专题04：直线与平面的位置关系（1）（3大知识点+9大题型+21题强化）-2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版必修第三册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题04 直线与平面的位置关系（1） 知识点01 直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 无公共点 【注】直线与平面平行的定义：当直线与平面没有公共点时，就说直线与平面平行。 知识点02 直线和平面平行的判定 直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行，则线面平行． 图形语言： 符号语言：、，． 【诠释】 （1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件： ①直线a在平面外，即； ②直线b在平面内，即； ③直线a，b平行，即a∥b． 这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． 知识点03 直线和平面平行的性质 直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行则线线平行． 符号语言：若，，，则． 图形语言： 【诠释】 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即； （3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误． 考点一、直线与平面的位置关系 题型01：直线与平面位置关系的判断 【名师点拨】解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助空间想象能力进行细致的分析． 【例1】已知为异面直线，平面，平面，，则下列结论正确的是（   ） A．与都相交 B．与中至少一条相交 C．与都不相交 D．与中只有一条相交 【跟踪训练】 1. 若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（    ） A． B．与相交 C． D．以上三种情况都有可能 2. 若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（    ）． A．直线在平面内 B．直线与平面相交或平行 C．直线与平面相交 D．直线平行平面 3. 若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（    ）． A．内的所有直线与a是异面直线 B．内不存在与a平行的直线 C．内存在唯一一条直线与a平行 D．内的所有直线与a都相交 考点二、直线与平面平行的判定定理 题型02：线面平行关系有关命题的判断 【名师点拨】判断或证明线面平行的常用方法 （1） 定义法：证明直线与平面无公共点（不易操作）. （2）判定定理法：a⊄α，b⊂α，a ll b→a ll α （3）排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内. 【例2】已知是两条不同的直线，平面，下列命题正确的是______________ ①若上有两点到的距离相等，则； ②若 ③ ④ ⑤ 【例3】若，表示直线，表示平面，则以下命题中真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则或与异面 【跟踪训练】 1. 已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（    ） ①，； ②，； ③，； ④，；  ⑤，，． A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤ 2. 下列命题为真命题的是（    ） A．若两直线、互相平行，则平行于经过的任何平面 B．若直线与平面平行，则平行于内的任何直线 C．若两直线、都与平面平行，则 D．若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线 3.已知为三条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个说法： ①，则； ②，则； ③，则； ④，则. 其中正确的是（    ） A．①④ B．①② C．②④ D．③④ 题型03：图形中线面平行关系的判断 【例4】如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（  ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练】 1.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A．B．C．D． 2.如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（    ） A．  B．  C．  D．   3. 在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有_____________ (1) (2) (3)(4)   题型04：中位线法证明线面平行 【例5】长方体中，是矩形的中心，是矩形的中心．【证明】平面. 【跟踪训练】 1.在直三棱柱中，E是棱AB的中点，，． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 2. 如图，在三棱柱中，平面ABC，各棱长均为4，D为AB的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值； 题型05：平行四边形法证明线面平行 【例6】在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点． 求证：平面； 【跟踪训练】 1. 如图，在四棱锥中，已知平面平面ABCD，，，，AE是等边的中线． 证明：平面． 2.在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面． 3.如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面，则：    (1)与是否平行？说明理由； (2)与平面是否平行？试证明你的结论． 考点三、直线与平面平行的性质定理 题型06：由线面平行的性质求解 【例7】若直线平面，直线平面，则与（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点 【跟踪训练】 1. 如图所示，在空间四边形中，F，G分别是BC，CD的中点，平面，则EH与FG的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 1. 如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时， __________. 题型07：利用线面平行的性质证明线线平行 【名师点拨】性质定理的作用: ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 【例8】如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：. 【跟踪训练】 1. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点． 求证：. 2. 如图所示，在空间四边形中，F，G分别是BC，CD的中点，平面，则EH与FG的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：． 题型08：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系 【例9】如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形. (1)求证：平面； (2)若，，求四边形周长的取值范围. 【例10】如图，平面平面，直线平面，过点的直线分别交于点，过点的直线分别交于点．若，则（    ） A． B．6 C． D．5 【跟踪训练】 1. 如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值. 2.若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 3.已知、、、四点不共面，且平面，，，，，，则四边形是______四边形． 1. 正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（    ） A． B． C． D． 题型09：动点探索问题 【名师点拨】1.已知线面平行，一般直接考虑用性质，利用构造法找或作出经过直线的平面与已知平面相交得交线． 2.要证线线平行，可把它们转化为线面平行． 3.线线平行与线面平行可以相互转化：线线平行线面平行 【例11】如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【跟踪训练】 1.如图，棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱的中点． (1)平面与直线交于R点，求的值； (2)在线段上是否存在点M，使得面，若存在，请求出M点位置并证明；若不存在，请说明理由． 2. 如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3.如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形. ，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值. 一、填空题 1. “直线与平面没有公共点”是“”的______条件． 2.如图，在正方体中，与截面的位置关系是____________，与平面的位置关系是____________． 3. 如图，平面平面，直线平面，过点的直线分别交于点，过点的直线分别交于点．若，则________  4.已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为_________ 5.已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱上的点，且，当平面时，的值为________ 6. 如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，则EF的长为__________-.    二、选择题 7. 已知平面平面，直线，直线，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．平行或异面 C．异面 D．异面或相交 8.已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（  ） A． B． C．或 D．与相交 9.在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 10.已知直线和平面，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11.已知直线直线b，直线c，平面，则（   ） A． B． C．a与相交 D．或 12.已知，是两条不同的直线，为平面内的一条直线，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13.在空间中，直线平面的一个充要条件是（  ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 14.如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 三、解答题 15. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点. 证明:平面； 16.如图，在几何体中，四边形为直角梯形，已知，平面平面 (1)证明： 平面 (2)证明： 17.如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点． (1)求证：平面EAC． (2)若M是CD上异于C，D的点，连接PM交CE于点G，连接BM交AC于点H，求证：． 18.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.   (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面； (3)设平面平面，求证：. 19．如图，多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥组成，其中，，，是上的一点． (1)若是中点． ①求证：平面；②求异面直线与所成角的余弦值． (2)若为与交点，问上是否存在一点，使得平面？如果存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 20.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，M为上一点，且 (1)求证：平面 (2)若为正三角形，，求异面直线与所成角的大小; (3)点E为中点，点F在线段上，且，若平面，求实数的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题04 直线与平面的位置关系（1） 知识点01 直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 无公共点 【注】直线与平面平行的定义：当直线与平面没有公共点时，就说直线与平面平行。 知识点02 直线和平面平行的判定 直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行，则线面平行． 图形语言： 符号语言：、，． 【诠释】 （1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件： ①直线a在平面外，即； ②直线b在平面内，即； ③直线a，b平行，即a∥b． 这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． 知识点03 直线和平面平行的性质 直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行则线线平行． 符号语言：若，，，则． 图形语言： 【诠释】 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即； （3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误． 考点一、直线与平面的位置关系 题型01：直线与平面位置关系的判断 【名师点拨】解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助空间想象能力进行细致的分析． 【例1】已知为异面直线，平面，平面，，则下列结论正确的是（   ） A．与都相交 B．与中至少一条相交 C．与都不相交 D．与中只有一条相交 【答案】C 【分析】假设与相交，推出与平面斜交或，与已知条件矛盾，故与不相交，同理可证与也不相交，ABD错误. 【详解】假设与相交，因为，所以， 则与平面斜交或，与平面矛盾，故与不相交， 同理可证与也不相交，C正确，ABD错误. 故选：C 【跟踪训练】 1. 若是异面直线，且平面，那么与平面的位置关系是（    ） A． B．与相交 C． D．以上三种情况都有可能 【答案】D 【解析】在长方体中，平面视为平面，直线为直线a，点E，F分别为棱的中点， 如图， 显然有平面，当直线b为直线时，直线是异面直线，此时； 因，平面，平面，则， 当直线b为直线时，直线是异面直线，此时； 当直线b为直线时，直线是异面直线，此时与相交， 所以直线b与平面可能平行，可能相交，也可能在平面内. 故选：D. 2. 若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（    ）． A．直线在平面内 B．直线与平面相交或平行 C．直线与平面相交 D．直线平行平面 【答案】B 【解析】结合题意：要使一条直线的两点到一个平面的距离为1，则由线面位置关系可得： 当时，可满足题意； 当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意； 当时，无法满足题意. 故直线与平面相交或平行. 故选：B. 3. 若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（    ）． A．内的所有直线与a是异面直线 B．内不存在与a平行的直线 C．内存在唯一一条直线与a平行 D．内的所有直线与a都相交 【答案】B 【解析】设， A选项，内过点的直线与共面，所以A选项错误. D选项，内，不过点的直线与异面，所以D选项错误. BC，若存在，则由于， 所以，这与已知矛盾，所以B选项正确，C选项错误. 故选：B 考点二、直线与平面平行的判定定理 题型02：线面平行关系有关命题的判断 【名师点拨】判断或证明线面平行的常用方法 （1） 定义法：证明直线与平面无公共点（不易操作）. （2）判定定理法：a⊄α，b⊂α，a ll b→a ll α （3）排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内. 【例2】已知是两条不同的直线，平面，下列命题正确的是______________ ①若上有两点到的距离相等，则； ②若 ③ ④ ⑤ 【解析】①中与α可能相交;②中，也可能是;④中，不能是任意的;⑤中，m 与n 可能异面，故应填③. 【例3】若，表示直线，表示平面，则以下命题中真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则或与异面 【答案】D 【解析】对于A：若，，则或，故A错误； 对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C：若，，则或，故C错误； 对于D：若，，则或与异面，故D正确. 故选：D 【跟踪训练】 1. 已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（    ） ①，； ②，； ③，； ④，；  ⑤，，． A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤ 【答案】A 【分析】分析各直线，平面的关系即可得出结论. 【详解】由题意， ①，，故，故正确； ②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误； ③，则或，故错误； ④，；则与可能平行或相交，故错误； ⑤，，，由线面平行的判定定理可得，故正确. 故选：A. 2. 下列命题为真命题的是（    ） A．若两直线、互相平行，则平行于经过的任何平面 B．若直线与平面平行，则平行于内的任何直线 C．若两直线、都与平面平行，则 D．若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线 【答案】D 【解析】对于A选项，记经过直线的平面为， 若两直线、互相平行，则或，A错； 对于B选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，B错； 对于C选项，若两直线、都与平面平行，则、平行、相交或异面，C错； 对于D选项，若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线，D对. 故选：D. 3.已知为三条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个说法： ①，则； ②，则； ③，则； ④，则. 其中正确的是（    ） A．①④ B．①② C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对各选项逐一判断即可． 【详解】对①，，则，可以平行、相交或异面，故①不正确； 对②，根据平行线的传递性，可知②正确； 对③，，则或，故③不正确； 对④，根据线面平行的判定定理，可知④正确． 故选：C 题型03：图形中线面平行关系的判断 【例4】如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（  ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用线面平行判定定理逐项验证即可求解． 【解析】对于①：如图，取中点，连接，则有，又平面，所以与平面相交，故①错误 对于②：由，，所以，又平面，不在平面上，所以平面，故②正确； 对于③：由，又平面，不在平面上，所以平面，故③正确； 对于④：由，又平面，不在平面上，所以平面，故④正确. 故选：C. 【跟踪训练】 1.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【解析】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A错误； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B错误； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C错误； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出平面，故D正确， 故选：D. 2.如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】对于A，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于B，如图连接， 因为，分别为，的中点，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于C，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 对于D，如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交， 故选：D． 3. 在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有_____________ (1) (2) (3)(4)   【答案】(1)(2) 【解析】对于(1)，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则，而，, 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，(1)正确； 对于(2)，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则，而，, 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，(2)正确； 对于(3)，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 设交于，连接， 则，而, 故，即四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行， 这是不可能的，故此时平面不成立，(3)错误； 对于(4)，设底面为平行四边形， 连接交于点，交于， 则为的中点，连接， 由于为的中点，故； 又平面，平面，平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的， 故此时平面不成立，(4)错误； 故选：(1)(2) 题型04：中位线法证明线面平行 【例5】长方体中，是矩形的中心，是矩形的中心．【证明】平面. 【答案】证明见详解 【分析】连结、、.由已知可推得，进而根据线面平行的判定定理，即可证明平面. 【详解】 【证明】连结、、. 由已知可得，点是的中点，点是的中点， 所以，是的中位线， 所以. 又平面，平面， 所以平面. 【跟踪训练】 1.在直三棱柱中，E是棱AB的中点，，． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于O，证明即可； （2）由（1）可知，或其补角为异面直线与所成的角. 【详解】（1）连接交于O，则O是的中点， 连接OE，则OE是的中位线， ∴，∵，， ∴平面； （2）由（1）可知，或其补角为异面直线与所成的角， 由余弦定理，得，， ，，∴， ，∴异面直线与所成的角的余弦值为． 2. 如图，在三棱柱中，平面ABC，各棱长均为4，D为AB的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设，连接，易知 ，再由线面平行的判定证明结论； （2）由（1）知，异面直线与所成角为（或其补角），再由已知及余弦定理、平方关系求夹角正弦值. 【详解】（1）设，连接，知为的中点， 因为D为AB的中点，则 ，平面，平面， 所以平面； （2）因为 ，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，由题意知， 则，则， 所以异面直线与所成角的正弦值为. 题型05：平行四边形法证明线面平行 【例6】在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点． 求证：平面； 【解析】证明：取的中点，连接，， 又是的中点，所以，且． 因为四边形是矩形，所以且，所以，且． 因为是的中点，所以，所以且， 所以四边形是平行四边形，故． 因为平面，平面， 所以平面． 【跟踪训练】 1. 如图，在四棱锥中，已知平面平面ABCD，，，，AE是等边的中线． 证明：平面． 【解析】证明：如图，取PC的中点F，连接EF，BF． 因为E是棱PD的中点，所以，且． 因为，，所以，， 所以四边形ABFE是平行四边形，所以． 因为平面，平面， 所以平面． 2.在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】取CD中点，连接OM，EM，利用平行四边形的判定与性质得，然后利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】如图所示，取CD中点，连接OM，EM， 在矩形中，且． 又且，则且． 所以四边形为平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 3.如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面，则：    (1)与是否平行？说明理由； (2)与平面是否平行？试证明你的结论． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)平行，证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的性质即可求证， （2）根据线面平行的判定即可求证. 【详解】（1）平行，理由如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 又平面平面，平面，所以． （2）平行．证明如下：如图所示，    取的中点，连接， 故,又 所以且． 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面， 所以平面． 考点三、直线与平面平行的性质定理 题型06：由线面平行的性质求解 【例7】若直线平面，直线平面，则与（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点 【答案】D 【分析】利用直线与平面平行的性质可知，直线与平面内的直线始终没有公共点，即可得出结果. 【解析】根据线面平行的性质可知， 当直线平面，直线平面时，有以下情况 ①如下图所示； 此时与平行； ②如下图所示： 此时与异面； 即与异面或平行，所以它们没有公共点. 故选：D 【跟踪训练】 1. 如图所示，在空间四边形中，F，G分别是BC，CD的中点，平面，则EH与FG的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【答案】A 【分析】由三角形的中位线及线面平行的性质定理即可选出答案. 【详解】因为分别为的中点， 所以, 因为平面,平面平面,平面, 所以, 由平行的传递性可知. 故选：A. 1. 如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时， __________. 【答案】/0.5 【分析】根据线面平行的性质得出线线平行，从而得出结果. 【详解】如图，连结交于点，连结. ，E为AD的中点， , PA∥平面EBF，平面EBF平面PAC ，PA平面PAC， PA∥OF， . 故答案为：. 题型07：利用线面平行的性质证明线线平行 【名师点拨】性质定理的作用: ①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行. ②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线. 【例8】如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：. 【解析】∵四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面， ∴平面. 而平面平面，平面， ∴，∴. 【跟踪训练】 1. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点． 求证：. 【解析】证明：∵平面平面， ∴平面， 又平面，平面平面， ∴. 2. 如图所示，在空间四边形中，F，G分别是BC，CD的中点，平面，则EH与FG的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【答案】A 【分析】由三角形的中位线及线面平行的性质定理即可选出答案. 【详解】因为分别为的中点， 所以, 因为平面,平面平面,平面, 所以, 由平行的传递性可知. 故选：A. 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接交于点，连接，先利用三角形中位线性质和线面平行判定定理证明平面，然后由线面平行性质定理可证. 【解析】连接交于点，连接， 因为ABCD是平行四边形，所以为中点， 又M是PC的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以.    题型08：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系 【例9】如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形. (1)求证：平面； (2)若，，求四边形周长的取值范围. 【解析】（1）证明：∵四边形为平行四边形，∴； ∵平面，平面，∴平面， 又∵平面，平面平面，∴； 又∵平面，平面，平面； （2）设，，由（1）可知，同理有， ∴，，∴， 又∵，，∴， ∴，且； ∴四边形的周长为， ∴； ∴四边形周长的取值范围是. 【例10】如图，平面平面，直线平面，过点的直线分别交于点，过点的直线分别交于点．若，则（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】C 【分析】 由线面平行得线线平行，再由平行线分割线段成比例可得，解出即可. 【解析】①当直线m，n共面时，因为平面平面，直线平面，面，面，， 所以， 根据平行线分割线段成比例可得， 又，解得， ②当为异面直线时，连接，如图    由①证明可知，， 所以， 又，解得. 故选：C. 【跟踪训练】 1. 如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值. 【解析】如图，连接，交于点，连接， 为的中点，且平面平面， 平面，平面， ， 为的中点，即实数的值为． 2.若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，平面，平面， ∴，∴，即，∴. 故选：B. 3.已知、、、四点不共面，且平面，，，，，，则四边形是______四边形． 【答案】平行 【详解】由题，平面平面，因为平面， 所以， 又平面平面，所以，则， 同理， 所以四边形EFHG是平行四边形， 故答案为：平行 1. 正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据中位线可得线面平行，进而根据线面平行的性质可得线线平行，进而可得四边形为等腰梯形，即可由边角关系求解. 【解析】因为M，D分别为AB，BC的中点，故，又平面,平面，所以平面， 由于平面,平面平面,故， 又，故．在等腰梯形MDEQ中，，， 在中，，，则，故梯形的高为，故． 故选:D． 题型09：动点探索问题 【名师点拨】1.已知线面平行，一般直接考虑用性质，利用构造法找或作出经过直线的平面与已知平面相交得交线． 2.要证线线平行，可把它们转化为线面平行． 3.线线平行与线面平行可以相互转化：线线平行线面平行 【例11】如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【知识点】补全线面平行的条件、证明线面平行 【分析】（1）取靠近的三等分点F，连接，只需证明即可； （2）取的靠近的三等分点N，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【详解】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ， ∴，. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 【跟踪训练】 1.如图，棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱的中点． (1)平面与直线交于R点，求的值； (2)在线段上是否存在点M，使得面，若存在，请求出M点位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为线段上靠近点的四等分点 【分析】（1）根据题意，延长和交于，连接，交于，即可得到，从而得到结果； （2）根据题意，取中点，中点，连接，即可得到四边形为平行四边形，从而得到结果. 【详解】（1） 延长和交于，连接，交于， 即平面与直线交于点， 因为为中点， ，所以为中点， 于是， 所以. （2） 存在，当为线段上靠近点的四等分点时，面， 取中点，中点，连接，则，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以面. 2. 如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点在侧棱上满足．(2)存在，． 【分析】（1）直线在平面内运动，将平面转化成平面内的限制条件，就可以限制点的位置． （2）构造平面平面，利用面面平行的判定定理可说明点的位置. 【解析】（1）如图，连结，交于点，连结．显然为的中点．    若平面， 因为平面，平面平面， 所以，所以为的中点． 因为，所以． 又当时，有，从而平面． 所以点在侧棱上满足． （2）如图，取的中点，连结．    由（1）知为的中点， 所以，而平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 所以侧棱的中点符合题意，此时． 3.如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形. ，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，连接，利用线面平行的判定，结合平行线分线段成比例定理推理得证； （2）在上取点，使，利用几何法，结合余弦定理求出夹角余弦. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，连接， 在梯形中，由，得， 由点是棱上靠近端的三等分点，得，则， 而平面，平面，所以平面. （2）在上取点，使，连接，则，即， 因此是异面直线与所成的角或其补角，， 由平面，平面，得， ，，在中，， 由余弦定理得， 在等腰中，， 所以异面直线与夹角的余弦值是. 一、填空题 1. “直线与平面没有公共点”是“”的______条件． 【答案】充要 【分析】根据线面平行的定义，即可得出充分条件.当时，假设直线与平面有公共点，根据推论2以及线面平行的性质定理得出矛盾，即可说明假设错误，得出必要条件. 【详解】若直线与平面没有公共点，根据线面平行的定义，有； 若： 假设直线与平面有公共点.如图，设为公共点，则，. 显然，使得，所以. 根据推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.可得，，使得，. 所以. 因为，根据线面平行的性质定理可得，， 这与相矛盾，所以假设不成立， 所以直线与平面没有公共点. 综上所述，“直线与平面没有公共点”是“”的充要条件. 故答案为：充要. 2.如图，在正方体中，与截面的位置关系是____________，与平面的位置关系是____________． 【答案】     相交     平行 【详解】与截面相交， 由题意得，而平面，平面，所以平面． 故答案为：相交，平行 1. 如图，平面平面，直线平面，过点的直线分别交于点，过点的直线分别交于点．若，则________    【解析】①当直线m，n共面时，因为平面平面，直线平面，面，面，， 所以， 根据平行线分割线段成比例可得， 又，解得， ②当为异面直线时，连接，如图 由①证明可知，， 所以， 又，解得. 4.已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为_________ 【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解. 【详解】连接，，则过点.如图所示 ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵， ∴. 5.已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱上的点，且，当平面时，的值为________ 【分析】过作交于，利用线面平行的性质可得 ，进而可得四边形为平行四边形，，即得. 【解析】过作交于，连接， 因为，∴，故共面, 因为平面，平面平面，平面， 所以，又, ∴四边形为平行四边形， 又， ∴， 所以. 6. 如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，则EF的长为__________-.    【答案】 【分析】连接与交于点，连接，在棱上取，连接，，由平面PBD，证得四边形QEFC是平行四边形，在直角中，即可求解. 【解析】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，， 如图所示，连接与交于点，连接， 在棱上取，连接，，则，且， 因为平面PBD，且平面，平面平面， 所以，所以， 又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以， 在直角中，，，所以， 所以.    故答案为： 二、选择题 7. 已知平面平面，直线，直线，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．平行或异面 C．异面 D．异面或相交 【答案】B 【解析】因为平面平面，直线，直线， 所以与没有交点，即与可能平行，也可能异面． 故选：B. 8.已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（  ） A． B． C．或 D．与相交 【答案】C 【分析】以正方体为载体，取，，分别取面和为平面，即可判断结果. 【解析】 在正方体中，取，， 当取面为平面时， 所以满足，，此时； 当取面为平面时， 所以满足，，此时， 所以与平面的关系是或. 故选：C. 9.在空间中，直线平面的一个充要条件是（    ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 【答案】D 【解析】对于A，B，C，直线都可能在内， 故选:D． 10.已知直线和平面，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，则存在使得且， 若且，则， 又且，所以，充分性成立； 设，，则有，但不平行，即必要性不成立. 故选：A. 11.已知直线直线b，直线c，平面，则（   ） A． B． C．a与相交 D．或 【答案】D 【知识点】判断线面平行 【分析】由平行公理得，再由直线和平面的位置关系即可判断. 【详解】，，， ，或． 故选：D. 12.已知，是两条不同的直线，为平面内的一条直线，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件、判断线面平行 【分析】根据线面关系及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，是两条不同的直线，为平面内的一条直线， 由推不出，如且，此时得不到，故充分性不成立； 由也推不出，事实上当时，或与异面均有可能，故必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件。 故选：D 13.在空间中，直线平面的一个充要条件是（  ） A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质即可结合选项求解. 【解析】对于A，B，C，直线都可能在内， 故选:D． 14.如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】根据线线平行证明线面平行，进而判断各选项. 【详解】因为为平行四边形对角线的交点，所以为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，A选项正确； 同理平面，平面，所以 ，B选项正确； 由四边形为平行四边形，所以，平面，平面，故平面，故D正确； 又与平面相交于点，故C错误； 故选：C. 三、解答题 15. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点. 证明:平面； 【答案】证明见解析 【分析】通过证明线线平行推出线面平行，即取面的中心，证∥即可. 【详解】设，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以， 由于平面，平面， 所以平面. 16.如图，在几何体中，四边形为直角梯形，已知，平面平面 (1)证明： 平面 (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线段对应成比例可得，进而得到，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）先有线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得到 【详解】（1）连接交于，连接． 因为四边形为直角梯形，，所以， 又因为，所以， 因为面面，所以平面. （2）因为四边形为直角梯形，所以． 因为面面，所以平面． 因为面，面面． 所以． 17.如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点． (1)求证：平面EAC． (2)若M是CD上异于C，D的点，连接PM交CE于点G，连接BM交AC于点H，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线证明，然后根据线面平行的判定定理完成证明； （2）根据线面平行的性质定理完成证明. 【详解】（1）连接交于，连接， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以是的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面平面，平面， 所以. 18.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.   (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面； (3)设平面平面，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，再证明即可； （2）根据线面平行与面面平行的判定证明平面平面即可； （3）根据线面平行的判定与性质证明即可. 【详解】（1）设，连接，因为是平行四边形，故， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. （2）若为侧棱的中点，，则， 又平面，平面，故平面. 又，平面，平面，故平面. 又，平面，故平面平面. 又平面，故平面. （3）因为，平面，平面，故平面. 又平面平面，平面，故    19．如图，多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥组成，其中，，，是上的一点． (1)若是中点． ①求证：平面；②求异面直线与所成角的余弦值． (2)若为与交点，问上是否存在一点，使得平面？如果存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)存在，且 【分析】（1）①连接交于点，连接，利用中位线的性质得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； ②分析可知，异面直线与所成角为或其补角，求出三边边长，结合余弦定理可求得结果； （2）由线面平行的性质可得出，由此得出，即可得解. 【详解】（1）连接交于点，连接，如下图所示： 在三棱柱中，，，所以，四边形为平行四边形， 因为，所以为的中点， 又因为为的中点，所以，且， 因为平面，平面，故平面； 在直三棱柱中，平面，平面，所以， 所以，， 同理可得，， 所以，，， 因为，所以，异面直线与所成角为或其补角， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）如下图所示： 因为，，所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以，故，因此. 所以，线段上存在一点，使得平面，且． 20.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，M为上一点，且 (1)求证：平面 (2)若为正三角形，，求异面直线与所成角的大小; (3)点E为中点，点F在线段上，且，若平面，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，利用相似比证明，由线面平行的判定定理证明即可; （2）先证明,得到异面直线与所成的角为，然后利用余弦定理求解即可; （3） 先证明平面平面，再由线面平行的性质定理得到，再根据相似三角形求解即可. 【详解】（1）连接交于点N，连接， 设及，可知， 又，所以，所以在中有， 又平面，而平面，所以平面 （2）取的中点O，连接，， 根据，，O为的中点，可知为平行四边形， 所以，且， 则异面直线与所成的角即为（或其补角）， 因为为边长是4的等边三角形， 故，又， 所以， 所以异面直线与所成角的大小是 （3）取中点G，连 ， 因为E是中点， G为中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 且， ，平面， 所以平面平面BDM， 又平面EFG，所以平面 又平面，且平面平面， 所以，所以 由题可知，所以 即 1 学科网（北京）股份有限公司 $