精品解析：河南省信阳高级中学（北湖校区）2025-2026学年高一下学期6月阶段检测（二）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期06月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，，则 4. 已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形，如图所示，那么在这个平面图形中（ ）． A. 3 B. 2 C. D. 1 5. 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（ ） A. 108 B. 112 C. 120 D. 124 6. 设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角泰”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为6cm的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的半径最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为1 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 11. 已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，若，则（ ） A. 若，则为等腰直角三角形 B. 的取值范围为 C. 若，则 D. 若的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 13. 某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，. （1）若，且，求的坐标； （2）当为何值时，与垂直； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 在中，已知，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长． 17. 如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 18. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占． （1）求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； （2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率； （3）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数． 参考公式：，（是第组的频率）， 参考数据： 19. 如图（1），已知平面五边形中，是边长为的正三角形，，，将和分别沿AC，AD向上翻折至，使得在面ACD的同侧，且二面角的平面角和二面角的平面角的大小都为． （1）如图（2），当时，求证：平面ACD； （2）设该五面体外接球的球心为，半径为． （i）当时，求到平面的距离； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期06月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用除法法则整理即可得到复数的坐标形式，进而求即可. 【详解】由，则， 故，即， 因此在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 2. 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可知平面向量不共线，且， 则. 3. 设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判断定理可判断A的正误，根据线面平行的定义可判断B的正误，根据面面平行的性质可判断C的正误，根据面面平行的判定定理可判断D的正误. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或异面，故B错误； 对于C，若，，，则或异面，故B错误； 对于D，由面面平行的判定定理可证D成立， 故选：D. 4. 已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形，如图所示，那么在这个平面图形中（ ）． A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】如图，根据直观图还原平面图形OABC，，，且. 所以． 5. 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（ ） A. 108 B. 112 C. 120 D. 124 【答案】B 【解析】 【分析】根据上下底面边长和侧棱，可求出正四棱台的高，再由体积公式计算可得结果. 【详解】取正四棱台过侧棱的轴截面，上、下底面中心分别为，如下图所示： 依题意可得， 因此可得， 所以其体积为. 故选：B 6. 设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项：，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 7. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角泰”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为6cm的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的半径最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正六面体是一个中心对称图形，其内切球的球心就在正六面体的中心，可利用等体积法来求出内切球的半径，即可判断选项. 【详解】由于这六个等边三角形围成的六面体就是正六面体， 所以可知内切球的球心一定是正六面体的中心，且球心到六个面的距离相等，这个距离就是内切球的半径. 由于正六面体是由两个正四面体组成，根据棱长为，如图可知： 根据勾股定理， 所以正四面体的体积为， 即正六面体的体积为， 现在设内切球半径为，根据等体积法可知： ， 故选：C. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先确定截面与正方体棱的交点，确定所截几何体形状，求出，体积， 最后求最小值． 【详解】 平面截正方体，设与交于，如左图； 平面截正方体，设与交于，如右图． 根据对称性，，． 设，则，． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． ， 当，取最小值为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为1 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据虚数单位的性质运算求解；对于B：根据共轭复数的定义结合复数的模分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：设，，则， 所以，故B正确； 对于选项C：例如，，则，满足， 但，两者不能比较大小，故C错误； 对于选项D：设复数在复平面内对应的点分别为， 若，可知点的轨迹是以坐标原点为圆心，半径为1的圆， 则，所以的最小值为1，故D正确. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合异面直线的定义、线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可确定ABC的正误，利用展开法和点到点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A，取的中点，连接， 因为为中点，所以， 因为 ，所以， 所以过，，三点的平面截正方体所得的截面为梯形， 又， 所以梯形的高为， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 因为，所以当为的中点时，， 此时直线与所成角最大为， 当与点或重合时，直线与所成角最小， 因为，所以直线与所成角最小为， 所以异面直线与所成角的取值范围是，故B错误； 对于C， 因为，又平面，平面， 所以平面，所以上的点到平面的距离均相等， 所以到平面的距离为定值，又的面积固定， 所以当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，C正确； 对于D，将等腰直角三角形展开与矩形在同一个平面内， ， 当共线时取等号，故D正确. 11. 已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，若，则（ ） A. 若，则为等腰直角三角形 B. 的取值范围为 C. 若，则 D. 若的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，根据三角形面积公式可得.利用基本不等式计算可得且，即可判断A；利用基本不等式计算可得，根据即可判断B；由题意可得，解之即可判断C；根据余弦定理和辅助角公式可得，结合即可判断D. 【详解】由，得， 整理得. A：当时，， 即，（当且仅当时取等号）， 由，得，又，所以， 得，且，所以为等腰直角三角形，故A正确； B：，（当且仅当时取等号）， 由，得，得， 即，所以的取值范围为，故B正确； C：当时，，得， 即，整理得， 解得，故C错误； D：由余弦定理得， 由，得， 所以， 即，（其中）， 而，所以的最大值为.故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 【答案】 【解析】 【详解】， 由得，解得， ； ，， 向量在上的投影向量为. 13. 某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 【答案】## 【解析】 【详解】数据升序排列为：6，9，，，，，，， 上四分位数的位置为， 位置为整数，取第项的平均值． 14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，. （1）若，且，求的坐标； （2）当为何值时，与垂直； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）设，由向量平行和向量的模列出方程组可解得，得向量的坐标； （2）由可求得； （3）由求出的范围，去除两向量共线的情形即得． 【详解】（1）设，， 因为，所以，因为，所以， 解得：或，所以或. （2），， 因为与垂直，所以，解得：. （3），， 因为与的夹角为锐角，所以解得：且， 即. 【点睛】本题考查向量的模、向量共线与垂直，考查向量的夹角，掌握向量的坐标运算是解题关键．解题中要注意向量夹角为锐角，则，但反过来时，不能得出向量夹角为锐角，要去除两向量同向的情形．同样由要去除两向量反向的情形，才能得两得夹角为钝角． 16. 在中，已知，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1）证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； （2） 【解析】 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 17. 如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 18. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占． （1）求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； （2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率； （3）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数． 参考公式：，（是第组的频率）， 参考数据： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，求得抽到的高三学生的人数，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （3）根据题意，利用方差的计算公式，求得，结合，求得相应的概率，即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ， 所以抽取的200名学生的平均成绩． 【小问2详解】 由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人， 这7个人中，不是高三学生设为，其中3个高三学生设为， 从7人中抽取2人，共有：，，共有21种抽法， 其中这2人都是高三学生为：，共有3种抽法， 由古典概型得，这2人都是高三学生的概率为． 【小问3详解】 依题意，由方差的计算公式，可得： ， 所以优秀的比赛成绩应该， 而比赛成绩在的频率为， 因为，故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为105人． 19. 如图（1），已知平面五边形中，是边长为的正三角形，，，将和分别沿AC，AD向上翻折至，使得在面ACD的同侧，且二面角的平面角和二面角的平面角的大小都为． （1）如图（2），当时，求证：平面ACD； （2）设该五面体外接球的球心为，半径为． （i）当时，求到平面的距离； （ii）求的最小值． 【答案】（1） 翻折前：过B，E分别作AC，AD的垂线，垂足分别为F，G，分别延长BF，EG交CD于点H，M 翻折后：如图所示，则二面角的平面角和二面角的平面角分别为和 因为，则平面平面ACD， 因此， 因为是边长为的正三角形，， 所以都是直角三角形， 由面积相等，得， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面ACD， 因此平面； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）翻折前：过B，E分别作AC，AD的垂线，垂足分别为F，G，分别延长BF，EG交CD于点H，M，可得二面角的平面角和二面角的平面角分别为和，由可得，根据几何关系证明为平行四边形，结合线面平行的判定定理即可证明结论； （2）（i）取AC的中点，连接为的外心，过作交于点，设为该五面体的外接球球心，由对称性知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球且面，结合长度关系即可求解； （ii）由题可得面且，得到，利用化简，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取AC的中点，连接为的外心， 过作交于点， 因为为正三角形， 所以， 故二面角的平面角为， 设为该五面体的外接球球心，由对称性知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球则面， 则到平面的距离为， 由题可知， ， 所以， 因此到平面的距离为； （ii）二面角的平面角为， 面， ， 因此， 所以， 则， 故， ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $