解三角形之面积问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦解三角形面积问题，系统梳理5类面积公式，通过7道典型例题（含高考真题）强化公式灵活应用与数学运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积公式综合应用|7题（含2024新课标Ⅰ卷真题）|5类面积公式（含正余弦定理结合式、内外切圆半径式）及多解法训练|从基本公式推导到正余弦定理融合，再到特殊几何条件（中线/旋转）下的应用拓展|

高中数学精选专题-正弦定理与余弦定理 解三角形之面积 湖北天门 薛德斌 要点： 1.以面积为问题，综合考查三角恒等变换公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式. 2.灵活运用公式的能力，数学运算能力. 3.多种解题方法 △ABC 的面积公式： 1 S-zch 2S=I absin C=acsin B=2bcsin 2 2 2(a+b+c)r 1 ,其中r为△ABC的内切圆半径. absinC=lax asin B .5 -4X xsinC=sin BsinC 2 sin A 2sinA· 1 。absin C=-abx c abc 2 2 2R4R, 2absinC=Ix ×2 Rsin A:×2 Rsin B×sinC=4R2 sin Asin Bsin C 其中R为△ABC的外接圆半径， 1.【2024年新课标I卷T15/19】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C, 已知sinC=V2cosB,a2+b2-c2=V2ab (1)求B: (2)若△MBC的面积为3+V .求c. 2.△ABC中， Aπ 3,BC=2,BC边上的中线AD=V2,则△ABC的面积为 AB 5 3.△ABC中， Aπ 13,AC8,内切圆半径r=2W5,则△4BC的面积为一， 4.已知 △ABC 的外接圆半径为2，内切圆半径为1，B=2W5,则△ABC ,则1 的面积为 .1 5.锐角三角形ABC中， nA+sm(A-B店B=3,则△ABC的明 sin Ccos- 6.△ABC中， A =(2-cos C)sin2 cos 4=3 2 =5,BC=4,则△ABC的面 积为一 7.如图，点P是边长为2的等边△ABC内部（不包括边）任意一点，△PBC绕点B逆时 PA=22i∠BPC= 2π 针旋转3得到△QBA,若 7 3,则△APO的面积为 A B C高中数学精选专题-正弦定理与余弦定理 解三角形之面积 湖北天门 薛德斌 要点： 1.以面积为问题，综合考查三角恒等变换公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式. 2.灵活运用公式的能力，数学运算能力. 3.多种解题方法 △ABC 的面积公式： 1 S-zch 2S=I absin C=acsin B=2bcsin 2 2 2(a+b+c)r 1 ,其中r为△ABC的内切圆半径. absinC=lax asin B .5 -4X xsinC=sin BsinC 2 sin A 2sinA· 1 。absin C=-abx c abc 2 2 2R4R, 2absinC=Ix ×2 Rsin A:×2 Rsin B×sinC=4R2 sin Asin Bsin C 其中R为△ABC的外接圆半径， 1.【2024年新课标I卷T15/19】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C, 已知sinC=V5cosB.a2+b2-c2=V2ab (1)求B: (2)若△4BC的面积为3+V5,求c. 【答案】B-:(2)2N2 【分析】(2)由正弦定理将a,b,均用含有C的式子表示，结合三角形面积公式即可列 方程求解. 解，（山由余弦定理有0sC=a+-c-V2abV5 2ab 2ab2, ce0刘，：C= 4, “snC=2cosB,片cosB=) sB-2,:Be(0,B=餐 因4=答子资m4=m好别-6 4+6 4 a b 5π 元 sin- 由正弦定理有 12 sin 3 sin 4, a=62ac-5.65a6 4 2 2 2 0mc-5.55e=3+5 22 2c2=8 :c=22 男，解5 absinC=×cs4xc血Bx如C= 1 c2sin Asin B 2 2 sinC sin C 2sinC 6+232 -C =42 √2 3+5.2=3+5 8 2.△ABC中， Aπ 3,BC=2,BC边上的中线AD=V2,则△ABC的面积为 5 【答案】2 解法一：由AB=AD+DB,AC=AD+DC=AD-DB, 平方相加，得b+c2=2(4D2+DB2)=22+1)=6 由余弦定理，得b2+c2-bc=4,.bc=2,△ABC的面积为 2 2. 解法二：由 而=丽+ ,平方可得b2+c2+bc=8, 5-besin4 由余弦定理，得b2+c2-bc=4,“.bc=2,△ABC的面积为°2 2 解法三：AB.AC=(4D+DB(AD-DB)=AD-DB=1, bc AB.AC cbcos A=- 2, S-besin4 :.bc=2,△ABC的面积为2 2. A=πAB5 3.△ABC中，4=3，AC8,内切圆半径r=2V5,则△ABC的面积为 【答案】40W5 解：设c=5t,b=8t,由余弦定理可得a=7t, 加m4=n5r,-ot6ten △ABC的面积2 ∴t=2,△ABC的面积为40W3 4.已知 △ABC 的外接圆半径为2，内切圆半径为1， AB=25,则△MBC 面积为 7N5 7√3 3 A.3V5 B.3 C.4或3 D.35或3 【答案】A. 3v5 得sinC=3 =2R, C= 【详解】由正弦定理sinC ,:c-3或c=5. 1 Ssuc-(atb+c)-absinCab=2(ab+2) 山)当C=了时，由余弦定理有e2=d+-2 2abcosC,即a+b-3ab=12,② a+b=45 由①②联立解得ab=12，∴a=b=23, 5=+6+or-45+25)k1=35, (2)当c-2r =3时，由余弦定理有c2=a2+b2-2 abcosC,即(a+b-ab=12,③ 8V5 a+b= 3 由①③联立解得 28 ,方程组无解， ab=- 3 W3 综上所述， △ABC 的面积为 1 5.锐角三角形ABC中， Sin(A+B)=5sin(A-B)5,AB=3,则△4BC的面积为 6+3V6 【答案】 2 【要点】多种解法： 解法一：化切，tanA=2tanB, 解法二：变角，2A=(A+B)+(A-B) 解法三：消元，求sinA. 解法一：（化切，tanA=2tanB.) 3 sin Acos B+cos Asin B= sin(A+B)= 'sin(A-B)=5 3， 1∴. 1 sin Acos B-cos Asin B=- 5 sinAcos B=2 5 cos Asin B=1’÷ 5 tan A=2tan B 经4+8<，m(+剑-m(+则=，即。- tan A+tan B 3 又tanA=2tanB,2tan2B-4tanB-1=0,解 anB=2±v6 2, 0<B< tan B=2+6 2, 2. ,AB=h+方=3h .=3 设AB边上的高为h,则tan A tan B2tanB,.h=2tanB, “△1BC的面积为S=6×h=3an日-6+36 2 2· 解法二：（变角，2A=(A+B)+(A-B).) sin(4+B)=3 3 5,△ABC是锐角三角形， sinC=3 cosC=4 , +-.md-- 5,△ABC是锐角三角形， :o4+)=手co4-8=26 5 cos2A=cos[(A+B)+(A-B)]=cos(A+B)cos(A-B)-sin(A+B)sin(A-B) -8N6+3=2c0sS2A-1 25 ,c0s2A=11-46_11-224 sin2A-14+224cosA-22-5 25 25 25 sin 4=23+ 5, sin B-sin(4+C)=sin AcosC+cos sin C 5, xCinA ABx ABsinBxsinsin Asin B 2 sinC 2sin C 9x25+2x2W2+V5 5 5=6+36 6 2 5 解法三：（消元，求sinA.) 3 :s血(1+B)=方，△ABC是锐角三角形， sinc=3 ,cosC=4 3 sin Acos B+cos Asin B= 4+-号s4--】 19 sin Acos B-cos Asin B= 5 n-号 cos Asin B=5 _1,1=cos2 B+sin2 B= (2 1 5sin A sin2A=14±2V24 25 cos2A=11年2V24, sin4= W5±V2· sin 4-28sin2 4+4=0 25 5 5时，cosA=22-V5 @当sinA=2v5+v2 cosB=213-V2 5, 5, sin B=22+3 5: ②当sin4=23-v5 5时，0sA=22+5 c0sB=25+2 5 5, sin B=2+ 5, cos(A+B)-cos Acos B-sin Asin B=4 >0.A+B< 2,不合 题意， 26×4CsnA-B×4Bsn8×5n4=4Bsn4sn8 2 sinC 2sin C 9x25+2x22+v5 5 5=6+3V6 6 2 3 6△4BC中， sinCeos 4 2 0-cosC9S02eosM5.8C=4.则△H8C 积为 【答案】6 【要点】多种解法： 解法一：两边同乘cosA,得c+b=2a. 解法二：利用数据特征，化成同名三角函数. 解法三：求cosC,sinC,cosB,b,c 解法一：（两边同乘cosA,得C+b=2a,) sin Ccos4-(2-cosC)sin 4 2sin Ccos*4=2(2-cosC)sin 4cos 2,得 2 ..sin C(1+cos 4)=(2-cos C)sin 4,sin C+sin Ccos A=2sin A-cos CsinA, .sin C+sin Ccos A+cos Csin A=2sin 4.sin C+sin(C+A)=2sin 4 .sin C+sin B=2sin A,c+b=2a=8. os4-3 又 ,a=4, ecsbe(ee64e 5 S=Ibcsin A=x3x5x4-6 :.bc=15,△ABC的面积2 2 5 解法二：（利用数据特征，化成同名三角函数.） cos4=1-2sin24=3 4 25, sin Ccos=(2-cosC)sin A 由 2 sin(C+)=2sin425 -=C0s 4-sin( 得 25 2 22 :C ∈(0)r、A。 2 20C44”4cr分D 2,222或2 C=T -AC=B=C=π 2“或2， 2或2， :.△ABC的面积2 2 5 解法三：（求cosC,sinC,cosB,b,c.) cos 4=1-2sin24=3 4 .A25 25. cos- 25.2 2,. 25， sin C cos4=(2-cosC)sin sin(C+)=2sin25 2 2,得 25, c+@),c+为-5 ,o. 2 5或 5 当os(C+=5 ①当 5时， osC=oC+分-1=oC+cos+snC+s A 2 2 =5x252w554 -+ 5 5 555, 3 sin Ccos(+C)--cos cosC+sin Asin C 80.8=号. .c0s 4=3 b=a=5 5,a=4,:sinA ,c=3,△ABC的面积S=)c=6 oC+-5 ②当 5时， eosC=cosIC+-分-身1--coxC+分ecas+snC+2sin A 2 -5x25255 =0 5x5+5x5 C=T C∈(0，)，2， a-=5 1 cosA= C=- S=二ab=6 5,a=4,:c-sinA3,b=3,:△ABC的面积S=2 综上所述，△ABC的面积为6. 7.如图，点P是边长为2的等边△ABC内部（不包括边）任意一点，△PBC绕点B逆时 #版新5有到084，老P4-号万mc-2红 3,则△APO的面积为 C 135 【答案】48 【要点】解三角形（余弦定理、面积）十平面几何 【详解】：BP=B0,∠PBQ=60°，△BPO为等边三角形. :∠B0A=∠BPC=2n ,∠AOP= 3, 3 设PQ=PB=mPC=QA=n m2+n2-2mn cos △PBC中，由余弦定理得， 2=4 3 ,.m2+n2+mn=4, △MPO中，由余弦定理得， m'+m2-2 mncos及=12 12 37, .m2+n2-mn= 7 ,i△APp的f积S=mnsn∠A0p-13vg 13 .mn= 28·