广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

高二数学 第 1 页，共 4 页 2024-2025 学年度第一学期期末考试 高二级数学科试题 命题人：吴永恒 审题人：文钊颖 本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，测试用时 120 分钟. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．已知向量 ( )3,2,4m = − ， ( )1, 3, 2n = − − ，则 m n+ =（ ） A．2 2 B．8 C．3 D．9 2．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大 名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅读过《西游记》 或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过 《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值 为（ ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 3．双曲线和椭圆 2 2 1 5 x y+ = 共焦点，且一条渐近线方程是 3 0x y− = ，则此双曲线方程是（ ） A． 2 2 1 3 x y − = B． 2 2 1 3 y x− = C． 2 2 1 3 y x − = D． 2 2 1 3 x y− = 4．样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30 的第 70 百分位数是（ ） A．16 B．19 C．20 D．22 5．直线 sin 2 0x y + + = 的倾斜角的取值范围是（ ） A． )0,π B． π 3π 0 , 4 4              ， C． π 0, 4       D． π π 3π 0 4 2 4            ， ， 6．下列说法正确的是（ ） A．若A ， B 为两个事件，则“ A 与 B 互斥”是“ A 与 B 相互对立”的必要不充分条件 B．若A ， B 为两个事件，则 ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + C．若事件A ， B ，C 两两互斥，则 ( ) ( ) ( ) 1P A P B P C+ + = D．若事件A ， B 满足 ( ) ( ) 1P A P B+ = ，则A 与 B 相互对立 高二数学 第 2 页，共 4 页 7．已知抛物线C 的方程为 21 4 y x= ，F 为其焦点，点 N 坐标为 ( )0, 4− ，过点F 作直线交抛物线C 于A 、 B 两点，D是 x 轴上一点，且满足 DA DB DN= = ，则直线 AB的斜率为（ ） A． 15 2  B． 11 2  C． 2 D． 3 8．设a c b  ，如果把函数 ( )y f x= 的图象被两条直线 ,x a x b= = 所截的一段近似地看作一条 线段，则下列关系中， f (c) 的最佳近似表示式是（ ） A． ( ) ( ) ( ) 1 2 f c f a f b= +   B． ( ) ( ) ( ) f c f a f b=  C． ( ) ( ) ( ) ( )  c a f c f a f b f a b a −  = + − − D． ( ) ( ) ( ) ( )  c a f c f a f b f a b a −  = − − − 二、选择题：本题共 3小题,每小题 6 分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分. 9．点 P 在圆 2 2 1 : 1C x y+ = 上，点Q在圆 2 2 2 : 6 8 24 0C x y x y+ − + + = 上，则（ ） A． | |PQ 的最小值为 3 B． | |PQ 的最大值为 7 C．两个圆心所在的直线斜率为 4 3 − D．两个圆相交弦所在直线的方程为6 8 25 0x y− − = 10．已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b + =   的左、右焦点分别为 1 2,F F ，点 P 在C 上，且 1PF 的最大值 为 3，最小值为 1，则（ ） A．椭圆C 的离心率为 1 2 B． 2 1PF F 的周长为4 C．若 2 1 90F PF = ，则 2 1PF F 的面积为3 D．若 1 2 4PF PF = ，则 2 1 60F PF =  11．如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，M 是棱 BC的中点， N 是棱 1DD 上的动点 （含端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥 1A AMN− 的体积为定值 B．若 N 是棱 1DD 的中点，则过 A，M，N的平面截正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 所得的截面图形的周长为 7 5 2 C．若 CN与平面 1AB C 所成的角为，则 3 6 sin , 3 3        D．若 N 是棱 1DD 的中点，则四面体 1D AMN− 的外接球的表面积为7π 高二数学 第 3 页，共 4 页 三、填空题：本题共 3小题,每小题 5 分,共 15分. 12．总体由编号为01,02,03, ,49,50的 50 各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第 1 行和第 2 行）选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左向 右读取，则选出来的第 4 个个体的编号为 ． 66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86 13．如果双曲线 2 2 1 4 12 − = x y 上一点 P 到它的右焦点的距离是8，那么点 P 到它的左焦点的距离 是 ． 14．已知抛物线 C： 2 8y x= 的焦点为 F， ( )4,0M ，过点 M作直线 ( )3 3 2 0x a y a+ − − − = 的 垂线，垂足为 Q，点 P是抛物线 C上的动点，则（1）抛物线C 的准线方程为__________________; （2） PF PQ+ 的最小值为 ． 四、解答题: 本题共 5小题,共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题 13 分) 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了 100 名学生的成绩组成样本， 并将得分分成以下 6 组： )40,50 ， )50,60 ， )60,70 ，……， 90,100 ，统计结果如图所示： (1)试估计这 100 名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后 2 位） (2)试估计这 100 名学生得分的平均数（同一组中的数据用 该组区间中点值代表）； (3)现在按分层抽样的方法在 )80,90 和 90,100 两组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人参加这次竞赛的交流会， 求至少有一人在 90,100 的概率. 16．(本小题 15 分) 已知 (1, 2)A 、 (3,6)B ，动点 P 满足 4PA PB = − ，设动点 P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的标准方程； (2)求过点 (1, 2)A 且与曲线C 相切的直线的方程. 高二数学 第 4 页，共 4 页 17．(本小题 17 分) 在四棱锥P ABCD− 中，PD ⊥底面 , ,ABCD CD AB∥ 1, 2, 3AD DC CB AB DP= = = = = ． (1)证明： AB //平面 PDC ； (2)证明：BD PA⊥ ； (3)求 PD与平面PAB所成的角的正切值． 18．(本小题 15 分) 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘 汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 4 3 2 1 , , , 5 5 5 5 ，且各轮问题能否 回答正确互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率． 19．(本小题 17 分) 对抛物线 21 ( 0) 2 y x p p =  ，定义：点 0, 2 p F       叫做该抛物线的焦点，直线 2 p y = − 叫做该抛物线的准 线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题： 如图，已知抛物线C ： 2 8y ax ax= − 的图象与 x 轴交于O、A 两点，且过点 ( )2, 3B − . (1)求抛物线C 的解析式和点 A坐标； (2)若将抛物线 C的图象向左平移 4 个单位，再向上平移 4 个单位得到抛物线 D的图象. ①设M 为抛物线D上任意一点，MN x⊥ 轴于点 N，求 MN MA+ 的最小值； ②直线 l过抛物线 D的焦点且与抛物线 D交于 ,P Q 两点，证明：以 PQ为直径的圆与抛物线 D的准 线相切. 答案第 1 页，共 11 页 高二期末考试数学科参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C C B A B C 题号 9 10 11 答案 ABC AD AC 12. 09. 13. 4或12 . 14. （1） 2x = − ；（2） 11 2 . 15．(1)众数 75；中位数71.67 (2) 70.5 (3) 7 10 【详解】（1）由频率分布直方图可知，第 4 组频率最大，估计众数为：75； ----2 分 在 )40,70 内频率之和为10 (0.010 0.015 0.020) 0.45 + + = ， 设中位数为m ，由图可知中位数在[70,80) ， 由 ( 70) 0.03 0.05m−  = ，得中位数 71.67m  -------4 分 （2）由频率分布直方图的数据，估计这 100 名学生得分的平均数： (45 0.01 55 0.015 65 0.02 75 0.03x =  +  +  +  85 0.015 95 0.01) 10 70.5+  +   = -----8 分(列式 2 分,答案 2 分) （3）在[80,90)和 90,100 两组中的人数分别为： 100 (0.015 10) 15  = 人和100 (0.01 10) 10  = 人， -----9 分 所以在[80,90)分组中抽取的人数为 15 5 3 10 15  = + 人，记为 a，b，c， 在 90,100 分组中抽取的人数为 2 人，记为 1，2， 所以这 5 人中随机抽取 2 人的情况有： {( ), ( ), ( ), ( 1), ( 2), ( 1), ( 2), ( 1), ( 2), (12)}ab ac bc a a b b c c = ， -----10 分 （要列举才给分，可以是列表，或树状图等） 共 10 种等可能取法， -----11 分 至少有一人得分在 90,100 的情况有 7 种， -----12 分 （不列举不扣分） 所以所求概率为 7 10 P = . -------------13 分 16．(1) ( ) ( ) 2 2 2 4 1x y− + − = (2) 1x = 或3 4 5 0x y− + = . 【详解】（1）设𝑃(𝑥, 𝑦)，则 (1 ,2 )PA x y= − − ， (3 ,6 )PB x y= − − ， ----2 分 答案第 2 页，共 11 页 由 ( )( ) ( )( )1 3 2 6 4PA PB x x y y = − − + − − = − ， ------4 分 得 ( ) ( ) 2 2 2 4 1x y− + − = ， 所以曲线C 的标准方程为 ( ) ( ) 2 2 2 4 1x y− + − = . ------7 分 （2）曲线C 是以 ( )2,4 为圆心，1 为半径的圆， 过点 (1, 2)A 的直线若斜率不存在，直线方程这 1x = ， 满足与圆C 相切； -------9 分 过点 (1, 2)A 的切线若斜率存在， 设切线方程为 ( )2 1y k x− = − ，即 2 0kx y k− + − = ， ---10 分 有圆心到直线距离 2 2 4 2 1 1 k k d k − + − = = + ， -----12 分 解得 3 4 k = ， ---13 分 则方程为3 4 5 0x y− + = . --------14 分 过点 (1, 2)A 且与曲线C 相切的直线的方程为 1x = 或3 4 5 0x y− + = . -------15 分 17．（1）证明： ,CD AB∥ 又 ,AB PDC DC PDC 平面 平面 ， --------2 分 AB //平面 PDC ； -----3 分 （2）证明：在四边形 ABCD中，作DE AB⊥ 于E，CF AB⊥ 于F ， 因为 / / , 1, 2CD AB AD CD CB AB= = = = ， 所以四边形 ABCD为等腰梯形， -----4 分 所以 1 2 AE BF= = ， 故 3 2 DE = ， 2 2 3BD DE BE= + = ， 所以 2 2 2AD BD AB+ = ， 所以 AD BD⊥ ， -------6 分 因为PD ⊥平面 ABCD，BD平面 ABCD， 所以PD BD⊥ ， -------7 分 又 =PD AD D ， -------8 分 所以BD ⊥平面PAD， ------9 分 答案第 3 页，共 11 页 又因为PA平面PAD， 所以BD PA⊥ ； ---------10 分 （3）解： , ,DA DP DB 两两互相垂直，以D为原点建立如图所以的空间直角坐标系， ------11 分 3BD = ，则 ( ) ( ) ( )1,0,0 , 0, 3,0 , 0,0, 3A B P ， ------12 分 则 ( ) ( ) ( )1,0, 3 , 0, 3, 3 , 0,0, 3AP BP DP= − = − = ， 设平面PAB的法向量 ( ), ,n x y z= ， 则有 3 0 { 3 3 0 n AP x z n BP y z  = − + =  = − + = ， -------13 分 可取 ( )3,1,1n = ， ------14 分 则 5 cos , 5 n DP n DP n DP  = = ， ------15 分 设PD与平面PAB所成角为 ， [0, ] 2    ， 所以 5 2 5 sin cos , , cos 5 5 n DP = =  = ------16 分 所以 sin 1 tan cos 2    = = 所以PD与平面PAB所成角的正切值为 1 2 . -------17 分 18．【详解】（1）记D :该选手进入第四轮才被淘汰， ------1 分 记 ( )1,2,3,4iA i = 表示该选手能正确回答第 i个问题， 则 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 4 3 2 1 , , , 5 5 5 5 P A P A P A P A= = = = ． 该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功， 即 1 2 3 4D A A A A= -----2 分 各轮问题能否回答正确互不影响， 所以所求概率是 答案第 4 页，共 11 页 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4 4 3 2 1 96 ( ) 1 5 5 5 5 625 P D P A A A A P A P A P A P A   = = =    − =    . --------7 分(互不影响或独立，占 1 分) （2）记M :该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰， 可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的， -------9 分（事件 1 分，互斥 1 分） 所以所求概率为 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 3( )P M P A A A A A A P A P A A P A A A= + + = + + --- 4 4 3 4 3 2 101 1 1 1 5 5 5 5 5 5 125     = − +  − +   − =        ． ------14 分（部分对得部分分） 综上，(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率为 96 625 ；(2)求该选手至多进入第三轮考核的 概率为 101 125 . ---------15 分（下结论 1 分） 19．【详解】（1）把 (2, 3)B − 代入 2 8y ax ax= − 得: 4 16 3a a− = − ，解得 1 4 a = ， 所以抛物线 C的解析式为 21 2 4 y x x−= ； -------3 分 在 21 2 4 y x x−= 中，令 0y = 得， 0x = 或 8x = ，所以 (8,0)A . -----5 分 （2）①根据题意，抛物线D解析式为 2 21 1( 4) 2( 4) 4 4 4 y x x x= + − + + = ， ----6 分 所以抛物线D的焦点为(0,1)，准线为 1y = − ， -----7 分 设抛物线D的焦点为F ，延长MN 交直线 1y = − 于点 R ，连接 AF 、MF ， AF 交抛物线于 点T ，如图: 由抛物线焦点和准线的性质可得 RM MF= ， RN MN NA MF MA+ + = + ， ----8 分 因为 1RN = ，所以 1MN NA MF MA+ = + − ， 因为 MF MA AF+  ， 所以点M 与点T 重合时 MF MA+ 的值最小， -------9 分 此时 1 1MN NA MF MA AF+ = + − = − 的值最小， 因为 90AOF = ， 1OF = ， 8OA = ， 2 21 8 65AF = + = ， 1 65 1AF − = − ， 所以 MN MA+ 的最小值为 65 1− . ---------11 分 答案第 5 页，共 11 页 ②证明：设直线 l的解析式为 1y mx= + ， -------12 分 由 2 1 1 4 y mx y x = +   =  ，得 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 x m m y m m m  = + +  = + + + 或 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 x m m y m m m  = − +  = − + + ， -----13 分 不妨设 2 2 2(2 2 1,2 2 1 1)P m m m m m+ + + + + ， 2 2 2(2 2 1,2 2 1 1)Q m m m m m− + − + + ， 以 PQ为直径的圆，圆心为 PQ的中点即 2(2 ,2 1)m m + ， -----14 分 2 2 2 2 2(4 1) (4 1 4( )) 1m mP m mQ + += =+ + ， ------15 分 抛物线D的准线为 1y = − ，以 PQ为直径的圆圆心到准线的距离为 ( ) ( )2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 m m m PQ+ − − = + = + = ， -------16 分 所以以 PQ为直径的圆与抛物线D的准线相切. ------17 分 【客观题详解】 1．C 【详解】 ( ) ( ) ( )3,2,4 1, 3, 2 2, 1,2m n+ = − + − − = − − ( ) ( ) 2 2 22 1 2 3m n+ = − + − + = 故选：C 2．C 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为 90-80+60=70，则其与该校学生人数 之比为 70÷100=0.7．故选 C． 3．C 【详解】椭圆方程为： 2 2 1 5 x y+ = ，其焦点坐标为 ( 2 0)  ，设双曲线的方程为 2 2 2 2 1 x y a b − = 椭圆与双曲线共同的焦点 2 2 4a b+ = ，① 一条渐近线方程是 3 0, 3 b x y a − =  = ，② 答案第 6 页，共 11 页 解①②组成的方程组得 1, 3a b= = ，所以双曲线方程为 2 2 1 3 y x − = ． 故选：C． 4．C 【详解】共有 10 个数，10 70% 7 = ，故从小到大排列，选择第 7 个数和第 8 个数的平均 数作为第 70 百分位数，即 20 为第 70 百分位数. 故选：C. 5．B 教材《选择性必修一》第 102 页第 1 题第（2）小题改编 【详解】设直线的倾斜角为 . 因为， 1 sin 1−   ， sink = − ，所以， 1 1k−   . 又 tank = ，则 1 tan 1−   . 当 π 0, 2        时， ( ) tanf  = 单调递增，解 1 tan 1−   ，可得 π 0 4   ； 当 π ,π 2        时， ( ) tanf  = 单调递增，解 1 tan 1−   ，可得 3π π 4   . 综上所述，   π 3π 0 ,π 4 4        , . 故选：B. 6．A 【详解】对于 A，若事件A 与 B 互斥，则A 与 B 不一定相互对立， 但A 与 B 相互对立，则A 与 B 一定互斥，故“ A 与 B 互斥”是“ A 与 B 相互对立”的必要不充分 条件，故 A 正确； 对于 B，若A ， B 为两个事件，则 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B+ = + − ，故 B 错误； 对于 C，若事件A ， B ，C 两两互斥，则 ( ) ( ) ( ) 1P A P B P C+ + = 不一定成立， 如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记 A =“向上的点数为 1”，B =“向上的点数为 2”，C = “向 上的点数为 3”， 事件A ， B ，C 两两互斥，但 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 6 6 6 2 P A P B P C+ + = + + = .故 C 错误； 对于 D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是 1 2 ， 抛掷一枚硬币，正面向上的概率是 1 2 ，满足 ( ) ( ) 1P A P B+ = ，但是A 与 B 不对立，故 D 错 误. 故选：A. 7．B 【详解】设𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)， ( ),0D a ，直线 AB方程为 1y kx= + ， 答案第 7 页，共 11 页 联立直线与抛物线方程 2 1 1 4 y kx y x = +   =  ，可得 2 4 4 0x kx− − = ， 显然 0  ，所以 1 2 4x x = − ． 又 2 24DA DB DN a= = = + ，即 ( ) ( ) 2 22 2 2 2 1 1 2 2 4x a y x a y a− + = − + = + ， 即 2 2 1 1 12 16 0x y ax+ − − = ， 2 2 2 2 22 16 0x y ax+ − − = ， 故𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)是方程 2 2 2 16 0x y ax+ − − = 的解， 将 1y kx= + 代入方程 2 2 2 16 0x y ax+ − − = ， 整理得 ( ) ( )2 21 2 2 15 0k x k a x+ + − − = ，显然 0  ， 1 22 15 4 1 x x k − = = − + ， 2 11 4 k = ，即 11 2 k =  ． 故选：B． 8．C 教材《选择性必修一》第 102 页第 9 题 【详解】根据点斜式方程得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) f b f a c a f c f a c a f c f a f b f a b a b a − − − = −  = + − − − ,选 C. 9．ABC 【详解】圆 2 2 1 : 1C x y+ = 的圆心坐标 1(0,0)C ，半径 1r = 圆 2 2 2 : 6 8 24 0C x y x y+ − + + = ，即 2 2( 3) ( 4) 1x y− + + = 的圆心坐标 2(3, 4)C − ，半径 1R = ∴圆心距 2 2 1 2 ( 4 0) (3 0) 5C C = − − + − = 又 P 在圆 1C 上，Q在圆 2C 上 则 PQ 的最小值为 1 2min 3PQ C C R r= − − = ，最大值为 1 2max 7PQ C C R r= + + = ． 故 A、B 正确； 两圆圆心所在的直线斜率为 1 2 4 0 4 3 0 3 C Ck − − = = − − ，C 正确； 圆心距 2 2 1 2 ( 4 0) (3 0) 5C C = − − + − = 大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D 错误. 故答案为：ABC 答案第 8 页，共 11 页 10．AD 【详解】对 A，由题意 3a c+ = ， 1a c− = ，故 2a = ， 1c = ，故 A 正确； 对 B， 2 1PF F 的周长为 2 2 6a c+ = ，故 B 错误； 对 C， ( ) 2 22 2 2 1 2 1 2 2 11 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 cos 2 2 PF PF PF PF F FPF PF F F F PF PF PF PF PF + −  −+ −  = =   ， ( ) ( ) 2 22 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 PF PF F F PF PF F F b PF PF aPF PF + − + − = −  = −   +     ，当且仅当 1 2PF PF= 时，等 号成立， 因为 cosy = 在 (0,π)上递减，所以此时 2 1F PF 最大，又 2a = ， 1c = ，所以 2 1F PF 的最大 值为60 ， 2 1 90F PF = ，不成立，故 C 错误； 对 D，由余弦定理 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 12 cosF F PF PF PF PF F PF= + −   ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 12 1 cosPF PF PF PF F PF= + −  +  ，即 ( )2 14 16 2 4 1 cos F PF= −  +  ， 解得 2 1 1 cos 2 F PF = ，故 2 1 60F PF = ，故 D 正确； 故选：AD 11．AC 【详解】对于 A,连接 1A M ,因为 1 1/ /DD AA , 1AA 平面 1A AM , 1DD 平面 1A AM ,所以 1 / /DD 平面 1A AM , 又点 N 是棱 1DD 上的动点（含端点）， 所以点 N 到平面 1A AM 的距离为定值，设为d ， 则 1 1 1 1 1 2 5 5 3 3 2 3 A AMN N A AM A AMV V S d d d− −  = =   =   = ，为定值，故 A 正确； 对于 B,如图， 四边形 AMHN 为过 A，M，N的平面截正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 所得的截面图形， 因为平面 1 1 / /A ADD 平面 1 1B BCC , 且平面 1 1A ADD 平面 AMHN AN= , 且平面 1 1B BCC 平面 AMHN MH= , 答案第 9 页，共 11 页 根据面面平行的判断定理知， / /AN MH ， 又因为 ,M N 为中点，所以H 为四等分点， 则四边形 AMHN 的周长为： 5 17 5 5 17 5 5 2 2 2 AM MH HN AN + + + + = + + + = ,故 B 错误； 对于 D,如图所示，连接 1AD ,取 AD的中点为M  , 连接MM ，设 1AD N 外接圆圆心为O ,外接球球心为O , 连接O M  ,则OE O M=  , 在 1AD N 中，设其外接圆半径为 r ， 由正弦定理知， 1 5 10 2 sin 2 2 AN r AD N = = =  ，所以 10 2 r = ，即 10 2 O N = ， 依题易得 1AND DM A  ,故 AM D AND  = , 弦 1AD 所对的圆周角相等，故 1, , ,A M N D 四点共圆，则 10 2 O M O N= =  , 设外接球半径为 R ,过O作OE MM⊥  ,交MM 于E , 则在Rt OEM△ 中， 2 2 2OM OE ME= + , 即 ( ) 2 22 10 2 2 R OO   = + −      ,① 在Rt OO N 中， 2 2 2ON OO O N=  + , 即 2 2 2 10 2 R OO   = +       ,② 联立①②，解得 2 71, 2 OO R= = , 故外接球的表面积为 24π 14πR = , 故 D 错误； 对于 C，以A 为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则 ( ) ( ) ( ) ( )  10,0,0 , 2,0,2 , 2,2,0 , 0,2, , 0,2A B C N   , 则 ( ) ( ) ( )1 2,0,2 , 2,2,0 , 2,0,AB AC CN = = = − , 答案第 10 页，共 11 页 设平面 1AB C 的法向量 ( ), ,n x y z= ， 则 1 0 2 2 0 2 2 00 n AB x z x yn AC   = + =   + = =  ， 令 1x = ，则 1y z= = − ，故 ( )1, 1, 1n = − − ， 则 2 2 sin cos , 3 4 n CN n CN n CN     + = = =   + , 2 2 2 3 4 4 3 4 1 3 4 3 4      + + = = + + + , 当 0 = 时， 3 sin 3  = ， 当 0  时， 2 3 4 3 4 3 4 6 sin 1 1 1 43 4 3 3 34 2        = + = +  + = + +  ， 当且仅当 2 = 时等号成立， 又 2 3 4 3 sin 1 3 4 3    = +  + ， 综上可知， 3 6 sin , 3 3        ，故 C 正确， 故选：AC. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明 确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正 方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方 体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 12．09 【分析】根据随机数表法选出满足要求的编号，依次是 14，05，11，09，得到答案. 【详解】从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10 列数字开始， 依次是 14，05，11，09， ∴第四个数字是 09. 13． 4或12 【详解】设双曲线 2 2 1 4 12 − = x y 的左、右焦点为 1 2,F F ，则 2, 4 12 4a c= = + = ； 则 2| | 8PF = ， 由双曲线定义可得 1 2|| | | || 2 4PF PF a− = = ，即 1|| | 8 | 4PF − = ， 答案第 11 页，共 11 页 所以 1| | 4PF = 或 1| | 12PF = ，由于 2c a− = ， 故点 P 到它的左焦点的距离是 4或12， 14．（1） 2x = − ；（2） 11 2 【详解】 由 ( )3 3 2 0x a y a+ − − − = 得 ( )3 3 2 0a y x y− + − − = ， 所以直线 ( )3 3 2 0x a y a+ − − − = 过点 ( )5, 3A ． 连接 AM，则 1 3 2AM = + = ，由题意知点 Q在以 AM为直径的圆上，设 ( ),Q x y ，所以点 Q的轨迹方程为 22 9 3 1 2 2 x y    − + − =        （不包含点 ( )4, 3 ）， 记圆 22 9 3 1 2 2 x y    − + − =        的圆心为 9 3 , 2 2 N        ，过点 Q，P，N分别作准线 2x = − 的垂 线，垂足分别为 B，D，S，连接 DQ，则 9 11 1 2 1 2 2 PF PQ PD PQ DQ QB NS+ = +    − = + − = ，当且仅当 B，P，Q，N四点 共线且点 Q在 PN中间时等号同时成立，所以 PF PQ+ 的最小值为 11 2 ． 故答案为; 11 2