2.3一元二次方程的根与系数的关系 导学案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“一元二次方程的根与系数的关系”，通过回顾配方法、公式法、因式分解法等旧知搭建学习支架，引导学生结合新课自主探究，衔接前后知识脉络，把握重难点。 资料融合数学史（韦达事迹、中外探索差异）渗透文化，课前自检题强化根与系数关系应用，培养数学眼光（创新意识）、数学思维（推理能力），预习任务与问题记录设计促进自主学习，发展数学语言表达（模型意识），提升学习效率与学科素养。

2.3一元二次方程的根与系数的关系 1.回顾配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的相关知识，结合新课内容，探究一元二次方程的根与系数的关系。 2.阅读课本P47—P48内容，自主探究一元二次方程的根与系数的关系，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 1.通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 . 2.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式，那么就有： p的取值范围 方程根的情况 p>0 两个不相等实数根 . p=0 两个相等实数根 . p<0 无实数根 3.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是： . 这个式子称为一元二次方程的 .用求根公式解一元二次方程的方法称为 . 4.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac>0时，方程有 的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有 的实数根； 当b2-4ac<时，方程 实数根. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况可由b2-4ac来判定.把 叫作一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“ ”来表示. 5.当一元二次方程的一边是0，而另一边能够分解成 时，我们就可以用因式分解的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为 . 知新——课本研习梳理 1.如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，那么 . 2.如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么= ， . 课前自检 1.关于x的一元二次方程的两根之和是( ) A.-1 B.0 C.4 D.5 2.已知，为方程的两根，则的值是( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.一元二次方程的两个实数根为,,下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 4.若a，b是方程的两个实数根，则的值为( ) A. B. C.4050 D.2025 5.若m,n是方程的两个实数根,则的值为( ) A. B. C.1 D.5 韦达——不务正业的“业余数学之王” 韦达并不是专职数学家，他是16世纪法国著名律师、政治家，数学只是他的业余爱好.但他天赋极高，被后世誉为“代数学之父”.当时欧洲数学仍停留在文字解方程的阶段，繁琐且混乱，韦达首次系统性用字母符号替代数字，彻底革新代数书写方式，也正是在符号代数的基础上，他发现了一元二次方程根与系数的隐秘关系，为数学发展做出了里程碑式的贡献. 中外古人对二次方程的探索差异 早在秦汉时期，我国《九章算术》就记载了二次方程的实际解法，古人可以求解面积、田地相关的二次方程问题，但只局限于具体数值计算，没有总结通用规律.而西方数学家韦达跳出具体计算，总结出通用的根与系数关系.中国古代重实用运算，西方近代重规律总结，两种数学思维互补，共同完善了二次方程的知识体系. 把预习中发现的问题记录一下吧 ... 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 1.配方法 2. 3. 求根公式 公式法 4.两个不相等 两个相等 没有 b2-4ac ∆ 5.两个一次因式的乘积 因式分解法 知新——课本研习梳理 1.ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 2. 基础过关·课前自测 1.答案：D 解析：设的两根为、， . 故选：D. 2.答案：D 解析：∵方程中，二次项系数，常数项， ∴， 故选：D. 3.答案：A 解析：一元二次方程的两个实数根为,, ,. 4.答案：C 解析：，b是方程的两个实数根， ，，. 5.答案：B 解析：,是方程的两个实数根, ,, . 学科网（北京）股份有限公司 $