精品解析：广东江门市新会区第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025-2026学年高二数学第一学期期末考试 一、单选题:本共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列结论正确的是(　　) A. 对事件A的概率P(A)必有0<P(A)<1 B. 若事件A的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件 C. 用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗,结果有380人有明显的疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其会有明显疗效可能性为76% D. 某奖券中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,一定有5张中奖 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 4. 一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A. 事件A与事件B相互独立 B. 事件A与事件B互斥 C. D. P(AB)= 5. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. “”是直线：与直线：平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 14 D. 二、多选题:本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的极差为8，则数据的极差为15 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 设等差数列前项和为，， ，则__________. 13. 点，，，若，的夹角为锐角，则的取值范围为___________. 14. 若动点满足，则点的轨迹方程为___________. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 16. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的长轴为，短轴为2，焦点在轴上． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点斜率不为零的直线与椭圆相交于两不同点． ①若，求弦长的值； ②记为坐标原点，求面积的最大值． 19. 已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为.抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为.若为一动点，点满足.试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学第一学期期末考试 一、单选题:本共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列结论正确的是(　　) A. 对事件A的概率P(A)必有0<P(A)<1 B. 若事件A的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件 C. 用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗,结果有380人有明显的疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其会有明显疗效可能性为76% D. 某奖券中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,一定有5张中奖 【答案】C 【解析】 【详解】由概率的基本性质,事件A的概率P(A)的值满足0⩽P(A)⩽1，故A错误； 必然事件概率为1，故B错误； 某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，不一定有5张中奖，故D错误． 故选C. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把抛物线方程化为标准形式，结合准线方程的特点进行求解即可. 【详解】抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为， 故选：B 3. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 4. 一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A. 事件A与事件B相互独立 B. 事件A与事件B互斥 C. D. P(AB)= 【答案】D 【解析】 【分析】对于B：根据互斥事件的定义分析判断；对于CD：根据题意结合古典概型运算求解即可；对于A：根据独立事件的概率公式即可判断． 【详解】设样本空间为，则， 对于选项B：事件“两次向上的数字都为3” ， 事件“两次向上的数字之和是6” ， 显然事件B包含事件A，所以事件A与事件B不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确； 对于选项A：，，， 显然，故A错误； 故选：D． 5. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则直接求解． 【详解】连接BD，如图， 则 故选：A． 6. “”是直线：与直线：平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据求出a，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由：与：平行， 则，解得或， 当时，，即，，满足； 当时，，即，，两直线重合，不符合题意. 所以“”是直线：与直线：平行的充要条件. 故选：C. 7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 8. 已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 14 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】由l：得， 由，得，，所以直线，过定点． 所以点的中点坐标为，连接AM， 则，由题意知点B在以AM为直径的圆上， 所以点B的轨迹方程为（不包含点）， 记圆的圆心为， 过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H， 则， 当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立， 所以的最小值为． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合. 二、多选题:本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的极差为8，则数据的极差为15 【答案】AC 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的概念，即可判断A，根据平均数和方差公式，即可判断B，根据样本百分位数公式，判断C，根据极差公式，判断D. 【详解】A.个体被抽到的概率为，故A正确； B.由条件可知，得， 这组数据的方差为，故B错误； C.将数据按照从小到大排列12，14，15，17，19，23，27，30，共8个数据，，所以第70百分位数是第6个数据，为23，故C正确. D.不妨设本数据中最大的是，最小的是，则，由极差的概念，数据 的极差为，故D错误. 故选：AC 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．直线恒过定点，判断错误；求出直线方程，判断直线经过定点，正确；根据两圆外切，三条公切线，可得正确；根据圆心到直线的距离等于1，判断错误. 【详解】对于，直线方程可化为，令，则，，，所以直线恒过定点，错误； 对于，设点的坐标为，所以，，以为直径的圆的方程为， 两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，， 令，，解得，，故直线经过定点，正确； 对于，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线化为标准式得， 曲线化为标准式得， 所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，正确； 对于，因为圆心到直线的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，时，与重合，故只需验证面是否成立即可，对于B，由不与平面平行，即点到面的距离不为定值，由此即可推翻B，对于C，考虑两种极端情况的线面角，由于是连续变化的，故与平面所成的角也是连续变化的，由此即可判断；对于D，求出平面的法向量，而显然球心坐标为，求出球心到平面的距离，然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积. 【详解】如图所示建系，， 所以， 从而， 所以， 又面， 所以面， 时，与重合，平面为平面， 因为面，平面，A对. 不与平面平行，到面的距离不为定值， 三棱锥的体积不为定值，B错. 设面的法向量为， 则，令，解得， 即可取， 而， 所以与平面所成角的正弦值为， 又， 所以， 所以， 又面， 所以面， 当在时，与平面所成角的正弦值为，此时与平面所成角小于， 当在时，与平面所成角为， 所以存在使与平面所成角为，C正确. ， 设平面的法向量为， 不妨设，则. ，则，平面的法向量，显然球心， 到面的距离，外接球半径， 截面圆半径的平方为，所以，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是利用向量法求出球心到截面的距离，由此即可顺利得解. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 设等差数列前项和为，， ，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，则，， 故 ，故. 13. 点，，，若，的夹角为锐角，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求出和，因为，的夹角为锐角，可得，且不能是同向共线，列出不等式求解即可. 【详解】根据题意有，， 若，则，解得 若，则，即同向 ∵，的夹角为锐角，则，且不能同向 即，解得，且， 则的取值范围为. 故答案为：. 14. 若动点满足，则点的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程. 【详解】设， 由于动点的轨迹方程为， 则，故点到定点与到定点的距离差为6， 则动点的轨迹是以为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支， 由于，，则， 故的轨迹的标准方程为：. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 【答案】（1）x＝4或3x＋4y-8＝0. （2） 【解析】 【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程； （2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长. 【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0， 则圆心到直线的距离为即，解得， 所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0. （2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0， 圆心到直线l的距离 故所求弦长为：. 16. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 【答案】（1）0.4 （2）52.5 （3） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可得：组距为10，所以： ， 得：，故样本中数据落在的频率为：. 【小问2详解】 设第50百分位数为，易得位于50和60之间， 则有： 解得：. 【小问3详解】 分组人数为：人； 分组人数为：人， 利用分层抽样的方法易得： 分组抽人， 分组抽人， 从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即： 2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组， 故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图所示，作线段的中点，连接， 因为侧面为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，面， 所以平面，因为平面，所以， 因为底面为矩形，所以， 因为，面，面，所以面， 因为平面，所以平面面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出平面，接着求证面，再根据面面垂直的判定定理即可得证. （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据面面角的向量方法，求出面的法向量即可计算求出面与面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图所示，作中点，连接，则 由（1）可得，面，面，所以面， 则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系； 则， 可得， 设面的法向量为，则，得， 令，解得，所以面的一个法向量为， 易知面得一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的长轴为，短轴为2，焦点在轴上． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点斜率不为零的直线与椭圆相交于两不同点． ①若，求弦长的值； ②记为坐标原点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的即得解； （2）①由题得存在且，可设直线，利用弦长公式求解；②求出，再换元利用基本不等式求解. 【小问1详解】 解：由题得 所以椭圆的标准方程为 【小问2详解】 解：由题得存在且，可设直线． 联立可知： 由解得． ①当时， ②坐标原点到直线的距离为． 令，易知可知， 令，可知． 当且仅当，即时等号成立． 所以面积的最大值为. 19. 已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为.抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为.若为一动点，点满足.试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）为定值；. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的弦长求得抛物线的焦点坐标，即为椭圆焦点坐标，结合离心率可求得得椭圆方程； （2）设，，，由向量关系表示出，代入椭圆方程得一等式，同时由得代入可得，即点一椭圆上，恰为此椭圆的两个焦点，结论即得． 【详解】解：（1）抛物线的焦点为，∴ 过垂直于轴的直线截所得的弦长为 所以，解得. 所以 又∵椭圆的离心率为，∴ 椭圆的方程为，. （2）设，，，则由， 得， ∵点在椭圆上， ∴所以，， 故 . 设分别为直线的斜率，由题意知， 因此 所以.. 所以点是椭圆上上的点，. ∵，又∵，∴. ∴恰为椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义，为定值. 【点睛】本题考查抛物线的焦点，求椭圆标准方程，考查向量的线性运算，以及椭圆的应用．本题旨在考查学生的分析问题解决问题的能力，逻辑推理能力，运算求解能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $