精品解析：山东省枣庄市2025-2026学年第二学期期末考试七年级数学试题

2025-2026学年第二学期期末测试 七年级数学 （A卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第I卷和第II卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．是轴对称图形，故本选项错误； B．是轴对称图形，故本选项错误； C．是轴对称图形，故本选项错误； D．不是轴对称图形，故本选项正确． 故选D． 2. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， ， 故选：C． 3. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方等基本运算法则．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：选项A：合并同类项时，系数相加减，，结果应为，故A错误． 选项B：根据同底数幂的除法法则，，，B正确． 选项C：幂的乘方运算中，，结果应为，而选项C符号错误，故C错误． 选项D：根据同底数幂的乘法法则，，故，结果应为，D错误． 故选：B 4. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 B. 同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个 C. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6 D. 用长度分别为的三根小木棒摆成一个三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； B、同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个，是随机事件，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6，是必然事件，符合题意； D、用长度分别为的三根小木棒摆成一个三角形，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证出可得，再用邻补角定义求解即可．本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 在和中，， ， ， ， ， 故选：A． 6. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离（m） 0 5 10 …… 下列说法中错误的是（ ） A. 自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离 B. 刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加 C. 当刹车距离为时，刹车时的车速为 D. 当刹车时的车速为时，与其前方距离为的车辆不会追尾 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的表达式特点判定，结合变量关系判定，确定函数的解析式表达方式判定即可． 【详解】A、根据函数表达方式的特点，自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离，正确，不符合题意； B、根据表格，刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加，正确，不符合题意； C、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为，当，得到 ，解得，不正确，符合题意； D、根据函数表达方式的特点，转化为解析式表达方式为，当，得到 ，正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了函数的表达方式及其意义，正确理解各自表达方式的意义是解题的关键． 7. “跳皮筋”是我们小时候常玩的游戏，如图，执皮筋的两个小朋友分别用，表示，皮筋用折线表示，若，，，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先过点作，根据平行线的传递性可得；接着利用，根据“同旁内角互补”求出；然后用已知的减去得到；最后利用，根据“两直线平行，内错角相等”即可得出的度数． 【详解】过点作直线， ，， ， ∵， ∴ ∵， ∴， ， ∵。 ∴， ∵， ∴ ． 8. 把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答． 【详解】解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A，C，D选项符合要求， 故选：B． 9. 如图，小明同学在画线段的垂直平分线时，先以点为圆心画弧，当以点为圆心画弧时，不小心使圆规的张口变小了，两弧相交于，两点，连接交于点．①；②；③；④点到，的距离相等；以上结论正确的是（ ） A. ③④ B. ①③ C. ①② D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可得，，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得垂直平分，则，；根据等腰三角形三线合一可得平分，则点到，的距离相等；由已知条件可得，则，若，则，与已知条件矛盾，由此可得结论． 【详解】解：由作图可得：，， ∴垂直平分， ∴，， 故①③正确； ∵，， ∴平分， ∴点到，的距离相等， 故④正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 若， 则，矛盾， 故②不正确； ∴正确的结论是①③④． 10. 无人物品派送车现已应用于实际生活中．如图是派送车某次派送的路线，该车从圆心O出发，按箭头所示方向，依次沿线段半圆弧线段匀速行驶，最后回到点O处．则无人物品派送车离出发点O的距离h与所用时间t之间关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，分三个阶段：在线段上运动时，距离h随着时间的推移越来越大，在半圆弧上运动时，h随着时间的推移保持不变，在线段上运动时h随着时间的推移越来越小，据此可得答案． 【详解】解：在线段上运动时，无人物品派送车离出发点O的距离h随着时间的推移越来越大，当在半圆弧上运动时，无人物品派送车离出发点O的距离h随着时间的推移保持不变，在线段上运动时，无人物品派送车离出发点O的距离h随着时间的推移越来越小， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，满分15分．只填写最后结果，每小题填对得3分 11. 已知，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则对进行变形，代入求解即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法法则，，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12. 已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是__________． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形三边的关系等知识；由非负数的性质可求得m与n的值，根据等腰三角形的定义结合三角形三边的关系即可求得周长． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 若三边是5，5，11，，5，5，11不能构成三角形； 若三边是5，11，11，，周长为； ∴的周长为27； 故答案为：27． 13. 西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证______． 【答案】115 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念、平行线的性质是解题的关键． 如图：过点O作，根据题意可得：、，从而可得、，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点O作， 由题意得：，， ， ， ， ∵， ， ， ， ∵， ． 故答案为：115． 14. 如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，x节链条总长度为，则y关于x的函数关系式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过观察图形可知，x节链条一共有个重叠的地方，据此求解即可． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求函数关系式，图形类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 15. 如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积．延长交于点E，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果． 【详解】解：延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：6． 三、解答题：本大题共8小题，满分75分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，同底数的乘法，单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，然后计算加减； （2）首先计算同底数的乘法，单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方，然后计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值． ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，先根据整式的运算法则，乘法公式进行化简，再将代入化简后的整式中进行计算即可． 【详解】解： ； 当时， ∴原式． 18. 下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线的垂线，使它经过点． 作法：如图2， ①以为圆心，大于到直线的距离为半径作弧，交直线于、两点； ②连接和； ③作的角平分线，交直线于点． ④作直线． ∴直线就是所求的直线． 根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； （2）补全下面证明过程： 证明：∵平分， ∴． 又∵ ，， ∴（ ）（填推理依据）． ∴（ ）（填推理依据）． 又∵， ∴． ∴． 【答案】（1） （2），两边及其夹角相等的两个三角形全等（或），全等三角形的对应角相等 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图的步骤先作出，，然后再作出的角平分线即作出所求图； （2）根据作图过程知，再根据三角形全等的判定定理知所用到的判定定理和性质． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧、处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出、间的距离．为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案： 方案1①如图，选定点； ②连接，并延长到点，使，连接，并延长到点，使； ③连接，测量的长度即可． 方案2①如图，选定点； ②连接，，并分别延长到点，，使，； ③连接，测量的长度即可． （1）对于方案1和方案2，你认为可行的是________． （2）选择你认为可行的方案并进行证明． 【答案】（1）两种方案都可行 （2）证明：方案， 在和中， ， ， ， ∴测量的长度即可，故方案一可行； 方案：在和中， ， ， ， ∴测量的长度即可，故方案二可行； 【解析】 【分析】（1）利用“”证明方案一、二均可行； （2）利用“”证明可判断方案一可行；利用“”证明可判断方案二可行． 【小问1详解】 两种方案都可行 【小问2详解】 略 20. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图所示，四边形就是一个“格点四边形”． （1）作出四边形关于直线对称的四边形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据关于直线对称的基本作图的方法解答即可． （2）根据题意，四边形的面积为解答即可． 本题考查了轴对称基本作图，分割法计算面积，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，画图如下： 则四边形即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意，四边形的面积为． 21. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 （1）补全表格中的数据：______，______． （2）请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到） （3）小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平． 【答案】（1）， （2） （3）这个游戏不公平，调整见解析 【解析】 【分析】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）根据频率、频数与总数之间的关系即可求解； （2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的概率逐渐靠近于，即可求解； （3）根据摸到摸到红球和黑球的概率相等则游戏公平求解即可． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 当次数足够大时，摸到红球频率将会接近， 故答案为：； 【小问3详解】 你认为这个游戏不公平， 调整：应该在盒子里分别装上个红球和黑球，这样摸到红球和黑球的概率相等都是，从而使得游戏公平． 22. 【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量/辆 车身总长/米 素材：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．斜面米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 （1）根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为________； （2）在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】（1）， （2）该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 理由如下： 当时，， ， ∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 【解析】 【分析】（1）直接根据素材1，列出购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式即可； （2）将代入（1）所得的解析式，求得购物车列的车身总长，再与比较即可解答． 【小问1详解】 解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加米， 则， ∴车身总长与购物车数量之间的关系式为． 【小问2详解】 略 23. 综合实践：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决数学问题的一种策略．如图，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同侧有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 小明的作法是：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 【活动一】 如图，为了证明点的位置即为所求，小明经探究发现，在直线l上另外取点，连接，，，证明即可． （1）请完成图中小明的证明； （2）如图，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________； （3）如图，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【活动二】感悟方法，尝试应用 （4）如图6，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系________； ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图6上标注点的位置，并求出的最小值________． 【答案】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ， ， ，， ∴当、、三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求． （2）的周长最小值为， （3） （4）①；②如图：点F即为所求．， 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，则， ，可得即可证明结论； （2）如图，连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是m与的交点时，的周长最小；再利用垂直平分线的性质以及线段的和差即可解答； （3）如图，分别作关于、的对称点、，连接、、，当、、、四点共线时，的周长取最小值，再根据轴对称的性质解答即可． （4）①利用等腰三角形三线合一的性质求解即可；②如图：连接与的交点F即为所求；再利用等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ， 的周长为， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 即当是与的交点时，的周长最小，最小为， 【小问3详解】 解： 如图，分别作关于、的对称点、，连接、、，当、、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，，，， ， ， ， ， ，， ． 【小问4详解】 解：①在等边三角形中，是的中线， ，， ； ②如图：点F即为所求． 点为上一点 当点，，三点共线时，的值最小，即的长度 在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末测试 七年级数学 （A卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第I卷和第II卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 2. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 B. 同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个 C. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6 D. 用长度分别为的三根小木棒摆成一个三角形 5. 如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（ ） A. B. C. D. 6. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …… 刹车距离（m） 0 5 10 …… 下列说法中错误的是（ ） A. 自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离 B. 刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加 C. 当刹车距离为时，刹车时的车速为 D. 当刹车时的车速为时，与其前方距离为的车辆不会追尾 7. “跳皮筋”是我们小时候常玩的游戏，如图，执皮筋的两个小朋友分别用，表示，皮筋用折线表示，若，，，则（） A. B. C. D. 8. 把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，小明同学在画线段的垂直平分线时，先以点为圆心画弧，当以点为圆心画弧时，不小心使圆规的张口变小了，两弧相交于，两点，连接交于点．①；②；③；④点到，的距离相等；以上结论正确的是（ ） A. ③④ B. ①③ C. ①② D. ①③④ 10. 无人物品派送车现已应用于实际生活中．如图是派送车某次派送的路线，该车从圆心O出发，按箭头所示方向，依次沿线段半圆弧线段匀速行驶，最后回到点O处．则无人物品派送车离出发点O的距离h与所用时间t之间关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，满分15分．只填写最后结果，每小题填对得3分 11. 已知，则______． 12. 已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是__________． 13. 西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证______． 14. 如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，x节链条总长度为，则y关于x的函数关系式是_______． 15. 如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是____． 三、解答题：本大题共8小题，满分75分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值． ，其中． 18. 下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线的垂线，使它经过点． 作法：如图2， ①以为圆心，大于到直线的距离为半径作弧，交直线于、两点； ②连接和； ③作的角平分线，交直线于点． ④作直线． ∴直线就是所求的直线． 根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； （2）补全下面证明过程： 证明：∵平分， ∴． 又∵ ，， ∴（ ）（填推理依据）． ∴（ ）（填推理依据）． 又∵， ∴． ∴． 19. 如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧、处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出、间的距离．为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案： 方案1①如图，选定点； ②连接，并延长到点，使，连接，并延长到点，使； ③连接，测量的长度即可． 方案2①如图，选定点； ②连接，，并分别延长到点，，使，； ③连接，测量的长度即可． （1）对于方案1和方案2，你认为可行的是________． （2）选择你认为可行的方案并进行证明． 20. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图所示，四边形就是一个“格点四边形”． （1）作出四边形关于直线对称的四边形； （2）求四边形的面积． 21. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 （1）补全表格中的数据：______，______． （2）请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到） （3）小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平． 22. 【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量/辆 车身总长/米 素材：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．斜面米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 （1）根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为________； （2）在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 23. 综合实践：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决数学问题的一种策略．如图，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同侧有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 小明的作法是：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 【活动一】 如图，为了证明点的位置即为所求，小明经探究发现，在直线l上另外取点，连接，，，证明即可． （1）请完成图中小明的证明； （2）如图，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________； （3）如图，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【活动二】感悟方法，尝试应用 （4）如图6，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系________； ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图6上标注点的位置，并求出的最小值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $