河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二下学期5月测试（二）数学试题

**基本信息** 本试卷为高二下期数学月考试卷，通过空间向量解立体几何、低碳出行统计分析、理想函数定义探究等题，融合数学眼光的空间观念、数学思维的推理能力与数学语言的数据意识，知识覆盖全面且梯度合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、不等式、复数、数列|基础概念辨析，如集合关系、等比数列性质| |多选题|3/18|不等式、函数、概率|多条件推理，如充要条件判断、独立事件分析| |填空题|3/15|二项式定理、函数定义域、正四棱台外接球|空间几何计算与代数推理结合| |解答题|5/77|立体几何（空间向量）、统计（茎叶图）、双曲线、函数定义、解三角形|综合性强，如用空间向量证线面垂直（空间观念）、低碳出行数据统计（数据意识）、理想函数定义证明（推理能力）|

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期05月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A A B A C D C AB BD AD 1 学科网（北京）股份有限公司 12．330 13． 14． 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可. （2）利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）由题知AB，AD，AP两两相互垂直． 以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，． ∴，，． ∴，，∴，． 又平面，平面，． ∴平面． （2）易知平面的一个法向量为， 设平面AEF的法向量为， ∵，， ∴即 取，解得 则平面的一个法向量为． . 因为平面与平面所成角为锐角， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 16．(1)8；(2)答案见解析. 【详解】试题分析： （1）根据茎叶图列出的数据并结合所给的平均数可求得．（2）根据题意得到的所有可能的取值，并分别求出概率，列出表格可得分布列，然后求出期望． 试题解析： （1）由题意， 解得． （2）由题意知，随机变量的所有可能取值有0,1,2,3,4.                的分布列为： 0 1 2 3 4 ∴． 17．(1) (2)不能,理由见解析 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为. （2）假设是线段的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段的中点，， 代入上式，可得，即此时直线的斜率为， 于是直线的方程为，即. 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段的中点. 18．（1）0；（2）是，证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）取可根据条件①和③求出； （2）易得函数满足条件①②，当，，时，可根据 得出结论； （3）由条件③知，若，，则分别讨论和两种情况可证. 【详解】(1)取可得. 又由条件①，故. (2)显然在[0，1]满足条件①；也满足条件②.    若，，，则 ，即满足条件③， 故理想函数.        (3)由条件③知，任给、[0，1]，当时，由知[0，1]， 若，则，前后矛盾； 若，则，前后矛盾. 故. 【点睛】本题考查函数的新定义问题，解题的关键是正确理解理想函数满足的三个条件，从而利用条件进行计算. 19．(1) (2) (3). 【详解】（1）由正弦定理，得，，. 代入已知式，两边乘以得：，整理得：. 由余弦定理，代入：，解得：. 因为为三角形内角，所以. （2）已知，边上的中线长为，对应边为，即.设为中点，则为中线，.中线公式为：，其中为边上的中线长，代入，： 由余弦定理，代入，：，代入：，化简得：，解得或（舍）. 代入得，所以. 面积. （3）设角的平分线交于点，则，且. 在中，由正弦定理：；在中，由正弦定理：.又，且，所以. 由,,在中，，，，由余弦定理：，则，解得：. 同理，在中，，，设，由余弦定理：，则. 由角平分线性质：，所以，两边平方得，代入表达式：，解得或. 若，则三角形为等腰三角形，，，此时，三角形为等边三角形，角平分线长应为，与不符，舍去； 若，成立. 所以，，面积. $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期05月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．满足的集合A有个 A．2 B．4 C．6 D．7 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．已知等比数列满足，则（    ） A． B．2 C． D．4 5．设；不等式对任意的恒成立，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 8．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，，且，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 10．若，则下列叙述中正确的是（    ） A．“”的充要条件是“” B．“”是“”的充分不必要条件 C．“对恒成立”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 11．投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为.设事件“”，事件“”，事件“”，则（    ） A． B． C．事件和相互独立 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．的展开式中的系数为___________. 13．已知函数的定义域为，函数，则的定义域为__________. 14．已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，E，F分别为PD，PC的中点．请用空间向量知识解答下面问题： (1)求证：平面PAD； (2)求平面AEF与底面所成角的余弦值． 16．（15分）为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下： （1）若甲单位数据的平均数是122，求； （2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为，，令，求的分布列和期望. 17．（15分）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 18．（17分）对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数. （1）若函数为理想函数，求的值； （2）判断函数是否为理想函数，并予以证明； （3）若函数为理想函数，假定存在，使得，且，求证. 19．（17分）已知的内角的对边分别为，且. (1)求. (2)若，且边上的中线长为，求的面积. (3)若，且角的平分线长为，求的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $