河南新乡市2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一数学详解答案及细目表 1.【答案】A 【详解】因为复数z对应的点的坐标为(1，-2)，所以z1-2i,则z-三=1+2i-1≌-3+3i 2.【答案】D 【详解】对于A.若a/1B,m11a,则mcB或m/1B,故A错误； 对于B.若mcB,又m⊥a,根据面面垂直的判定，即有a⊥B, 若￠B,由于m∥n,n/IB,则m/IB,过m任作一个面，使其和B相交于直线c,根据线面平行 的性质定理，m/lc,又mLa则c⊥，结合ccB,即a⊥B,故B错误. 对于C.若a⊥B,m⊥，则m/IB或mCB,故C错误； 对于D.若m⊥，则m垂直于平面a内所有直线； 又n/1a,由线面平行性质定理可知：存在直线mca, 使得m'/n,又⊥m,所以⊥n;故D正确 3.【答案】C 【详解】由a,方为非零向量且a/仍知，存在实数，使ā=b,则+26=+26=+26， +26=26+26=(+2)6,当1<0时，+26=+26，故必要性不成立， 由+26=+26，则22=(+2)，所以ā.6=5，所以a,6同向共线，充分性成立， 所以“ab”是“a+b=d+的充分不必要条件 4.【答案】A 【详解】设圆锥与半球的底面半径为R,圆锥的高为h,母线长为1， 轴截面的顶角为0则由V推V半可得R-,即R 所以圆锥轴截面顶角的正弦值是1. 5.【答案】D 【详解】+26+2=2+462+2+4.6+2a.c+46·c 当两两夹角为0°时，cos0°=1，可得：+26+=6 当两两夹角为120时，cs120-可得： a+6+2=3,所以a+6+d=√3，故+6+=6或+6+=√3. 6.【答案】B 【详解】由c-acos B=b-√3 asin B及正弦定理，得sinC-sin Acos B=sinB-√3 sin Asin B, 高一数学答案，第1页共7页 因为A+B+C=π，所以C=π-(A+B), 则有sin元-(A+B)]-sinAcos B=sinB-V3 sin Asin B,即sin(A+B)-sin Acos B=simB-√3 sin AsinB, 所以sin AcosB+cosA$imB-sinAcos B=sinB-√5 sin AsinB,整理得sin B(cosA+V3sinA-l)=0, 又sinB>0,所以1-cosA=√5sinA,则(1-cosA)=3sin2A=31-cos2A),即2cos2A-cosA-1=0, 由0<4<，得-1<cos4<1,解得cosA=号又4e@,,所以4- 由正弦定理，。B方因此：c有nCb方imB, 又C-B,B∈(O,) 代入得：b+csnB+sim（售-B月-（GnB+9cosB)-sn(B+) 因为B∈(O,),所以B+∈(（G,),则sn(B+)∈（停，1，b+c∈(2，] 7.【答案】D 【详解】设水面半径为R,由梯形中位线得R=75m则V-mm ≈0.4mm.结合 又接雨面积为桶的开口面积Sx100=1000mmm,根据降雨量定义，正=70.4纱 24h降雨量的等级划分可得，当日降雨量的等级是小雨. 8.【答案】B 【1=这-a--2+)x-24+ )是关于x的三次函数，则当x取白二_白二时f()取最小值，此时三4 -2×5 5 9.【答案】AC 【详解】由题意知，a 是与ā同向的单位向量， b 是与同向的单位向量， 这两个向量互为相反向量，所以ā，b方向相反. a+万-0成立的条件有a+5-0,36.故选：AC 因此，使得a 10.【答案】ACD 【详解】因为这组数据的平均数是4，所以=4，所以该组数据的极差为8-1=7，故A正确； 因为一共有6个数据，6×80%=4.8，所以第80百分位数为第五个数4，故B错误； 高一数学答案，第2页共7页 因为1,3,4,4,4,8的平均数为4，所以剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数不变，故C 正确： 因为数据1,34,44,8的方差为5，而剔除该组数据中的4后，数据1,3,8的方差为9，即方差变 大，故D正确 11.【答案】AD 【详解】在正四面体A-BCD中，设棱长为a,高为h,O为正四面体A-BCD内切球的球心， 延长AO交底面BCD于E,E是等边三角形BCD的中心，BE延长线交CD于F, 连接AF,则点F是CD的中点，OE为正四面体A-BCD内切球的半径， AF-BF=3 6a h=AR-JAR-B16 a, 由OE=√BO2-BE2=V(AE-OE)2-BE2, Γ121 则h=5xV6-2,最大球半径r1=h= 因此最大球的表面积为S:=4π×(（)°-x: 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高hh-2红1=2-1=1， 因此最小球半径r,九=×1=子因此最小球的表面积为S,=4玩×(（)-子 所以5个球的表面积之和为S=S1+4S2=π+=2π 12.【答案】13 【详解】设z=a+bi(a,b∈R),复数z在复平面内对应的点记作P,故P(a,b): |z-5表示复平面内，点P(a,b)到A(5,0)的距离： z+12i表示复平面内，点P(a,b)到点B(0,-12)的距离； 故z-5+z+12i1表示复平面内，点P(a,b)到A,B两点的距离之和， 显然当点P在线段AB上时，其取得最小值，最小值为AB=√(5-0)P+(0+12)-13 13.【答案】60°或120 【详解】由a4+b4+c4=2c2(a2+b2)a2b2→(a2+b2-c2)-a2b2, 即a2+b-c2=b,所以co0sC=w2=±5C-60或120° 2ab 14.【答案】36元 高一数学答案，第3页共7页 【详解】根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心， 即正六边形ABCFED的中心，故半径为AB=3, 所以该半正多面体外接球的表面积为V=πR3=π×33=36m 15.【详解】(1)因为z=(1+i)m2-(1+3i)m+2i=(（m2-m)+(m2-3m+2)i..1分 由z是纯虚数得m-m=0 (m2-3m+2≠0 解得m=0.4分 所以当Z是纯虚数时，m=05分 注：直接观察出m=0,给2分. (2)当=-1时，Z=2+6i,6分 因为z是关于x的方程x2+x+q=0的一个根，所以z2+pz+q=0, 即(2+6i12+p(2+6i)+q=0,整理得(-32+2p+q)+(6p+24)=0,…10分 所0122690，解 gf4013分 16.【详解】(1)(1)由频率分布直方图得所有矩形面积和为1， 即10×(0.010+m+0.04+0.015+0.005)=1,解得l=0.03..4分 (2)5个年龄组成绩的平均数为驱1=号×(13+16+17+14+10)=14,6分 方差2=号×[-02+2+3+0+(0]=6. 9分 5个职业组成绩的平均数为驱2=2（13+18+14+15+10)=14,10分 为s2=。×[+4+02++(-468. 所以从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定.15分 17.【详解】(1)因为底面ABCD为菱形，所以BC/1AD 又ADC平面PAD,BCT平面PAD,所以BC/平面PAD,.3分 又平面PBCn平面PAD=m,BCC平面PBC,所以BCm.5分 (2)当O为线段BC中点时，使得AD⊥P0, 6分 证明如下：连接AC,因为底面ABCD为菱形，∠ABC, 所以，△ABC为等边三角形，又Q为线段BC中点，故AQ⊥BC,又BC//AD,所以AQ⊥AD, 因为PA⊥平面ABCD,所以PA LAD,10分 又AQC平面PAQ,PAC平面PAQ,AQ∩PA=A,所以ADL平面PAQ 因为PQC平面PAQ,所以AD⊥PQ.所以当Q为线段BC中点时，AD1PQ.15分 高一数学答案，第4页共7页 18.【详解】(1)因为(2b-c)cosA=acosC,所以2 sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC,.1分 2sinBcos4=sinAcosC+sinCcos4=sin(4+C)=sinB, 又因为im80,所以c0M23分 又因为Ae0,网，所以A=写4分 (2)SAABC-bc sin A-23,sin=3 ,得bc=8又b=4,所以c2,5分 又SBc=SAAE+SAACE,因为内角A的角平分线交边BC于E,所以∠BAE=∠CAE-石， 所以2N3AEb+片AE。AE,解得AE 3 9分 (3)在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cosA,得b2+c2-bc=36, 由边BC上的中线AD=4,又因为AB+AC=2AD, 两边平方得AB+AC+2AB.AC=4AD, 则b2+c2+2bcc0s写=64，即b2+c2+bc-64, 解得b2+c2=50, …12分 令边AB,AC的中点分别为M,N,由点O为△ABC的外接圆圆心， 得oM14B,ON14C,40AB=(+Mo)aB=4AB=}4B°-c, 21 0G-(ANN)- 所以Ao.AD-AC.(AB+AC)号AoAB+Ao.AC-(c2+b)）515分 19.【详解】(1)根据圆柱对称性可知，该截面图形为正方形，正方形边长a=2×OD=4, 截面周长为16；2分 (2)(i)作图，连接OB,OS,CR,过S作SS⊥y于点S', D SR/Iy,所以SR为圆柱的母线的一部分，SR/1BC, S R 过R作RR⊥OB于点R,连接SR',CR',.SR'I/SR, ∴.S'R'⊥平面ODSC,又OCC平面ODSC, SR'10C,5分 B :B=2,A0L平面ODSC，·几何图形ODsC为圆面的一部分， ..OS=OD=2,..OS'=2 cos a,SS'=RR'=2 sin a,S'C=2-2 cosa, .SR=2c0S0,7分 高一数学答案，第5页共7页 .'CR'=VS'R2 S'C2=V8cos2 a-8cosa+4,, .CR-/CR+RRZ-/4cos2@-8cosa+8-, 解得cosu=或c0su-子（舍），故c0su=子9分 (i)作图，过S作SS⊥y于点S,过R作RR'⊥y于点R', 过R作RG11AB,交弧AD于点G,过G作GG⊥y于点G, 作OQ⊥CB于点2，连接SR'并延长交AB于点K,交O0于点M, 连接RB,RO,RA,OG,连接AR'并延长交CB于点H, 因为OS1IAR,SR/1OA,所以SR=OA=S'R'=2. 设S"M=t,故MR'=2-t,OM=2-t,R'K=t,OG'=2-t, 所以GG=√4-(2-t)2=√4t-t2,12分 ..SS"RR'=GG=41-1, ,OS/1AR且OS丈平面ABR,.OS/1平面ABR, .dg-AR=d0-ABR,142分 又：SK⊥AB,RR'⊥AB,SK,RR'C平面RR'K, :AB⊥平面RR'K,RKC平面RR'K,.AB⊥RK, 在三棱锥R-OAB中，RK=√R'K+RR2=VFP+4t-t2=2√E, Ss54BK-}*2x2i=2, o=0,×3X2x24-天2Wx。,7分 Γ3 d=v41-i4 2 字oM=2-1号sw1分故m<05x-0微-3. SM 所以tanB=tan(π-∠OS'K)=-tan∠OS"K=-3 G D B 高一数学答案，第6页共7页 细目表 题号 题型 分值 考查知识点 难度 1 单选 5 复数的概念及运算 易 2 单选 5 立体几何空间位置关系判断 易 3 单选 5 平面向量的概念，平面向量的数量积 易 4 单选 5 圆锥与球的体积公式 中 5 单选 5 平面向量的模，夹角，数量积运算 中 6 单选 5 正、余弦定理的应用 中 7 单选 5 圆台的体积公式 难 8 单选 5 方差的概念 难 多选 6 相反向量 易 10 多选 6 样本的百分位数，平均数，方差 中 11 多选 6 正四面体内切球问题 难 12 填空 5 复数的几何意义 易 13 填空 5 余弦定理 中 14 填空 5 外接球问题 难 15 解答 13 纯虚数，复数相等条件 易 16 解答 15 频率分布直方图，平均数，方差的计算 中 17 解答 15 立体几何平行、垂直的证明 中 18 解答 17 解三角形，角平分线，数量积的运算 难 19 解答 17 “牟合方盖” 难 高一数学答案，第7页共7页高一数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1，-2)，则2-=（) A.3+3i B.1+3i C.-1+i D.3-3i 2.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列说法正确的是() A.若a∥B,m∥a,则m∥B B.若m⊥a,ml∥n,n/Ip,则a/1p C.若a⊥阝，m⊥a,则m/p D.若m⊥a,n∥a,则m⊥n 3.若ā，为非零向量，则“a+2=d+2”是“ā6”的（) A.必要不充分条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.充要条件 4.如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积的一半，那么这个圆锥轴截 面顶角的正弦值是() A.1 B. D.月 5.若平面向量ā，6，，两两夹角相等，且d=1,6=1,=3,则d+26+=（) A.3 B.6 C.3或6 D.6或5 6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,且c-acosB=b-√3 asin B,b+c的取值 范围是() A.(2,4] B 29】 C.(2,V6+21 D.(2,2+V5 7.降雨量是在一定时间内降落在水平地面上某一单位面积上的水层深度（未经蒸发、渗漏、流失)，以 mm计算24h降雨量的等级划分如下： 降雨量 0.1~9.9 10~24.9 25~49.9 50~99.9 100-249.9 2250 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨 某数学小组为了测量当地某日的降雨量，用一个开口半径为100mm,底面半径为50mm,高为50mm 的圆台型铁桶（如图所示）收集雨水，若在一次降水过程中用此桶水平放置接了24h的雨水后，桶 内水深为25mm,则当日降雨量的等级是（) 高一数学试题第1页共4页 A.暴雨 B.大雨 C.中雨 D.小雨 8.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得5个数据a,=3.4,a2= 4a=5a=5西=56，用x表示这个物体的长度，当函数-2x-a/取最小值时，=() A.3.4 B.4.6 C.5 D.5.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9设，5都是非零向量，下列四个条件中，一定能使号+高-0成立的是（） A.a=-36 B.al/b C.a+6=0 D.d⊥b 10.已知一组数据从大到小为：8，m,4,4,3,1,，这组数据的平均数是4，则（) A.该组数据的极差为7 B.该组数据的第80百分位数为3 C.剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数不变 D.剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的方差变大 11.如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球， 小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的棱长√6，则() A.正四面体高为2 B.大球的表面积为4π C.小球半径为大球半径的四分之一 D.5个球的表面积之和为2π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知z为复数，则z一5引+1z+12的最小值为 13.在△ABC中，已知a+b4+c4=2c2(a2+b2)-a2b2,则角C= 14.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学 的对称美.如图所示，将正方体沿交于一项点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三 棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知AB=3,则该半正 多面体外接球的体积为 高一数学试题第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知复数=(1+)m2-(1+3)m+2i,meR. (1)当z为纯虚数时，求m的值： (2)当m=-1时，z是关于x的方程x2+x+g=0的一个根，求实数P,9的值 16.(15分) “十五五规划”是中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划.安阳市为了解市民对 “十五五规划的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满 分为20分(10分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一 组：[15,25)，第二组：[25,35)，第三组：[35,45)，第四组：[45,55)，第五组：[55,65]，得到如图 所示的频率分布直方图：从该市学生、军人、医生、教师、个体户五种人群中抽取y人，分别记 为1~5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划知识 竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1~5组的成绩分别为13,16,17,14,10，职业组中1~5 组的成缋分别为13,18,14,15,10. ◆频率组距 0.040h ☆ 0.015 0.010 0.005 可152535455565年龄7岁 (1)求m的值： (2)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组 和5个职业组对“十五五规划”的认知程度. 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形，∠ABC-,平面PBCn平面PAD=m 0 高一数学试题第3页共4页 (1)求证：BCl/m: (2)在线段BC上是否存在点2，使得AD⊥P??说明理由. 18.(17分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2b-c)cosM=acosC. (1)求角A: (2)若△ABC的面积为2√3，内角A的角平分线交边BC于点E,b=4,求AE的长： (3)若a=6,边BC上的中线AD=4,设点O为△ABC的外接圆圆心，求AO.D的值 19.(17分) “牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法.它是由两 个相同的圆柱分别从纵横两个方向相交时两圆柱公共部分形成的几何体（如图1），点D被称为“牟 合方盖”的上顶点，点O为“牟合方盖”的中心，过点0作平面Y使得OD⊥y,OD上2. 图1 图2 (1)求平面Y截“牟合方盖”所得截面的周长； (2)B,E为平面Y与两圆柱交线的交点，A为BE的中点，过OD作平面ODSC,S,C为“牟合方 盖"表面上的点且位于平面A0D同一侧，∠DOC=,过S作SR/平面ABC,交边界BD于点R, 设∠SOC=a(0≤a≤)，∠A0C=阝. (i)当B=5时（如图2），是否存在a使得CR=?若存在，求cosa;若不存在，请说明理由： ()若OS/AR,点S到平面ABR的距离为4 求np. 2 高一数学试题第4页共4页