算即可 (2)用计算器分别进行计算，再根据结果找出规律，通过计算观察可发现以下规律：如果n是21，22，23，…，29中的任何一个数，则：999×n=，其中是1个5位数，前2位是n－1，个位是30－n，中间2个数字总是97． (3)根据规律即可直接写出999×29的结果即可． 【详解】解：（1），； （2）通过计算观察可发现以下规律：如果n是21，22，23，…，29中的任何一个数，则：999×n=，其中是1个5位数，前2位是n－1，个位是30－n，中间2个数字总是97． （3）根据以上规律可直接写出：． 【点睛】此题考查了计算器−有理数，解题的关键是通过用计算器计算，找出规律，通过规律进行解答． ✺巩固测试 一、单选题 1．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再将两个数的绝对值相乘. 与都是负数，符号相同， . 2．如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列判断正确的是（   ） ……第①步 ……第②步 ．……第③步 A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【答案】B 【详解】解：第①步是将带分数拆分为，没有运用乘法交换律，故A选项错误； 按照乘法对加法的分配律展开计算： ， ∴第②步运用了乘法对加法的分配律，但计算时符号错误，结果错误，故B选项正确，C选项错误； 第②步计算已经出错，∴第③步的结果错误，故D选项错误． 3．若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】A 【详解】解：∵任意数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴，， 解得 ，， 将， 代入 得：. 4．金漪湖、金满湖、金澧湖，“三大湖”各具特色的玩法，让金东成为周边城市游客“微度假”的高频目的地。据统计，五一假期期间，全区全域旅游接待人次，同比增长，增速全市第一，数字用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：用科学记数法可表示为． 5．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 二、填空题 6．的倒数为________ 【答案】 【分析】先将带分数转化为假分数，再根据倒数的定义求解． 本题考查了倒数意义的掌握情况，掌握倒数的概念是解题关键． 【详解】解：， 则的倒数为． 故答案为：． 7．下列有理数的运算中正确的有___________（填序号） ①   ②   ③    ④ 【答案】② 【详解】解：对四个式子逐一计算判断：①，，故①错误； ②，结果正确，故②正确； ③，，故③错误； ④，，故④错误； 综上正确的有②． 8．定义新运算：，例如：☆，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 9．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， 所以，． 故答案为：． 10．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且点、之间的距离为，则点表示的数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程，表示距离是解题的关键．设点表示的数为，根据题意，得，，，根据对折的性质，建立方程解答即可． 【详解】解：设点表示的数为， 根据题意，得，． ∵折叠， ∴． ∵， 故， 解得， 故点表示的数是． 故答案为：． 三、解答题 11．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 13．张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【答案】(1)六，，五， (2)元 【分析】（1）根据正负数的意义，结合表格数据得出销售量最多的和最少的是哪一天，进而用加上与计划量的差值，即可求解； （2）先计算猕猴桃的销售总量，再根据利润售价成本，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期六，有；最少的一天是星期五，有． （2）解：猕猴桃的销售总量为 （元） 答：张明当周销售猕猴桃获得的总利润是元． 14．焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)B在A地哪个方向？相距多少千米？ (2)若该警车每千米耗油升，那么这天共耗油多少升？ (3)若油箱中有升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？ 【答案】(1)在地的南方，相距千米 (2)共耗油升 (3)需要加油，至少升 【分析】本题主要考查了正数与负数、有理数的加法、乘法的应用． （1）把这些数值相加，根据结果就可知道在哪个方向，相距多少千米． （2）绝对值相加，乘以每千米耗油量即可． （3）总耗油量减去油箱已有油量即可得出至少加油量. 【详解】（1）解： （千米） 答：在地的南方，相距千米． （2）解：（千米） （升） 答：这天共耗油升． （3）解： ， （升） 答：需要加油，至少升. 15．小哪吒有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大这两张卡片上的数字分别是_________． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，这两张卡片上的数字分别是_________． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加活号），使其运算结果为24，写出运算式子：_________．（写出一种即可） 【答案】(1)， (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）依题意，积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取积最大的两个卡片即可． （2）依题意，商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值，然后选择商最小的两个卡片即可． （3）利用24点游戏规则判断即可． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：依题意，商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值． 则有，，, 商最小的是， ∴这两张卡片是， 故答案为：； （3）解：由题意得： ． 故答案为：（答案不唯一）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $