2.4 第2课时 营销问题及其他问题（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的应用，核心内容为用其解决营销问题及传播问题。通过“节日促销方案定制”情境导入，衔接一元二次方程解法，搭建从理论到实际应用的学习支架，引导学生过渡到问题解决。 资料以情境化设计和问题链探究为特色，典例精析结合归纳总结，练一练与当堂反馈分层递进。帮助学生用数学眼光观察现实营销现象，通过推理分析数量关系，培养模型意识，提升解决实际问题的能力。

第二章 一元二次方程 2.4 应用一元二次方程 第2课时 营销问题及其他问题 【学习目标】 1. 会用一元二次方程解决营销问题及其他类型问题.（重点、难点） 2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题及分析问题、解决问题的能力． 学习重点：会用一元二次方程解决营销问题及其他类型问题. 学习难点：会用一元二次方程解决营销问题及其他类型问题. 【复习导入】 每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？ 【合作探究】 探究点1：利用一元二次方程解决营销问题 【典例精析】 例1 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500元. 调研发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销价每降低50元时，平均每天就能多售4台. 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 思考交流 (1) 在例1 中，如果设每台冰箱的定价应为 x 元，那么你能列出怎样的方程？ (2) 它与例1 中列出的方程有什么区别和联系？ 例2 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个. 调查发现：售价在40 元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个. 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？ 【归纳总结】 利润问题常见关系式基本关系： (1) 利润＝售价－ ； (2) 利润率＝ ×100％； (3) 总利润＝ ×销量. 练一练 1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件， 每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 探究点2：传播问题与一元二次方程 例3 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析： 照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？ 例4 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支？ 【归纳总结】 1. 在分析例3和例4中的数量关系时它们有何区别？ 2. 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 练一练 2. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 当堂反馈 1.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同.设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的方程为(　　) A.x(x＋1)＝45 B.x(x－1)＝45 C.x(x＋1)＝45 D.x(x－1)＝45 2.毕业典礼后，九年级(1)班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，全班送贺卡共1640张，则九年级(1)班的人数为　　. 3.经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有144人患上流感，按这样的传染速度，若3人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有　　人. 4.某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，每月能卖500件.已知该商品每涨价1元，每月销售量就会减少10件，为获得8000元的月销售利润，该商品售价应为多少元？ [延伸设问]在上述条件下，为了尽量减少库存，则该商品售价应定为　　元. 参考答案 【合作探究】 探究点1：利用一元二次方程解决营销问题 【典例精析】 例1 解：设每台冰箱降价 x 元，根据题意，得 整理，得 x2 - 300x + 22500 = 0. 解这个方程，得 x1 = x2 = 150. ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750. 答：每台冰箱的定价应为 2750 元. 思考交流 (1)每台冰箱的定价为 x 元，则单件利润 (x - 2500)元，降价金额 (2900 - x) 元， 多卖 台. 解这个方程，得 x1 = x2 = 2750. (2)联系：1. 等量关系完全相同： 单件利润×每日销售量 = 总利润5000； 2.答案一致：最终算出冰箱定价都是 2750 元. 3.未知数可互相换算：降价金额 = 2900－定价， 即x降价 = 2900－x定价，代入可互相变形. 区别：未知数含义不同： 原题：x = 降价的钱数，先求降价再算售价； 新设法：x = 冰箱实际定价，直接求出最终售价； 例2 解：设这种台灯售价上涨 x 元，根据题意，得 (40 + x - 30)(600 - 10x) = 10 000 解这个方程，得 x1 = 10，x2 = 40 (舍). 售价为：40 + x = 40 + 10 = 50 (元) 应购置台灯：600 - 10x = 600 - 10×10 = 500 (个) 练一练1. 解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意，得 (40 - x)(20 + 2x) = 1200 解方程，得 x1 = 10，x2 = 20. 因为要尽快减少库存，所以 x = 10 舍去. 答：每件衬衫应降价 20 元. 探究点2：传播问题与一元二次方程 例3 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，得(1+x)2=121.解方程，得x1=10, x2 = -12（不符合题意，舍去）. 答：平均一个人传染了10个人. 思考： 第1种做法： 以1人为传染源,3轮传染后的人数是：(1+x)3=(1+10)3=1331（人）. 第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源，传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331（人）. 例4 解：设每个支干长出x个小分支，则，1+x+x2=133，即x2+x-132=0.解得x1=11， x2=-12（不合题意，舍去）. 答：每个支干长出11个小分支. 练一练2. 解：(1) 设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌，则 60(1 + x)2 = 24000. ∴ x1 = 19，x2 = −21(舍去). ∴每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌. (2) 三轮后有益菌总数为 60×(1+19)3 = 480000 (个). 当堂反馈 1.B　2.　41　3.　36　 4.解：设该商品涨价x元. 根据题意得(50＋x－40)(500－10x)＝8000， 即x2－40x＋300＝0， 解得x1＝10，x2＝30. 当x＝10时，售价为50＋10＝60(元)； 当x＝30时，售价为50＋30＝80(元). 答：该商品售价应为60元或80元. [延伸设问]　60　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $