几何图形中的解三角形问题、解三角形的实际应用问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

几何图形中的解三角形问题、解三角形的实际应用问题专项训练 几何图形中的解三角形问题、解三角形的实际应用问题专项训练 考点目录 几何图形中的解三角形问题 解三角形的实际应用问题 考点一 几何图形中的解三角形问题 例1．（2026·天津河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求a的值； (2)求的值； (3)过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值． 例2．（25-26高一下·江苏苏州·月考）如图，线段都垂直于线段，， (1)求线段的长度； (2)点为线段上一个动点且点与点、点不重合，当长为多少时，最大？ 例3．（2026·四川成都·二模）如图，正方形的边长为1，P，Q分别为边，上的点． (1)若，，求； (2)当的周长为2时，求的大小． 例4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 变式1．（2025·上海黄浦·一模）在中，，，．    (1)求的长和的正弦值； (2)若点D在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于． 变式2．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，内一点满足． (1)若，求的值； (2)若，求的长． 变式3．（25-26高三上·河北·月考）如图，在平面四边形ABCD中，. (1)证明：. (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值. (3)若，点在四边形ABCD所在平面内，求的最小值. 变式4．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知的面积为． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)记的面积为，若，求的值． 考点二 解三角形的实际应用问题 例1．（24-25高一下·四川成都·月考）成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． (1)若米，求的长； (2)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 例2．（24-25高一下·河北唐山·月考）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 例3．（24-25高一下·山西太原·月考）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且． (1)求此山的高OP的值； (2)求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 例4．（24-25高一下·云南红河·月考）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为．    (1)求的面积； (2)求塔高． 变式1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 变式2．（24-25高一下·辽宁大连·月考）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. (1)求，两点间的距离； (2)设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 变式3．（24-25高一下·贵州黔东南·月考）如图，某景区有景点，经测量得，，.    (1)求景点之间的距离； (2)现计划从景点处起始建造一条栈道，并在处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点的视角.为了节约修建成本，求栈道长度的最小值. 变式4．（24-25高一下·福建厦门·月考）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $几何图形中的解三角形问题、解三角形的实际应用问题专项训练 几何图形中的解三角形问题、解三角形的实际应用问题专项训练 考点目录 几何图形中的解三角形问题 解三角形的实际应用问题 考点一 几何图形中的解三角形问题 例1．（2026·天津河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求a的值； (2)求的值； (3)过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理，得， 解得． （2）由正弦定理，得，即， 因为B为锐角，所以， 则，， 所以． （3）因为，即，所以， 则． 设点A到直线的距离为d， 因为，，所以． 例2．（25-26高一下·江苏苏州·月考）如图，线段都垂直于线段，， (1)求线段的长度； (2)点为线段上一个动点且点与点、点不重合，当长为多少时，最大？ 【答案】(1)6 (2) 【详解】（1）如图，作，设，则. 因，则，又， 则，.又，则. 又，则. 由正弦定理：， 得： ，则； （2）设，其中 . 则，， ，令， 则， ，当且仅当时取等号. 则此时最小，从而最大. 例3．（2026·四川成都·二模）如图，正方形的边长为1，P，Q分别为边，上的点． (1)若，，求； (2)当的周长为2时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，则， 所以； （2） 设，，，，则，． 由的周长为2可得，即， 两边同时平方可得，化简得． 所以 ． 又因为，所以． 所以． 例4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）证明：设， 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 所以. （2）因为的外接圆半径为1， 由正弦定理，得， 在中，由余弦定理得， 即，① 在中，同理可得，② 由①②可知，是关于的方程的两根， 所以． 的面积为. 由，得到， 又因为，所以， 所以 即面积的最大值为. 变式1．（2025·上海黄浦·一模）在中，，，．    (1)求的长和的正弦值； (2)若点D在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于． 【答案】(1)， (2)；存在 【详解】（1）， 由余弦定理得， ， 由正弦定理得， ． （2）在中，，， 由正弦定理得， ， ， ， ， ， 即； 求导得， 假设存在，使得在处的瞬时变化率等于， 则，即①， ，， 式①化简整理得， 在内有解， 存在这样的（）使得在处的瞬时变化率等于． 变式2．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，内一点满足． (1)若，求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以为等腰三角形， 则，， 在中，， 所以 （2）设，在中，， 所以， 由余弦定理可知， 因为，所以，所以， 所以为锐角，所以为锐角， 又，则， 所以 ， 在中，由余弦定理得, 所以，即， 解得， 因为，所以在以为直径的圆上，所以小于边上的高， 故，所以（舍去）， 在中， ， 所以. 变式3．（25-26高三上·河北·月考）如图，在平面四边形ABCD中，. (1)证明：. (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值. (3)若，点在四边形ABCD所在平面内，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）证明：如图1，连接BD. 在中，由余弦定理可得. 在中，由余弦定理可得， 则. 因为， 所以. 因为，所以. （2）如图1，因为，所以四边形ABCD的面积， 则①， 由（1）可知，则②， 联立①②，解得，则， 当且仅当时，等号成立，四边形ABCD的面积取得最大值. （3）如图2，将绕点逆时针旋转，使得P，D分别与重合，连接. 易知. 因为，所以， 所以， 则. 由图可知， 当且仅当四点共线时，等号成立， 故的最小值是. 变式4．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知的面积为． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)记的面积为，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）在中，由余弦定理可知：， 所以， 因为，所以， 化简得：，即， 因为，所以 （2）因为，， 由正弦定理可得：，解得：， 因为，，所以， 则， 又因为为锐角三角形，所以，则， 则，，故， 又，所以， 即的面积的取值范围为 （3）设，则，，， 在中，由正弦定理可得：，① 在中，由正弦定理可得：，②， 由于，， 所以①②化简可得：， 即， 即， 即，即，因为 所以或，解得：，或， 设，则， 在中，， 在中，， 所以， 由正弦定理可得： 当时，，，所以 当时，，，所以 考点二 解三角形的实际应用问题 例1．（24-25高一下·四川成都·月考）成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． (1)若米，求的长； (2)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， 所以米； （2）因为，所以，记， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 其中， 所以当时，的最大值为米. 即游客所走路程的最大值为米. 例2．（24-25高一下·河北唐山·月考）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 例3．（24-25高一下·山西太原·月考）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且． (1)求此山的高OP的值； (2)求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，在中，因为，所以， 同理，在中，， 在中，由余弦定理得， 所以，得， 所以此山的高为． （2）由（1）得， 设是线段AB上一动点，连结OC，PC， 则在点处观测点的仰角为， 当时，OC最短， 由得， 所以， 所以该车从到行驶过程中观测点仰角正切值的最大值为． 例4．（24-25高一下·云南红河·月考）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为．    (1)求的面积； (2)求塔高． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，， 所以， ， 由正弦定理得：, 所以， 所以. （2）在点C测得塔顶A的仰角为，所以， 所以在直角三角形中，， 故塔高为. 变式1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】(1) (2)2小时 【详解】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 变式2．（24-25高一下·辽宁大连·月考）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. (1)求，两点间的距离； (2)设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 【答案】(1)； (2)①；②万元，. 【详解】（1）在中，由，得，解得， 则， 由正弦定理，得， 所以，两点间的距离. （2）①在中，由正弦定理得， 解得，， 所以. ②令，则，则， 其中锐角由确定，于是， 则有，而，解得，当且仅当时取等号， 即当时，有最小值， 所以总费用的最小值为万元，此时的长度为. 变式3．（24-25高一下·贵州黔东南·月考）如图，某景区有景点，经测量得，，.    (1)求景点之间的距离； (2)现计划从景点处起始建造一条栈道，并在处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点的视角.为了节约修建成本，求栈道长度的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中由正弦定理可得，即， 解得， ，，为正三角形， ，即景点之间的距离为. （2）设的外心为，连接交于点，设外接圆的半径为， 则，解得， ,， 的最小值为， ，， ， ， ， ，即， 的最小值为，即栈道长度的最小值为.    变式4．（24-25高一下·福建厦门·月考）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【答案】(1)70海里 (2)2小时 【详解】（1）根据题意可得． 因为海里，海里， 所以根据余弦定理可得海里． （2）由余弦定理可得，则， 所以． 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里． 在中，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． 2 学科网（北京）股份有限公司 $