专题1.3 全等三角形的判定（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题1.3 全等三角形的判定 【本节预习目标】 1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握SAS、ASA、AAS、SSS四种基本判定方法，明确“边边角”不能判定三角形全等。 2.掌握直角三角形全等的HL判定定理，能区分一般三角形与直角三角形全等判定的联系与区别。 3.能规范书写全等三角形的证明过程，准确挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件。 4.理解三角形的稳定性及其生活原理，能运用全等三角形知识解决实际测量、方案设计等真实问题。 5.通过尺规作图、类比探究等活动，发展几何直观与逻辑推理素养，体会分类讨论、转化的数学思想。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 全等三角形基础 全等三角形的定义；对应边相等、对应角相等的性质 全等判定是性质的逆向应用：由边、角相等推导三角形全等，再进一步得到更多边角等量关系 线段与角的性质 线段中点、角平分线、垂线的定义；对顶角相等；同角的余角/补角相等 是推导三角形边、角相等的常用隐含依据，为全等判定提供核心条件 平行线的性质 两直线平行，同位角/内错角相等，同旁内角互补 平行线可构造相等的角，是全等证明中推导角相等的重要途径 图形变换 平移、翻折、旋转前后图形全等，对应边、对应角相等 三大变换是全等三角形的常见呈现形式，变换特征可辅助快速识别对应关系 知识点1：一般三角形全等的判定方法 1.四种基本判定定理对比 判定方法 简称 文字描述 符号语言示例 图例 边边边 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 在和中，， 边角边 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 在和中，， 角边角 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 在和中，， 角角边 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 在和中，， 2.重要注意事项 判定两个三角形全等，至少需要一组边相等的条件；三个角对应相等（AAA）、两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能判定三角形全等。 书写证明时，需按判定定理的顺序排列条件，对应顶点字母写在对应位置。 知识点2：直角三角形全等的特殊判定 1.斜边、直角边定理（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 判定方法 简称 文字描述 符号语言示例 图例 直角边 HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 在和中，，， 2.判定方法总结 直角三角形全等的判定共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL。HL是直角三角形特有的判定方法，仅适用于直角三角形，一般三角形不能使用。 知识点3：三角形的稳定性 1.定义：三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性。 2.原理：其理论依据是“边边边（SSS）”全等判定定理。 3.应用：生活中的钢架桥、自行车三角架、人字梯拉杆等都利用了三角形的稳定性；四边形及边数更多的多边形不具有稳定性。 【基础巩固题型】 【题型1】利用SSS证明三角形全等 1.核心知识点 SSS判定定理；线段的和差计算 2.解题方法技巧 ①题目给出多组边相等条件时，优先考虑SSS判定。 ②若边不直接相等，可通过“等边加/减公共线段”的和差运算，推导得到对应边相等。 ③证明全等后，可进一步利用全等性质推导角相等、直线平行等结论。 【例题1】.（25-26七年级下·福建宁德·期末）如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）已知，如图，，，， 求证：． 【变式题1-2】.（2026·云南·中考真题）如图，，，点是线段的中点．求证：． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，与相交于点，且，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)与全等吗？为什么？ 【题型2】利用SAS证明三角形全等 1.核心知识点 SAS判定定理；角的和差计算 2.解题方法技巧 ①找到两组对应边相等后，必须证明两边的夹角相等，不能用对角代替。 ②夹角相等常通过等角加/减公共角、角平分线定义、对顶角相等等方式推导。 ③书写时严格按“边-角-边”的顺序排列条件，突出夹角的中间位置。 【例题2】.（26-27八年级·江苏·暑假作业）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【变式题2-1】.（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 【变式题2-2】.（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，，，．求证：． 【变式题2-3】.（2026·云南·二模）如图，在和中，，，． 求证：． 【题型3】利用ASA/AAS证明三角形全等 1.核心知识点 ASA、AAS判定定理；平行线的性质；余角的性质 2.解题方法技巧 ①图形中有平行线时，可直接得到同位角、内错角相等，常结合ASA/AAS构造全等。 ②多直角图形中，常用“同角的余角相等”推导角相等，是AAS全等的典型推导路径。 ③区分ASA与AAS：边是两角的夹边用ASA，边是其中一角的对边用AAS。 【例题3】.（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，，，．求证：． 【变式题3-1】.（2026·湖北·二模）如图，已知，求证：． 【变式题3-2】.（2026·云南昆明·模拟预测）如图，点E为的中点，，．求证：． 【变式题3-3】.（2026·浙江杭州·二模）如图，点A在线段上，已知，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【题型4】直角三角形HL判定的应用 1.核心知识点 HL判定定理；直角三角形的性质 2.解题方法技巧 ①两个直角三角形中，已知斜边和一组直角边对应相等时，直接用HL判定，无需额外找第三个条件。 ②使用HL时，必须先说明两个三角形是直角三角形，书写时标注“”。 ③HL不是直角三角形全等的唯一判定，符合条件时SAS、ASA等方法同样适用。 【例题4】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在与中，于点．若，求证：． 【变式题4-1】.（2026·湖南长沙·二模）如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若，，，求线段的长度． 【题型5】全等判定的条件开放题 1.核心知识点 全等三角形的判定定理；隐含条件的挖掘 2.解题方法技巧 ①先从已知条件出发，找出已有的边或角相等关系，再结合公共边、公共角、对顶角等天然相等的元素。 ②根据判定定理补充缺少的条件：已知两边补夹角或第三边；已知一边一角补另一角或邻边；已知两角补任意一边。 ③答案不唯一时，优先选择最直接、易推导的条件。 【例题5】.（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，点，，在同一直线上，，要使，添加的条件可以是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，点A，M，N，C在同一条直线上，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，点，，，四点在同一直线上，，．若__________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【变式题5-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图点，，，，在同一条直线上，，．若______，则．请你从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【培优提升题型】 【题型6】二次全等综合证明 1.核心知识点 全等三角形的判定与性质的综合运用 2.解题方法技巧 ①无法直接证明目标三角形全等时，先证明第一对三角形全等，用其性质得到边或角相等，作为第二对全等的条件。 ②逆向推导思路：要证最终结论，需证哪对三角形全等；要证这对全等，缺什么条件；该条件能否由另一对全等得到。 ③书写时先证第一对全等，再推导边角相等，最后证第二对全等得出结论。 【例题6】.（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，点在的延长线上，，连接，过点作分别交，于点，．试说明： (1)为的中点； (2) 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【题型7】工程测量中的全等方案设计 1.核心知识点 全等三角形的判定与性质；数学建模思想 2.解题方法技巧 ①对于不可直接测量的距离（如河宽、池塘宽），通过构造全等三角形，将未知线段转化为可测量的对应线段。 ②常见方案：利用对顶角构造SAS全等、利用垂直构造ASA全等、利用角平分线构造对称全等。 ③解题步骤：说明设计方案→证明三角形全等→根据对应边相等得出测量结果。 【例题7】.（25-26七年级下·贵州毕节·期末）综合实践 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且满足，当，，在同一条直线上时，只需测量 的长度，即可得出的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】． 【测量目的】根据活动过程，是否能求出湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离．若能，请写出解答过程；若不能，请再添加一个条件，并写出解答过程． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）根据以下素材，解决问题． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端、的距离，小明设计出如图所示的方案． 测量示意图    测量步骤 ①过点作射线． ②过点作于点． ③在射线上截取，使得． ④测量的长． 测量数据 ． 根据以上信息，求池塘两端、的距离． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）在学习全等三角形后，七年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量五星红旗旗杆的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图    测量步骤 （1）在距旗杆底部B点水平地面上，选定一点C； （2）测量的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D三点共线，）； （5）测量标杆顶部E视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 ，，，， 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆的高度． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·四川成都·期中）学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点，使得； ④测得的长度为39米． (1)猜想、两点间的距离为___________米． (2)请你利用数学方法说明此方案正确的理由 【压轴素养题型】 【题型8】截长补短法构造全等证明线段和差 1.核心知识点 全等三角形的判定；线段和差的转化思想 2.解题方法技巧 ①当求证“一条长线段=两条短线段之和/差”时，常用截长补短法构造全等。 ②截长法：在长线段上截取一段等于其中一条短线段，证明剩余部分等于另一条短线段。 ③补短法：延长一条短线段，使延长部分等于另一条短线段，证明延长后的总线段等于长线段。 【例题8】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【变式题8-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【变式题8-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【题型9】倍长中线法构造全等 1.核心知识点 中线的定义；SAS全等判定；三角形三边关系 2.解题方法技巧 ①题目出现中线，且需证明线段不等关系或线段倍分关系时，考虑倍长中线法。 ②操作方法：延长中线至一倍长度，连接端点，构造SAS全等，将分散的线段转移到同一个三角形中。 ③常用于证明“中线与边长的不等关系”“线段的倍分关系”等问题。 【例题9】.（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【变式题9-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·上海·期末）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【变式题9-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 【题型10】动点背景下的全等分类讨论 1.核心知识点 全等三角形的对应关系；动点问题的方程思想；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①先用含时间的代数式表示出动点运动形成的线段长度。 ②题目仅说明“两个三角形全等”未明确对应关系时，按不同的顶点对应方式分情况讨论，通常有2-3种对应组合。 ③每种情况根据对应边相等列方程求解，最后验证结果是否符合运动范围和实际意义。 【例题10】.（25-26七年级下·山东济南·期中）如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． (1)当点在线段上时， （用含的代数式表示）； (2)当的面积为时，求的值； (3)当时，求的值． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·江苏·寒假作业）如图，长方形中，，，点、分别是、的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动，过点作于点，连结、，设点的运动时间为秒（）． (1)当点运动到的中点时，证明． (2)若点以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点在边上时，______（用含的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点不与点重合），易知，，若，求的值． (3)若点以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，直接写出能使和全等的所有的值． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示线段长度： ______， ______； (2)当时，求的值； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·福建三明·期末）如图，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)试说明：． (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，求为何值时，的面积为． (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 易错点 1、误用“SSA”判定全等：两边及其中一边的对角相等不能判定三角形全等，遇到两边一角的条件，必须确认是夹角才能使用SAS。 2、混淆ASA与AAS的对应关系：错把非夹边当作夹边使用ASA，或忽略“对应边是等角的对边”的要求，导致判定依据错误。 3、HL定理使用不规范：未说明三角形是直角三角形就直接用HL，或在一般三角形中错误使用HL判定。 4、对应关系混乱：证明全等时顶点字母不对应，导致后续对应边、对应角找错；动点全等问题遗漏分类讨论，造成答案不完整。 重点 1、SAS、ASA、AAS、SSS四种全等判定定理，以及直角三角形的HL判定定理。 2、全等三角形证明的规范书写，以及公共边、公共角、对顶角等隐含条件的挖掘与转化。 难点 1、构造辅助线证明全等，如截长补短法、倍长中线法等辅助线的思路与应用。 2、动点、折叠等动态背景下的全等分类讨论，以及多步全等的综合逻辑推理。 一、单选题 1．如图所示，在和中，，点，，在同一条直线上，且，于点，若，，则（     ） A． B． C． D． 2．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定，测得，之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 3．如图，已知平分，点、分别在射线、上，如果添加一个条件，即可推出，那么下列条件不能得到的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图所示，要测量河的宽度，某同学做了如下设计，站在点A的正对岸点B处，从点B向东走了10步到点C，又向东走了10步到点D，从点D一直向南走，直到点A，C，E在同一条直线上，则说明最恰当的理由是______． 5．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数．过点C作交的延长线于点E，则的长为_______． 6．如图，在中，已知与的面积相等，如果，那么的取值范围是________． 三、解答题 7．如图，已知，，．试说明：． 8．小程为了测量一幢高楼高度，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测得楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，都等于10米，量得旗杆与楼之间距离为，请你帮小程计算出楼高是多少米？ 9．已知：如图，，，垂足分别为，，，且．求证：． 10．如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 全等三角形的判定 【本节预习目标】 1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握SAS、ASA、AAS、SSS四种基本判定方法，明确“边边角”不能判定三角形全等。 2.掌握直角三角形全等的HL判定定理，能区分一般三角形与直角三角形全等判定的联系与区别。 3.能规范书写全等三角形的证明过程，准确挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件。 4.理解三角形的稳定性及其生活原理，能运用全等三角形知识解决实际测量、方案设计等真实问题。 5.通过尺规作图、类比探究等活动，发展几何直观与逻辑推理素养，体会分类讨论、转化的数学思想。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 全等三角形基础 全等三角形的定义；对应边相等、对应角相等的性质 全等判定是性质的逆向应用：由边、角相等推导三角形全等，再进一步得到更多边角等量关系 线段与角的性质 线段中点、角平分线、垂线的定义；对顶角相等；同角的余角/补角相等 是推导三角形边、角相等的常用隐含依据，为全等判定提供核心条件 平行线的性质 两直线平行，同位角/内错角相等，同旁内角互补 平行线可构造相等的角，是全等证明中推导角相等的重要途径 图形变换 平移、翻折、旋转前后图形全等，对应边、对应角相等 三大变换是全等三角形的常见呈现形式，变换特征可辅助快速识别对应关系 知识点1：一般三角形全等的判定方法 1.四种基本判定定理对比 判定方法 简称 文字描述 符号语言示例 图例 边边边 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 在和中，， 边角边 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 在和中，， 角边角 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 在和中，， 角角边 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 在和中，， 2.重要注意事项 判定两个三角形全等，至少需要一组边相等的条件；三个角对应相等（AAA）、两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能判定三角形全等。 书写证明时，需按判定定理的顺序排列条件，对应顶点字母写在对应位置。 知识点2：直角三角形全等的特殊判定 1.斜边、直角边定理（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 判定方法 简称 文字描述 符号语言示例 图例 直角边 HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 在和中，，， 2.判定方法总结 直角三角形全等的判定共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL。HL是直角三角形特有的判定方法，仅适用于直角三角形，一般三角形不能使用。 知识点3：三角形的稳定性 1.定义：三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性。 2.原理：其理论依据是“边边边（SSS）”全等判定定理。 3.应用：生活中的钢架桥、自行车三角架、人字梯拉杆等都利用了三角形的稳定性；四边形及边数更多的多边形不具有稳定性。 【基础巩固题型】 【题型1】利用SSS证明三角形全等 1.核心知识点 SSS判定定理；线段的和差计算 2.解题方法技巧 ①题目给出多组边相等条件时，优先考虑SSS判定。 ②若边不直接相等，可通过“等边加/减公共线段”的和差运算，推导得到对应边相等。 ③证明全等后，可进一步利用全等性质推导角相等、直线平行等结论。 【例题1】.（25-26七年级下·福建宁德·期末）如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作法易得，， 在和中， ， ，即选项B符合题意． 【变式题1-1】.（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）已知，如图，，，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在 和中， ∴ ∴． 【分析】先由“”判定，即可证明． 【详解】略 【变式题1-2】.（2026·云南·中考真题）如图，，，点是线段的中点．求证：． 【答案】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用判定方法“”证明即可． 【详解】略 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，与相交于点，且，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)与全等吗？为什么？ 【答案】(1)解：，理由如下， 在和中， ， ∴； (2)解：，理由如下， 由得， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】通过“”即可证明； 由得，所以，又，，所以，即，然后通过“”即可证明． 【详解】（1）略； （2）略． 【题型2】利用SAS证明三角形全等 1.核心知识点 SAS判定定理；角的和差计算 2.解题方法技巧 ①找到两组对应边相等后，必须证明两边的夹角相等，不能用对角代替。 ②夹角相等常通过等角加/减公共角、角平分线定义、对顶角相等等方式推导。 ③书写时严格按“边-角-边”的顺序排列条件，突出夹角的中间位置。 【例题2】.（26-27八年级·江苏·暑假作业）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】根据，得到，利用即可得证. 【详解】略 【变式题2-1】.（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵，，， ∴． (2)证明：∵， ∴． 【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，然后由进而得出； 接下来根据即可判定． （2）根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题2-2】.（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，，，．求证：． 【答案】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【分析】由，得到，结合已知条件，即可得证． 【详解】略 【变式题2-3】.（2026·云南·二模）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】证明：在和中 ， 【分析】根据题干的条件，由“边角边”证明两三角形全等即可． 【详解】略． 【题型3】利用ASA/AAS证明三角形全等 1.核心知识点 ASA、AAS判定定理；平行线的性质；余角的性质 2.解题方法技巧 ①图形中有平行线时，可直接得到同位角、内错角相等，常结合ASA/AAS构造全等。 ②多直角图形中，常用“同角的余角相等”推导角相等，是AAS全等的典型推导路径。 ③区分ASA与AAS：边是两角的夹边用ASA，边是其中一角的对边用AAS。 【例题3】.（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，，，．求证：． 【答案】证明；， ． 又， ， ． 在和中， ， ． 【分析】根据平行线的性质可得，再由，可得，即可求证． 【详解】略 【变式题3-1】.（2026·湖北·二模）如图，已知，求证：． 【答案】证明：， ，即； ， ； 在和中， ； ． 【分析】利用证明，即可得到． 【详解】证明：略 【变式题3-2】.（2026·云南昆明·模拟预测）如图，点E为的中点，，．求证：． 【答案】【详解】证明∶∵点E为的中点， ， 在和中， ， ． 【分析】由中点定义可得，再由已知的两个角相等，根据即可判定． 【详解】略 【变式题3-3】.（2026·浙江杭州·二模）如图，点A在线段上，已知，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ∴； (2)7 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴． 【题型4】直角三角形HL判定的应用 1.核心知识点 HL判定定理；直角三角形的性质 2.解题方法技巧 ①两个直角三角形中，已知斜边和一组直角边对应相等时，直接用HL判定，无需额外找第三个条件。 ②使用HL时，必须先说明两个三角形是直角三角形，书写时标注“”。 ③HL不是直角三角形全等的唯一判定，符合条件时SAS、ASA等方法同样适用。 【例题4】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【详解】略 【变式题4-1】.（2026·湖南长沙·二模）如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)12 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，求出和的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1)全等，理由见详解 (2) 【分析】（1）由两个直角三角形全等的判定定理判定即可； （2）由全等的性质得到长，数形结合表示出求解即可． 【详解】（1）解：全等，理由如下： 由题意可知，，，， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ， ，， 线段． 【题型5】全等判定的条件开放题 1.核心知识点 全等三角形的判定定理；隐含条件的挖掘 2.解题方法技巧 ①先从已知条件出发，找出已有的边或角相等关系，再结合公共边、公共角、对顶角等天然相等的元素。 ②根据判定定理补充缺少的条件：已知两边补夹角或第三边；已知一边一角补另一角或邻边；已知两角补任意一边。 ③答案不唯一时，优先选择最直接、易推导的条件。 【例题5】.（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，点，，在同一直线上，，要使，添加的条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角的性质由推出，结合公共边，利用全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：∵点在同一直线上， ∴，， ∵， ∴， 在和中， 已知（公共边），， A、添加，这是已知条件的推论，无法证明； B、添加， 在和中， ∴，故该选项符合题意； C、添加，这是公共边，无法证明； D、添加，无法证明． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，点A，M，N，C在同一条直线上，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得出，结合已知，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ，即． ∵， 对于A，添加，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于B，添加，可得，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于C，添加，根据可判定，故该选项不符合题意； 对于D，添加，此时为“边边角”，不能判定，故该选项符合题意． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，点，，，四点在同一直线上，，．若__________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】或；理由如下： ， ，即， ：在和中， ， ； ：在和中， ， ； ：此时条件为、、，此时无法推出． 【分析】分别添加三个条件中的个，结合全等三角形的判定方法逐一分析即可． 【详解】略 【变式题5-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图点，，，，在同一条直线上，，．若______，则．请你从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】添加②；理由如下：在和中，， ， ，即， ； 若选③： ，， ， 后续同上可证； ： ， 不行，不能证全等，①不可选． 【分析】要证，可先证，即证明，已知，搭配所选条件用全等判定证明三角形全等，得到，等式同减即可得． 【详解】略 【培优提升题型】 【题型6】二次全等综合证明 1.核心知识点 全等三角形的判定与性质的综合运用 2.解题方法技巧 ①无法直接证明目标三角形全等时，先证明第一对三角形全等，用其性质得到边或角相等，作为第二对全等的条件。 ②逆向推导思路：要证最终结论，需证哪对三角形全等；要证这对全等，缺什么条件；该条件能否由另一对全等得到。 ③书写时先证第一对全等，再推导边角相等，最后证第二对全等得出结论。 【例题6】.（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即． 在和中： ， ∴． (2)，且，证明如下： 由（1）得， ∴，． ∴， ∴． 综上，，且． 【分析】（1）因为已知，所以先对该等式同时减去公共线段，推导得到，结合已知的、，用全等判定定理证明． （2）和的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对应角，推导其补角，根据平行线的判定定理确定位置关系． 【详解】（1）略． （2）略． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)与相等，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得，，则，结合（1）得，即可证明，有． 【详解】（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，点在的延长线上，，连接，过点作分别交，于点，．试说明： (1)为的中点； (2) 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即为的中点； (2)证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知：为的中点， ∴. 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）证明，得到，即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）利用证明即可； （2）由可得，．根据可得，则可得，则．再证，即证． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵F为的中点， ∴， 又∵，， ∴． （2）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型7】工程测量中的全等方案设计 1.核心知识点 全等三角形的判定与性质；数学建模思想 2.解题方法技巧 ①对于不可直接测量的距离（如河宽、池塘宽），通过构造全等三角形，将未知线段转化为可测量的对应线段。 ②常见方案：利用对顶角构造SAS全等、利用垂直构造ASA全等、利用角平分线构造对称全等。 ③解题步骤：说明设计方案→证明三角形全等→根据对应边相等得出测量结果。 【例题7】.（25-26七年级下·贵州毕节·期末）综合实践 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且满足，当，，在同一条直线上时，只需测量 的长度，即可得出的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】． 【测量目的】根据活动过程，是否能求出湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离．若能，请写出解答过程；若不能，请再添加一个条件，并写出解答过程． 【答案】根据活动过程无法计算出长度，添加条件“”， ． 【分析】根据活动过程无法计算出长度，添加条件“”，证明，得到，即可求出． 【详解】解：根据活动过程无法计算出长度，添加条件“”， 根据题意可知，，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）根据以下素材，解决问题． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端、的距离，小明设计出如图所示的方案． 测量示意图    测量步骤 ①过点作射线． ②过点作于点． ③在射线上截取，使得． ④测量的长． 测量数据 ． 根据以上信息，求池塘两端、的距离． 【答案】 【分析】利用垂直得角相等，结合公共边与，证出，由全等对应边相等得到求出长度． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）在学习全等三角形后，七年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量五星红旗旗杆的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图    测量步骤 （1）在距旗杆底部B点水平地面上，选定一点C； （2）测量的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D三点共线，）； （5）测量标杆顶部E视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 ，，，， 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆的高度． 【答案】解：由题意知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：旗杆高度为15米． 【分析】证明即可得出结果． 【详解】略 【变式题7-3】.（25-26七年级下·四川成都·期中）学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点，使得； ④测得的长度为39米． (1)猜想、两点间的距离为___________米． (2)请你利用数学方法说明此方案正确的理由 【答案】(1)39 (2)见解析 【分析】证明，推出，即可得到结论． 【详解】（1）解：猜想、两点间的距离为39米； （2）解：理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴测得的长就是A、B两点间的距离，即39米． 【压轴素养题型】 【题型8】截长补短法构造全等证明线段和差 1.核心知识点 全等三角形的判定；线段和差的转化思想 2.解题方法技巧 ①当求证“一条长线段=两条短线段之和/差”时，常用截长补短法构造全等。 ②截长法：在长线段上截取一段等于其中一条短线段，证明剩余部分等于另一条短线段。 ③补短法：延长一条短线段，使延长部分等于另一条短线段，证明延长后的总线段等于长线段。 【例题8】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 【变式题8-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解． 【详解】证明：如图，在上截取，连接． 的平分线交边于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵， ． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 【变式题8-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 【题型9】倍长中线法构造全等 1.核心知识点 中线的定义；SAS全等判定；三角形三边关系 2.解题方法技巧 ①题目出现中线，且需证明线段不等关系或线段倍分关系时，考虑倍长中线法。 ②操作方法：延长中线至一倍长度，连接端点，构造SAS全等，将分散的线段转移到同一个三角形中。 ③常用于证明“中线与边长的不等关系”“线段的倍分关系”等问题。 【例题9】.（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照边角边证明三角形全等即可． （2）按照（1）中方法延长，使，利用三角形全等证明，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出的取值范围． （3）按照（1）中方法延长，使，证明、即可证明出结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）略 【变式题9-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先推导出得到再根据三角形的三边关系，得到求出则解得 即可解答； （2）延长至，使，连接，则，推导出得到推导出证明得到，即可解答； （3）延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，推导出得到继而证明得到推导出证明出可求出即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 是的中线， ， 解得： 即AD的取值范围为：； （2）证明：如图2，延长至，使，连接，则， 为的中点， ， ， ， 在和中， （3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 又∵ 即． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·上海·期末）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】（1），2；（2）见解析；（3）,的面积为12 【分析】（1）如图1：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； （2）如图：延长到点F，使，连接．易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图3：延长到点E，使，连接．易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图1：先延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为整数， ∴． 故答案为：，2． （2）证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键． 【变式题9-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 【答案】（）①，②； （）证明见解析； （）证明见解析 【分析】（）①延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定定理解答即可； ②利用全等三角形的性质和三角形的三边关系定理列不等式解答即可； （）延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，再利用等腰三角形的判定与性质和等式的性质解答即可； （）延长交于点，过点作于点，于点，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（）解：①延长至点，使，连接，如图， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， 的依据是； ②， ， ， ， ， ； （）证明：延长至点，使，连接，如图， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （）证明：延长交于点，过点作于点，于点，如图， 则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 【题型10】动点背景下的全等分类讨论 1.核心知识点 全等三角形的对应关系；动点问题的方程思想；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①先用含时间的代数式表示出动点运动形成的线段长度。 ②题目仅说明“两个三角形全等”未明确对应关系时，按不同的顶点对应方式分情况讨论，通常有2-3种对应组合。 ③每种情况根据对应边相等列方程求解，最后验证结果是否符合运动范围和实际意义。 【例题10】.（25-26七年级下·山东济南·期中）如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． (1)当点在线段上时， （用含的代数式表示）； (2)当的面积为时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)为秒或秒 (3)或 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据求解即可． （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可． 【详解】（1）解：当点在线段上时，， ． （2）解：， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，即，则； 若在点左侧，，即，则. 综上所述：当为或时，的面积为； （3）解：如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·江苏·寒假作业）如图，长方形中，，，点、分别是、的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动，过点作于点，连结、，设点的运动时间为秒（）． (1)当点运动到的中点时，证明． (2)若点以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点在边上时，______（用含的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点不与点重合），易知，，若，求的值． (3)若点以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，直接写出能使和全等的所有的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或8 (3)的值为2或6或10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，绝对值方程等知识点，解题的关键是分类讨论，熟练掌握三角形全等的性质． （1）当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）①根据题意即可求解． ②当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出等式求解即可． （3）根据题意分为当点P在边上时和当点P在边上时，根据全等三角形的性质列出等式求解即可． 【详解】（1）解：当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点，， ∴， ∵， ∴； （2）若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图1，当点P在边上时，， ； 故答案为：； ②如图2，当点P在边上时（点P不与点D重合）， 则， ∴， 若， 则，解得：或． （3）解：若点P以每秒个单位长度的速度运动，秒后， 当点P在边上时，与全等时， ∵， 则， ∴，解得：； 当点P在边上时，若与全等， ∵， 则， ∵， ∴，解得：或； 综上，或或． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示线段长度： ______， ______； (2)当时，求的值； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）当时，，为等边三角形，进行求解即可； （3）假设存在点为线段中点的情况．过点作交于点．证明，得出相等的线段，然后列方程求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）当时，， ∴为等边三角形， ∴．∴，解得：； （3）存在． 过点作交于点，如图2所示； ∴，， 在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点为线段中点， ∴，在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，解得：， ∴当秒时，点为线段中点，此时， ∴， ∵， ∴． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·福建三明·期末）如图，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)试说明：． (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，求为何值时，的面积为． (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：， ， ，     ， ， ，     ， 又，， ； (2)或 (3)存在，当或秒时，与全等 【分析】（1）根据题意先推出，再由，，即可证明； （2）根据题意，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在射线上时，综合两种情况即可得到的面积为时，的值； （3）根据题意，分为两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，根据全等可反推出时，然后列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图1，由（1）知， ，      当点在线段上时，， ，解得； 当点在射线上时，， ，解得； 综上所述，当或秒时，； （3）解：存在． 由（1）知， ， ，即， 如图2，当点在线段上时， ，且， 当时，， 此时，， ，解得， 如图3，当点在的延长线上时， ，且， 当时，， 此时，， ，解得， 综上所述，当或秒时，与全等． 易错点 1、误用“SSA”判定全等：两边及其中一边的对角相等不能判定三角形全等，遇到两边一角的条件，必须确认是夹角才能使用SAS。 2、混淆ASA与AAS的对应关系：错把非夹边当作夹边使用ASA，或忽略“对应边是等角的对边”的要求，导致判定依据错误。 3、HL定理使用不规范：未说明三角形是直角三角形就直接用HL，或在一般三角形中错误使用HL判定。 4、对应关系混乱：证明全等时顶点字母不对应，导致后续对应边、对应角找错；动点全等问题遗漏分类讨论，造成答案不完整。 重点 1、SAS、ASA、AAS、SSS四种全等判定定理，以及直角三角形的HL判定定理。 2、全等三角形证明的规范书写，以及公共边、公共角、对顶角等隐含条件的挖掘与转化。 难点 1、构造辅助线证明全等，如截长补短法、倍长中线法等辅助线的思路与应用。 2、动点、折叠等动态背景下的全等分类讨论，以及多步全等的综合逻辑推理。 一、单选题 1．如图所示，在和中，，点，，在同一条直线上，且，于点，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的余角相等得出，利用证明，得出，，进而求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴. 2．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定，测得，之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∴此方案依据的数学定理是边角边； 3．如图，已知平分，点、分别在射线、上，如果添加一个条件，即可推出，那么下列条件不能得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要判断能否推出，可根据已知条件平分，结合各选项所给条件，看能否证明和全等，若全等则可推出． 【详解】解：∵平分，点、分别在射线、上， ∴在和中，，， 选项A：若，则不能推出， ∴不能得出，符合题意； 选项B：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 选项C：在和中， ∵， ∴， ∴，不符合题意， 选项D：在和中， ∵， ∴， ∴，不符合题意． 二、填空题 4．如图所示，要测量河的宽度，某同学做了如下设计，站在点A的正对岸点B处，从点B向东走了10步到点C，又向东走了10步到点D，从点D一直向南走，直到点A，C，E在同一条直线上，则说明最恰当的理由是______． 【答案】（或角边角） 【分析】根据题意可得，，，从而可得． 【详解】解：由题意得： ，，， ∴． 5．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数．过点C作交的延长线于点E，则的长为_______． 【答案】 【分析】先证，得，再根据在中利用三角形三边关系求出的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解：与为偏等积三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即， ， ， 线段的长度为正整数， ． 6．如图，在中，已知与的面积相等，如果，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】由两三角形面积相等，得为的底边的中线，证明，得，根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边就可以求解． 【详解】解：延长到E，使， ，已知与的面积相等， 为的底边的中线， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ． 三、解答题 7．如图，已知，，．试说明：． 【答案】证明：∵， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先证明，再解答即可 【详解】略 8．小程为了测量一幢高楼高度，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测得楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，都等于10米，量得旗杆与楼之间距离为，请你帮小程计算出楼高是多少米？ 【答案】楼高是米 【分析】证明，由全等三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得，米， ∴，米， ∴， 在和中， ， ∴， ∴米， ∴楼高是米． 9．已知：如图，，，垂足分别为，，，且．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【分析】利用证明，由全等三角形的性质得出，利用线段的和差即可得出． 【详解】证明：略 10．如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴； (2)由（1）可得，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即． 【分析】（1）根据可得，再根据E为的中点可得，即可通过判定两个三角形全等； （2）由（1）可得，，，再根据可以得到，利用可以得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关判定方法． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $