第8讲有理数的加法与减法2026-2027学年苏科版数学小升初暑假预习讲义

苏科版数学小升初暑假预习讲义 第8讲　有理数的加法与减法 【学习目标】 1. 理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，能熟练进行有理数加法运算。 1. 理解有理数减法的意义，掌握有理数减法法则，能将减法转化为加法进行计算。 1. 能灵活运用加法运算律进行简便计算。 1. 初步体会“转化”的数学思想——将减法转化为加法，将新问题转化为已学知识。 【知识梳理】 一、有理数的加法 1. 有理数加法法则 类型 运算法则 示例 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数相加 和为 0 一个数同 0 相加 仍得这个数 2. 加法运算律 交换律： 结合律： 3. 简便运算技巧 ① 互为相反数的先相加；② 同号的先相加；③ 能凑整（分母相同、小数凑整）的先相加。 做一做（即时练习）： (1) ________ (2) ________ (3) ________ (4) ________ 二、有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 2. 关键步骤 一“变” ：减号变加号；二“反” ：减数变相反数；三“算” ：按加法法则计算。 做一做（即时练习）： (5) ________ (6) ________ (7) ________ (8) ________ 【典例精讲】 【例1】计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【分析】 先判断两个加数是同号还是异号，再选择相应的法则进行计算。 【解答】 (1) 同号两数相加，取负号，，所以 。 (2) 异号两数相加，，，，取正号，，所以 。 (3) 互为相反数，和为 0，所以 。 (4) 一个数同 0 相加，仍得这个数，所以 。 【反思】 做加法时先“判类型”（同号还是异号），再“定符号”，最后“算绝对值”。三步有序进行，能有效避免出错。 【例2】计算： (1) (2) (3) (4) 【分析】 将减法转化为加法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 【解答】 (1) (2) (3) (4) 【反思】 减法运算的关键一步是“变号”——将减号变为加号，同时将减数变为它的相反数。熟练后可以省略中间步骤，直接写出结果。 【跟踪练习1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【例3】用简便方法计算： 【分析】 观察各加数的特点： 与 互为相反数，可以先相加； 与 同号且小数部分相同，可以先相加。 【解答】 原式 【反思】 简便计算的本质是灵活运用运算律，将容易计算的数先结合。常用的结合方式：①相反数结合；②同号结合；③凑整（含同分母分数）结合。 【例4】用简便方法计算： 【分析】 将正数、负数分别结合相加，再算异号两数的和。 【解答】 原式 【反思】 当加数较多时，先分类——正数一类、负数一类——分别相加，最后再合并。 【跟踪练习2】用简便方法计算： (1) (2) (3) 【举一反三】 1. 计算： 2. 计算： 3. 计算： 4. 计算： 5. 计算： 6. 计算： 7. 用简便方法计算： 8. 用简便方法计算： 【分层训练】 A组·基础过关（每题4分，共48分） 一、填空题。 1. 计算：________。 1. 计算：________。 1. 计算：________。 1. 计算：________。 1. 计算：________。 1. 计算：________。 1. 计算：________。 1. 计算：________。 1. 比 大 7 的数是________。 1. 从 减去 等于________。 1. 某地气温从 C 上升到 C，上升了________C。 1. 某潜艇在海面下 40 米处，上升 12 米后，又上升 8 米，此时在海面下________米处。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 两个负数相加，和一定为负数。（　　） 1. 两个正数相加，和一定为正数。（　　） 1. 两个数相加，和一定大于每一个加数。（　　） 1. 减去一个数等于加上这个数的相反数。（　　） B组·能力提升（每题5分，共30分） 三、计算题。 1. 计算： 1. 计算： 1. 计算： 1. 已知 ，，求 和 的值。 1. 一艘潜艇在海面下 50 米处，先上升 15 米，再下降 28 米，此时潜艇在海面下多少米处？（用有理数运算解答） 1. 某商店一周内盈亏情况如下（盈利为正，单位：元）： ，，，，，， 请计算这一周商店总的盈亏情况。 C组·思维拓展（每题5分，共10分） 四、解答题。 1. 已知 ，，且 ，求 的值。 1. 对于有理数 ，定义一种新运算：。 · (1) 求 的值； · (2) 求 的值； · (3) 若 ，求 的值。 【本讲总结】 📊 知识框架 有理数的加法与减法 加法 同号相加：符号不变，绝对值相加；异号相加：取绝对值大的符号，大减小；相反数相加：和为 0； 与 0 相加：仍得这个数 运算律（用于简算）交换律：a + b = b + a 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 减法 a - b = a + (-b) 核心：转化为加法 易错提醒 符号判断不准 → 先定符号，再算绝对值 减法变号遗漏 → 减号变加号，减数变相反数，缺一不可 运算顺序混乱 → 从左到右依次计算 💡 方法口诀 加法：同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑。 减法：减号变加号，减数变相反，转化之后按加算。 📌 学习建议 1. 计算要“慢” ：先看清符号再动笔，避免因粗心导致符号错误。 1. 过程要“写” ：不要跳步，尤其减法转化为加法的中间步骤要写清楚。 1. 验算要“勤” ：做完后可以用“代入”或“估算”的方式快速检验结果是否合理。 1. 方法要“活” ：多个数相加时，先观察能否利用运算律简化计算。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 (1) 答案： 解析：同号相加，取负号，。 (2) 答案： 解析：异号相加，，，，取正号，。 (3) 答案： 解析：互为相反数的两个数和为 0。 (4) 答案： 解析：一个数同 0 相加，仍得这个数。 (5) 答案： 解析：。 (6) 答案： 解析：。 (7) 答案： 解析：。 (8) 答案： 解析：。 典例精讲·跟踪练习1 (1) 答案： 解析：同号相加，取负号，。 (2) 答案： 解析：异号相加，，，，取正号，。 (3) 答案： 解析：。 (4) 答案： 解析：。 (5) 答案： 解析：。 (6) 答案： 解析：。 典例精讲·跟踪练习2 (1) 答案： 解析：原式 。 (2) 答案： 解析：原式 。 (3) 答案： 解析：原式 。 ⚠️ 易错提醒：，注意符号。 举一反三 1. 答案： 解析：同号相加，取负号，。 1. 答案： 解析：异号相加，，，，取负号，。 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：原式 。 1. 答案： 解析：原式 。 A组·基础过关 1. 答案： 解析：同号相加，取负号，。 1. 答案： 解析：异号相加，，，，取正号，。 1. 答案： 解析：异号相加，，，，取负号，。 1. 答案： 解析：互为相反数的两个数和为 0。 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：（℃）。 1. 答案： 解析：，即海面下 20 米处。 判断题 1. 答案：√ 解析：同号相加取相同符号，两个负数相加取负号，和一定为负数。 1. 答案：√ 解析：同号相加取相同符号，两个正数相加取正号，和一定为正数。 1. 答案：× 解析：如 ，和 小于加数 3。只有当两个加数同为正数时才成立。 1. 答案：√ 解析：这是有理数减法的基本法则。 B组·能力提升 1. 答案： 解析：原式 。 ⚠️ 易错提醒：注意 ，不是 8。 1. 答案： 解析：原式 。 1. 答案： 解析：原式 。 ⚠️ 易错提醒：，也可写作 。 1. 答案：， 解析：。。 1. 答案：海面下 63 米 解析：设海平面为 0，海面下为负。初始位置为 米。上升 15 米后为 米。再下降 28 米，即减去 28： 米。答：此时潜艇在海面下 63 米处。 1. 答案：盈利 1400 元 解析： （元）。 答：这一周商店总盈利 1400 元。 C组·思维拓展 1. 答案： 或 解析：由 得 ，由 得 。又因为 ，逐一代入检验： 的取值 的取值 是否满足 的值 ，满足 ，不满足 — ，满足 ，不满足 — 所以 的值为 或 。 🔍 方法指导：遇到绝对值问题时，先分别求出各字母所有可能的值，再用表格逐项筛选符合条件的组合，避免遗漏或重复。 1. 答案：(1) ；(2) ；(3) 解析： (1) 。 (2) 。 (3) 由 ，得 ，即 ，所以 。 🔍 方法指导：定义新运算问题，关键是严格按照题目给出的运算规则代入计算，注意符号不要出错。 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（8题） （　） 全对 / 错____题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（6题） （　） 全对 / 错____题 跟踪练习2（3题） （　） 全对 / 错____题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错____题 A组·基础过关（16题） （　） 全对 / 错____题 B组·能力提升（6题） （　） 全对 / 错____题 C组·思维拓展（2题） （　） 全对 / 错____题 错题号：________ 订正笔记（请将错题的正确解法写在下方）： _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ 📌 本讲修订说明 修订项目 具体修改 知识框架 删除“可先化简再算”这一冗余表述，与“从左到右依次计算”合并，逻辑更清晰 学习目标 将“能熟练进行有理数加法和减法的混合运算”调整为“能熟练进行有理数加法运算”，目标表述更简洁准确 题号排序 第22题题号由原来的位置调整为独立题号，与后续题号保持连续 解析缩进 统一调整解析段落缩进格式，与全书排版风格保持一致 格式统一 各模块编号、括号宽度、标点符号已统一规范 以上为第8讲完整内容（修订版终稿）。如需继续补全剩余各讲（第5讲 正数与负数、第6讲 数轴、第7讲 绝对值与相反数、第9讲 有理数的乘法与除法、第10讲 有理数的乘方、第11讲 用字母表示数与代数式、第12讲 整式的加减），请告知，我将按此格式逐一为您创作。 学科网（北京）股份有限公司 $