有关函数值域求法的十二大专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 系统整合12类函数值域求解方法，以题型为载体构建“方法-变式-应用”逻辑链，培养数学思维与问题转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |配方法等12类|每类含例题+变式|涵盖配方法、判别式法等核心技巧，明确换元法步骤、分离常数法本质|从基础二次函数到分式型、三角函数等特殊类型，形成“基本方法-特殊题型-综合应用”递进链条|

函数值域专题 重点题型目录 1.配方法(换元法+分类讨论).....................................2 2.万能设k法(△判别式法).....................................6 3.换元法........................................................................9 4.半方法................................................................13 5.单调性法.................................................................15 6.函数有界性法...........................................................19 7.数形结合图像法........................................................21 8.分式型-分离常数法.................................................27 9.分式型-转化对勾或基本不等式.............................33 10.基本不等式法..........................................................37 11.三角函数法.............................................................44 12.取整函数值域......................................................50 第1页共54页 重点题型归纳 1.配方法（换元法+分类讨论） (x)=x2-2x+3 【例题1】(2425高一上·河北石家庄·期中)已知二次函数 (要求：画 出函数图像) (1)当x∈[-2,0]时，求f(的最值： (2)当x∈[-2,3]时，求()的最值： 3)当x∈[，t+时，求f(x)的最小值g(). 【变式11】②3-24高二上·湖南长沙·月考)已知f(x)=r2-2x+2,当 x∈[t,t+t∈R)时，求f()的最大值. 【变武1-2】(2526高一上贵州黔西南期未)已知二次西数/()=-20-x+4 若a=2,求)在2，别上的最值： 2考()在区同2+）上单调递增，求实数“的取值范周. 【变式1-3】(25-26高一上安徽合肥·期中)已知函数 第2页共54页 f(x)=mx2-(m-3)x-3,g(x)=6x-2 但当m=l时，求函数f(因在22]上的最大值和最小值： 2若对任意实数”)水8（冈恒成立，求实数m的取值范围。 【例题2】②3-24高一下·浙江嘉兴·月考)函数f)=4-2- 的值域 是 【变式2-1】(25-26高二下·江苏南京·期末)已知函数y=(09x-3引9，x+6, 在x∈[2,4]上的值域是( a学awe[。后 -+x 【例题3】(23-24高一上·全国课后作业)已知函数 (A)=- 2在区间[m,川上的最 小值是3m最大值是3n,求m,n的值。 第3页共54页 【变式3-1】(23-24高一上广东佛山月考)已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2] 上的最大值为4，求实数a的值。 【变式3-2】(23-24高二下·南昌·期末)求下列函数最大值 (1)求f(x)=x+2x+1在区间[-1,2]上的最大值。 (②)求函数y=-x(x-a在X∈[-1,1上的最大值。 【变式3-3】(24-25高二下·江苏南京·期末)已知二次函数 32 fx)=a+(2a-1)x+1在区间l2]上的最大值为3，求实数a的值。 第4页共54页 【变式3-4】(2022秋浙江宁波高一校联考期中)已知函数fx=1+x+1-x ()求fx的定义域和值域； (2)设Fx=af(x+f引x-2a(a<0),求Fx的最大值ga的最小值 第5页共54页 2.万能设K法（△判别式法) 【例题1】(24-25高二上.安阳·月考)若实数x、y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是 【变式1-1】(24-25高二上·湖州.作业)若正实数m、n满足m+2n=3mn,则 m+n的最小值是（) 第6页共54页 【变式1-2】(24-25高一上四川成都·期中)设x、y为实数，若4x2+y2+xy=5,则2x+y的最 大值是() 【变式1-3】(24-25高一上杭州周练)已知实数a、b、c满足atb+c=0,a2+b+c2=1, 则a的最大值是 【变式14】24-25高二上洛阳模拟)求函数y=X+Vx2-为 的值域。 1+x+x2 【例题2】24-25高一上成都期中)求函数y1+x 的值域。 第7页共54页 【变式2-1】(24-25高一上·全国·课后作业)设正实数x、y满足 到=+号 则实数y的取值范围是 【变式2-2】(24-25高二上·南京·月考)已知实数x,y满足 x+2+3测+4=10，则灯的取值范围是() Ty_ 1 【变式2-3】(24-25高一上四川成都期中)若存在正实数y,使得y-x5c+4y 则实数x的最大值是 第8页共54页 3.换元法 适用情况：函数表达式复杂，通过换元可简化为易求值域的形式。 步骤：设复杂部分为一个新变量，代入原函数，化简后求新函数的值域，再转 换回原变量的值域。 【例1】(25-26高一上江西九江期末)己知函数f(x)=(2-1(2-3). (1)当x∈[0,2]时，求(x)的值域： 2)当xeR时，若f四+f)≥m2-3 恒成立，求实数m的取值范围。 【变式1山】(2526高一上河北承德期末)函数)=lo,x-o,9的最小值为 第9页共54页 1 【变式1-2】(24-25高二上上海浦东月考)函数y=241 的值域是 【变式1-3】(24-25高一下·上海期中)函数y=cos2x-5sinx的值域为 Vx2+4 V= 【变式1-4】(25-26高一上山东烟台月考)函数x2+5的最大值为 【变式1-5】(25-26高一上吉林长春期末)函数f()=10-10的值域是 第10页共54页 x2-x+1 【变式1-6】(2026高一全国专题练习)函数2x2-2x+3的值域是 321+3x+2+15 【变式1-7】(2026高三下北京竞赛)设x∈R,则3”+1的最小值为一· 【变式1-8】专题02函数与函数方程（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用)函数 4+1 y=2+1的最小值为一 ）2 【变式1-9】(25-26高一上天津南开·期中)函数f田= log1 x-logx+1 ，xe[几，9]： 则此函数的值域为 第11页共54页 【变式1-10】(25-26高-上新疆和田期末)若函数f=4ao8:广+408x-1在区间 ,2上恰有一个零点，则实数a的取值范围是口 【例2】(2424高一上广东佛山月考)函数y=X+- 的值域为 。 【变式2-1】（(23-24高一上四川内江阶段检测)函数'=1+x--2 的值域为 第12页共54页 变式2-2】(23-24高一下广东惠州期中)函数(x)=Vx+4- x-5的值域是 第13页共54页 4.平方法 【例1】(25-26高二下·泰州期末)已知函数y=V1-x+Vx+3的最大值为M,最小 m 值为m,则M的值为 2 答案：2 【变式1-1】((2023·全国高一专题练习)函数y=Vx+V6-x的值域为 【变式1-2】(2023全国高三专题练习)函数y=1-x+V2+x的值域为 第14页共54页 【变式1-3】(2022秋云南高二校联考期中)函数y=X+/6-x的值域为() A.RV6,23B.R6,2V6C.2,23D.|2,2V6 【变式14】(2526高一上四川达州期中)设*0引， 则函数y=√sinx+√cosx的最 大值为 第15页共54页 5.单调性法 【例1】(224r广东月考)函数()=s血x-o0o”在区间可上的最小值，最大 值分别为( ) A.0,πB.0,2πC.-2π，πD.-2π，2π 【变式1山2526商一上江西练习》函数f()--2-3x(xs0)的最大值是 A.-9 B.0 C.3 D.3 【变式13】(2024广东一模)函数f()-在区间[2上的最小值是 A In2 D.0 第16页共54页 【变式1-4】(2024上海浦东·月考)函数/()=Bx-2斗3血(2)的最小值为 【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习)求函数 f(x)=5-2x+VX-4x-12的值域 _1-x+1og1x+3) 【例2】(25-26高一上·江西·期中)函数2+x: (-1≤x≤1)的 值域是 第17页共54页 【变式2-1】(2526府-上红酒校测》函数81)-2 12 在区间2门上的最小值是 A.1B.0C.-2D. 【变式2-2】求函数y=x-V1-2x的值域。 【变式2-3】(2526高-下广东月考)若函数y=2-60的定义域为2，列，则 该函数的值域是 【变式2-4】(25-26高二上湖州期末)函数y=21的值域是 第18页共54页 【变式25】(2324高二上郑州模拟考)求函数y=25+og:T2≤X≤10)的值 域。 【例3】(25-26高=上郑州月考)函数y=+7-的值域为 【变式3-1】(2526商二上湖州月考》求函数fX=1+x+1-X的值域。 第19页共54页 【变式3-3】(25-26高一上北京期中)函数’=F-x-4 的值域是 第20页共54页 6.函数有界性法 y=ax+b c≠0) 有界性法原理：因为cx+d 在定义域上x与y是一一对应的。故两个变 量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 函数表达式中包含有界函数（如正弦、余弦、正切等）。利用有界函数的性质，结合其他 函数部分，求出整体函数的值域。直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界 性，反客为主来确定函数的值域。 1-2 y 【例1】(25-26高二上广州月考)求函数1+2的值域。 3x+4 【变式1-1】(24-25高一下河南平顶山期中)求函数5x+6值域。 1-3x 【变式1-2】25高二下·浦东新区·校作业)求函数y2x+1的值域。 第21页共54页 x2-1 y三 【变式1-3】(25高二下·黄浦区·月考)求函数x2+1的值域。 e*-1 【变式141(25-26高一上湖南衡阳期中)求函数y。+i的值域。 COSX 【变式1-5】(24-25高一上四川成都期中)求函数y=simx-3的值域。 第22页共54页 3-sinx 【变式1-6】 ’4-2cosx 7.数形结合图像法 数形结合需要画出函数的图象，根据图象确定函数的最大值与最小值 【例1】(24-24高一上广东佛山月考)函数f()=+3列--2的值域是 【变式1-1】(22-23高一上河北石家庄期末)求函数yx+3引+x-5的值域。 【变式1-2】(24-25高一上甘肃兰州期末)求函数y=V-2)+V区+8的值 域。 第23页共54页 【例2】(25-26高一上湖南衡阳期中)求函数y=V-6x+13+Vx2+4x+5 的值域。 【变式2-1】(24-25高二下·湖南长沙作业)求函数 y=2-6x+13-V2+4x+5的值域。 第24页共54页 【变式2-2】(25-26高一下·上海虹口·月考)当实数t变化时，函数 f(x)=x2+,x∈[4,4刊最大值的最小值为（ A.2 B.4C.6 D.8 【变式2-3】(25-26高一上山东烟台月考)对x∈R,用M(x)表示f(x),g() 中的较大者，记为M()=max(8(儿，若函数M()=max+3(x-以，则 M(x)的最小值为 【变式3-2】(24-25高一上河北石家庄期末)定义在R上的函数()满足 「113 fx+,且当时，f)=1-px-,当4时，=f的值 域是 第25页共54页 f(x)= 1-x+1,x<0 【变式3-3】（24-25高二上.上海模拟)已知 x2-2x,x20,若实数 20,则)-（在区阿风网+川上的益大值的收值范用是(） 【变式3-4】（多选）(2023：全国高三专题练习)已知函数fx-1-4X的定义域是 x+4 la,ba:b∈Z),值域为0,1小则满足条件的整数对a,b可以是（) A.-2,0B.-1,1 C.0,2D.-1,2 【变式3-5】(2023山东东营东营市第一中学校考二模)已知函数fx=乙 第26页共54页 ①若fx的最大值为g,则a的一个取值为 2 ②记函数fx的最大值为ga,则ga的值域为 【例】拓展)函数y-思号的值城是 x∈0 【变式4-1】（24-25高一上四川成都期中)若 L 2], 则函数 f(x)=sin 2x-23sin'x+33 2+cos2x 的值域是 第27页共54页 式4-2】(24-25高一上全国月考）函数=1+3、 x+2的值域是 ( ) A.[2-6,2+]B.[-6,6]c.2-,2+D.[-65 【变式43】(2024山东二糊两数1)-：25 x-4的值域是 「525 答案：33 第28页共54页 8.分式型-分离常数法 分离常数法是求解分式型函数值域的核心技巧，其本质是通过恒等变形将复杂的分式 结构简化为“常数项+低次分式”的组合。解题思路主要适用于分子、分母最高次项次 数相同（如一次或二次）的分式函数，具体操作时，需先在分子中配凑出分母的倍数 形式，将原函数拆解为常数与简单分式的和。分离常数后，原函数的值域问题便转化 为分析剩余简单分式的取值范围，此时可结合函数的单调性、有界性或换元法（如令 分母整体为新变量)来快速锁定值域。在应用该方法时，需特别注意分子变形的准确 性，并严格结合原函数的定义域限制（如分母不能为0或给定区间）来确定最终值 域，切忌盲目套用公式而忽略变量的实际取值范围 【例1】(2023山东东营东营市第-中学校考二模)函数y=x+ =x-3在区间[2,4]上的 值域是( A.【3,5]B.[-5,3]C.（-3U(5,+o）D.（o,-3[5+o) 【变式1】202秋河商高三校考期中)函数的值战是( （)B.B网e后*.(a2ug网 第29页共54页 y=- x2-x 【变式1-2】(2022秋上海高三校考)求函数x2-x+1的值域。 3-1 【变式1-3】2023全国高三专题练习)函数"3”-2的值域是 2x2 【变式13】2324高一上山东烟台月考)函数) x2+4的值域是 第30页共54页 【变式1-4】(2023全国高一专题练习)已知g(x)=2x+ X+1 (1)函数gx的值域；： (2)用定义证明gx在区间1，+∞上是增函数： (3)求gx函数在区间2,4上的最大值与最小值， coSx 【例2】(2023秋甘肃兰州校考)函数()=2co9x+1的值域是_ 第31页共54页 3-sinx 【变式2-1】(2023全国高一专题练习)函数y-3+sinx的值域是 1-x+x2 【例2】(2023江苏高作业)函数'1+x+产的值域是( .B.)ve3 c.(3)p. 第32页共54页 x2 1 【变式2-1】(2023江苏高一假期作业)x>0时，yx+少+x中1的值域是 x-1 【变式2-2】(2023秋陕西渭南高一统考期末)函数y=x2-6x+7,x>0的值域是 第33页共54页 4vV1-3m26(m2+1） 【变式23】(202秋高-课时炼习》已知0<m<分侧川十-调的取伯范 围为多少 第34页共54页 9.分式型转化对勾或基本不等式 【例1】(2023秋广东河源高一龙川县第一中学统考期未)求函数fx=X-2￥+1的 X-2 值域. 【交式11(2023高三课时练习)已知函数y=2,当x≠2时，值城为：当 x∈-2,1时，值域为一一一 第35页共54页 【变式12】(2023春陕西商洛高二校考阶练习)》已蜘函数×刘X1,则下列悦法 错误的是（) A.fx的定义域为RB.fx的值域是-， 22 C.fx)是奇函数D.f(x)在区间0,2)上单调递增 【变式1-3】(2022秋广东佛山高一顺德一中校考期中)已知函数fx=X, x2+1 (1)判断函数(x的奇偶性，并使用定义法说明理由 (2)判断函数f(x在-1,1上的单调性，并使用定义法说明理由 (3)求函数fx)的值域 第36页共54页 1-x+x2 [变式1-4】2021秋高一课时练习)函数i+x+?的值域是( a时nca.(Bm x2 【变式1-5123-24高一上，山东烟台月考》>0时，*+的值域是_ x-1 【变式1-6】(24-25高二上烟台月考)函数-6x+7,x>0的值域是 第37页共54页 变式1-7】202秋：高-单完测武)已知1<x<4,则函数xX十X的值 域为 第38页共54页 10.基本不等式法 【例1】(2026上海高考真题)已知a2+4b2=1,则ab的最大值为 11 【变式1-1】(2026高一全国专题练习)已知a>0,b>0,4+b=1,则。+6的最小值为 1+3 (变式1-2】(2026上海静安三模)若x,y均为正数，且x+y=4,则xy的最小值为 第39页共54页 【变式1-3】(25-26高一下贵州贵阳阶段检测)已知x,y均为正数，若y+x+y=8, 则x+4y最小值为 【变式1-4】((2026高一全国专题练习)已知实数x,y,满足x2+y+3y=3,则 x+y的最大值为一· 【使式15】(2425有-上河南新乡期未)已知0：60且后片1，则 2,4a a-1b的最小值是 第40页共54页 【例2】（2526商二下辽宁辽阳阶段检测)已知a6为实数，且。+2ah=4,则+ 的最小值为一· 【变式2-1】（2525商-下江苏镇证期未)已知g>6>0,则0+8+， a+ba-b的最小值为 十一 b2+a 【变式2-2】(25-26高二下江苏常州期末)已知a,b>0,若2a+b=1,则a+b的最 小值为 【变式2-3】(25-26高三·全国一轮复习)设x,少，z均为正实数，满足x-y+z=0,则 的最小值为一 第41页共54页 1,1 【变式2-4】(2025四川达州一模)正实数x,y满足+4少=1，则x2y的最小值是 【变式2-5】(25-26高一上·陕西榆林阶段检测)已知正实数a,b满足2a+3b=ab，,则 242 2a+3b-2的最小值是一 【变式2-6】（专题拓展：利用基本不等式求最值的四大方法（暑假预习讲义）新高一年 第42页共54页 (x+1)y+1) 级数学人教A版)已知x>0,y>0,x+2y=1,则 x灯y 的最小值为一· [生式2：7】(2526希一-上广车深圳期末已知0>6>0后1，则十6品的最 1 2 a b 大值为 y=x+ 【例3】(2022秋高一课时练习)求下列函数的值域：(1) (k>0); x2+2 y=- x2+1 (2) Vx+2 Y= 【变式3-1】(2022秋江苏常州高一期中)求函数x+3的值域。 【解析】设t=区+2≥0)，则x+3=t2+1 第43页共54页 【变式3-2】(2023河南信阳·高一信阳高中校考开学考试)若一4<x<1,求 x2-2x+2 2x-2的最小值 【变式3-3】求函数 女2是0 的最小值 1+2=12x+y- 【变式3-4】(25-26高一上江苏期中)己知x>0,y>0,且2xy,则 y的最 小值是 第44页共54页 【变式3-5】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨阶段检测)已知正实数a,b,c满足b+c=1,则 8ab2+a,16 bca+1的最小值为 【变式3-6)(2526高一上江苏南京开学考试)(1)已知实数，2满足 x2+y2+z2=2 则y+z+2的取值范围是 x+1+8 -=10 (2)已知x>2y>0,2yx-2y,求x的最大值是 第45页共54页 11.三角函数法 1 【例1】(25-26高二下上海期中)已知点P(,）在椭圆4+31上运动，则2+”的 取值范围是， 【变式1-1】(2026上海高考真题)已知a2+4b2=1,则ab的最大值为 第46页共54页 x2.y2 =1 【变式1-2】(24-25高二上辽宁期末)P点是椭圆169上任意一点，Q点是圆 (-+广=1上任意一点，求P9的取值范围一 恋武13】20-21高二上安徽毫州阶段检测)椭圆129，点”(2。 点P为椭 PA 圆上一动点，则的最大值为. 【变式14】(2526高-一下陕西西安阶段检测)复数2满足1，则-2- 的最大值 为 第47页共54页 【变式1-5】(24-25高一·下江西赣州期未)已知1为虚数单位，若复数严满足-4-2， 则- 的取值范围是 【变式161(2526高三全国一轮复习)设a=很，-2），6=（八，若产+y=16.则 ab 的最大值为一 【变式1-7】(25-26高一下江苏苏州期末)已知向量a,b满足b在a方向上的投影向量 为0，=1，-2讽=3，则月-=一 第48页共54页 【变式1-8】(25-26高一下·浙江温州期中)已知平面向量a,b,c满足 a=1=2,a+6+=3,则5-c的最大值是一 【例2】函数f(x)=2x+V4-x 的最大值是( ) A.V5B.25C.2+V3 D.4 【变式2-1】(24-25高一上河北石家庄期末)求函数y=X+2+1-(区+) 的值域。 【变式2-2】(25-26高一下·浙江温州期中)（函数y=3Vx+2一4V2-x的最小值为 第49页共54页 ( A.-8B.8C.-10D.10 【变式2-3】(24-25高一下江西赣州期未)（函数(）=1-x+5示 的最大值为 A.1 B.V2 C.5 D.2 【变式2-4】(25-26高三，全国二轮复习)）函数y=x+4+V5-x的值域是 第50页共54页 变式25】(25-26高一下浙江温州期中）（函数小 x-3的值域是 【变式2-6】(2526高三上海模拟）《函数=xW1-r+的值域是 sinx 【变式2-7】（函数f(x)=V5+4cosx(0≤r≤2π）的值域是() 第51页共54页 12.取整函数值域 【例题1】(2022秋重庆高一校联考期中)规定取整函数：x]=不超过×的最大整数， 如-2.6-33.5-3若函数rx=x+1-号，则函数y=fx的值域是（) x2+13 A.{-1,0,1B.{0,1,2C.{0,1D.{-1,0,1,2 【变式1-1】(2022秋安徽马鞍山高一安微省马鞍山市第二十二中学校考期中)定义： 【x表示不超过x的最大整数，如1.2=1，则函数fX=x∈1,4的值域为 第52页共54页 【变式1-2】(2023秋重庆沙坪坝高一重庆八中校考期末)高斯被认为是历史上最重要 的数学家之一，享有“数学王子”之称函数y=[x称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数 ×的最大整数，例如2.3=2，【-0.5=-1，当x∈-1.5,2时，函数y=xx的值域为 【变式1-3】(2022秋浙江宁波高一效实中学校考期中)x表示不超过x的最大整数， 如-11=-2：2.1=2则函数yX+4的值域为 x2+1 第53页共54页 【变式1-4】（多选）(2022秋广东江门高一江门市第二中学校考期中)高斯是德国著 名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列 为世界三大数学家，用其名字命名了“高斯函数”.设x∈R,用x表示不超过的最大 整致则y-X称为商断图数例如：-35引-4,11-1.已知x片又子2则关 于函数gx=fx的叙述中正确的有（) A.gx是偶函数B.fx是奇函数 C.gx的值域是-1,0D.gx是R上的减函数 【变式1-5】（多选）(2023春湖南株洲高一株洲二中校考开学考试)设x∈R,用x] 表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数，也叫取整函数.令fx=2x-|2x,以 下结论正确的是（) A.f引-1.1=0.8B.fx为奇函数 C.x最小正周期为} D.fx的值域为0,1 第54页共54页 函数值域专题 1. 配方法(换元法+分类讨论) 2 2. 万能设K法（△判别式法） 10 3. 换元法 15 4. 平方法 22 5. 单调性法 25 6. 函数有界性法 31 7. 数形结合图像法 33 8. 分式型-分离常数法 44 9. 分式型-转化对勾或基本不等式 56 10. 基本不等式法 65 11. 三角函数法 75 12. 取整函数值域 85 重点题型归纳 1. 配方法(换元法+分类讨论) 【例题1】（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知二次函数．（要求：画出函数图像） (1)当时，求的最值； (2)当时，求的最值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)最小值为，最大值为 (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据二次函数对称轴情况求最值； （2）根据二次函数对称轴情况求最值； （3）分情况讨论函数最值的情况. 【详解】（1）解：二次函数图象如图所示， 函数的对称轴为， 所以当时，取最小值为， 当时，取最大值为； （2）解：由（1）得当时，取最小值为， 当时，取最大值为； （3）解：由图象可知： 当，即时，在上单调递减， 故最小值； 当，即时，在单调递减，在上单调递增， 故最小值； 当时，在上单调递增，故最小值， 综上所述：. 【变式1-1】(23-24高二上·湖南长沙·月考)已知，当时，求的最大值． 【解析】对称轴为． （1）当时，． （2）当，即时，． 由对称性若即时，． 若即时，． （3）当即时，． 综上， 【变式1-2】（25-26高一上·贵州黔西南·期末）已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）根据二次函数的性质可求最值； （2）求出对称轴，结合一元二次函数性质可得. 【详解】（1）当时，，其图象开口朝上，且对称轴为， 因， 故在上的最小值为，最大值为； （2）的函数图象开口朝上，对称轴方程为， 因在上单调递增，则，得， 故实数的取值范围为. 【变式1-3】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值和最小值； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)最大值为5，最小值为； (2). 【知识点】求二次函数的值域或最值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）当时，函数，利用二次函数的图像求解； （2）由对任意实数，恒成立，整理得到对任意实数恒成立，按照和讨论求解，当时，对任意实数恒成立等价于，计算得解. 【详解】（1）当时，函数， 因为，所以当时，有最小值； 当时，有最大值5， 所以，当时，函数在上的最大值和最小值分别为5和． （2）因为对任意实数，恒成立， 即对任意实数恒成立， 所以对任意实数恒成立， 当时，，解得，不满足题意； 当时，对任意实数恒成立等价于， 即，解得 综上，实数的取值范围为. 【例题2】(23-24高一下·浙江嘉兴·月考)函数的值域是 ． 答案: 【分析】用换元法， 【解题过程】 设则， 由于在单调递减,单调递增， 故，故的值域是. 故答案为: . 【变式2-1】（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数，在上的值域是（    ） A． B． C． D． 答案:A 【分析】换元:设，． 【解题过程】函数，，设，则. 故原函数转化为,对称轴为， 故当时，函数取得最小值，当或时，函数取得最大值为， 故函数的值域是，    故选：A． 【例题3】(23-24高一上·全国·课后作业） 已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。 【解法一】对称轴中1与的位置关系。 ①若，则 解之得 ②若，则，无解 ③若，则，无解 ④若，则，无解 综上， 【解法二】由，知，则， 又∵在上当增大时也增大故 解之得 【变式3-1】（23-24高一上·广东佛山·月考）已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。 【解析】 （1）若，不符合题意。 （2）若则 由，得 （3）若时，则 由，得 综上知或 【变式3-2】(23-24高二下·南昌·期末)求下列函数最大值 (1) 求在区间[-1,2]上的最大值。 (2) 求函数在上的最大值。 【解析】(1)二次函数的对称轴方程为， 当即时，； 当即时，。 综上所述：。 (2)函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为 （1）；由图可知 （2）；由图可知 （3） 时；由图可知 ；即 【变式3-3】(24-25高二下·江苏南京·期末） 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。 【分析】分与两大类五种情形讨论， （1）设，得 此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意； （2）设，得 此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意； （3）若，得 此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。 综上，或 【变式3-4】（2022秋·浙江宁波·高一校联考期中）已知函数 (1)求的定义域和值域； (2)设，求的最大值的最小值. 【答案】(1)定义域为，值域为 (2) 【分析】（1）解使各根式有意义的不等式组得出定义域，双根式函数的值域可以利用平方法求值域； （2）换元法求复合函数的值域，换元后转化为二次函数轴动区间定最值问题，按对称轴与区间的关系分类讨论即可. 【详解】（1）由且，得. 则函数的定义域为. ，且， 得， 则函数的值域为. （2）令， 可转化为函数 易得函数的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线. ①若，即，则； ②若，即，则； ③若，即，则. 综上可得 当时，，且等号取不到； 当时，； 故当时，取最小值，. 2. 万能设K法（△判别式法） 【例题1】(24-25高二上·安阳·月考）若实数x、y满足x²+y²+xy =1,则x+y的最大值是_________ 【解析】 【变式1-1】(24-25高二上·湖州·作业）若正实数m、n 满足m+2n=3mn, 则 m+n 的最小值是（ ） 【变式1-2】(24-25高一上·四川成都·期中)设x、y为实数，若4x²+y²+xy=5, 则2x+y的最大值是（ ） 【变式1-3】(24-25高一上·杭州·周练)已知实数a、b、c满足a+b+c=0 , a2 +b2+c2=1,则a的最大值是 【变式1-4】求函数的值域。 解：两边平方整理得：（1） ∵ ∴ 解之得： 但此时的函数的定义域由，得 由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域是。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵ 代入方程（1） 解之得： 即当时， 原函数的值域是： 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 【例题2】(24-25高一上·成都·期中)求函数的值域。 解：原函数化为关于x的一元二次方程 （1）当时， 解之得： （2）当y=1时，，而 故函数的值域是 【变式2-1】(24-25高一上·全国·课后作业)设正实数x 、y满足 则实数y的取值范围是_______ 【变式2-2】(24-25高二上·南京·月考)已知实数x，y满足，则xy的取值范围是（ ） 【变式2-3】(24-25高一上·四川成都·期中)若存在正实数y,使 得 则实数x的最大值是 3. 换元法 适用情况：函数表达式复杂，通过换元可简化为易求值域的形式。 步骤：设复杂部分为一个新变量，代入原函数，化简后求新函数的值域，再转换回原变量的值域。 【例1】（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求指数型复合函数的值域、求已知指数型函数的最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）令，结合二次函数的性质求出函数的值域. （2）利用换元法及基本不等式求出的最小值，再借助恒成立条件建立不等式求解. 【详解】（1）令，由，得， ， 当时，取最小值为；当时，取最大值为3，即， 所以函数的值域为. （2）依题意，， 令，则，且，于是 ， 而，当且仅当，即时取等号，， 即当时，，由恒成立， 得，解得， 所以实数的取值范围. 【变式1-1】（25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、求对数函数在区间上的值域 【分析】根据对数的运算性质得，令，的最小值即为函数的最小值. 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高二上·上海浦东·月考）函数的值域是 ． 答案: 【分析】根据反比例函数求出指数的取值范围，再根据指数函数的单调性求出函数的值域. 【解题过程】设，则且，根据反比例函数性质， 从而，故． 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高一下·上海·期中）函数的值域为_____． 【答案】 【知识点】辅助角公式、利用函数单调性求最值或值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求含sinx(型)函数的值域和最值 【详解】使用二倍角公式 ，将原函数化为 ， 整理为关于 的二次函数， 令 ，可知 ， 因此， 易知该抛物线的对称轴为， 因此函数 在区间 上是单调递减的， 所以函数最大值在 处取得，即 ， 最小值在 处取得，即 ， 因此，该函数的值域为 ． 【变式1-4】（25-26高一上·山东烟台·月考）函数的最大值为________． 答案:　 【解析】　设 ，则， ∴，∴， 设，则 在上单调递增， ∴， ∴ (时取等号)． 即y的最大值为. 【变式1-5】（25-26高一上·吉林长春·期末）函数的值域是_____________. 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】由指数型复合函数的值域求解即可. 【详解】定义域为， 令， 当时，，值域为， 当时，，值域为， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【变式1-6】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 【变式1-7】（2026高三下·北京·竞赛）设，则的最小值为_____． 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域、基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值. 【详解】令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 【变式1-8】专题02函数与函数方程（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用）函数的最小值为_____. 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域、基本不等式求和的最小值 【分析】利用指数幂的运算法则化简，再结合基本不等式求最值. 【详解】 . 等号成立时，即， 故函数的最小值为. 故答案为： 【变式1-9】（25-26高一上·天津南开·期中）函数，，则此函数的值域为______________． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的值域 【分析】通过换元法将问题转化为求二次函数的值域. 【详解】 令，，则， ∴， 当时，取得最小值，， 当或时，取得最大值，， 所以的值域为，即的值域为. 故答案为：. 【变式1-10】（25-26高一上·新疆和田·期末）若函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【知识点】求对数函数在区间上的值域、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】令，利用对数函数单调性可得，从而转化为在上恰有一个零点，然后对a进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解. 【详解】令，因为，所以， 由题意在上恰有一个零点， 若时，，则，满足题意； 若，当，解得且，此时满足题意； 若时，，此时，由得或， 此时方程在内只有一根，满足题意； 若时，，此时，由得或， 此时方程在内只有一根，满足题意； 当，得时，此时， 此时方程的根为，满足题意； 综上可得，或. 故答案为：或 【例2】（24-24高一上·广东佛山·月考）函数的值域为______。 【解题过程】设， 则 ∵ 又，由二次函数的性质可知 当时， 当时， 故函数的值域是 【变式2-1】（（23-24高一上·四川内江·阶段检测）函数的值域为_______． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】利用换元法将问题转化为二次函数的值域求解，即可得答案. 【详解】令，，则， 则，即为， 其图象对称轴为，则该函数在上单调递减， 故， 故函数的值域为， 故答案为： 【变式2-2】（23-24高一下·广东惠州·期中）函数的值域是 ． 【解题过程】 由题且， 设，则，，且， ∴且. 故函数的值域是.故答案为：. 4. 平方法 【例1】（25-26高二下·泰州·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 ． 答案: 【解题过程】解法一：（平方法） 函数定义域， ， 设，开口向下，对称轴为， 当时，， 当或时，， 故，故， 故. 故答案为： 解法二：（三角换元） 函数定义域， 因为 故，设， 可得， 因为，故. 故. 故答案为： 【变式1-1】（（2023·全国·高一专题练习）函数的值域为 【答案】 【分析】将函数两边同时平方，然后利用二次函数的性质求值域即可. 【详解】由已知得函数的定义域为， ， ， 又 ， ，又， 故答案为：. 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求函数的定义域，由于，在结合二次函数性质和根式的性质求函数的值域． 【详解】由有意义可得，所以， 的定义域为， ， 设，则，，则. 故答案为：． 【变式1-3】（2022秋·云南·高二校联考期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数平方可得，结合二次函数的性质，可求解值域. 【详解】因为（）， 所以， 又， 所以. 故选：A 【变式1-4】（25-26高一上·四川达州·期中）设，则函数的最大值为 ． 答案: 【分析】平方后，设，得到，，根据函数单调性得到最值，得到答案. 【解题过程】设，，两边平方得． 设，两边平方得， 则， 由于，，则，， 又由于在区间上单调递增， 故当时,的最大值为， 则在区间上的最大值为． 故答案为： 5. 单调性法 【例1】（2024·广东·月考）函数在区间上的最小值，最大值分别为（    ） A． B． C． D． 答案:A 【分析】将原函数求导，根据给定区间判断函数的单调性，由单调性确定函数的最值即得. 【解题过程】由可得，， 因，故，则，即在上单调递增， 故当时，，当时，. 故选：A. 【变式1-1】(25-26高一上·江西·练习）函数的最大值是（    ） A． B．0 C． D．3 答案:C 【变式1-2】（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数，则的最小值为 . 答案:0 【分析】求出导函数，再构造函数判断的正负确定单调性，极值，从而得最小值； 【解题过程】因为函数，故， 记，， 故在上单调递增，且， 故当时，，即，故在单调递减； 当时，，即，故在单调递增，且， 故. 【变式1-3】（2024·广东·一模）函数在区间上的最小值是（         ） A． B． C． D．0 答案:A 【分析】对函数求导，判断函数单调性，结合所给区间，即得函数最小值. 【解题过程】由求导得，， 则当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故当时， 又由，可得， 故 故选：A. 【变式1-4】（2024·上海浦东·月考）函数的最小值为 ． 答案: 【解析】由函数的定义域为， 若，函数，此时在上单调递减， 此时函数的最小值为； 若，函数，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故此时的最小值为； 又由，即， 故函数的最小值为. 【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】先求得的定义域，再根据函数的单调性，即可求得函数值域. 【详解】由，且，解得，故该函数的定义域为， 又该函数在定义域内单调递减，所以当时，函数取得最小值，， 故该函数的值域是. 【例2】（25-26高一上·江西·期中）函数（）的值域是 . 答案: 【分析】先判断函数单调性，再根据函数单调性即可求得答案. 【解题过程】， 易知和为减函数，故原函数为减函数， 故 故答案为： 【变式2-1】(25-26高一上·江西·校测）函数在区间上的最小值是（    ） A． B．0 C． D． 答案:B 【分析】根据其函数的单调性. 【解题过程】由于，故在上单调递增， 故. 故选：B 【变式2-2】求函数的值域。 【解析】∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大， ∴函数在定义域上是增函数。 ∴，∴函数的值域是。 【变式2-3】（25-26高一下·广东·月考）若函数的定义域为，则该函数的值域是 . 答案: 【分析】把二次函数看作整体求出范围,再由指数函数的单调性求函数值域即可 【解题过程】因为函数,设,则 因为定义域为, 当时, .当时, 故,又因为单调递增, 即得,函数的值域是 故答案为: 【变式2-4】（25-26高二上·湖州·期末）函数的值域是 ． 答案: 【分析】换元法:先求x取值范围，再根据指数函数的单调性求出函数的值域. 【解题过程】设，则且，根据反比例函数性质， 从而，故． 故答案为：. 【变式2-5】求函数的值域。 解：设 则在[2，10]上都是增函数 故在[2，10]上是增函数 当x=2时， 当x=10时， 故所求函数的值域是： 【例3】（25-26高二上·郑州·月考）函数的值域为______ 解：原函数可化为： 设，显然在上为无上界的增函数 故，在上也为无上界的增函数 故当x=1时，有最小值，原函数有最大值 显然，故原函数的值域是 【变式3-1】（25-26高二上·湖州·月考）求函数的值域。 【解析】因为，而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数，易知在定义域内单调增。，，，， 又，故：，。 【变式3-2】(25高二下·浦东新区·校作业）求函数的值域。 【解析】此题可以看作和，的复合函数，显然函数为单调递增函数，易验证亦是单调递增函数，故函数也是单调递增函数。而此函数的定义域为。 当时，取得最小值。当时，取得最大值。 故而原函数的值域是 【变式3-3】(25-26高一上·北京·期中）函数的值域是 答案: 【分析】整理得，利用换元法，设，利用函数单调性运算求解； 【解题过程】由题意知函数的定义域为，， 设，易知其在上单调递增，故， 可知，故原函数的值域是. 故选：A． 6. 函数有界性法 有界性法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 函数表达式中包含有界函数（如正弦、余弦、正切等）。利用有界函数的性质，结合其他函数部分，求出整体函数的值域。直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 【例1】（25-26高二上·广州·月考）求函数的值域。 解：由解得， ∵，∴，∴ ∴函数的值域为。 【变式1-1】（24-25高一下·河南平顶山·期中）求函数值域。 解：由原函数式可得： 则其反函数为：，其定义域为： 故所求函数的值域为： 【变式1-2】(25高二下·浦东新区·校作业）求函数的值域。 解：∵定义域为, 由得 故或 解得 故函数的值域为 【变式1-3】(25高二下·黄浦区·月考）求函数的值域。 解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得， ∵，∴（，）， ∴，∴， ∴函数的值域为 【变式1-4】求函数的值域。 解：由原函数式可得： ∵ ∴ 解得： 故所求函数的值域为 【变式1-5】（24-25高一上·四川成都·期中）求函数的值域。 解：由原函数式可得：，可化为： , 即 ∵ ∴ ,即 解得： 故函数的值域为 【变式1-6】 【解法1】，， 解得　　即函数值域为： 7. 数形结合图像法 数形结合需要画出函数的图象，根据图象确定函数的最大值与最小值 【例1】（24-24高一上·广东佛山·月考）函数的值域是 ． 答案: 【解题过程】由， 函数图象如图所示： 由图可得，函数的值域是. 故答案为：. 【变式1-1】（22-23高一上·河北石家庄·期末）求函数的值域。 【解析】∵ ， ∴的图像如图所示， 由图像知：函数的值域是 【变式1-2】(24-25高一上·甘肃兰州·期末）求函数的值域。 【解析】原函数可化简得： 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时， 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， 故所求函数的值域是： 【例2】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）求函数的值域。 【解析】原函数可变形为： 上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，， 故所求函数的值域是 【变式2-1】（24-25高二下·湖南长沙·作业）求函数的值域。 解：将函数变形为： 上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。 即： 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有 即： （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域是： 注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。 【变式2-2】(25-26高一下·上海虹口·月考）当实数变化时，函数最大值的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 答案:D 【分析】先对内函数对应的方程的根的情况分类讨论，得出时，结果为16，对于时，求出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得. 【解题过程】若，即时，，其对称轴为，， 此时，因，故的最小值为16； 若，由可得， （Ⅰ）如图1，当时，即时，在上递减， 在上递增，在上递减，在上递增，又， ① 当时，，故，而在上单调递 减，则此时，； ② 当时，，故，而在上单调 递增，则此时，. （Ⅱ）如图2，当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则此时，而在上单调递减，则. 综上，函数最大值的最小值为8. 故选：D. 【变式2-3】(25-26高一上·山东烟台·月考）对，用表示，中的较大者，记为，若函数，则的最小值为 . 答案: 【解析】当，即，即时，， 当，，即或时，， 故， 函数图象如图所示： 由图可得，函数在，上递减，在上递增， 故. 【变式3-2】（24-25高一上·河北石家庄·期末）定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域是______________ 答案:B 【解析】由函数满足，且当时， 当时，可得； 当时，可得， 故在区间上，可得， 作函数的图象，如图所示， 故当时，，故选：B. 【变式3-3】（24-25高二上·上海·模拟）已知，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（ ） 【解析】作出函数的图象如图： 因为， 因为，故， 表示函数上的点到直线的距离， 由图可知，当时，取得最大值，最大值为； 当时，， 结合图象可知，在区间上总有， 故，此时的最大值为； 当时，由图可知，， 且. 综上，在区间上的最大值的取值范围为 【变式3-4】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是（，），值域为，则满足条件的整数对可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由是偶函数及图像可得出结论. 【详解】显然是偶函数，其图像如下图所示： 要使值域为，且，, 则，；，；，. 故选：ACD. 【变式3-5】（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知函数 ①若的最大值为，则a的一个取值为 ． ②记函数的最大值为，则的值域为 ． 【答案】 【分析】根据解析式可画出函数和的函数图象，图象以为分界，左取图象，右取图象，根据值不同，可得不同图象，以此判断出的最大值变化与不同取值之间的关系，即可得到答案. 【详解】由解析式可知是定义域为R的奇函数，且当时，，当且仅当时等号成立； ，两函数如下图所示： 由图可知，当时，的最大值为， 当时，的最大值为在区间的最大值，即为， 当时，的最大值为； ①若满足，当时，，不符题意； 当时，，解得或（舍去） 当时，，不符题意； ②综上所述，根据函数图象可知函数的最大值为. 故答案为：①；② 【例4】(拓展)函数的值域是 答案: 【分析】解法一：函数的几何意义是在直角坐标平面内定点与动点连线的斜率的取值范围的求解，利用直线与圆的位置关系可求得过的圆的切线的斜率，结合图象可确定结果. 解法二：利用三角函数辅助角公式，结合三角函数性质，即可求得答案. 【解题过程】解法一：表示点与点连线的斜率， 的轨迹为圆， 表示圆上的点与点连线的斜率， 由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在， 则设过的圆的切线方程为，即， 圆心到切线的距离，解之得：， 结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为， 【变式4-1】（24-25高一上·四川成都·期中）若，则函数的值域是 ． 答案: 【解析】， 设，，则. 由于，则，且. 设，由该式的几何意义得下面图形，， 其中直线为圆的切线，由图知. 由图知， 在中，有，，故， 故，故. 故，，故所求值域是． 【变式4-2】（24-25高一上·全国·月考）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 答案:C 【分析】利用换元法以及直线斜率的几何意义、直线与圆的位置关系进行求解. 【解题过程】依题意且，故函数的定义域为. 设，，则，，其几何含义表示点与的斜率，为圆弧上一动点， 如图，当为圆弧为右端点时，斜率最小，最小值为， 当与圆弧相切时，直线的斜率存在且最大，设，即， 则圆心到直线的距离，即，如图，显然，故. 故函数的值域是. 故选：C.    【变式4-3】（2024·山东·二模）函数的值域是 . 答案: 【分析】根据两点斜率公式，结合圆与直线的位置关系，即可结合图形求解. 【解题过程】设，则有，， 其几何意义为半圆上一动点到定点的连线的斜率． 如图：,则， 设过点A的直线为， 整理为，由点到直线的距离公式可得 ，化简得或（舍）， 故， 故答案为:     8. 分式型-分离常数法 分离常数法是求解分式型函数值域的核心技巧，其本质是通过恒等变形将复杂的分式结构简化为“常数项+低次分式”的组合。解题思路主要适用于分子、分母最高次项次数相同（如一次或二次）的分式函数，具体操作时，需先在分子中配凑出分母的倍数形式，将原函数拆解为常数与简单分式的和。分离常数后，原函数的值域问题便转化为分析剩余简单分式的取值范围，此时可结合函数的单调性、有界性或换元法（如令分母整体为新变量）来快速锁定值域。在应用该方法时，需特别注意分子变形的准确性，并严格结合原函数的定义域限制（如分母不能为0或给定区间）来确定最终值域，切忌盲目套用公式而忽略变量的实际取值范围 【例1】（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模） 函数在区间上的值域是（    ） A． B． C． D． 答案:D 【解题过程】方法一：（分离常数法） 函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，；当时，； 故函数的值域是. 故选：D. 方法二：（换元法） 由有意义可得，设，则，， 故，易得函数在上单调递减，在上单调递减 当时，；当时，； 故函数的值域是. 故选：D. 方法三：（反表示法） 由解出，得，而 故 ，且 解之得或 ，即函数的值域是 故选：D. 【变式1-1】（2022秋·河南·高三校考期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 答案:D 【解题过程】方法一：（分离常数法） ， 因为，故，故值域是． 故选：D 方法二：（换元法） 设，则，， 故， 因为 ，故，故值域是． 故选：D. 方法三：（反表示法） 由（）解出，得， 因为，故，解之得. 综上所述：值域是 故选：D. 【变式1-2】求函数的值域。 【解析】观察分子、分母中均含有项，可利用部分分式法；则有不妨设：从而 注意：在本题中应排除，因为作为分母。故故 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是 ． 答案: 【解题过程】方法一：（分离常数法） 由题意可知，函数， 由，，或，则或， 即函数值域是. 故答案为： 方法二：（中间值法） 由，得，即， 解之得：或， 故值域是 故答案为： 【变式1-3】(23-24高一上·山东烟台·月考）函数的值域是 . 答案: 【解题过程】方法一：（分离常数法） 由题可得，， 设，在上单调递减，在 上单调递增， 故 ，在 上单调递减，在 上单调递增， 故在处，取得最小值为0； 又因为，故， 综上，函数的值域是. 故答案为：. 方法二：（判别式法） 设，整理得 当时，代入式子，得，不成立，故； 当时，要使方程有解， 则 ，解之得 综上所述，函数的值域是. 故答案为：. 方法三：（中间值法） 设，可得，可得，即， 由，可得，解之得， 故，函数的值域是. 故答案为：. 【变式1-4】（2023·全国·高一专题练习）已知 (1)函数的值域； (2)用定义证明在区间上是增函数； (3)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最大值，最小值 【分析】（1）对函数化简变形后利用分式的性质可求得答案， （2）任取，，且，然后作差变形，判断符号，从而可证得结论， （3）由在上递增，可求得其最值. 【详解】（1）由题意，函数， 因为，所以， 所以的值域为． （2）任取，，且， 则， ， ，， ， 即， 故函数在区间上是增函数． （3）由知函数在区间上是增函数， ，． 【例2】（2023秋·甘肃兰州·校考）函数的值域是 ． 答案: 【解题过程】方法一：（分离常数法） ∵，∴， 设， ， 在上单调递增，在 上单调递减 ∴的取值范围为， ∴函数的值域是， 故答案为： 方法二：（中间值法） 由，可得， 当时等式不成立，∴，则有， ∵，∴，，或， ∴函数的值域是， 故答案为： 【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）函数的值域是 ． 答案: 【解题过程】方法一：（分离常数法） 解：设t＝sinx，t∈[-1,1]， 故原式可化为：， ∵﹣1≤t≤1，∴2≤t+3≤4， ∴，则， ∴，函数的值域是． 故答案为：． 方法二：（中间值法） 由，可得，则， ∵，∴，，解之得 ∴函数的值域是， 故答案为： 【例2】（2023·江苏·高一作业）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 答案:A 【解题过程】方法一：（分离常数法） 结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，故，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 设，则，故，故 故，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 方法二：（判别式法） 由可化为， 当,即时，，解之得，满足题意. 当，即时，要使方程有解，即 ， 解之得. 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 【变式2-1】（2023·江苏·高一假期作业）时，的值域是 . 答案: 【解题过程】方法一：（分离常数法） 原式，可化为 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，故，即; 故，函数的值域是. 故答案为：. 方法二：（判别式法） 原式，可化为， 当时，，不满足题意. 当时，则， 要使方程在上有解， 可得， 解之得且，则 综上所述：. 故答案为：. 方法三：（换元法） 因为，设，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 故在内的值域是， 即在内的值域是. 故答案为：. 【变式2-2】（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）函数，的值域是 ． 答案: 【解题过程】方法一（分离常数法） 由题意， 当时， ； 当时， 当时， ，故， 即，当且仅当，即 时等号成立， 因为不在的范围内，故， 故 当且时，，当且仅当，即 时等号成立， 故 综上所述：或， 即函数，的值域是. 故答案为：. 方法二：（换元法） 设（ ）， 则 ，原式 当时，y=0; 当时， 当，，当且仅当，即时，等号成立 又不在范围内，故， 故 当 ，且时，，当且仅当，即时，等号成立 故 综上所述：函数，的值域是. 故答案为：. 方法三：（判别式法） 因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解之得，符合题意； 若，则， 可得或， 解之得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域是. 故答案为：. 【变式2-3】（2022秋·高一课时练习）已知，则的取值范围为 ． 答案: 【分析】根据已知条件将所求式子化简，然后利用分离变量得到，再结合即可求解. 【解题过程】因为，故， 则， 因为，则，故， 则，故， 故的取值范围为. 9. 分式型-转化对勾或基本不等式 【例1】（2023秋·广东河源·高一龙川县第一中学统考期末）求函数的值域． 【答案】 【分析】先转化构造乘积为定值,再分情况应用基本不等式求解即可. 【详解】， 若，则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． 若，则， ∴ ， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的值域为． 【变式1-1】（2023·高三课时练习）已知函数，当时，值域为______ ；当时，值域为 _______ . 【答案】 【分析】空1，分，两种情况，运用基本不等式解决即可；空2，根据对勾函数特点，运用函数单调性解决即可. 【详解】由题知，函数，， 当时，， 此时， 当且仅当，即时取等号， 当时，，此时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，值域为； 当时， 因为， 所以， 当时，， 当时，， 所以当时，. 故答案为：；. 【变式1-2】（2023春·陕西商洛·高二校考阶段练习）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的定义域为R B．的值域是 C．是奇函数 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】选项A根据函数解析式有意义列出不等式，解不等式得定义域；选项B利用基本不等式求函数值域；选项C根据奇偶性定义判断函数的奇偶性；选项D根据复合函数的单调性判断函数在上的单调性. 【详解】对于选项A，要使函数有意义，需满足，解得，所以的定义域为，故选项A正确； 对于选项B，当时，；当时，，当且仅当即时等号成立；当时，，当且仅当即时等号成立；综上，，即的值域是，故选项B正确； 对于选项C，的定义域为，，所以是奇函数，故选项C正确； 对于选项D，当时，，令，则变为. 由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增，所以；又在上单调递减；所以在单调递增，在单调递减，故选项D错误. 故选：D 【变式1-3】（2022秋·广东佛山·高一顺德一中校考期中）已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并使用定义法说明理由 (2)判断函数在上的单调性，并使用定义法说明理由 (3)求函数的值域 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)单调递增，理由见解析 (3) 【分析】（1）结合函数奇偶性的定义判断即可； （2）结合函数单调性的定义判断即可； （3）化简，令，利用函数性质即可求解. 【详解】（1）函数为奇函数，理由如下： 函数定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数. （2）函数在上的单调递增，理由如下： 任取，，且， 则， 因为，则，，，， 所以，即， 所以函数在上的单调递增. （3）当时，， 当时， ，令 ， 由函数的图象性质知，函数的值域为， 综上，函数的值域为. 【变式（2021秋·高一课时练习）1-4】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 答案:A 【解题过程】方法一：（分离常数法） 结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，故，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 设，则，故，故 故，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 方法二：（判别式法） 由可化为， 当,即时，，解之得，满足题意. 当，即时，要使方程有解，即 ， 解之得. 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 【变式1-5】时，的值域是 . 答案: 【解题过程】方法一：（分离常数法） 原式，可化为 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，故，即; 故，函数的值域是. 故答案为：. 方法二：（判别式法） 原式，可化为， 当时，，不满足题意. 当时，则， 要使方程在上有解， 可得， 解之得且，则 综上所述：. 故答案为：. 方法三：（换元法） 因为，设，则， 则，， 可知开口向上，对称轴为，且， 故在内的值域是， 即在内的值域是. 故答案为：. 【变式1-6】函数，的值域是 ． 答案: 【解题过程】方法一（分离常数法） 由题意， 当时， ； 当时， 1　 当时， ，故， 即，当且仅当，即 时等号成立， 因为不在的范围内，故， 故 2　 当且时，，当且仅当，即 时等号成立， 故 综上所述：或， 即函数，的值域是. 故答案为：. 方法二：（换元法） 设（ ）， 则 ，原式 当时，y=0; 当时， 1　 当，，当且仅当，即时，等号成立 又不在范围内，故， 故 2　 当 ，且时，，当且仅当，即时，等号成立 故 综上所述：函数，的值域是. 故答案为：. 方法三：（判别式法） 因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解之得，符合题意； 若，则， 可得或， 解之得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域是. 故答案为：. 【变式1-7】（2022秋·高一单元测试）已知，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】将函数化简为，再结合双勾函数即可得出答案. 【详解】因为，所以， ， 令， 由双勾函数知，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以 . 故答案为：. 10. 基本不等式法 【例1】（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 【变式1-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，则的最小值为____. 【答案】4 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 【变式1-2】（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 【变式1-3】（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【变式1-4】（（2026高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 【变式1-5】（24-25高一上·河南新乡·期末）已知，，且，则的最小值是__________. 【答案】4 【分析】由已知条件可得，代入所求式子，再根据基本不等式求解. 【详解】因为，则，所以， 所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是4. 故答案为：4. 【例2】（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知为实数，且，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】由题意可得，代入，化简得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【变式2-1】（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 【变式2-2】（25-26高二下·江苏常州·期末）已知，，若，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由题意，，则， 令，， 则， 等号成立时，即，， 故的最小值为. 【变式2-3】（25-26高三·全国·一轮复习）设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. 【变式2-4】（2025·四川达州·一模）正实数满足，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】先根据基本不等式可得，再由，进而得到，注意检验是否能同时成立即可． 【详解】，， （当且仅当，即时取等）， （当且仅当时取等）， 综上（当且仅当时等号同时成立）， 则的最小值是． 故答案为：． 【变式2-5】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知正实数a，b满足，则的最小值是_____. 【答案】/ 【分析】先对条件变形，通过代换，将变形为，然后利用基本不等式求最值. 【详解】因为，，，所以， 即，即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式2-6】（专题拓展：利用基本不等式求最值的四大方法（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知，，，则的最小值为____． 【答案】 【详解】由可得 ， 当且仅当，即，也即，时等号成立， 即的最小值为． 【变式2-7】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，则的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】令，则，将所求式转化为，利用 “1” 的代换和均值不等式求出括号内式子的最小值，从而得到原表达式的最大值。 【详解】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. 【例3】（2022秋·高一课时练习）求下列函数的值域：(1) (k>0);(2) 。 【解析】(1)若x>0时，则,等号仅当x=k/x，即时成立； 若x<0时，则,等号仅当-x=-k/x，即时成立； 故， (2) 解法一：=，故 解法二：设,则．即方程　在[1,+∞)上有解． 故．从而f(x)=0在区间[1,+∞)只能有一根，另一根在(0,1)内，从而f(1)≤0,即y≥2. 【变式3-1】（2022秋·江苏常州·高一期中）求函数的值域。 【解析】设，则 （1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，故 （2）当t=0时，y=0。 综上所述，函数的值域是： 注：先换元，后用不等式法 【变式3-2】（2023河南信阳·高一信阳高中校考开学考试）若，求的最小值 【解析】 ∵ ∴ 从而 ， 当且仅当，即x=-2时”=”成立 即 【变式3-3】求函数的最小值 【解析】 当且仅当即时 【变式3-4】（25-26高一上·江苏·期中）已知，且，则的最小值是_______ 【答案】/ 【分析】，再展开根据基本不等式求解即可. 【详解】 . 当且仅当，即，，时取等号. 故答案为： 【变式3-5】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】灵活运用“1”结合两次基本不等式计算即可. 【详解】由已知 . 当且仅当时取得等号. 故答案为：. 【变式3-6】（25-26高一上·江苏南京·开学考试）（1）已知实数满足，则的取值范围是________． （2）已知，，求x的最大值是_________． 【答案】 【分析】（1）根据，，，得到，由完全平方公式可得，由此可得结论； （2）由条件可得，结合基本不等式证明，由此可得，解不等式可得的范围，由此可得结论. 【详解】（1）因为，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 又， 所以，当且仅当或时等号成立， 又， 所以，当且仅当，且时等号成立（例如时等号成立）， 所以的取值范围为， （2）因为，， 所以， 所以， 因为，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当或时等号成立， 所以， 所以，故， 所以， 所以的最大值为， 故答案为：；. 11. 三角函数法 【例1】（25-26高二下·上海·期中）已知点在椭圆上运动，则的取值范围是________. 【答案】 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】由椭圆方程进行代换得，再结合三角函数的知识即可求得答案. 【详解】椭圆上的点可设为，即， 所以， 故答案为：. 【变式1-1】（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 方法一: 【答案】/ 【知识点】条件等式求最值 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 方法二:设参法(三角换元法) 【变式1-2】（24-25高二上·辽宁·期末）点是椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，求的取值范围_____． 【答案】 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】根据圆的性质可得，设，结合两点间距离公式求的最值，即可得结果. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为点是圆上任意一点， 则，即， 又因为点是椭圆上任意一点，设， 可得， 当时，取到最小值； 当时，取到最大值5； 可得，所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式1-3】（20-21高二上·安徽亳州·阶段检测）椭圆，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为__________. 【答案】 【知识点】求椭圆中的最值问题、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】根据椭圆参数方程，将椭圆上的点用角表示出来，再利用两点距离公式表示出|PA|,从而分析它的最大值 【详解】由椭圆，设点P（），所以 当且仅当：时，取等号，因此最大值 故答案为： 【点睛】考核学生对椭圆的参数方程的应用. 【变式1-4】（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）复数满足，则的最大值为________. 方法一:设参法 方法二:数形结合 【答案】/ 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值. 【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 故答案为： 【变式1-5】（24-25高一下·江西赣州·期末）已知i为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是________． 方法一:设参法 方法二:数形结合 【答案】 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据给定条件，求出复数在复平面内对应点的轨迹，再利用几何意义求出范围. 【详解】由，得复数在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 是点到定点的距离，而，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式1-6】（25-26高三·全国·一轮复习）设，，若，则的最大值为______. 方法一:设参法 方法二:数形结合 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据数量积的坐标表示，利用柯西不等式，再分别研究等号成立的条件，可得答案. 【详解】，，， 由柯西不等式的向量形式可得， 即，解得，当且仅当， 即时，*式中右边等号成立， 或时，*式中左边等号成立， ∴当，时，的最大值为. 【变式1-7】（25-26高一下·江苏苏州·期末）已知向量，满足在方向上的投影向量为，若，，则______． 方法一:设参法 方法二:数形结合 【答案】 【知识点】已知数量积求模、求投影向量 【详解】因为. 又，所以，所以， 所以，所以. 【变式1-8】（25-26高一下·浙江温州·期中）已知平面向量满足，则的最大值是______. 方法一:设参法 方法二:数形结合 【答案】 【知识点】向量与几何最值、数量积的运算律 【分析】利用向量数量积不等式，结合取等号条件分析，可得最大值. 【详解】令，由已知，可得，且， 则，因为，所以， 因为，所以， 即， 又因为，所以， 当且仅当反向共线，同向共线， 即此时，满足, 因此的最大值为. 【例2】函数的最大值是（    ） A． B． C． D．4 答案:B 【解题过程】方法一：(三角换元) 由，解之得，故的定义域为. 设， 则， 其中，， ∵，则， ∴当，即时， 取最大值，即函数的最大值是. 故选：B. 方法二：（判别式法） 由，化为，两边同时平方并化简， 得，关于的方程有解，则 ， 即，故 ， 即函数的最大值是，故选：B. 【变式2-1】（24-25高一上·河北石家庄·期末）求函数的值域。 解：因 即 故可设 ∴ ∵ 故所求函数的值域是 【变式2-2】（函数y＝3－4的最小值为（    ） A．－8 B．8 C．－10 D．10 答案:A 【分析】利用三角换元将问题转化为求三角函数的最值问题，计算即可. 【解题过程】由解之得－2≤x≤2，故函数的定义域为[－2，2]. 因为，故可设， 则， （其中有）. 因为，故. 故当θ＝0时，函数取得最小值. 故选：A 【变式2-3】（函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 答案:D 【分析】设，则，设，再结合三角函数的性质即可得解. 【解题过程】函数的定义域为， 设，则， 设，可得， 当时，有最大值为2， 故函数的最大值为2. 故选：D. 【变式2-4】（函数的值域是 . 答案: 【解析】由 ，可设 原函数可整理为： 因为 ，故，则， 当 ；当， 故函数的值域是. 【变式2-5】（函数的值域是 ． 答案: 【分析】通过三角换元，转化成三角函数的值域问题. 【解题过程】设，则，设， 则，故， 故，故， 故函数的值域是. 故答案为： 【变式2-6】（函数的值域是 . 答案: 【分析】由题意可设 ，则，由二倍角的正弦、余弦公式化简函数，再由三角函数的性质即可得出答案. 【解题过程】因为函数的定义域为，即， 设 ， 原函数转化为： 因为，故，故， 故，故 故函数的值域是. 故答案为：. 【变式2-7】（函数f(x)=()的值域是  （ ） A．[-] B．[-] C．[-] D．[-] 答案:C 【分析】由题意结合函数解析式的特征利用换元法，结合三角函数的性质和均值不等式的结论,求解函数的值域即可. 【解题过程】设，则：，即：， 分类讨论： 当时，，则：， 函数的解析式换元为： ， 当且仅当时等号成立，此时函数的值域是； 当时，，则：， 函数的解析式换元为： ， 当且仅当时等号成立，此时函数的值域是； 综上可得：函数( )的值域是, 故选：C 12. 取整函数值域 【例题1】（2022秋·重庆·高一校联考期中）规定取整函数：不超过x的最大整数，例如，，若函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况进行讨论，当时，分离常数，再结合基本不等式先求出函数的值域，再依据定义即可得解. 【详解】， 当时，，则， 当时，， 当时，，当且仅当，即时，取等号， 则，所以， 则此时函数的值域， 当时，， 当且仅当，即时，取等号， 则则，所以， 则此时函数的值域， 综上所述，函数的值域是, 故选：A. 【变式1-1】（2022秋·安徽马鞍山·高一安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）定义：表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据的定义，分段讨论，即可求出函数的值域. 【详解】当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 综上，时，的值域为. 故答案为：. 【变式1-2】（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如，，当时，函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用高斯函数的定义，分段求出函数取值集合，再求并集作答. 【详解】依题意，当时，，则，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以当时，函数的值域为. 故答案为： 【变式1-3】（2022秋·浙江宁波·高一效实中学校考期中）表示不超过的最大整数，例如，.则函数的值域为 . 【答案】 【分析】分离常数后求得，再判断的值域. 【详解】∵， 又，故， 则， 故答案为： 【变式1-4】（多选）（2022秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知则关于函数的叙述中正确的有（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．是上的减函数 【答案】AC 【分析】根据题意求出的解析式，利用函数的奇偶性的定义以及函数的表示方法一一判断求解. 【详解】的定义域为， ，所以函数为偶函数， 当即或，， 则，则， 当即，， 则，则， 所以，则的值域是， 且为偶函数，不是单调函数， 故选:AC. 【变式1-5】（多选）（2023春·湖南株洲·高一株洲二中校考开学考试）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，以下结论正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．最小正周期为 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据高斯函数的定义直接求解即可；对于B，取，检验可得反例；对于C，若，使得，，使得 ，可得，从而可判断；对于D，要求的值域，只需求时的值域即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，取，则， 故且， 故函数为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，， 若矛盾， 故C正确； 对于D，由C可知最小正周期为， 要求的值域，只需求时的值域即可. 当时，； 当时，， 故当时，有. 故的值域为，故D正确. 故选:ACD $