第03讲 直线与平面的位置关系（知识详解+6典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（沪教版必修第三册）

第03讲 直线与平面的位置关系 （知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与平面平行 知识点02：直线与平面垂直 知识点03：直线与平面所成的角 知识点04：三垂线定理 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：直线与平面位置关系判断 题型02：线面平行证明题 题型03：线面平行性质应用题 题型04：线面垂直证明题 题型05：直线与平面所成角计算 题型06：三垂线定理应用证明题 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】直线与平面平行 （1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． （2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α. (2)直线b在平面α内，即b⊂α. (3)两直线a，b平行，即a∥b. 【例1】在正方体 中，求证：直线 平面 。 证明：1. 根据正方体几何性质：。 2. 判定位置关系： 平面 ， 平面 。 3. 由线面平行判定定理可得： 平面 命题得证。 【知识点02】直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 【例2】在正方体 中，求证：直线 底面平面 。 证明：1. 取底面内两条相交直线 、，满足： 平面 ， 平面 ，。 2. 由正方体性质可知侧棱垂直底面邻边： ，。 3. 根据线面垂直判定定理，直线垂直于平面内两条相交直线，则直线垂直于该平面。 故 平面 ，命题得证。 【知识点03】直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 【例3】正方体 棱长为 ，求直线 与底面平面 所成的角。 解：1. 确定射影 在底面 的垂足为 ，因此 在底面的射影为 。 2. 确定线面角 直线 与平面 所成的角为 。 3. 计算角度 在 中，，三角形为等腰直角三角形。 结论：直线 与底面 所成的角为 。 【知识点04】三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 【例4】已知 平面 ， 为垂足， 平面 ，且 ，求证：。 证明：1. 由 平面 ，可知 为斜线 在平面 内的射影。 2. 已知平面内直线 射影 。 3. 根据三垂线定理：平面内直线垂直斜线射影，则垂直斜线。 因此 ，命题得证。 【题型01】直线与平面位置关系判断 【典例1-1】（24-25高二上·上海·期中）已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】利用直线与平面垂直的判定定理，即可得出结论. 【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知： 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面. 而“垂直于内的两条直线”，没有满足相交， 所以不一定能推出直线与平面垂直， 但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线， 即可得：“垂直于内的两条直线”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知平面与平面相交于直线，直线直线，则（    ） A．一定有直线平面 B．一定有直线平面 C．一定有直线平面且直线平面 D．直线平面和直线平面至少有一个成立 【答案】D 【分析】由线面平行的判定定理，对直线的位置进行讨论可得结果. 【详解】当时，此时，由，，则； 当时，此时，由，，则； 当，且时，此时由和得， 且由和得；所以直线平面和直线平面至少有一个成立． 故选：D. 【变式1-2】如果一条直线垂直于一个平面内________，则能保证该直线与平面垂直，选择合适的序号填空(    ) ①三角形的两边     ②梯形的两边 ③圆的两条直径     ④正六边形的两条边 A．①③ B．② C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】由线面垂直的判定定理逐一判断. 【详解】①中的两边必相交，③中的两直径必相交，由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③所在的平面； 对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直． 故选：A. 【变式1-3】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，长方体中，与AB平行的平面是________．    【答案】 【分析】根据线面平行的判定定理判断可得答案. 【详解】长方体中，， 平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 所以与平行的平面是． 故答案为：． 【题型02】线面平行证明题 【典例2-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在长方体中，证明：直线平面.    【答案】证明见解析 【分析】先证明四边形为平行四边形，得，再由线面平行的判断进行证明即可． 【详解】在长方体中，且，且， 得且， 得四边形为平行四边形，得， 而平面，平面， 得直线平面. 【变式2-1】如图，在长方体中，E是棱的中点，试判断与平面的位置关系，并说明理由.    【答案】与平面平行，理由见解析 【详解】与平面平行，理由如下， 连接，再连接，如图，    因为在长方体中，四边形是长方形， 所以是的中点，又E是棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 【变式2-2】（25-26高二上·上海浦东新·期末）如图，正方体分别是的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)证明：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）作出异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求角. （2）根据线面平行的判定定理证明线面平行. 【详解】（1）连接，如图： 因为，分别为，的中点，所以， 又为正方体，所以， 所以. 所以即为异面直线与所成的角. 又为等边三角形，所以. 即异面直线与所成角为. （2）由（1）知：，平面，平面， 所以平面. 【变式2-3】（25-26高二上·上海）如图，在长方体中，，，点为棱上一点． (1)试确定点P的位置，使得平面，并说明理由； (2)若，求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)为棱的中点，理由见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，需通过证明线线平行推出线面平行即可，即证明. （2）异面直线与所成角是直线与所成角，然后根据线段长度求出该角即可. 【详解】（1）点为的中点时使得平面，理由如下 令的交点为，连接. 则在中，. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）连接，则. 所以异面直线与所成角是直线与所成角，即. 因为，所以. 所以在中，. 在中，. 所以所以. 所以异面直线与所成角的大小为. 【题型03】线面平行性质应用题 【典例3-1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，__________.    【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理构造线线平行，再根据平行线段比例关系，可得结论. 【详解】如图，连结，交于点，连结， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 因为，且，所以，即， 所以， 所以.    故答案为：. 【变式3-1】如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为__________． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值. 【详解】过点分别作交于点，交于点， 连接， 要想平面，则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 【变式3-2】如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则______．    【答案】 【分析】连接交于点，连接，根据线面平行的性质证明，即可得解. 【详解】连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，所以为的中点， 因为平面，平面平面，平面， 所以， 所以为的中点， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，已知是上一点，试确定点的位置，使、、三点所确定的平面与长方体的对角线平行．    【答案】点E是的中点 【分析】由线面平行的性质可得结论. 【详解】连接交于，连接，    若平面，平面，平面平面， 则，由长方体可知是的中点， 所以是的中点. 【题型04】线面垂直证明题 【典例4-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出，所以与的夹角为或其补角，求出的值，即可得解. 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面. （2）连接，如下图所示： 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，所以， 所以与的夹角为或其补角， 易知为等边三角形，故. 因此，与的夹角的余弦值为. 【变式4-1】（24-25高二上·上海·单元测试）如图，已知矩形，平面，，点E是PB的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用底面ABCD，由，又点E是棱PB的中点得．再证平面得，利用线面垂直判断定理得证. 【详解】由底面ABCD，得， 由，知为等腰直角三角形， 又点E是棱PB的中点，故． 由题意知，又AB是PB在平面ABCD内的射影，故， 是平面内两条相交直线，从而平面，故． 因为，，是平面内两条相交直线, 所以平面． 【变式4-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，已知平面，    (1)求证:平面; (2)若，求围成这个四面体的所有图形的面积之和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； 利用线面垂直的性质定理可知四个面都是直角三角形，然后可求表面积. 【详解】（1）    因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面 （2）因为平面，平面，所以, 因为平面，平面，所以， 因为,所以由勾股定理可得： 【变式4-3】（23-24高二下·上海·期中）如图，长方体中，，与底面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，依题意可得，再由线面垂直的性质得到，即可得证； （2）因为与底面所成的角求得的值，再由，可得与所成的角等于异面直线与所成的角，在中，由余弦定理可得的余弦值，即求出所求的角的大小． 【详解】（1）连接，，因为长方体中，所以， 因为底面，底面， 所以， 又因为，平面， 所以平面； （2）因为与底面所成的角为，底面， 所以为与底面所成的角，所以， 所以， 连接，所以， 又， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以与所成的角等于异面直线与所成的角， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以异面直线与所成的角为． 【题型05】直线与平面所成角计算 【典例5-1】（25-26高二上·上海闵行·期中）已知直线l和平面α相交，则它们所成角的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据直线与平面所成角的定义可得. 【详解】因为直线l和平面α相交但不垂直时，直线与直线在平面内的射影所成的角称为直线与平面所成角.如图： 所以角的范围为； 当直线l与平面垂直时，所成角为. 所以直线l和平面α相交时，直线与平面所成角的范围为. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高二上·上海·期末）如图，在四面体中，平面，，且.若为的中点，则直线与平面所成角的大小为______.    【答案】 【分析】为中点，直线与平面所成角为，求出角的正切值，可得角的大小. 【详解】为中点，连接，    又为的中点，所以，由，得， 平面，平面，， 平面，，所以平面， 直线与平面所成角为， 中，，， . 因此，直线与平面所成角为. 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，，求：    (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到异面直线所成的角，进而解出即可； （2）取BC中点E，然后证明平面，进而得到线面角，解出即可； 【详解】（1）∵，∴与所成的角就是（或其补角）. ∵平面，平面，∴， ∵四边形是正方形，∴，而， ∴平面，又平面，∴. 在中，，，， ∴.即与所成角为. （2）如图，取BC中点E，连接，易知O为的中点， ∴且， ∴平面，∴为与平面所成的角. 在中，，， ∴. 即与平面所成角的正切值为.    【变式5-3】（24-25高二上·上海·期中）正四棱柱的底面边长，．求： (1)直线与平面所成角大小； (2)异面直线与所成角大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面，可得即为直线与平面所成角的平面角，再解即可； （2）证明，则即为异面直线与所成角的平面角，再解即可. 【详解】（1）因为平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 在中，，则， 所以， 即直线与平面所成角大小为； （2）连接， 因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 则即为异面直线与所成角的平面角， 在中，， 则， 所以， 即异面直线与所成角大小为. 【题型06】三垂线定理应用证明题 【典例6-1】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在中，，，，平面，，为边上的一个动点，求的最小值． 【答案】 【分析】根据线面垂直可得线线垂直，将问题转化为即可由勾股定理求解. 【详解】∵P是定点，要使的值最小，只需即可． 要使，由于平面， ∴由三垂线定理知只需使即可， ∵，，∴． ∴． ∴， 故的最小值为. 【变式6-1】如图所示，．在平面内，是的斜线，．求与平面所成的角． 【答案】45° 【分析】由三垂线定理可知，，进而可得，由此可得边角关系，根据锐角锐角三角函数即可求解. 【详解】如图所示，过作于．连接， 则为在平面上的射影，为与平面所成的角． 作，，由三垂线定理可得，． 由，，， 可得，则． 由于、分别为、在内的射影，则． 所以点在的平分线上． 设，又，则，，则． 在中，， 则，即与平面所成角为45°． 【变式6-2】如图，在平面内，平面，平面，，，平面，平面．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作，交AE于B，作，交AF于C．连接DB、DC，由题意可证得，所以，，再根据三垂线定理可得，同理可得，所以. 【详解】证明：如图，作，交AE于B，作，交AF于C．连接DB、DC．由 ， ∴，∴． 又∵PA在平面上的射影为AD，，根据三垂线定理可得． 同理，． 根据平面几何知识（到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）知． 【变式6-3】如图，已知H是锐角三角形ABC的垂心，平面ABC，．求证：，． 【答案】证明见解析 【分析】通过线线垂直证线面垂直以及线面垂直证线线垂直，依次可证，平面PBH，，平面PAC，；同理可证. 【详解】证明：H是锐角三角形ABC的垂心，则，，， 由题意，平面ABC，平面ABC，∴， ∵平面PBH，，∴平面PBH， ∵平面PBH，∴， ∵，∴，又平面PAC，，∴平面PAC， ∵平面PAC，∴，∴. 同理可证，∴. 知识点01直线与平面的三种位置关系 设直线为 ，平面为 直线在平面内：有无数个公共点， 直线与平面平行：无公共点， 直线与平面相交：有且只有一个公共点 核心分类：平行、相交、在平面内 知识点02直线与平面平行（核心考点） 1. 判定定理（证线面平行） 平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行。 符号语言： 必备条件：线在面外、线线平行，二者缺一不可 2. 性质定理（线面平行推结论） 线面平行，直线所在平面与已知平面相交，则直线平行于交线。 符号语言： 知识点03直线与平面垂直（核心考点） 1. 定义 直线与平面内任意一条直线垂直，则直线垂直平面，记作 。 2. 判定定理 直线垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直。 符号语言： 3. 性质 垂直于同一平面的两条直线互相平行。 知识点04直线与平面所成的角（重难点） 1. 定义 平面斜线与它在平面内的射影所成的锐角，为直线与平面所成的角。 2. 特殊角度 线面垂直： 线面平行/直线在面内： 3. 取值范围 4. 解题通用步骤 找垂足 → 作射影 → 定线面角 → 解三角形求值 知识点05五、三垂线定理及逆定理（高频工具） 1. 三垂线定理 平面内直线 ⊥ 斜线射影 平面内直线 ⊥ 斜线 2. 三垂线逆定理 平面内直线 ⊥ 斜线 平面内直线 ⊥ 斜线射影 3. 核心作用 快速证明空间异面直线垂直，简化立体几何垂直证明过程。 知识点06高频易错点汇总 证明线面平行，必须强调直线在平面外，否则证明不成立； 证明线面垂直，必须垂直平面内两条相交直线，平行直线无效； 线面角只能是锐角或直角，范围不可超出； 三垂线定理仅适用于平面内的直线，不可直接用于空间直线。 一、填空题 1．若，，且，，则______（填“”、“”、“”、“”）. 【答案】 【分析】由线面位置关系直接可得答案. 【详解】由已知，，且，， 则直线与有无数个公共点， 即直线， 故答案为：. 2．（24-25高二上·上海·期中）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的_____垂直． 【答案】射影 【分析】由三垂直线定理及其逆定理可得答案. 【详解】由三垂线定理得：平面上的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也与这条斜线垂直； 由三垂线定理的逆定理得：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它与这条斜线在平面上的射影垂直； 所以平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直. 故答案为：射影. 3．（24-25高二上·上海静安·阶段检测）为一平面截空间四边形四边上的交点，若， 则直线与平面的位置关系是____________. 【答案】平行 【分析】由 ，可知四点共面，结合线面平行的判定定理和性质定理即可判断. 【详解】由题意，则四点共面， 因为平面，平面，，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以平面. 故答案为：平行. 4．（24-25高二·上海·暑假作业）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是______. （1） （2）  （3）      （4） 【答案】（1）（3） 【分析】对（1）（3）利用线面平行的判定定理即可判断；对（2），将平面扩展，即可得出与平面相交；对（4），由，而与平面相交，可知与平面相交. 【详解】对于（1），平面，平面， 所以直线与平面平行，正确； 对于（2），如图，取正方体所在棱的中点G，连接并延长，交延长线于H， 则与平面相交于点H，错误； 对于（3），，平面，平面， 所以直线与平面平行，正确； 对于（4），如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交,所以直线与平面相交，错误. 故答案为：（1）（3） 5．（24-25高二上·上海·期中）正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用线面角的定义直接求解. 【详解】在正方体中，平面， 则是直线与平面所成的角，而， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为：    6．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知等腰直角三角形的一条直角边在平面上，斜边与平面所成的角为，则另一条直角边与平面所成角的大小为______． 【答案】/ 【分析】等腰直角三角形，，且直角边在平面内，若是在平面内的投影，可得，进而得到另一条直角边与平面所成角为，根据已知求其大小. 【详解】如下图，等腰直角三角形，，且直角边在平面内，    若是在平面内的投影，则，，故， 所以另一条直角边与平面所成角为， 由题设，，则，而， 所以，则. 故答案为： 7．（25-26高二下·上海松江·期中）在长方体中，，，，则直线与平面所成角的大小为______． 【答案】 【分析】由线面角的定义确定直线与平面所成角为，进而可求解. 【详解】 在长方体中，平面， 则在平面内的射影为，故直线与平面所成角为， ，​， 又平面，平面，所以​， 在中： 故直线​与平面​所成角为. 8．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知平面，垂直，则图中共有_________个直角三角形． 【答案】 【分析】利用线面垂直的性质可得出结论. 【详解】因为平面，、、平面， 所以，，，， 因为，，、平面，则平面， 因为平面，所以，， 所以，、、、都是直角三角形， 因为，图中共有个直角三角形. 故答案为：. 9．（25-26高二上·上海·期末）各边均相等的空间四边形的对角线和的所成角为__________. 【答案】/ 【分析】取中点，连接，证明平面即可证明，进而得答案. 【详解】如图，取中点，连接， 因为空间四边形的各边均相等，即， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 又平面，所以 所以对角线和的所成角为 故答案为： 10．（24-25高二上·上海·期中）如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是3，则直线和平面的位置关系是_________． 【答案】平行或相交. 【分析】若在平面的同侧，可判断直线和平面平行；若在平面的两侧，可判断直线和平面相交； 【详解】若、在平面的同侧，因为平面外有两点、到平面的距离相等， 所以直线和平面平行； 若、在平面的两侧，因为平面外有两点、到平面的距离相等， 所以直线和平面相交； 综上所述:直线和平面的位置关系一定是平行或相交 故答案为：平行或相交. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，求直线与平面所成角的大小为______. 【答案】 【分析】取的中点，连接，则可得为直线DE与平面ABCD所成角，然后在直角三角形中求解即可. 【详解】如图， 取的中点，连接，则， 因为是的中点，所以∥，， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以直线与平面所成角的大小为. 故答案为： 12．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 【答案】 【分析】连接，连接，利用平行线分线段成比例定理及线面平行的性质列式求解. 【详解】连接，连接，由，为线段上靠近的三等分点， 得，，由平面，平面平面， 平面，得，所以. 故答案为： 一、单选题 13．下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（    ） A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 【答案】C 【分析】由线面垂直的判定定理逐项判断即可. 【详解】对于A，直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面的位置关系无法确定，故A错误； 对于B，若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面的位置关系无法确定，故B错误； 对于C，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，故C正确； 对于D，若直线与平面内的无数条直线垂直，当这无数条直线平行时， 直线与平面的位置关系无法确定，故D错误. 故选：C. 14．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线，和平面，且，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当，，则或，所以充分性不成立； 反之：若，，则必有，所以必要性成立， 所以是的必要不充分的条件. 故选：B. 16．（24-25高二下·上海·期末）在正方体中，已知为中点，为正方体表面上的一个动点，若直线与平面、平面所成的角都是30°，则这样的点的个数为（   ）    A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由题可证平面，平面，把与平夹角问题转化为直线与直线和的夹角为，再根据，可知在间有2条，在间不存在，利用过点一条直线与正方体有2个交点即可得出答案. 【详解】设中点为，则平面，连接，    在正方体中，，平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，同理可证， 又平面，所以平面， 因为直线与平面、平面所成的角都是30°， 所以直线与直线和的夹角为， 不妨设正方体边上为2，则，， 即， 所以， 即符合题意的直线有2条，则与正方体表面交点有4个. 故选：C. 16．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）把正方形沿对角线折起，当点D到平面的距离最大时，直线和平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接、，过点在平面内作，垂足为点，推导出平面，分析可知当时，的长取到最大值，此时，点与点重合，由线面角的定义可知，与平面所成角为，然后在中求解即可. 【详解】取的中点，连接、，过点在平面内作，垂足为点， 设，因为、都是以为斜边的等腰直角三角形，则， 因为为的中点，所以，，且， 同理可得，且， 因为，，，、平面， 所以，平面， 因为平面，所以，， 又因为，，、平面， 所以，平面，即点到平面的距离为线段的长， 因为，则， 当时，的长取最大值， 因为，此时，点与点重合， 因为平面，即平面，则与平面所成的角为， 因为，，则为等腰直角三角形，所以，. 所以，直线与平面所成角为. 故选：B. 三、解答题 17．（24-25高二·上海·课堂例题）在正方体中，M是棱的中点，O为是底面ABCD的中心，P为平面上的动点． (1)若P在棱上，求直线与所成角的大小； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)90°； (2)证明见解析 【分析】（1）依据三垂线定理，直线垂直于斜线在这个平面上的射影，就垂直于这条直线，从而发现恒与垂直． （2）根据三垂线定理即可求解. 【详解】（1）取中点，则平面，为在平面上的射影， 在正方形中，，，△ 由三垂线定理可知，故直线与所成角的大小为90°    （2）由于平面，所以是直线在平面上的射影， 由于，且，所以，故， 由三垂线定理得    18．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如）都是正方形．证明：平面；    【答案】证明见解析. 【分析】由题意可知对角面是正方形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论. 【详解】由题意可知，对角面是正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 19．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，底面是正方形的直棱柱中，，. (1)求直线与平面ABCD所成角的正切值； (2)求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得为直线与平面ABCD所成的角，然后在中求解即可； （2）由平面，可得，再由底面是正方形可得，然后利用线面垂直的判定定理可得平面，从而可证得. 【详解】（1）平面， 为直线与平面ABCD所成的角， 在中，， 直线与平面ABCD所成角的正切值为. （2）证明：平面，平面，， 又四边形为正方形，则， ∵，平面， 平面， 平面，. 20．（25-26高二上·上海·期中）如图，在长方体 中， 是上底面 内的一点(不在边界). (1)在平面 内，过 作直线 ，使得 . 保留作图. (2)对在（1）中所作出的直线 ，请说明 的理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)理由见解析 【分析】（1）根据异面直线垂直的定义作图. （2）根据长方体的性质，利用线面垂直的判定定理和定义证明. 【详解】（1）过点作， 因为长方体中，， 因为，所以，即. 那么直线即是直线，如图所示. （2）因为长方体中，平面，平面,所以. 又因为，平面,， 所以平面, 又因为平面, 所以，即. 21．（2024春•嘉定区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， （1）求证：AB∥平面A1DCB1； （2）求直线A1B与B1C所成的角的大小； （3）求证：BC1⊥平面A1DCB1． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证； （2）根据异面直线所成角定义求解； （3）根据线面垂直的判定定理可证． 【解答】（1）证明：因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可知AB∥A1B1， 而AB⊄平面A1DCB1，A1B1⊂平面A1DCB1， 所以AB∥平面A1DCB1； （2）解：如图，连接A1D，BD， 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可知A1B1∥CD，A1B1＝CD， 所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥B1C， 所以∠DA1B（或其补角）是直线A1B与直线B1C所成角，又A1D＝A1B＝BD， 所以∠DA1B＝60°， 所以直线A1B与直线B1C所成角为60°； （3）证明：因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 可知A1B1⊥平面BB1C1C，且BC1⊂平面BB1C1C， 所以A1B1⊥BC1， 又因为BC1，B1C是正方形BB1C1C的对角线，因此BC1⊥B1C， 又A1B1∩B1C＝B1，且A1B1，B1C⊂平面A1DCB1， 所以BC1⊥平面A1DCB1． 【点评】本题考查线面平行的判断定理的应用，线面垂直的判断定理的应用，异面直线所成的角的求法，属于中档题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 直线与平面的位置关系 （知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与平面平行 知识点02：直线与平面垂直 知识点03：直线与平面所成的角 知识点04：三垂线定理 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：直线与平面位置关系判断 题型02：线面平行证明题 题型03：线面平行性质应用题 题型04：线面垂直证明题 题型05：直线与平面所成角计算 题型06：三垂线定理应用证明题 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】直线与平面平行 （1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． （2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α. (2)直线b在平面α内，即b⊂α. (3)两直线a，b平行，即a∥b. 【例1】在正方体 中，求证：直线 平面 。 【知识点02】直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 【例2】在正方体 中，求证：直线 底面平面 。 【知识点03】直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 【例3】正方体 棱长为 ，求直线 与底面平面 所成的角。 【知识点04】三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 【例4】已知 平面 ， 为垂足， 平面 ，且 ，求证：。 【题型01】直线与平面位置关系判断 【典例1-1】（24-25高二上·上海·期中）已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【变式1-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知平面与平面相交于直线，直线直线，则（    ） A．一定有直线平面 B．一定有直线平面 C．一定有直线平面且直线平面 D．直线平面和直线平面至少有一个成立 【变式1-2】如果一条直线垂直于一个平面内________，则能保证该直线与平面垂直，选择合适的序号填空(    ) ①三角形的两边     ②梯形的两边 ③圆的两条直径     ④正六边形的两条边 A．①③ B．② C．②④ D．①②④ 【变式1-3】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，长方体中，与AB平行的平面是________．    【题型02】线面平行证明题 【典例2-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在长方体中，证明：直线平面.    【变式2-1】如图，在长方体中，E是棱的中点，试判断与平面的位置关系，并说明理由.    【变式2-2】（25-26高二上·上海浦东新·期末）如图，正方体分别是的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)证明：平面. 【变式2-3】（25-26高二上·上海）如图，在长方体中，，，点为棱上一点． (1)试确定点P的位置，使得平面，并说明理由； (2)若，求异面直线与所成角的大小． 【题型03】线面平行性质应用题 【典例3-1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，__________.    【变式3-1】如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为__________． 【变式3-2】如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则______．    【变式3-3】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，已知是上一点，试确定点的位置，使、、三点所确定的平面与长方体的对角线平行．    【题型04】线面垂直证明题 【典例4-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值. 【变式4-1】（24-25高二上·上海·单元测试）如图，已知矩形，平面，，点E是PB的中点．求证：平面． 【变式4-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，已知平面，    (1)求证:平面; (2)若，求围成这个四面体的所有图形的面积之和. 【变式4-3】（23-24高二下·上海·期中）如图，长方体中，，与底面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【题型05】直线与平面所成角计算 【典例5-1】（25-26高二上·上海闵行·期中）已知直线l和平面α相交，则它们所成角的范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·上海·期末）如图，在四面体中，平面，，且.若为的中点，则直线与平面所成角的大小为______.    【变式5-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，，求：    (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正切值． 【变式5-3】（24-25高二上·上海·期中）正四棱柱的底面边长，．求： (1)直线与平面所成角大小； (2)异面直线与所成角大小． 【题型06】三垂线定理应用证明题 【典例6-1】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在中，，，，平面，，为边上的一个动点，求的最小值． 【变式6-1】如图所示，．在平面内，是的斜线，．求与平面所成的角． 【变式6-2】如图，在平面内，平面，平面，，，平面，平面．求证：． 【变式6-3】如图，已知H是锐角三角形ABC的垂心，平面ABC，．求证：，． 知识点01直线与平面的三种位置关系 设直线为 ，平面为 直线在平面内：有无数个公共点， 直线与平面平行：无公共点， 直线与平面相交：有且只有一个公共点 核心分类：平行、相交、在平面内 知识点02直线与平面平行（核心考点） 1. 判定定理（证线面平行） 平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行。 符号语言： 必备条件：线在面外、线线平行，二者缺一不可 2. 性质定理（线面平行推结论） 线面平行，直线所在平面与已知平面相交，则直线平行于交线。 符号语言： 知识点03直线与平面垂直（核心考点） 1. 定义 直线与平面内任意一条直线垂直，则直线垂直平面，记作 。 2. 判定定理 直线垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直。 符号语言： 3. 性质 垂直于同一平面的两条直线互相平行。 知识点04直线与平面所成的角（重难点） 1. 定义 平面斜线与它在平面内的射影所成的锐角，为直线与平面所成的角。 2. 特殊角度 线面垂直： 线面平行/直线在面内： 3. 取值范围 4. 解题通用步骤 找垂足 → 作射影 → 定线面角 → 解三角形求值 知识点05五、三垂线定理及逆定理（高频工具） 1. 三垂线定理 平面内直线 ⊥ 斜线射影 平面内直线 ⊥ 斜线 2. 三垂线逆定理 平面内直线 ⊥ 斜线 平面内直线 ⊥ 斜线射影 3. 核心作用 快速证明空间异面直线垂直，简化立体几何垂直证明过程。 知识点06高频易错点汇总 证明线面平行，必须强调直线在平面外，否则证明不成立； 证明线面垂直，必须垂直平面内两条相交直线，平行直线无效； 线面角只能是锐角或直角，范围不可超出； 三垂线定理仅适用于平面内的直线，不可直接用于空间直线。 一、填空题 1．若，，且，，则______（填“”、“”、“”、“”）. 2．（24-25高二上·上海·期中）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的_____垂直． 3．（24-25高二上·上海静安·阶段检测）为一平面截空间四边形四边上的交点，若， 则直线与平面的位置关系是____________. 4．（24-25高二·上海·暑假作业）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是______. （1） （2）  （3）      （4） 5．（24-25高二上·上海·期中）正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为____. 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知等腰直角三角形的一条直角边在平面上，斜边与平面所成的角为，则另一条直角边与平面所成角的大小为______． 7．（25-26高二下·上海松江·期中）在长方体中，，，，则直线与平面所成角的大小为______． 8．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知平面，垂直，则图中共有_________个直角三角形． 9．（25-26高二上·上海·期末）各边均相等的空间四边形的对角线和的所成角为__________. 10．（24-25高二上·上海·期中）如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是3，则直线和平面的位置关系是_________． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，求直线与平面所成角的大小为______. 12．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 一、单选题 13．下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（    ） A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 14．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线，和平面，且，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 16．（24-25高二下·上海·期末）在正方体中，已知为中点，为正方体表面上的一个动点，若直线与平面、平面所成的角都是30°，则这样的点的个数为（   ）    A．8 B．6 C．4 D．2 16．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）把正方形沿对角线折起，当点D到平面的距离最大时，直线和平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高二·上海·课堂例题）在正方体中，M是棱的中点，O为是底面ABCD的中心，P为平面上的动点． (1)若P在棱上，求直线与所成角的大小； (2)若，且，求证：． 18．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如）都是正方形．证明：平面；    19．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，底面是正方形的直棱柱中，，. (1)求直线与平面ABCD所成角的正切值； (2)求证：. 20．（25-26高二上·上海·期中）如图，在长方体 中， 是上底面 内的一点(不在边界). (1)在平面 内，过 作直线 ，使得 . 保留作图. (2)对在（1）中所作出的直线 ，请说明 的理由. 21．（2024春•嘉定区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， （1）求证：AB∥平面A1DCB1； （2）求直线A1B与B1C所成的角的大小； （3）求证：BC1⊥平面A1DCB1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $