第02讲 直线与直线的位置关系（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（沪教版必修第三册）

第02讲 直线与直线的位置关系 （知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：公理4 知识点02：等角定理 知识点03：异面直线 知识点04：异面直线所成的角 知识点05：直线与直线垂直 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：平行公理 题型02：等角定理 题型03：异面直线的概念及辨析 题型04：异面直线的判定 题型05：异面直线所成的角的概念及辨析 题型06：证明异面直线垂直 题型07：求异面直线所成的角 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】公理4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 【例1】已知空间四条直线 ，满足 ，，，求证：。 【知识点02】等角定理 　 1．定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2个推论 推论1如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 推论2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 【例2】已知空间中 ， 的两边分别与 的两边对应平行，求 的度数。 【知识点03】异面直线 1.定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做 异面直线（ ｎｏｎｃｏｐｌａｎａｒｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅｓ ） 2.空间的两条直线就有三种不同的位置关系 3.判定定理 　 过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 【例3】判断命题：“既不平行也不相交的两条直线是异面直线”的真假，并说明理由。 【知识点04】异面直线所成的角 1．已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2．空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 注意点： (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关． (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 【例4】在正方体 中，求异面直线 与 所成的角。 【知识点05】直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 注意点： 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形． 【例5】在正方体 中，求证：异面直线 。 【题型01】平行公理 【典例1-1】如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．12 【变式1-1】（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为__． 【变式1-2】（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形. 【变式1-3】（25-26高二·上海·暑假作业）如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【题型02】等角定理 　 【典例2-1】（25-26高二上·上海闵行·期末）如果两个三角形不在同一平面内，但它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．相似 B．全等 C．有且仅有一个角相等 D．以上皆有可能 【变式2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若两等角的一组对应边平行，则（    ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 【变式2-2】（2025高二·上海·专题练习）已知空间中的两个角和，若，则_____. 【变式2-3】如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：． 【题型03】异面直线的概念及辨析 【典例3-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）“两条直线异面”的（   ）条件是“两条直线不相交” A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分且非必要 【变式3-1】（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．四边相等，四个角也相等的四边形是正方形 【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 【变式3-3】（25-26高二上·上海长宁·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 【题型04】异面直线的判定 【典例4-1】已知，，则与的位置关系为（    ） A．平行或异面 B．相交 C．重合 D．以上都有可能 【变式4-1】（24-25高二·上海·课堂例题）在长方体中，直线与BD的位置关系一定是________． 【变式4-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有___________条．    【变式4-3】（25-26高二·上海·暑假作业）已知是所在平面外的一点，分别是的中点，求证：直线与是异面直线； 【题型05】异面直线所成的角的概念及辨析 【典例5-1】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）在正方体中，任意两条面对角线的夹角不可能为（    ） A．0 B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·上海·期中）两条异面直线所成角的弧度制下的范围为__________．（用区间表示） 【题型06】证明异面直线垂直 【典例6-1】已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【变式6-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【变式6-2】已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为________． 【变式6-3】空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若EFGH是矩形，则BD与AC的位置关系是______． 【题型07】求异面直线所成的角 【典例7-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知三棱柱中，底面，，，则异面直线与所成角的大小为___________    【变式7-2】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    【变式7-3】（24-25高二上·上海·期中）已知正方体 的棱长为2，，分别为，的中点，求异面直线与所成角.    知识点01空间两直线位置关系（3种） 位置关系 共面性 公共点 相交直线 共面 1个 平行直线 共面 0个 异面直线 不共面 0个 核心：异面直线：不平行、不相交、不共面 知识点02两大核心定理 1. 公理4（平行传递性） 若 ，则 易错：空间垂直无传递性 2. 等角定理 若，则： 或 规律：同向/反向相等，一正一反互补 知识点03异面直线所成角（重点） 定义：平移异面直线得到的锐角或直角 取值范围： 解题步骤：平移造角→证角等价→解三角形→取值作答 核心思想：空间问题平面化 知识点04空间直线垂直 判定：两直线所成角为 ，则 分类：① 相交垂直 ② 异面垂直 知识点05高频易错汇总 无公共点的直线：平行或异面，不全是异面 两边对应平行的角，不一定相等，可能互补 异面直线夹角不取钝角，钝角需取补角 平行可传递，垂直不可传递 一、填空题 1．（25-26高二上·上海静安·期中）空间两个角的两边分别对应平行，且，则________. 2．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若空间三条直线满足，与相交，则、的位置关系是_____. 3．（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则______. 4．（25-26高二上·上海普陀·期中）已知空间中的两个角和，若，则_____. 5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面的12条对角线中，与正方体的对角线A1C垂直的共有_____条． 6．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________. 7．（25-26高二上·上海·单元测试）若顺次为空间四边形四条边的中点，且，，则________． 8．（25-26高二上·上海·阶段检测）正方体的各表面在一个平面上的展开图如图所示，则展开图中的面对角线与在正方体中的位置关系为______（选填“平行”、“相交”、“异面”）．    9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 _____对． 10．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列三个命题：①；②与成角；③与成异面直线且夹角为．其中正确的是______． 11．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH=______． 12．（2025高二上·上海松江·专题练习）正方体的棱长为1，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．问质点走完的第2025段与第1段所在的直线所成角的大小是______．    二、单选题 13．若空间中有、、三条直线，则“”是“、同时垂直于”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 14．（24-25高二上·上海·期中）是空间四边形，且和成角，、分别是和的中点，则和所成的角是（    ） A． B． C．或 D． 15．（24-25高一下·上海杨浦·期末）正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（24-25高二上·上海·期末）如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 三、解答题 17．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 18．（25-26高二上·上海·阶段检测）（1）已知是空间四边形，分别是的中点，求证：． （2）在正方体中，分别是正方形和的中心；求证：直线与为异面直线． 19. （24-25高二·上海·随堂练习）在正方体中，P，Q分别为，的中点， (1)求直线AP与CQ所成的角； (2)求直线AP与BD所成的角； (3)证明：与垂直． 20．（24-25高二上·上海·期中）已知三棱锥满足. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)求异面直线与所成角大小. 21．（25-26高二下·上海·期中）如图，将正四棱柱置于空间直角坐标系中，点D为坐标原点O，，，，    (1)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角表示）； (2)记直线分别和、BC、BA所成角为、、，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 直线与直线的位置关系 （知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：公理4 知识点02：等角定理 知识点03：异面直线 知识点04：异面直线所成的角 知识点05：直线与直线垂直 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：平行公理 题型02：等角定理 题型03：异面直线的概念及辨析 题型04：异面直线的判定 题型05：异面直线所成的角的概念及辨析 题型06：证明异面直线垂直 题型07：求异面直线所成的角 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】公理4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 【例1】已知空间四条直线 ，满足 ，，，求证：。 证明：1. 由 ，，根据公理4平行传递性可得： 2. 又已知 ，再次运用公理4可得： 综上，命题得证。 【知识点02】等角定理 　 1．定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2个推论 推论1如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 推论2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 【例2】已知空间中 ， 的两边分别与 的两边对应平行，求 的度数。 解：根据空间等角定理，两边对应平行的两个角相等或互补，分两种情况讨论： 1. 两边方向完全一致或完全相反： 2. 两边一组同向、一组反向： 最终结论： 或 【知识点03】异面直线 1.定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做 异面直线（ ｎｏｎｃｏｐｌａｎａｒｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅｓ ） 2.空间的两条直线就有三种不同的位置关系 3.判定定理 　 过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 【例3】判断命题：“既不平行也不相交的两条直线是异面直线”的真假，并说明理由。 解：该命题为真命题。 空间中任意两条直线的位置关系仅有三种：相交、平行、异面。 若两条直线不平行、也不相交，则两条直线无法共面，完全满足异面直线的定义，因此该命题成立。 【知识点04】异面直线所成的角 1．已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2．空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 注意点： (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关． (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 【例4】在正方体 中，求异面直线 与 所成的角。 解：1.平移转化：由正方体性质可知 ，因此异面直线 与 所成的角，等价于 与 所成的角，即 。 2. 计算角度：四边形 为正方形，正方形邻边夹角为 ，即： 最终结论：异面直线 与 所成的角为 。 解：1.平移转化：由正方体性质可知 𝐴𝐷∥𝐵𝐶，因此异面直线 𝐴𝐷1 与𝐵𝐶 所成的角，等价于 𝐴𝐷1 与𝐴𝐷 所成的角，即 ∠𝐷1𝐴𝐷。 2. 计算角度：四边形𝐴𝐷𝐷1𝐴1 为正方形，正方形邻边夹角为 45∘，即： ∠𝐷1𝐴𝐷=45∘ 最终结论：异面直线 𝐴𝐷1 与 𝐵𝐶 所成的角为 45∘。 【知识点05】直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 注意点： 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形． 【例5】在正方体 中，求证：异面直线 。 1. 位置分析：直线 与 为异面直线。 2. 平移构造角：由正方体性质得 ，因此 与 所成的角等于 与 所成的角。 3. 判定垂直：正方体侧面为矩形，，即两直线夹角为 。 4. 结论：异面直线 与 所成角为 ，故 ，命题得证。 证明：1. 位置分析：直线 𝐴𝐵 与 𝐶𝐶1 为异面直线。 2. 平移构造角：由正方体性质得 𝐵𝐵1∥𝐶𝐶1，因此 𝐴𝐵 与 𝐶𝐶1 所成的角等于 𝐴𝐵 与 𝐵𝐵1 所成的角。 3. 判定垂直：正方体侧面为矩形，𝐴𝐵⊥𝐵𝐵1，即两直线夹角为 90∘。 4. 结论：异面直线 𝐴𝐵 与 𝐶𝐶1 所成角为 90∘，故 𝐴𝐵⊥𝐶𝐶1，命题得证。 【题型01】平行公理 【典例1-1】如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．12 【答案】B 【分析】根据空间中两直线的位置关系判断即可. 【详解】依题意可得时或时时针均与棱平行，所以此时两时针平行，   时或时时针均与棱垂直，所以此时两时针垂直， 其余时刻时针与棱成相同的角（不包括点），但是两时针不同在任何一个平面，故两时针不平行； ∴在点到点时针与分针的转动中（包括点，但不包括点），相邻两面时钟的时针两两相互平行的情况的次数为. 故选：B． 【变式1-1】（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为__． 【答案】平行 【分析】根据给定条件，利用平行公理即可判断得解. 【详解】依题意，由，得，由，得， 所以，即与的位置关系为平行. 故答案为：平行 【变式1-2】（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形. 【答案】且 【分析】由题意得四边形为平行四边形，要使四边形为正方形即可得解. 【详解】由分别为中点，所以且， 同理且，所以且， 所以四边形为平行四边形， 同理得，要使四边形为正方形，则且， 故答案为：且. 【变式1-3】（25-26高二·上海·暑假作业）如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】只需证明，且即可，依据是平行公理四：和同一条直线平行的直线平行． 【详解】因为在空间四边形中，E，F，G，H分别为、、、的中点， 所以，，， 所以，， 所以四边形是平行四边形． 【题型02】等角定理 　 【典例2-1】（25-26高二上·上海闵行·期末）如果两个三角形不在同一平面内，但它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．相似 B．全等 C．有且仅有一个角相等 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】根据等角定理进行判断. 【详解】这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若两等角的一组对应边平行，则（    ） A．另一组对应边平行； B．另一组对应边不平行； C．另一组对应边也可能垂直； D．以上皆有可能． 【答案】D 【分析】举例分析判断即可. 【详解】在长方体中， ，两组对应边分别是平行， ，一组对应边平行，另一组对应边不平行，且垂直， 故选：D 【变式2-2】（2025高二·上海·专题练习）已知空间中的两个角和，若，则_____. 【答案】 【分析】根据等角定理可得. 【详解】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 故答案为：或. 【变式2-3】如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，利用等角定理推理得证. 【详解】依题意，，，则， 又，同理， 观察图形知，射线方向相同，射线方向相同，即的方向相同， 所以. 【题型03】异面直线的概念及辨析 【典例3-1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）“两条直线异面”的（   ）条件是“两条直线不相交” A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分且非必要 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】两条直线异面，则两条直线不相交， 反之，若两条直线不相交，则可能共面平行，不一定异面， 所以“两条直线不相交”是“两条直线异面”的必要非充分条件， 即“两条直线异面”的必要非充分条件是“两条直线不相交”. 故选：B 【变式3-1】（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．四边相等，四个角也相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据空间四边形与平面四边形的特点逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，两组对边分别相等的四边形可以是空间四边形，故A不正确； 对于B，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，故B不正确； 对于C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C正确； 对于D，四边相等，四个角也相等的四边形可以是空间四边形，故D不正确. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 【答案】D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面，则可能平行，如图， 也可能相交，如图， 也可能与异面，如图， 故选：D. 【变式3-3】（25-26高二上·上海长宁·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 【答案】 【分析】还原正方体并确定各线所在位置，进而判断直线的位置关系． 【详解】展开图还原后与重合，则与交于点，即与共面， 平面，平面，故与直线异面的是直线． 故答案为：． 【题型04】异面直线的判定 【典例4-1】已知，，则与的位置关系为（    ） A．平行或异面 B．相交 C．重合 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，即可判断与的位置关系. 【详解】如图所示，，， 则与的位置关系可能是平行、相交、异面、重合. 故选：D. 【变式4-1】（24-25高二·上海·课堂例题）在长方体中，直线与BD的位置关系一定是________． 【答案】异面 【分析】根据异面直线定义判断直线位置关系即可. 【详解】如下图，面，面，即面， 而面，故为异面直线.    故答案为：异面 【变式4-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，正方体的所有棱中，其所在的直线与直线成异面直线的共有___________条．    【答案】6 【分析】根据异面直线的判定依次写出与直线成异面直线的直线即可得解. 【详解】正方体的所有棱中， 其所在的直线与直线成异面直线有： 共6条. 故答案为：6 【变式4-3】（25-26高二·上海·暑假作业）已知是所在平面外的一点，分别是的中点，求证：直线与是异面直线； 【答案】证明见解析 【分析】用反证法证明，假设它们是异面直线，然后可以得到在同一平面，与题干相矛盾，从而证之. 【详解】证明：假设与不是异面直线，则与共面， 从而与共面，即与共面， 所以在同一平面内，这与是所平面外的一点相矛盾． 故直线与是异面直线． 【题型05】异面直线所成的角的概念及辨析 【典例5-1】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定与共面的面对角线中成角的共有条，再通过平行关系确定异面的面对角线中也有条，共条. 【详解】 以为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：和， 所以，与夹角为的面对角线有：、、、， 又因为，，，， 根据平行关系可知、、、也与成角， 可知满足题意的面对角线共有条， 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二下·上海浦东新·期中）在正方体中，任意两条面对角线的夹角不可能为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】正方体中，互相平行的面： 当对角线互相平行时，夹角为0；当对角线互相垂直时，夹角为； 互相垂直的面，对角线可构成等边三角形，则夹角为， 综上，任意两条面对角线的夹角不可能为． 【变式5-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面上两条直线分别满足，则相交，且夹角为，讨论的取值范围，从而确定c的情况以及条数，即可得答案. 【详解】设平面上两条直线分别满足， 则相交，设交点为，且夹角为， 如图示：过空间中一点作直线，若直线与均异面，且所成角均为， 则直线与直线所成角均为， 当时，不存在这样的直线， 当时，这样的直线只有一条， 当时，这样的直线有两条， 当时，这样的直线有三条， 当时，这样的直线有四条， 当时，这样的直线只有一条. 所以的范围为. 故选：A. 【变式5-3】（25-26高二上·上海·期中）两条异面直线所成角的弧度制下的范围为__________．（用区间表示） 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义即可求解. 【详解】把异面直线平移到同一点处，它们所成角的锐角或直角就是异面直线所成的角， 所以两条异面直线所成的角的范围是. 故答案为：. 【题型06】证明异面直线垂直 【典例6-1】已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【答案】B 【分析】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定. 【详解】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【答案】D 【分析】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可. 【详解】如图所示，取，，， 当取时，，当取时，，排除ABC. 故选：D. 【变式6-2】已知垂直于所在的平面，，则点到的距离为________． 【答案】 【分析】作出到的垂线，利用勾股定理求得到的距离。 【详解】取的中点，连接， ∵平面， ∴为在平面内的投影， 又，∴， 由三垂线定理得，， 又，∴. 故答案为: 【变式6-3】空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若EFGH是矩形，则BD与AC的位置关系是______． 【答案】相互垂直 【分析】根据题意，作图可得答案. 【详解】 根据题意，作图，根据图中所示，因为，且，所以，，直接可以得到BD与AC的位置关系是相互垂直. 故答案为：相互垂直 【题型07】求异面直线所成的角 【典例7-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体的性质，借助平行关系转化异面直线所成角，即可求解. 【详解】如图： ①若两异面直线为和，因为平面，平面，所以，即此时两直线所成的角为，所以此时余弦值为 ②若两异面直线为和，因为，所以此时两直线所成的角为，即此时余弦值为. ③若两异面直线为和，因为，所以此时两直线所成的角为即此时余弦值为. ④若两异面直线为和，因为，所以此时两直线所成的角为， 且， 则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是， 故选：B. 【变式7-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，已知三棱柱中，底面，，，则异面直线与所成角的大小为___________    【答案】 【分析】根据三棱柱的特征补全为正方体，则，为直线与所成角，连接，则为等边三角形即可得解. 【详解】根据直三棱柱的特征， 补全可得如图所示的正方体， 易知，为直线与所成角， 连接，则为等边三角形， 所以， 所以直线与所成角的大小为. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【分析】在上取一点，使得，可得为异面直线与所成角或其补角，设出边长可得，即可求解. 【详解】   如图，在上取一点，使得， 因为，，四边形为矩形， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 设，所以，， 因为和都是正三角形，所以， 由，所以， 所以，所以， 所以异面直线与所成角为. 【变式7-3】（24-25高二上·上海·期中）已知正方体 的棱长为2，，分别为，的中点，求异面直线与所成角.    【答案】 【分析】取中点，可证明，从而异面直线与所成角即为直线与所成角，为，再通过余弦定理求解即可. 【详解】取中点，连接，，，    因为是中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角，为. 由题意知，， 故在△ 中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角为. 知识点01空间两直线位置关系（3种） 位置关系 共面性 公共点 相交直线 共面 1个 平行直线 共面 0个 异面直线 不共面 0个 核心：异面直线：不平行、不相交、不共面 知识点02两大核心定理 1. 公理4（平行传递性） 若 ，则 易错：空间垂直无传递性 2. 等角定理 若，则： 或 规律：同向/反向相等，一正一反互补 知识点03异面直线所成角（重点） 定义：平移异面直线得到的锐角或直角 取值范围： 解题步骤：平移造角→证角等价→解三角形→取值作答 核心思想：空间问题平面化 知识点04空间直线垂直 判定：两直线所成角为 ，则 分类：① 相交垂直 ② 异面垂直 知识点05高频易错汇总 无公共点的直线：平行或异面，不全是异面 两边对应平行的角，不一定相等，可能互补 异面直线夹角不取钝角，钝角需取补角 平行可传递，垂直不可传递 一、填空题 1．（25-26高二上·上海静安·期中）空间两个角的两边分别对应平行，且，则________. 【答案】或 【分析】直接由等角定理求解即可. 【详解】根据等角定理可知与相等或互补，又， 所以或， 故答案为：或. 2．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若空间三条直线满足，与相交，则、的位置关系是_____. 【答案】相交或异面 【分析】根据空间直线的位置关系直接判断. 【详解】设直线与交于点，因为，所以与确定一个平面， 由于，所以，若直线在平面内，则与相交； 若直线不在平面内，则与异面. 故答案为：相交或异面 3．（24-25高二上·上海崇明·期中）已知空间两个角与，若，，，则______. 【答案】或 【分析】根据等角定理可求角的值. 【详解】因为，，故或， 故答案为：或 4．（25-26高二上·上海普陀·期中）已知空间中的两个角和，若，则_____. 【答案】 【分析】根据等角定理可得. 【详解】由等角定理可知与相等或互补，所以，或. 故答案为：或 5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面的12条对角线中，与正方体的对角线A1C垂直的共有_____条． 【答案】6 【详解】试题分析：如图所示BD⊥平面ACC1A1可证得BD⊥A1C，再由BD∥B1D1，推知B1D1⊥A1C，按照同样的思路证得其他四条． 解：如图所示BD⊥平面ACC1A1 ∴BD⊥A1C 又∵BD∥B1D1 ∴B1D1⊥A1C AD1⊥平面AD1C1B ∴A1C⊥AD1 AD1∥BC1 ∴BC1⊥A1C 又∵AB1⊥平面A1BCD1 AB1⊥A1C AB1∥DC1 DC1⊥A1C 符合题意的直线有BD、B1D1、AD1、BC1、AB1、DC1，共6条． 故答案为6． 考点：空间中直线与直线之间的位置关系． 6．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________. 【答案】或 【分析】设为的中点，连接，结合题设分析易得，（或其补角）为直线与所成的角，（或其补角）为直线与所成的角，进而求解即可. 【详解】如图，设为的中点，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，， 而，则， 则（或其补角）为直线与所成的角，即或， 而（或其补角）为直线与所成的角， 当时，， 当时，， 故答案为：或. 7．（25-26高二上·上海·单元测试）若顺次为空间四边形四条边的中点，且，，则________． 【答案】50 【分析】根据条件，得到四边形为平行四边形，且，，，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】如图连接， 因为顺次为空间四边形四条边的中点， 所以，，得到， 则四边形为平行四边形，且，， 在中，由余弦定理知①， 在中，由余弦定理知②， 又，由①②得到， 又，，得到， 故答案为：. 8．（25-26高二上·上海·阶段检测）正方体的各表面在一个平面上的展开图如图所示，则展开图中的面对角线与在正方体中的位置关系为______（选填“平行”、“相交”、“异面”）．    【答案】异面 【分析】根据平面图还原正方体，注意对应点的位置，结合异面直线的定义即可得. 【详解】由题设平面图，还原正方体如下，    由图知，为异面直线. 故答案为：异面 9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 _____对． 【答案】3 【分析】把展开图还原成正方体，观察几何体由异面直线的定义即可得到答案. 【详解】如图所示：把展开图再还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有：AB 和 CD，AB 和 HG，EF 和 HC，共三对， 故答案为：3． 10．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列三个命题：①；②与成角；③与成异面直线且夹角为．其中正确的是______． 【答案】②③ 【分析】还原正方体直观图，根据直观图直观可判断①；利用正三角形性质和线线平行性质，根据异面直线夹角的定义可判断②③． 【详解】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知与不平行，故①错误； 对于②，连接、，因为为正三角形，且， 则即为异面直线与所成角的平面角， 而，所以与成角，故②正确； 对于③，同理与成角，由图可知与成异面直线，故③正确． 故答案为：②③． 11．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH=______． 【答案】或 【分析】由题意可知四边形为菱形，且知菱形相邻的两个角分别为，再由所给边长即可求得的长. 【详解】如图，    由分别是的中点，得， ，则四边形为菱形，又与所成的角为， 于是直线与所成角为，即菱形的边长为1，相邻两个内角分别为， 即或，当时，, 当时，， 所以或. 故答案为：或 12．（2025高二上·上海松江·专题练习）正方体的棱长为1，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．问质点走完的第2025段与第1段所在的直线所成角的大小是______．    【答案】 【分析】以第一段为为例，列出前三段的所有情况找出规律，根据周期研究即可. 【详解】依题意可得质点运行路线为， 或， 或， 或， 或， 或， 即走过4段后又回到起点，可以看作以4为周期， 不妨令第1段走且按照，则第5段一定是，若为（），此时与第3段共线，矛盾； ， 则质点走完的第2024段恰好回到起点，则第段只能是， 即第段为，此时与第段重合，此时两直线所成角为； 质点走完的第段与第1段所在的直线所成的角是． 故答案为： 二、单选题 13．若空间中有、、三条直线，则“”是“、同时垂直于”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【分析】根据空间中直线与直线的位置关系，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，但、不一定垂直，从而、不一定同时垂直， 所以，“”“、同时垂直于”； 另一方面，若、同时垂直于，则、不一定平行， 所以，“”“、同时垂直于”. 所以，“”是“、同时垂直于”的既非充分也非必要条件. 故选：D. 14．（24-25高二上·上海·期中）是空间四边形，且和成角，、分别是和的中点，则和所成的角是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】取中点，连结，推导出是异面直线与所成的角（或所成角的补角），或，由，得是异面直线和所成的角，由此能求出异面直线和所成的角． 【详解】 取中点，连结， ∵在空间四边形中，，且异面直线与所成的角为， 分别为边和的中点， 且 且， 是异面直线AB与CD所成的角（或所成角的补角）， ∵异面直线与所成的角为， ∴或， ∵，得是异面直线和所成的角， 当时， ， 当时，， ∴异面直线和所成的角为或. 故选：C. 15．（24-25高一下·上海杨浦·期末）正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能恰有2条直线与异面；    ②中可能恰有4条直线与异面； ③中可能恰有8条直线与异面；    ④中可能恰有10条直线与异面． 其中，正确命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，利用异面直线的定义，依次分析4个命题是否正确，综合可得答案. 【详解】根据题意，依次分析4个命题： 因为直线平面，所以、、、不可能与直线异面， 当直线过底面两个顶点时， 若直线为底面边所在直线时，假设直线取，中只有四条直线、、、与直线异面，故②正确； 若直线为底面对角线时，假设直线取，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线只过底面的一个顶点时，假设直线过点，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 若直线不过底面的任何一个顶点时，此时中有直线、、超过2条直线与直线异面； 综上所述，中不可能有2条直线与异面，故①错误； 对于③，当直线取点与线段的中点连线时，中除了、、和之外有8条棱均与直线异面，故③正确； 对于④，当直线取线段中点与线段的中点连线时，中除了和之外的10条棱均与直线异面，故④正确. 故选：C. 16．（24-25高二上·上海·期末）如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 【答案】B 【分析】根据新定义、异面直线的定义判断即可. 【详解】对于A，连接，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故A错误； 对于B，如图，连接，得平面， 且与相交，连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，得与相交，所以点与点不可视， 故B正确； 对于C，如图，连接，，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故C错误； 对于D，如图，连接，， 因为平面，平面，且， 所以直线与是异面直线，所以点与点可视，故D错误. 故选：B. 三、解答题 17．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 【答案】(1)60° (2)90° 【分析】（1）作平行线，找到A1C1与B1C所成角，再进行求解； （2）作辅助线，得到A1C1与EF所成的角，证明出垂直关系，得到所成角为90°. 【详解】（1）如图所示，连接AC，AB1. 由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形， ∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°. （2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1， ∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. ∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF， ∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°. 18．（25-26高二上·上海·阶段检测）（1）已知是空间四边形，分别是的中点，求证：． （2）在正方体中，分别是正方形和的中心；求证：直线与为异面直线． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）取BC的中点为P，连接，在中由两边之和大于第三边即可得证； （2）连接，可得平面，再结合异面直线的概念，说明BQ和平面的位置关系即可证明． 【详解】（1）取BC的中点为P，连接，如图所示， 由三角形的中线性质可知， 在中． （2）连接，如图所示， 因为平面，平面，，且平面， 所以与是异面直线． 19. （24-25高二·上海·随堂练习）在正方体中，P，Q分别为，的中点， (1)求直线AP与CQ所成的角； (2)求直线AP与BD所成的角； (3)证明：与垂直． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，则可得（或其补角）为直线AP与CQ所成的角，然后在中求解即可； （2）取的中点，连接，则可得（或其补角）为直线AP与BD所成的角，然后在中求解； （3）连接，可证得∥，而，从而可证得结论. 【详解】（1）解：取的中点，的中点，连接， 则， 因为为的中点，所以， 因为∥，，所以，∥， 所以四边形为平行四边形，所以，∥， 因为，∥，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为的中点，的中点，所以∥， 所以（或其补角）为直线AP与CQ所成的角， 设正方体的棱长为4，则， ， 由余弦定理得， 因为直线AP与CQ所成的角为锐角， 所以直线AP与CQ所成的角为； （2）取的中点，连接， 由（1）的证法可知∥， 所以（或其补角）为直线AP与BD所成的角， 设正方体的棱长为4，则， ， 所以由余弦定理得 ， 因为直线AP与BD所成的角为锐角， 所以直线AP与BD所成的角为； （3）证明：连接， 因为， ∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为， 所以. 20．（24-25高二上·上海·期中）已知三棱锥满足. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)求异面直线与所成角大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据异面直线的定义，结合点平面，点平面，即可判断； （2）根据平行关系可证明异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理可得. 【详解】（1）因为直线平面，点平面，点，点平面， 所以直线与直线是异面直线. （2） 如图：取的中点，的中点，的中点，连接，，， 所以，， 所以异面直线与所成角为（或其补角）， 因为，所以，， 在中，，，， 所以有， 由余弦定理得 ， 所以异面直线与所成角大小为. 21．（25-26高二下·上海·期中）如图，将正四棱柱置于空间直角坐标系中，点D为坐标原点O，，，，    (1)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角表示）； (2)记直线分别和、BC、BA所成角为、、，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解. （2）根据题意表示，，，再根据体对角线公式计算即可. 【详解】（1）点D为坐标原点O，，，， ，，，， 设异面直线与所成角为， ，所以； （2）连接，可知与的夹角为，， 同理，， 因为为长方体的体对角线，所以， 所以.    1 学科网（北京）股份有限公司 $