精品解析：广东中山桂山中学2025-2026学年高二上学期数学期末模拟试卷

2025-2026学年广东省中山市桂山中学高二上数学期末模拟试卷 一、单选题，每题只有一个选项符合要求，共8题，每题五分，共40分. 1. 在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则t＝（ ） A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】由得到与垂直，进而得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以与垂直， 故，解得. 故选：B． 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】， 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为， 故选：D 3. 已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【详解】由题可得， 解得：． 故选：B 4. 两个正数1，9的等差中项是，等比中项是且，则曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项、等比中项可得，，再结合椭圆离心率公式运算求解. 【详解】因为正数1，9的等差中项是，等比中项是， 则，且，解得， 所以曲线的离心率为. 5. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，我们易构造不等式组，求出方程表示椭圆时，参数的取值范围，再由充要条件的定义，即可得到结论． 【详解】解：若方程表示椭圆 则，且，且 解得或 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，椭圆的标准方程，其中根据椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，构造不等式组，求出满足条件的参数的取值范围，是解答本题的关键． 6. 已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为 A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=-， 因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）2+y2=16相切， 所以3+=4，p=2； 故选C． 7. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 【答案】D 【解析】 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 8. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm 【答案】B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解，计算可估计身高． 【详解】头顶至脖子下端的长度为26cm， 说明头顶到咽喉的长度小于26cm， 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618， 可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm， 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是， 可得肚脐至足底的长度小于＝110， 即有该人的身高小于110+68＝178cm， 又肚脐至足底的长度大于105cm， 可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm， 即该人的身高大于65+105＝170cm， 即人的身高大于170小于178, 故选：B． 二、多选题，每题有多个选项符合要求，选对部分得部分分数，选错不得分，共3题，每题六分，共18分. 9. 已知点，点，点在抛物线上，则（ ） A. 当时，最小值为1 B. 当时，的最小值为4 C. 当时，的最小值为3 D. 当时，的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，根据抛物线的定义，作图，结合点到直线距离以及三角形三边法则，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】当时，作抛物线的准线，过作，过作，如下图所示： 可得恰为抛物线的焦点，由抛物线定义可得， 则，故A、B正确； 当时，连接，如下图所示： 设，则，当时，取得最小值为，故C错误； 则，当在线段的延长线上时，等号成立，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图，正方体中，E为的中点，P为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，使平面 B. 存在点P，使 C. 四面体的体积为定值 D. 二面角的余弦值取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量法或几何法，根据线面垂直、两点间的距离、几何体的体积、二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】（向量法）为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2， ，则，，， ，，故与不垂直，故A错误. 由知，故B正确. 为定值.故C正确. 又，，设平面的法向量， 由， 令则，， ， 又平面的法向量， ， 又，，. 故D错误. （几何法）记棱中点分别为， 易知平面，而平面 则，若平面，平面，则， 由平面， 所以平面，与已知矛盾，故不垂直于平面. 故A错误. 连接，易知，，设正方体棱长为2，知，， 记， 则，， 由， 得.故B正确. 为定值.故C正确. 过点作于点，易知，过点作于点， 知平面，所以，则二面角的平面角为， 现在中求解. 设正方体棱长为2，，则，， 只需求取值范围即可： 记，则， 分析易知在时取到最大值，此时， 在时取到最小值，此时， 又即， 即， 所以即， . 故D错误. 故选：BC 11. 设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数，下列说法正确的是（ ） A. 公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B. 已知，则是间隔递增数列 C. 已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2 D. 已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】A. ，因为，所以当时，，故错误； B. ，令，t在单调递增，则，解得，故正确； C. ，当为奇数时，，存在成立，当为偶数时，，存在成立，综上：是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若是间隔递增数列且最小间隔数是3， 则，成立， 则，对于成立，且，对于成立 即，对于成立，且，对于成立 所以，且 解得，故正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、填空题，共3题，每题五分，共15分. 12. 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 ①. ②. － 【解析】 【分析】 方程x2＋y2－4x＋1＝0转化圆，表示圆，表示圆上的点与原点连线斜率，求出直线与圆相切的切线斜率可得最值． 【详解】解：如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆． 设＝k，即y＝kx， 则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由，解得k2＝3， ∴kmax＝，kmin＝－. 即的最大值为，最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查求代数式的最值，解题方法是利用几何意义求解，一是已知条件转化为点在已知圆上，待求式转化为与原点连线的斜率，然后由直线和圆的位置关系求解． 13. 若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用轴对称列式求出点关于直线的对称点的坐标，再代入圆方程即得. 【详解】依题意，点关于直线的对称点在圆上， 则，解得，因此点在圆上， 则，解得， 所以实数的值为4. 故答案为：4 14. 平面四边形中，,沿直线将翻折成 ，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】当平面平面时，三棱锥的体积最大，建立空间直角坐标系，求出球心坐标计算球半径即可求出球的表面积. 【详解】首先考查，由余弦定理有：，则，，解得，即边上的高， 易知当平面平面时，三棱锥的高最大，此时体积取得最大值， 将三棱锥放入长方体，建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 设其外接球球心为，由球的性质可知：， 则有方程组：, 解方程组可得：， 则外接球半径，所以外接球的表面积. 故答案为： 四、解答题，共5题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分. 15. 已知圆：与圆：． （1）求两圆的公共弦长； （2）过平面上一点向圆和圆各引一条切线，切点分别为，设，求证：平面上存在一定点使得到的距离为定值，并求出该定值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）把两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求两圆的公共弦长；（2）根据圆的切线长与半径的关系代入化简即可得到点的轨迹方程，进而求解. 【详解】解：（1）由， 相减得两圆的公共弦所在直线方程为：， 设(0,0)到的距离为，则 所以，公共弦长为 所以，公共弦长为. （2）证明：由题设得： 化简得： 配方得： 所以，存在定点 使得到的距离为定值，且该定值为. 【点睛】本题主要考查圆的应用.求两圆的公共弦关键在求公共弦所在直线方程；求动点与定点距离问题，首先要求出动点的轨迹方程. 16. 如图，正方体中，点在棱上. （1）求证：； （2）设在上，且，是否在上存在点，使平面平面，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，点为的中点. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量数量积即可得证； （2）求出两个平面的法向量，根据数量积为0计算是否有解即可. 【小问1详解】 以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方体的棱长为1，则，,， 设，则,， 所以 ，所以， 故. 【小问2详解】 设满足条件的点，设平面的一个法向量， 因为,， 则 ，即， 取，得， 由M在上，且，则， 设平面的一个法向量， ,， 则 即， 取，得， 平面⊥平面，则 ，解得或（舍）， 所以当，即为的中点时，平面⊥平面. 17. 已知等比数列的各项为正数，为其前项的和，，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的通项公式及其前项的和． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）， 【解析】 【分析】（Ⅰ）设正项等比数列的公比为且，由已知列式求得首项与公比，则数列的通项公式可求；（Ⅱ）由已知求得，再由数列的分组求和即可． 【详解】（Ⅰ）由题意知，等比数列的公比，且， 所以， 解得，或（舍去）， 则所求数列的通项公式为. （Ⅱ）由题意得， 故 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式的应用，同时考查了待定系数法求数列的通项公式和分组求和法求数列的和． 18. 直线l:y=kx＋1与双曲线C:的右支交于不同的两点A,B. （Ⅰ）求实数k的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1），（2） 【解析】 【详解】(1)直线与双曲线方程联立消y得关于x的一元二次方程，根据判别式大于零，可求出k的取值范围. (2)解本题的突破口是假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0， 整理得：(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0再根据韦达定理解决即可. (1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线方程2x2－y2＝1后，整理得： (k2－2)x2＋2kx＋2＝0① 解：依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故 ，解得－2<k<－． (2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由①式得②， 假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0， 整理得：(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0③ 把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0，解得 k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)． 可得k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点． 19. 类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程． （1）类比平面解析几何中直线的方程，直接写出： ①过点，法向量为的平面的方程； ②平面的一般方程； ③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（）；（不需要说明理由） （2）设为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足的动点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系，并推导出曲面的方程． 【答案】（1）①；②；③ （2） 【解析】 【分析】（1）类比平面内直线的方程，写出平面的方程，并进行证明； （2）建立适当的空间直角坐标系，类比椭圆，写出方程，化简后得到答案. 【小问1详解】 ①，理由如下： 设平面上除任意一点坐标为， 则，即， 又， 故过点，法向量为的平面的方程为； ②平面的一般方程为，理由如下： 由①可得， 变形为，令， 故平面的一般方程为； ③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（）为，理由如下： 由②可得平面的一般方程为， 由于方程在x，y，z轴上存在截距，且截距不为0，故， 变形为，故， 令， 故在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（）为； 【小问2详解】 以两个定点的中点为坐标原点，以所在直线为轴， 以线段的垂直平分线为轴，以与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，可得，， 所以， 移项得， 两边平方得， 即， 故，两边平方得， ，两边同除以得， ， 令，故曲面的方程为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省中山市桂山中学高二上数学期末模拟试卷 一、单选题，每题只有一个选项符合要求，共8题，每题五分，共40分. 1. 在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则t＝（ ） A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 两个正数1，9的等差中项是，等比中项是且，则曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为 A. B. 1 C. 2 D. 4 7. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 8. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm 二、多选题，每题有多个选项符合要求，选对部分得部分分数，选错不得分，共3题，每题六分，共18分. 9. 已知点，点，点在抛物线上，则（ ） A. 当时，最小值为1 B. 当时，的最小值为4 C. 当时，的最小值为3 D. 当时，的最大值为2 10. 如图，正方体中，E为的中点，P为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，使平面 B. 存在点P，使 C. 四面体的体积为定值 D. 二面角的余弦值取值范围是 11. 设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数，下列说法正确的是（ ） A. 公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B. 已知，则是间隔递增数列 C. 已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2 D. 已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 三、填空题，共3题，每题五分，共15分. 12. 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________． 13. 若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为__________. 14. 平面四边形中，,沿直线将翻折成 ，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是__________． 四、解答题，共5题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分. 15. 已知圆：与圆：． （1）求两圆的公共弦长； （2）过平面上一点向圆和圆各引一条切线，切点分别为，设，求证：平面上存在一定点使得到的距离为定值，并求出该定值． 16. 如图，正方体中，点在棱上. （1）求证：； （2）设在上，且，是否在上存在点，使平面平面，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 17. 已知等比数列的各项为正数，为其前项的和，，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的通项公式及其前项的和． 18. 直线l:y=kx＋1与双曲线C:的右支交于不同的两点A,B. （Ⅰ）求实数k的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 19. 类比平面解析几何的观点，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程． （1）类比平面解析几何中直线的方程，直接写出： ①过点，法向量为的平面的方程； ②平面的一般方程； ③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（）；（不需要说明理由） （2）设为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足的动点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系，并推导出曲面的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $