陕西西安市临潼区华清中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 涵盖复数、向量、立体几何等高一核心知识，解答题结合统计情境（如第17题全民阅读抽样分析）与新定义运算（第19题），体现数学应用与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、向量垂直、直观图还原|基础概念辨析，如第3题斜二测画法还原三角形| |多选题|3/18|向量共线、分层抽样方差|多选项考查严谨性，如第11题统计方差计算| |填空题|3/15|向量数量积、长方体外接球|空间想象与运算结合，如第13题体对角线求球表面积| |解答题|5/77|复数几何意义、解三角形、立体几何二面角、统计频率分布直方图、新定义运算|梯度设计，从基础（第15题复数）到创新（第19题新运算），第18题空间向量应用体现逻辑推理|

华清中学2025-2026学年高一年级期末考试数学试题 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知复数，为的共轭复数，则的值为 A． B． C． D． 2．（本题5分）下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）如图所示是水平放置的的直观图,其中,则原是一个（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 4．（本题5分）已知是两个单位向量，与的夹角为，则（   ） A． B． C．1 D． 5．（本题5分）已知向量，，，若与垂直，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（本题5分）已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，且m，，则 B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C．若，，则 D．若，，则 7．（本题5分）已知三棱锥，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）在中，内角A，B，C所对的边分别为，则周长的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列说法不正确的是（    ） A．若，则或 B．与是平行向量 C．若与是共线向量，则四点共线 D．若，则 10．（本题6分）设向量，若与的夹角为锐角，则t的值可能是（   ） A． B． C．0 D．6 11．（本题6分）2022年4月23日至25日，以“阅读新时代，查进新征程”为主题的首届全民阅读大会胜利召开，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校为了了解学生在暑假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生、高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为，，，每天读书时间的方差分别为，，，则下列正确的是（    ） A．从高一学生中抽取40人 B．抽取的高二学生的总阅读时间是1860小时 C．被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时 D．估计全体学生每天的读书时间的方差为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知都是非零向量，且满足，则的值是___________． 13．（本题5分）设长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_______________. 14．（本题5分）如图，均为圆上的动点（可重合），为圆心，已知该圆的半径为1，则的取值范围是__________. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知复数，其中为虚数单位，. (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围. 16．（本题15分）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 17．（本题15分）某体育学校为储备人才，准备通过测试（按照测试成绩高分优先录取的原则）录用学生300人，其中测试成绩前100名的学生为第一梯队，剩余的200名学生为第二梯队.实际报名学生为1000人，测试满分为100分.测试后，对学生的测试成绩进行了抽样分析，得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计此次测试的平均成绩； (2)试估计该学校本次测试的录取分数，并判断测试成绩为88分的学生甲能否被录取？若能被录取，能否进入第一梯队？ 18．（本题17分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，. （1）求证：平面； （2）若棱上存在异于、的一点，使得二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值. 19．（本题17分）对任意两个非零向量，定义新运算：． (1)若向量，求的值； (2)若非零向量满足，且，求的取值范围； (3)已知非零向量满足，向量的夹角，且和都是集合中的元素，求的取值集合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《华清中学2025-2026学年高一年级期末考试数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C C D A C ACD BC 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】试题分析：,故选D. 考点：1.复数的运算；2.复数相关概念. 2．D 【分析】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D. 【详解】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D 3．C 【分析】根据斜二测画法的规则求解即可. 【详解】 将水平放置的的直观图还原,可知, 由勾股定理有,注意到, 所以三角形是等腰三角形,不是等边三角形, 由大边对大角可知,三角形中最大角的余弦值为, 即三角形中最大角是锐角,三角形是锐角三角形,不是直角三角形, 综上所述,只有C选项符合题意, 故选:C. 4．C 【分析】根据向量模及数量积的计算公式计算即可. 【详解】因为是两个单位向量，与的夹角为， 所以 ， 所以. 故选：C 5．C 【分析】利用向量垂直的关系及向量运算律得，代入数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为与垂直，所以，即， 所以，解得. 故选：C 6．D 【分析】由线面，面面关系判断各选项即可. 【详解】对于A，注意到当m，n平行时，直线l不垂直于平面，故A错误； 对于B，当这三点有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧时，平面与平面不平行，故B错误； 对于C，若，则直线不平行于平面，故C错误； 对于D，因，则在平面内的任意直线均与直线n垂直，又， 则在平面内的任意直线均与直线m垂直，由直线与平面垂直定义可知，故D正确. 故选：D 7．A 【分析】先证明平面，再将三棱锥补形成直三棱柱，再利用勾股定理求出外接球的半径，再根据求得表面积公式即可得解. 【详解】因为平面， 所以平面， 如图经补形可知球心在直三棱柱高的中点处为外接圆的圆心， 则， 所以， 则外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积． 故选：A. 8．C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理，结合基本不等式求出最大值. 【详解】在中，， 则，， 解得，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为3. 故选：C 9．ACD 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：，模相等不能推出共线，A错误； 对于B：与是相反向量，所以是平行向量，B正确； 对于C：若与是共线向量，不能得到四点共线，C错误； 对于D：若，当向量时，与不一定平行，D错误. 故选：ACD. 10．BC 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】根据题意，向量与的夹角为锐角，则且、不共线， 即，解得且， 故选：BC. 11．ACD 【分析】对A，由分层抽样可求解；对B，由平均数的意义可求解；对C，由平均数的估计可求解；对D，由方差的估计可去处得解. 【详解】对A，根据分层抽样，分别从高一学生、高二学生，高三学生中抽取40人，30人，30人，故A正确； 对B，抽取的高二学生的总阅读时间是，故B错误； 对C，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为（小时），故C正确； 对D，被抽取的学生每天的读书时间的方差为，所以估计全体学生每天的读书时间的方差为，故D正确． 故选：ACD． 12． 【详解】由，所以，所以，即. 13． 【分析】设球的半径为，根据长方体的体对角线即为球的直径，求出，再根据球的表面积计算即可. 【详解】设球的半径为， 因为长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上， 所以长方体的体对角线即为球的直径，即， 所以，所以球的表面积为. 故答案为： 14． 【分析】利用向量的加法法则，将表示为，代入中结合数量积的定义化简，从而可求出其范围. 【详解】. 因为，所以. 即的取值范围为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由纯虚数的定义列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由复数的几何意义列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由z是纯虚数，则 ，，故. （2）由z在复平面内对应的点在第三象限， ，，所以. 16．(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合特殊角的三角函数值求解即可. （2）利用余弦定理求得，再the和三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）在锐角中，由及正弦定理，得. 而，则，又为锐角， 所以. （2）由（1）及余弦定理得，，即 整理得，而，解得， 所以的面积. 17．(1)79 (2)85分；能录取，但不能进入第一梯队． 【分析】（1）根据样本频率分布直方图估计平均数. （2）根据样本频率分布直方图估计88分的学生所在的位置，进行判断. 【详解】（1）此次测试的平均成绩为： . （2）由题意可知，录取率为，能进入第一梯队的概率为； 设录取分数为，因为分数落在的概率为0.1， 分数落在的概率为0.4， 所以，令，解得， 所以录取分数大概为85分，进入第一梯队的分数大概为90分， 所以学生甲能被录取，但不能进入第一梯队． 18．（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由，，推出，再根据平面，推出，最后根据线面垂直的判定定理，从而可证平面； （2）根据题设条件建立以为坐标原点，以，，所在射线分别为轴的空间直角坐标系，设，由得出，分别求出平面与平面的一个法向量，再根据二面角的余弦值为，即可求得，从而可得与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：，， ， 平面,平面， ， ，且平面， 平面. （2）解: 以为坐标原点，以，，所在射线， 分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 由点C向AB作垂线CH, 则，     ∴， ∴， 设，则， ∵在棱上，∴（）， 即，解得：， ∴， 设平面的法向量， ， ∴ ，即，即， 取，则，则， 设平面的法向量， ， ∴ ，即， 即， 取则， ∴， ∴， 解得：， ∴，， 易知平面的法向量， 所以与平面所成角的正弦值. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用空间向量求二面角和线面角，空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两向量垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19．(1)2； (2)； (3). 【分析】（1）利用给定的定义，结合数量积运算计算即得. （2）利用给定的定义求得，再由定义求解即得. （3）利用给定的定义，结合已知求得，再求出，由此求出的范围. 【详解】（1）向量，则，， 于是，而，则， 所以. （2）由，，得，则， 所以. （3）依题意，，而，，则，， 于是，显然存在，，则，因此， 即，则，显然，即，从而， 因此，又存在，使得，即， 解得，则， 所以的取值集合. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $