河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二下期6月测试（二）数学试题

**基本信息** 这份高二下期数学月考试卷以文化传承与现实情境为载体，如杨辉“垛积术”问题（第8题）和共享单车概率应用（第17题），融合函数、立体几何等核心知识，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数导数、向量、排列组合|第3题结合充分必要条件考查函数单调性，体现逻辑推理| |多选题|3/18|复数、不等式、函数性质|第11题函数图像与方程解的综合，考查直观想象| |填空题|3/15|正态分布、函数奇偶性、三角函数|第12题正态分布应用，体现数据意识| |解答题|5/77|立体几何、解三角形、概率、椭圆、导数|19题导数综合题考查分类讨论与证明，呼应高考压轴题命题趋势|

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期06月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A A B B B B C ACD AD BCD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14．3 15．(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）证明：由正方形，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，取中点，连接， 由，，得四边形为平行四边形，则， 由，得，则直线，，两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设，则，，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，则， 取，则，，得，而， 因此，则，又平面， 所以平面． （2）由（1）得， 平面BDE的法向量为， 则，则， 令，则，，得， 设二面角的平面角为，且为锐角， 则， 所以二面角的余弦值为． 16．（1）；（2）或. 【解析】（1）由，知，再对进行检验，即可； （2）结合二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，可推出，再由余弦定理求出的值，最后根据，即可得解． 【详解】（1）解：由题意 检验： 对任意都有 是奇函数 . （2）解：，整理得， A是三角形的内角 所以 由余弦定理，即 整理得，解得或 ，或. 17．(1)0.7 (2) (3)；； 【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合贝叶斯公式运算求解； （3）分析可知，结合二项分布求分布列、期望和方差. 【详解】（1）设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B． 由题意可知：，，，， 由全概率公式可得， 所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7． （2）由题意可知：， 所以小明出发时不下雨的概率为． （3）由题意可知：， 则，； ；； 可知X的分布列为， 所以X的数学期望，方差． 18．(1)； (2)证明见详解； (3)证明见详解. 【分析】（1）设点，根据两点距离公式，可得，结合二次函数的图像性质即可求得其最小值； （2）设切线方程为，与椭圆方程联立可得，进而可得，根据三角形面积公式结合不等式即可求得面积的最小值； （3）设的倾斜角为，的倾斜角为，的倾斜角为，可得，故要证，只要证明即可．根据椭圆的定义和直线的斜率公式，分别计算直线、和的斜率，即可证明. 【详解】（1）设点，，， 则， 又为椭圆上一点，所以，整理得， 代入得， 故当时，取得最小值． （2）设过点的切线方程为， 联立，得， 故，即， 解得， 故，即， 将其代入直线方程中得，故， 则直线方程为，易得， 故的面积． 又，即，  当且仅当时取等号， 故，即原命题得证． （3）设的倾斜角为，的倾斜角为，的倾斜角为，则， 根据椭圆方程，得，，，    因为， 所以， 故要证，只要证明即可． ①当时，得，则，，， 所以，而， 易知，，所以，故. ②当时，， 又，， 则， 因，则， 由， 可得， 易知，，所以，故. 19．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期06月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 3．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（   ）种 A．40 B．60 C．80 D．120 5．已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 6．若函数的最小值为，则实数（     ） A． B． C．4 D． 7．已知定义在上的函数满足，则必有（    ） A． B． C． D． 8．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第28项为（    ） A．735 B．733 C．731 D．729 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（     ） A．的对应点在第三象限 B．的虚部为 C． D．满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上 10．已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．设函数的定义域为，且，则（     ） A．函数的值域为 B．函数在上单调递减 C．方程有3个不同的解 D．若方程有10个不同的解，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______． 13．已知是奇函数，则不等式的解集是______. 14．已知函数，则函数的最大值为____，若函数在上为增函数，则w的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，平面平面，四边形为正方形，，，，为线段上一点，且． (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值． 16．（15分）设常数，，. （1）若是奇函数，求实数的值； （2）设，中，内角的对边分别为.若，，，求的面积. 17．（15分）小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． (1)求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； (2)已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； (3)设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 18．（17分）设为椭圆在第一象限上一点，分别为的左、右焦点，过点且与相切的直线分别交轴、轴于两点（直线的斜率不为），为坐标原点． (1)设点，求的最小值； (2)证明：的面积不小于； (3)证明：． 19．（17分）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $