第08讲直线与平面垂直（3种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

第08讲直线与平面垂直（3种题型） 【知识梳理】 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 【考点剖析】 题型一：直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解 例1　下列命题中，正确的序号是_______. ①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 【变式1】垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(　　) A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 【变式2】若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于 A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC 【变式3】如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是_________.(填序号) 【变式4】在长方体中，M，N为线段上的两个不同的点，P，Q为线段上的两个不同的点，则下列结论正确的是（ ） A．直线MP与NQ可能平行 B．直线MQ与NP可能相交 C．直线MP可能垂直于平面 D．直线NQ可能平行于平面 【变式5】设，是不同的平面，，两条直线，下列选项中正确的是（ ）． A．，，则、是异面直线 B．，，则 C．，，则 D．，，，则 【变式6】已知直线平面，直线平面，下面四个结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的结论是（ ） A．①②④ B．③④ C．②③ D．①④ 【变式7】在长方体中，、分别是和的中点，则（ ） A．平面 B．平面 C．平面 D．是异面直线和的公垂线 题型二：直线与平面垂直的判定 例2　如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：MN⊥CD； (2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD. 【变式1】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D. 【变式2】如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 【变式3】如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. 求证：AN⊥平面PBM； 【变式4】正方体ABCD-A1B1C1D1中.求证: （1）A1C1//平面ACB1； （2）BD1⊥平面AB1C 【变式5】如图，直角三角形ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点． (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 题型三：直线与平面垂直的性质 例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 【变式1】如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l. 【变式2】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1. 【变式3】如图所示，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交． 求证：EF∥BD1. 【变式4】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，中，点E是棱DD1的中点，点F在棱BB1上，且满足B1F=2BF 求证：EF⊥A1C1 【过关检测】 一、单选题 1．（2021·上海·华师大二附中高二期中）下列命题为真命题的是（       ） A．若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直 B．若两条直