2.5 有理数的乘法与除法 暑期预习导学案（附同步作业）-2026-2027学年苏科版数学七年级上册

2.5 有理数的乘法与除法 【学习目标】 1、掌握有理数乘法、除法法则，能准确进行有理数乘除基础运算 2、理解倒数的定义、性质，会求任意非零有理数的倒数 3、掌握有理数乘法三大运算律，能利用运算律简便计算 4、掌握有理数乘除混合运算顺序，规避常见计算易错点 5、能运用有理数乘除解决简单实际应用问题 【学习重难点】 重点：有理数乘除运算法则、倒数的概念、乘法运算律的应用 难点：多个有理数相乘的符号判断、乘法分配律的逆用、乘除混合运算符号易错点 第1课时 有理数的乘法 【课前预习·自主学习】 一、温故知新 1、小学知识：正数×正数= ；0乘任何数= 2、有理数分类：正有理数、 、 3、思考：引入负数后，负数与正数、负数与负数相乘，结果符号如何确定？ 二、教材探究（结合课本情境：水位变化问题） 1、情境列式 （1）水位每天上升3cm，2天后水位变化： (+3)×(+2)=+6 （2）水位每天上升3cm，2天前水位变化： (+3)×(-2)=-6 （3）水位每天下降3cm，2天后水位变化： (-3)×(+2)=-6 （4）水位每天下降3cm，2天前水位变化： (-3)×(-2)=+6 2、归纳有理数乘法法则 ① 两数相乘：同号得______，异号得______，并把绝对值______； ② 特殊规则：任何数与0相乘，都得______。 【课堂探究·核心知识点】 知识点1：两个有理数的乘法运算步骤（必考） 运算三步走： 1、定符号：同号正，异号负； 2、定绝对值：将两个数的绝对值相乘； 3、写结果：组合符号与绝对值。 👉基础例题： (1) (-4)×5 解：异号得负， 4×5=20，结果= -20 (2) (-6)×(-7) 解：同号得正， 6×7=42，结果= +42 (3) 0×(-100)=______ 知识点2：多个有理数相乘的符号法则 1、几个不为0的有理数相乘： 负因数的个数为偶数时，积为______； 负因数的个数为奇数时，积为______。 2、几个有理数相乘，只要有一个因数为0，积就为______。 规律口诀：偶负得正，奇负得负，有0则0 例题：判断符号 (1) (-2)×(-3)×(-4) 负因数3个（奇数），积为______ (2) (-1)×2×(-5)×6 负因数2个（偶数），积为______ (3) (-3)×0×99 积为______ 知识点3：倒数（本节核心概念） 1、定义：乘积为 \boldsymbol{1}的两个有理数互为倒数。 数学语言：若 a×b=1(a≠0,b≠0)，则 a与 b互为倒数。 2、关键性质 ① 0没有倒数（0乘任何数都不为1）； ② 互为倒数的两个数符号相同； ③ 倒数等于本身的数：1和 -1。 3、求倒数方法 整数：直接写成 ；分数：分子分母颠倒；小数：先化分数再求倒数。 例题：求下列各数的倒数 2的倒数： ； -3的倒数： ；的倒数： ； -1.5的倒数： 【课堂练习·基础闯关】 1、直接计算 (1) (-8)×2= (2) (-5)×(-6)= (3) 0×(-3.6)= 2、判断对错 (1) 负数没有倒数（ ） (2) 1的倒数是1，-1的倒数是-1（ ） (3) 几个有理数相乘，负因数个数为奇数，积一定为负（ ） 【易错警示·错题整理】 易错点1：多个数相乘时，忘记先判断符号，直接计算绝对值 易错点2：认为0有倒数；小数求倒数未先化最简分数 易错点3：混淆相反数与倒数（相反数和为0，倒数积为1） 【课后作业】 1、课本习题 2、写出下列数的倒数： -7、、-0.25、1 第2课时 有理数乘法运算律 【课前预习】 1、小学乘法三大运算律：交换律、结合律、分配律 2、思考：有理数范围内，乘法运算律是否仍然成立？ 【课堂探究·核心知识点】 知识点1：有理数乘法三大运算律（和整数运算律形式一致） 设 a、b、c为任意有理数，则： 1、乘法交换律： a×b = b×a 含义：两个数相乘，交换因数位置，积不变 2、乘法结合律： (a×b)×c = a×(b×c)} 含义：三个数相乘，先乘前两个或后两个，积不变 3、乘法分配律： a×(b+c) = a×b + a×c 逆用： a×b + a×c = a×(b+c)（简便计算高频考点） 知识点2：运算律使用技巧 1、交换律+结合律：优先结合互为倒数、能凑整、同符号的数 2、分配律适用场景：一个数乘多个数的和/差；提取公因数简便计算 3、注意：乘法运算律仅适用于乘法，不可用于加法、除法 基础例题（正向运用） (1) (-4)×8×(-25) 解：原式 =(-4)×(-25)×8（交换律） =100×8=800 (2) （-)×(-6) 解：原式 =×(-6)-×(-6)=-3+2=-1 拔高例题（分配律逆用） 5×(-7)+(-5)×3 解：原式 =5×(-7)+5×(-3)=5×(-7-3)=5×(-10)=-50 【课堂练习·简便计算】 1、(-8)×125×(-0.01) 2、(-)×(8-) 3、(-6)×3.7+(-6)×6.3 【易错警示】 1、分配律易错： a×(b+c)不能漏乘，切勿写成 a×b+c 2、符号易错：负数参与分配律运算时，符号不要遗漏 3、区分：结合律是纯乘法运算，分配律是乘加/乘减混合运算 【课后作业】 1、课本习题 2、用简便方法计算： (- + - )×(-24) 第3课时 有理数的除法及乘除混合运算 【课前预习】 1、除法是乘法的逆运算 2、根据倒数定义填空： a÷b = a×______ (b≠0) 【课堂探究·核心知识点】 知识点1：有理数除法两大法则 法则一（转化法，通用推荐） 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 公式： a÷b = a· (b≠0) 适用：分数除法、小数除法、不能整除的计算 法则二（直接相除法） 两数相除，同号得______，异号得______，并把绝对值______； 0除以任何不等于0的数，都得______。 适用：整数整除、简单有理数除法 核心禁忌：0不能作为除数！ 知识点2：除法运算步骤 1、定符号：同号正，异号负；0除以非0数得0 2、转化计算：要么化乘法（乘倒数），要么直接除绝对值 基础例题 (1) (-18)÷6 解：异号得负， 18÷6=3，结果= -3 (2) (-24)÷(-) 解：原式 =-24×(-)=36 (3) 0÷(-99.9)=______ 知识点3：有理数乘除混合运算 1、运算顺序 ① 无括号：从左到右依次计算； ② 有括号：先算括号内，再算括号外； ③ 所有除法统一转化为**乘法（乘倒数）**后再计算。 2、符号判定：整体统计所有负因数个数，偶正奇负 👉例题：计算 (-8)÷×(-) 解：原式 =(-8)××(-)（除法转乘法） =(-6)×(-)=3 知识点4：乘除混合运算常见化简 多个有理数连除/连乘，可先约分，再确定符号，最后计算数值 【课堂练习】 1、直接计算 (1) (-36)÷9= (2) ÷(-)= (3) 0÷(-12)= 2、混合运算 (1) (-24)×÷(-2) (2) (-)÷×(-3) 【易错警示·高频错题】 1、致命易错：乘除混合运算不能先算右侧，必须从左到右 错例： 2÷×3=2÷1=2（错误） 正解： 2×3×3=18 2、易错点：求负数的倒数时符号出错；除法转乘法时，只改符号不改倒数 3、易错点：混淆“0除以数”和“数除以0”，后者无意义 【拓展提升·实际应用】 例题：某冷库温度每小时下降 3℃，现在温度为 0℃，问3小时前冷库温度是多少？ 解：温度变化： (-3)×(-3)=9℃，答：3小时前温度为 9℃ 【课后作业】 1、课本习题 2、计算： (-12)÷（-) 2.45 有理数的乘法与除法 一．选择题（共10小题） 1．下列有理数中，没有倒数的是（　　） A．﹣2027 B．1 C．0 D．﹣1 2．有理数a，b在数轴上的对应点如图，下列式子：①a＞0＞b；②|b|＞|a|；③ab＜0；④a﹣b＞a+b；⑤1，其中错误的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，下列结论正确的是（　　） A．c＞a＞b B． C．|a|＜|b| D．abc＞0 4．下列说法正确的是（　　） A．负数没有倒数 B．正数的倒数比自身小 C．任何有理数都有倒数 D．﹣1的倒数是﹣1 5．在下列说法：①如果a＞b，则有|a|＞|b|；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n＝0，则m、n互为相反数．其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．若两数之积为负数，则这两个数一定是（　　） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 7．若ab≠0，则的值不可能是（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．1 8．在下列各题中，结论正确的是（　　） A．若a＞0，b＜0，则0 B．若a＞b，则a﹣b＞0 C．若 a＜0，b＜0，则ab＜0 D．若a＞b，a＜0，则0 9．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折；③一次性购书200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为（　　） A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元 10．若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为（　　） A．﹣8 B．﹣5 C．﹣1 D．16 二．填空题（共6小题） 1．若a、b是互为倒数，则2ab﹣5＝　 　 ． 2．的相反数的倒数是　 　 ． 3．如果|﹣m|＝5，|n|＝6，那么﹣|mn|＝　 　 ． 4．计算：（﹣1）÷（﹣9）　 　 ． 5．若三个非零有理数a，b，c满足1，则　 　 ． 6．已知有理数a，b满足ab＜0，a+b＞0，7a+2b+1＝﹣|b﹣a|，则的值为　 　 ． 三．解答题（共4小题） 1．计算： （1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）； （2）； （3）； （4）． 2．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． （1）直接写出a+b，cd，m的值； （2）求m+cd的值． 3．已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值． 4．阅读下列材料：|x|，即当x＞0时，；当x＜0时，． 用这个结论可以解决下面问题： （1）已知a、b是有理数，当ab≠0时，求的值． （2）已知a、b、c是有理数，当abc≠0时，求的值． （3）已知a、b、c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A、﹣2027的倒数是，故不符合题意； B、1的倒数是1，故不符合题意； C、0没有倒数，故符合题意； D、﹣1的倒数是﹣1，故不符合题意． 故选：C． 2．【解答】解：从数轴上可以看出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|． 则：①a＞0＞b，错误； ②|b|＞|a|，错误． ∵a＜0，b＞0， ∴ab＜0． ∴③ab＜0，正确． ∵b＞0， ∴﹣b＜0． ∴﹣b＜b． ∴a﹣b＜a+b． ∴④a﹣b＞a+b，错误． ∵|a|＞|b，a＜0，b＞0， ∴a＜﹣b． ∴． ∴⑤1，正确． 综上，错误的个数有3个， 故选：C． 3．【解答】解：A、由数轴得：a＜b＜c，故选项A不正确； B、∵0＜b＜1＜c， ∴， 故选项B正确； C、由数轴得：|a|＞|b|， 故选项C不正确； D、∵a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0， 故选项D不正确； 故选：B． 4．【解答】解：A、负数有倒数，例如﹣1的倒数是﹣1，选项错误； B、正数的倒数不一定比自身小，例如0.5的倒数是2，选项错误； C、0没有倒数，选项错误； D、﹣1的倒数是﹣1，正确． 故选：D． 5．【解答】解：①如果a＞b，如1＞﹣2，|1|＝1，|﹣2|＝2，但|1|＜|﹣2|，那么|a|＞|b|不一定成立，故①不正确． ②若干个不为0的有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数，故②不正确． ③根据绝对值的定义，当a≥0，则|a|＝a，即0或正数的绝对值等于本身，故③不正确． ④根据等式的性质，m+n＝0，则m＝﹣n，那么m与n互为相反数，故④正确． 综上：正确的有④，共1个． 故选：D． 6．【解答】解：例如（﹣2）×1＝﹣2，2×（﹣2）＝﹣4，所以C正确， 故选：C． 7．【解答】解：①当a、b同号时，原式＝1+1＝2；或原式＝﹣1﹣1＝﹣2； ②当a、b异号时，原式＝﹣1+1＝0．则的值不可能的是1． 故选：D． 8．【解答】解：A、两数相除，异号得负，故选项错误； B、大数减小数，一定大于0，故选项正确； C、两数相乘，同号得正，故选项错误； D、若a＞b，a＜0，则0，故选项错误． 故选：B． 9．【解答】解：∵200×0.9＝180，200×0.8＝160，160＜162＜180， ∴一次性购书付款162元，可能有两种情况． 162÷0.9＝180元；162÷0.8＝202.5元． 故王明所购书的原价一定为180元或202.5元． 故选：C． 10．【解答】解：∵a，b互为相反数，c的倒数是4， ∴a+b＝0，c， ∴3a+3b﹣4c ＝3（a+b）﹣4c ＝0﹣4 ＝﹣1． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 1．【解答】解：∵a、b是互为倒数， ∴ab＝1， ∴2ab﹣5＝﹣3． 故答案为：﹣3． 2．【解答】解：的相反数是，的倒数是2016． 故答案为：2016． 3．【解答】解：﹣|mn|＝﹣|﹣m|×|n|＝﹣5×6＝﹣30． 4．【解答】解：（﹣1）÷（﹣9）， ＝（﹣1）×（）， ， ． 故答案为：． 5．【解答】解：∵1 ∴a、b、c中有一个为负数，另外两个为正数， ∴1 故答案为﹣1． 6．【解答】解：由题意得： （1）若a＞0，则b＜0，a+b＞0，则7a+2b+1＝5a+（2a+2b）+1＞0，而﹣|b﹣a|＜0， 故：这种情况不存在； （2）同理若a＜0，则b＞0，可得： 0． 故答案为0． 三．解答题（共4小题） 1．【解答】解：（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）， ＝（﹣85）×[（﹣25）×（﹣4）]， ＝﹣85×100， ＝﹣8500； （2）﹣22（﹣2）， （）， ＝2； （3）（）÷（1）， ＝（）÷（）， ＝（）， ＝（）， ； （4）（）×36， 36363636， ＝28﹣30+27﹣14， ＝55﹣44， ＝11． 2．【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2． （2）当m＝2时，m+cd2+1+0＝3； 当m＝﹣2时，m+cd2+1+0＝﹣1． 3．【解答】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位， ∴m＝﹣5或3， ∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， 当m＝﹣5时， ∴2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣（﹣5） ＝2， 当m＝3时， 2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m ＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m ＝﹣3﹣3 ＝﹣6 综上所述：原式＝2或﹣6． 4．【解答】解：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时， ①a＜0，b＜0，1﹣1＝﹣2； ②a＞0，b＞0，1+1＝2； ③a、b异号，0． 故±2或0； （2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时， ①a＜0，b＜0，c＜0，1﹣1﹣1＝﹣3； ②a＞0，b＞0，c＞0，1+1+1＝3； ③a、b、c两负一正，1﹣1+1＝﹣1； ④a、b、c两正一负，1+1+1＝1． 故±1或±3； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0， 则b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a、b、c两正一负， 则1﹣1﹣1＝﹣1． 故答案为：±2或0；±1或±3；﹣1． 学科网（北京）股份有限公司 $