4.8 三角形中的中线、角平分线及其有关的范围(最值)问题【6大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角形中线、角平分线及范围最值问题，以6大考点系统覆盖核心题型，强化几何直观与逻辑推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中线问题|6题|结合正余弦定理、面积公式求中线长及范围|从基本几何元素到定量计算，构建"已知条件-定理应用-范围求解"逻辑链| |角平分线问题|6题|涉及角平分线定理、面积法求长度及最值|延续几何元素研究，强化角平分线性质与代数运算结合| |边长/周长范围|6题|利用定理、不等式求三角形边长及周长取值|从静态计算到动态范围，体现函数思想与几何约束的融合| |面积范围|6题|结合边角关系、三角函数求面积最值|深化数量关系，建立面积与边角参数的函数关联| |几何图形计算|6题|多图形综合计算，涉及四边形、三角形组合|拓展应用场景，提升复杂图形的分解与转化能力| |正余弦定理与三角函数结合|6题|以函数为载体，综合考查定理应用与性质|实现几何与代数的跨模块融合，培养综合解题能力|

4.8 三角形中的中线、角平分线及其有关的范围(最值)问题 6大考点汇总 考点01 三角形的中线问题 考点02 三角形的角平分线问题 考点03 求三角形中的边长或周长的最值或范围 考点04 求三角形面积的最值或范围 考点05 几何图形中的计算 考点06 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型专练 考点01 三角形的中线问题 1．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解； （3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． （2）由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 2．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的正弦余弦公式进行求解即可； （2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即 因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 所以， 所以. （2）由正弦定理得， 因为锐角，所以， 所以，所以； （3）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 由（2）知，则， 所以， 则， 则， 故中线的长度的取值范围为. 3．在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 【答案】 【详解】法1：由余弦定理，. 所以. 又， 所以， 所以. 法2：在中，由中线长定理可知， 则，解得． 4．（多选）若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 【答案】AC 【详解】A选项，，由正弦定理得：， 即， 所以， 即， 因为，所以，所以，则， 因为，则， 令外接圆的半径为， 所以，即，所以A选项正确； B选项，，即：，则， 因为，，所以， 当且仅当时等号成立，此时的最大值为，所以B选项错误； C选项，，，当且仅当时等号成立， 因为，所以的最大值为，所以C选项正确； D选项，因为为边上的中线， 所以，， 得，因为，所以的最小值为，所以D选项错误. 5．已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，． (1)证明：． (2)求． (3)若的中线，求的面积． 【答案】(1)，， . ，均为的内角，且为钝角，则为锐角，得； . (2) (3) 【分析】（1）由和，得到；根据为钝角，则为锐角，确定的范围，进而得到； （2）根据，得到，代入，整理得；根据为钝角，，确定的大小； （3）根据中线长定理，得到，再结合余弦定理求出各边长度，最后利用三角形面积公式计算面积. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，则， ， ， 为钝角， ，即； 或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 综上所述，. （3）由（2）得，， ， ， ， ， 为的中线， ，得， 由正弦定理得， 得， ， ， ，解得，. ， ，， ， 的面积为. 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，或， 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再整理即可证明； （2）由（1）可得，进而得到即可求解； （3）根据余弦定理可得，再利用双余弦得到，再解方程组即可． 【详解】（1）证明：由正弦定理得：， 即； （2）解：因为， 即. 则， 因为， 所以； （3）解：因为，由余弦定理知：， 即， ，， 即， ，， 故， 解得：，或，. 考点02 三角形的角平分线问题 7．在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. (1)求角的大小； (2)求边的值； (3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得，即可求得角； （2）利用正弦定理将所给等式转化为关于的等式，结合余弦定理即可求出； （3）利用三角形面积公式，将角平分线表示为，对边对角模型，，转化为三角函数求值域． 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为，所以， 所以，又，所以. （2）由正弦定理，得， 由得：， 即， 由余弦定理得，， 联立解得. （3） 如图所示，由（1）知，由于， ， ， 由（2）知， 因为，所以， 则 令，则， 因为是锐角三角形，则， 则， 令，由解析式可知在单调递增， 所以，即 即长度的范围为 8．在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得； （2）利用正弦定理化简得出，根据锐角三角形求出，求三角函数的值域即可； （3）利用余弦定理和基本不等式得出，再利用等面积得出，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）， 则由和正弦定理可得，， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以. （2）由正弦定理，， 所以 . 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以， 所以的取值范围为. （3）由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以，当且仅当时等号成立. 故长度的最大值为. 9．在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正弦定理化边，结合余弦定理求角，最后用正弦函数的性质或基本不等式求最值； （2）利用角平分线定理定边的比例，再用余弦定理求三边，最后用向量模长公式计算长度． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 所以， 又因为，所以， 因为，由正弦定理得， 所以，， 因为，所以， 则， 又，则，即， 所以，，即， 所以，即周长的取值范围是， （2）因为，由角平分线定理得，即， 在三角形中，，由余弦定理得，，； 因为，所以，得， 所以 ． 10．在中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）先利用余弦定理求出，再利用等面积法，即可求解； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，， 故. （2） 由余弦定理可知，，代入， 可得，解得. 设， ，即， 解得，因此. （3）由余弦定理得，， 即. ，两边平方得. 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则. 11．在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得，进而求得答案； （2）由题意知为等边三角形，设，进而结合余弦定理，三角形面积公式得，再根据三角函数性质求解即可； （3）由题意知，进而根据等面积法得，再结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，最后根据面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以，所以或， （2）解：因为，所以，， 所以为等边三角形， 如图，设， 在中， 所以 因为，， 所以，当时，取得最大值.    （3）解：由为钝角得，因为的角平分线交于点， 所以 因为，即， 所以，整理得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以    12．已知的内角的对边为，且. (1)求角； (2)若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长. 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）由正弦定理得：，， ，又，. （2）由（1）知：，，解得：； 为的中线，， ， ，即中线的长为； 为内角的平分线，， ，， . 考点03 求三角形中的边长或周长的最值或范围 13．的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求角； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过正弦定理角化边，因式分解后结合余弦定理求角； （2）直接代入面积公式求解参数； （3）利用正弦定理边角互化，结合三角函数值域求周长范围. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 化简得. 因为，则，故有. 又由余弦定理， 又，得. （2）由可得， 又，联立解得. （3）由正弦定理得，故. 因，易得，又，则， 则， 因，故，得. 因此周长. 14．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且， (1)求角 ； (2)若，求 的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求出，再根据，即可求解； （2）结合（1）的结果求出，再利用正弦定理求出，即可求得答案. 【详解】（1）由于在中，， 故，结合，得， 而，故， 结合，得. （2）由（1）可知，故， 由正弦定理得，即， 可得， 故 的周长为. 15．已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角； （2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简，再由锐角三角形约束的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得： ， 因为，所以，则， 即，， 因为，则，所以，即. （2）因为，，所以， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以． 16．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． (1)求C． (2)． （ⅰ）若 的周长为，角C的平分线交 于点D，求 的长； （ⅱ）若 为锐角三角形，，求 的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据两角和的正弦展开公式和正弦定理化简原式并求解即可； （2）（ⅰ）根据周长和余弦定理建立关于 的方程并求解，再结合面积公式求解 ； （ⅱ）通过向量运算建立和 的方程，进而根据正弦定进行边角转化，再利用三角函数求解范围. 【详解】（1） ，即 ，     由正弦定理可得 ， 又 ， 所以 ，     因为，所以 ， 所以 ，即， 又，所以． （2）（ⅰ）因为， 的周长为，所以， 由余弦定理可得，即 ， 即 ，得，     所以 的面积为，     则， 所以．     （ⅱ）因为，所以E是 的中点，所以， 则， 又 ，所以 ，     由正弦定理可得 ， 所以 ，， 所以 ．     因为 为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以，所以，则 的取值范围是． 17．已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可； （2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出，进而求出，最后求出周长； （3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解. 【详解】（1），且. 整理得 由正弦和角公式：， 由正弦定理，代入得 两边除以得 整理得 即，即 因为，所以， 故，得. （2）已知面积，且，. 由面积公式 故，得. 由余弦定理 代入，： 整理得 而， 因为，故. 因此周长为 （3）由正弦定理：， 故，. 又，，故，其中. 因为，所以， 则， 故. 18．在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______． 【答案】 【分析】设，由已知确定范围，在与中分别用正弦定理，得到与的关系求解即可. 【详解】因为为的平分线， 所以可设，则，， 因为为锐角三角形，所以，即,所以. 在中，由正弦定理得，③ 在中，由正弦定理得，④ ④÷③得， 又，所以， 设，又， 所以，所以在上为增函数， 所以． 考点04 求三角形面积的最值或范围 19．已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)若，且 边上的中线长为，求的面积． (3)若角的平分线长为，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）在中使用余弦定理计算，再由面积公式即可求解； （3）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，又， 代入可得： ， 又，故 （2） 记边上的中线为，则， 在中，由余弦定理得， 化简可得：，解得或（舍）， 所以. （3） 设角平分线交于，， 由得： ， 化简得 ，由基本不等式得， 解得： ，当且仅当 时等号成立， 故面积最小值. 20．已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解； （2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案； （3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 其中，故．∴，即， 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以， 所以的周长为. （3）因为是锐角三角形，， 所以，解得， 由正弦定理，，则， 所以， ， 由得，所以， 所以， 即面积的取值范围为. 21．上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区．已知为直角三角形，，，，为内一点，且． (1)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知，求的大小； (2)求露营区面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理求解即可； （2）由余弦定理及基本不等式得，再由三角形面积公式求最大面积. 【详解】（1）由题设，， 而，即，故. （2）由题设， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即露营区面积的最大值. 22．已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、同角三角函数关系式、两角和的正弦公式及诱导公式化简所给等式，即可求得，从而求得； （2）利用正弦定理及三角恒等变换，求出的取值范围，再由面积公式求得面积的取值范围. 【详解】（1）因为，且为锐角，所以， 所以， 即. 由正弦定理，得， 所以， 所以， 所以. 因为是锐角，所以， 所以，. （2）因为，所以， ，得. 由正弦定理可得，， 因为，所以， 由，可知，所以，所以. 所以，所以， 即的面积的取值范围为. 23．在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________． 【答案】 【分析】由已知条件可得，进而可得，利用余弦定理结合基本不等式可得，最后根据求出三角形面积最大值. 【详解】解：由，则， 化简整理得，即， 则，此时，则， 或，，则，在三角形中不合题意， 因此，， 由余弦定理可得，又，代入化简得， 由基本不等式可知，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此，的面积最大值为. 24．在中，内角的对边分别为． (1)求． (2)当时． （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理与和角公式化简计算即得； （2）（i）由正弦定理即三角恒等变换可得，再利用正弦函数性质计算求解；（ii）由余弦定理，基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由正弦定理得 而右式为， 故得，因为，故． 故，则． （2）（i）由正弦定理得的周长 ， 易得，则，故， 所以的取值范围是； （ii）由余弦定理得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积， 故面积的最大值为． 考点05 几何图形中的计算 25．如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据余弦定理，可得的表达式，根据条件，可得的表达式，根据正弦定理，可得，在中，根据余弦定理，可得的表达式，整理计算，结合辅助角公式及正弦函数的性质，分析求解即可得答案. 【详解】在中，设，由余弦定理得， 又，，所以， 由题意，为等腰直角三角形，则， ，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 当时，取得最大值，且为， 所以对角线的最大值为. 26．如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 27．如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求的值； (2)求的大小． ①面积； ②． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）若选①：根据面积公式求出，根据余弦定理求出，根据面积公式求出；若选②：根据两角差的正弦公式可求出结果； （2）若选①：根据正弦定理解得，可求出结果；若选②：利用正弦定理可得，进而可求的大小. 【详解】（1）选①：由，得， 由余弦定理可得，得， ，所以； 选②：在中，所以， . （2）选①：因为，所以， 在中，由正弦定理可得，解得， 又因为， 所以满足这样的三角形有两解，所以或； 选②：在中，由正弦定理可得，解得， 因为，则， 在中，解得， 又因为， 故满足这样的三角形有两解，故或． 28．如图，在中，，，D、E为为BC上的点．若，则______． 【答案】/ 【详解】因为，所以为等腰三角形，故， 而又有 ,则， 故，则， 而，，则， 而由等腰三角形性质可知，，则， 由锐角三角函数可知，在中，， 因为，所以， 则， 因为为锐角，所以，因此， 所以，故. 29．如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）.    (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线性质，结合三角形面积公式即可求解； （2）由角平分线的性质，结合两角和差的余弦公式化简可得的值，再根据正切的诱导公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以在中，. 又 ，即 ，所以. 因为，所以，即，解得. 因为平分，所以， 解得， 所以 所以. （2）设， 则， 即， 整理得， 又， 故，即，解得. 30．在平面四边形中，已知，，. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 在中，由余弦定理得：， 因为，所以． （2） 因为，，所以， 在四边形中，， 设，在中，， 在中，， 因为，所以。 即 整理得，解得 在中，． 考点06 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 31．已知向量，，设函数. (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心； (2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积. 【答案】(1)函数的单调递增区间为，图象的对称中心为 (2) 【分析】（1）结合平面向量的运算法则与三角恒等变换公式，化简可得，再由正弦函数的单调性与对称性，即可得解； （2）根据正弦函数取值可得，再利用余弦定理求出b的值，随后进行分类讨论，最后由三角形的面积公式，即可得解． 【详解】（1）， . 所以. 由 ，得. 即 . 由 ， 得 ，即. 所以函数 的单调递增区间为 . 令 ，得 ， 此时 ，所以函数 的图象的对称中心为 . 综上所述，函数的单调递增区间为，图象的对称中心为 （2）由（1）知 ，由 得 ， 因为 为锐角，所以，则 ， 所以，解得 . 由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，解得 或 . 当 时，，，此时 ，由正弦定理得 ， 即 ，解得 ，所以 或 ， 若 ，则 ，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾; 若 ，则 ，此时三角形为钝角三角形，符合题意， 三角形面积 . 当 时，，，由余弦定理得 ， 所以，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾，舍去. 综上所述，三角形 的面积为 . 32．已知函数 (1)求单调递增区间： (2)在中的对边分别为，求的值和的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性即可得解； （2）先由求得角，再利用余弦定理与正弦定理的边角变换得到关于的方程组，进而利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）因为 ， 令，得， 所以的单递增区间为. （2）因为，即， 又，所以， 所以，故， 因为，所以，即①， 又，由正弦定理得②， 由①②可得， 所以. 33．已知函数，. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)在中，角，，所对的边分别为，，.若，，，求的长. 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数的解析式，再求函数的最小正周期和单调递增区间. （2）先根据求角，再利用三角形的面积公式求，再用余弦定理可求边. 【详解】（1）因为. 所以函数的最小正周期为：. 由，，. 所以函数的单调递增区间为，. （2）由， 因为，所以，所以. 由. 由余弦定理，， 所以. 34．锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二倍角公式与因式分解化简已知等式，结合锐角三角形的性质求出角，再用余弦定理求边并检验解的合理性，最终确定； （2）先用正弦定理将边的比值转化为角的正弦值，再结合将表达式化为含的三角函数，最后通过角的范围求出取值范围. 【详解】（1）由题， ，为锐角三角形，， . 由余弦定理，得， 即，解得或， 但时，，与已知条件不符， 而时，，符合条件，； （2）由正弦定理，得 ， ， . 35．已知函数，其中. (1)若，求图象的对称中心； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，整体法求出函数对称中心； （2）求出，根据单调递增区间得到不等式，求出的取值范围； （3）由，得到，由余弦定理和正弦定理得到，因为为锐角三角形，所以，求出的取值范围，得到答案． 【详解】（1）， 当时，． 令，得， 所以图象的对称中心为. （2）由（1）得，且， 所以，即， 因为将的图象向左平移个单位长度得到的图象， 所以， 因为，则， 又因为函数在区间上单调递增， 则， 可得，解得， 可得，即， 且，则，所以的取值范围是. （3）由得， 因为，即， 且为锐角三角形，则，则， 可得，解得． 由余弦定理，即， 可得， 所以． 由正弦定理，得， 则，， 可得， 因为为锐角三角形，则，解得， 可得，则， 即，可得， 所以的取值范围是． 36．在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理得到，再利用余弦定理求角. （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，可求，进而得到三角形的周长. （3）先根据为锐角三角形，确定角的取值范围，再将化成的形式求值域. 【详解】（1）由正弦定理，， 所以. 由余弦定理，，且为三角形内角，所以. （2）由余弦定理，. 又. 所以， . 所以的周长为. （3）因为为锐角三角形，且，所以，且， 所以 . 因为，所以，所以， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.8 三角形中的中线、角平分线及其有关的范围(最值)问题 6大考点汇总 考点01 三角形的中线问题 考点02 三角形的角平分线问题 考点03 求三角形中的边长或周长的最值或范围 考点04 求三角形面积的最值或范围 考点05 几何图形中的计算 考点06 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型专练 考点01 三角形的中线问题 1．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 2．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 3．在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 4．（多选）若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 5．已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，． (1)证明：． (2)求． (3)若的中线，求的面积． 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 考点02 三角形的角平分线问题 7．在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. (1)求角的大小； (2)求边的值； (3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 8．在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 9．在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 10．在中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 11．在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 12．已知的内角的对边为，且. (1)求角； (2)若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长. 考点03 求三角形中的边长或周长的最值或范围 13．的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求角； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，求周长的取值范围． 14．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且， (1)求角 ； (2)若，求 的周长． 15．已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 16．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． (1)求C． (2)． （ⅰ）若 的周长为，角C的平分线交 于点D，求 的长； （ⅱ）若 为锐角三角形，，求 的取值范围． 17．已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 18．在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______． 考点04 求三角形面积的最值或范围 19．已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)若，且 边上的中线长为，求的面积． (3)若角的平分线长为，求的面积的最小值． 20．已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 21．上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区．已知为直角三角形，，，，为内一点，且． (1)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知，求的大小； (2)求露营区面积的最大值． 22．已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； 23．在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________． 24．在中，内角的对边分别为． (1)求． (2)当时． （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． 考点05 几何图形中的计算 25．如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 26．如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 27．如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求的值； (2)求的大小． ①面积； ②． 28．如图，在中，，，D、E为为BC上的点．若，则______． 29．如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）.    (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 30．在平面四边形中，已知，，. (1)求； (2)若，，求. 考点06 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 31．已知向量，，设函数. (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心； (2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积. 32．已知函数 (1)求单调递增区间： (2)在中的对边分别为，求的值和的面积. 33．已知函数，. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)在中，角，，所对的边分别为，，.若，，，求的长. 34．锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 35．已知函数，其中. (1)若，求图象的对称中心； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求的取值范围. 36．在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $