第04讲 线段垂直平分线与角平分线15大题型（暑假预习讲义）新八年级数学新教材苏科版

第04讲 线段垂直平分线与角平分线 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 垂直平分线的基本辨识 题型2 垂直平分线的判定 题型3 利用垂直平分线的性质求长度 题型4 利用垂直平分线的性质求角度 题型5 利用垂直平分线的性质求面积 题型6 尺规作垂直平分线 题型7 角平分线的基本辨识 题型8 角平分线的判定 题型9 利用角平分线的性质求长度 题型10 利用角平分线的性质求角度 题型11 利用角平分线的性质求面积 题型12 尺规作角平分线 题型13 线段垂直平分线与角平分线综合 题型14 线段垂直平分线与角平分线中的最值 题型15 线段垂直平分线与角平分线中辅助线添加问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 垂直平分线 尺规作垂直平分线 角平分线 尺规作角平分线 1.准确说出线段垂直平分线、角平分线的定义，区分射线、线段、直线三类图形。 2.熟练掌握两条核心性质定理，并能规范写出几何推理步骤。 3.掌握对应的判定定理，能区分性质（由线得边等）与判定（由边等得线）的因果逻辑。 4.会用尺规独立作出线段垂直平分线、已知角的平分线，规范书写作图结论。 能结合三角形，利用两条定理进行线段相等、角度相等、周长转化的计算与证明。 学习重点：性质、判定定理的理解与规范证明运用；尺规作图。 学习难点：区分两条定理的适用条件；判定时不漏关键前提，不混淆外心、内心对应结论。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 线段的轴对称性 知识点1：线段的轴对称性 1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 即时即练 1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 2．如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是_____ ． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴． 3．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 知识点02 线段垂直平分线的画法（尺规作图） 1.分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C、D； 2.过C、D两点作直线（直线CD就是线段AB的垂直平分线）. 即时即练 4．如图，已知 (1)在上作点P，使点P到A、C两点的距离相等(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)． (2)在(1) 中， 连接， 已知， 求 的周长． 【答案】(1)图见解析 (2)12 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质，是解题的关键： （1）根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，作的中垂线，交于点，点即为所求； （2）根据中垂线的性质，推出的周长为的值即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）∵， ∴的周长， ∵， ∴的周长为12． 5．如图，已知，点D在边上，且． (1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质，准确作图是关键． （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据垂直平分线的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；. （2）解：由作图可知，垂直平分， ∴． ∴的周长 6．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)已知图①是轴对称图形，在图①中作出该图形的对称轴； (2)如图②，直线是线段的垂直平分线，点是直线外一点，位置如图所示．作出点的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接两组对应点，再过交点和另外一个顶点作直线即可． （2）连接并延长，交直线于点，连接交直线于点，连接，再连接并延长交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求． （2）如图②，连接并延长，交直线于点，连接交直线于点，连接，再连接并延长交于点， 则点即为所求． 知识点03 线段垂直平分线的易错归纳 概念理解易错 混淆 “垂直平分线” 与 “垂线 / 中线” 错：只垂直线段就是垂直平分线；只平分线段就是垂直平分线。 正：必须同时满足两个条件：①过线段中点（平分）；②与线段垂直，二者缺一不可。 误认为任意直线都有垂直平分线 垂直平分线只针对线段，射线、直线没有垂直平分线（两端无限延伸，无中点）。 性质定理使用易错性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两个端点距离相等。 找错点、找错线段 例：点 P 在 AB 垂直平分线上，错写PA=PB写成PA=AB； 反向乱用，缺少判定条件 只说PA=PB，直接下结论 “直线是 AB 垂直平分线”。 正：若一点到线段两端距离相等，只能说明这个点在垂直平分线上，一条直线要成为垂直平分线，至少需要两个这样的点才能确定直线。 漏写垂直、平分条件直接证边相等 证明题只写 “MN 是 AB 垂直平分线，∴PA=PB” 看似简单，但答题规范必须明确点明垂直平分的双重条件。 判定定理典型错题判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 单点判定直线，逻辑断层 错误写法：∵PA=PB，∴直线 PM 垂直平分 AB。 正确逻辑： ① PA=PB得到P 在 AB 垂直平分线上； ② QA=QB得到Q在 AB 垂直平分线上； ③ 两点确定一条直线，∴直线 PQ 垂直平分 AB。 图形看错，线段端点混淆 比如△ABC 中，DA=DB，误判定 D 在 AC 垂直平分线上。 作图易错（尺规作垂直平分线） 圆弧半径过小，两弧无交点 作图要求：以线段两端为圆心，大于线段一半长为半径画弧；等于一半只会交于中点，小于一半无交点。 只画一侧圆弧，漏掉上下两组交点 只画上面一组弧，只连一个点，作出的不是直线，只是一条射线。 作图结论写错 做完图不写：直线 MN 即为线段 AB 的垂直平分线。 即时即练 7．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证； （2）证明，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，   ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在的垂直平分线上，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质可得，则，根据垂直平分线的判定可证明结论 （2）证明，又由及四边形内角为即可得到的度数． 【详解】（1）点O在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （2）∵， ∴， ∵， ∴ 9．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）连接， ，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得，，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）设，则，依据“”判定和全等得，则，据此即可得出的周长． 【详解】（1）证明：连接， ，如图所示： ∵是的平分线，，, ∴， ∴, ∴,,,都是直角三角形， ∵是边的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴, ∴. （2）解：设， ∵,, ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∴, ∴的周长为：． 知识点04 角的轴对称性 1角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴； 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 即时即练 10．如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（     ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据到角的两边距离相等的点在角平分线上，且某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，即可作答． 【详解】解：设便民服务站所在的位置是点， 点到、的距离相等， 点在的平分线上， 同理，点也在、的平分线上， 点是三个角的平分线的交点， 这个便民服务站应该修在三个角的平分线的交点， 故选：B． 11．下列说法错误的是（    ） A．到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 在角的内部,到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上，故选项错误，符合题意； B. 角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确，不符合题意； C. 到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，故选项正确，不符合题意； D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故选项正确，不符合题意； 故选：A 12．如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，，根据垂直平分线的性质得到，再证得，从而得出结论； （2）易证得，根据全等三角形的性质得到，再利用（1）的结论，根据线段的和差关系进行解答即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图： 点D在的垂直平分线上， ， 点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 、、、， ， ， ， ， 故答案为：． 知识点05 角平分线的画法（尺规作图） 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 即时即练 13．如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线和线段的垂直平分线，以及角平分线和线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作平分线和线段的垂直平分线的步骤． 根据得到点在线段的垂直平分线上，由点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，得到点也在的平分线上，则交点即为点，再根据尺规作线段的垂直平分线和的平分线的步骤作图即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 14．如图，已知．用直尺和圆规按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图1中边上作出点，使得点到、的距离相等； (2)在图2中边上作出点，使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题考查了尺规作图以及角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质． （1）尺规作的角平分线交边于点即可； （2）尺规作线段的垂直平分线交边于点，则，结合等量代换即可得出，故点即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，点即为所求． 15．如图，在中，． (1)利用无刻度直尺与圆规按要求作图：作出的角平分线，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)判断与面积之间的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的作图以及性质定理，掌握相关结论即可； （1）根据要求即可作图； （2）作，则；根据得；根据三角形的面积公式即可判断； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：作，如图所示： 则， ∵． ∴； ∵， ∴； 知识点06 角平分线易错点归纳 概念区分出错 角平分线是从顶点出发的射线，三角形的角平分线是线段；若线条端点不在角顶点，就算分出两个等角，也不是角平分线，常错说成角平分线是直线。 性质忘写垂直条件 角平分线上的点到角两边距离相等，距离必须是垂线段。做题经常不标注垂直，直接拿斜线段相等证明，步骤不完整扣分。 判定缺少关键前提 判定点在角平分线上，需要同时满足：点在角内部、到两边垂线段相等。容易漏写 “在角内”，或是没有垂直就直接判定平分角。 和线段垂直平分线结论混淆 角平分线交点：到三角形三边距离相等；垂直平分线交点：到三角形三个顶点距离相等，两类结论经常记反混用。 作图与角度计算失误 尺规作图随意改变圆弧半径、画完不延长射线；内外角平分线夹角公式记混，不会用垂线段相等进行线段、周长等量代换。 即时即练 16．如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再结合运用可证明，根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证明结论； （2）证明得到，由可得， 再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵C是的角平分线上一点，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：4． 17．如图∶在中，点G为中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． (1)求证∶； (2)求证∶． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． (1)连接，先利用线段垂直平分线的性质得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明，即可得证； (2)证明，得到，由(1)得，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明∶如图，连接， ∵G是的中点，， ∴， ∵平分，， ∴， 又， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得；依据角平分线的性质可得；依据定理可判断出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）同理，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵D是线段垂直平分线上的点， ∴， ∵D是平分线上的点，，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：在与中， ∵，， ， ， ， ， ． 题型1 垂直平分线的基本辨识 1．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 【答案】C 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 2．如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，先结合，，得出，故点D在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则点D在的垂直平分线上， 故选：A． 3．珠海市香洲区有三个小区、、，其所在位置构成，市政府打算修建一个大型体育公园，使得该体育公园到三个小区的距离相等，则点应设计在（   ） A．三角形三条高的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定定理是解题的关键．根据点到三个小区、、的距离相等，可得是三边垂直平分线的交点，据此即可得答案． 【详解】解：∵点到、、的距离相等， ∴点是三边垂直平分线的交点， ∴点应位于三角形三边的垂直平分线的交点． 故选：C． 4．如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是______________． 【答案】各边垂直平分线的交点 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 根据线段垂直平分线的判定，即可确定观景台的位置． 【详解】解：∵到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是各边垂直平分线的交点． 故答案为：各边垂直平分线的交点． 5．有下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点在线段外且，过点作直线，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①/1 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及其性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等，故①正确； 因为垂直平分线不一定被线段本身平分，所以线段上任一点到垂直平分线两端的距离不一定相等，故②错误； 经过线段中点的直线有无数条，故③错误； 点在线段外且，过点作直线，当时，则是线段的垂直平分线，故④错误； 过线段的中点才能作这条线段的中垂线．故⑤错误； 故答案为：① 题型2 垂直平分线的判定 6．如图，平分，于点E，于点F，求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】利用角平分线的性质求得，再利用证明，可得，进而可得垂直平分． 【详解】证明：∵平分，于点E，于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分． 7．如图，已知是的高，E是上一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 先根据“斜边直角边”，可得是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得出答案． 【详解】证明：∵是的高（已知） ∴（高的定义） 在和中， ， ∴， （全等三角形的对应边相等）． 又， ∴是的垂直平分线， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． 8．已知：如图，内部一点P在的垂直平分线上，且．求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】见详解 【分析】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案； 【详解】证明：连接， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴点P在的垂直平分线上． 9．如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可． 【详解】证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 10．如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据角平分线的性质得出，证明出，得到，利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得出结论． 【详解】证明：∵是的平分线，且，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 题型3 利用垂直平分线的性质求长度 11．如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，   是的垂直平分线，， ∴． 12．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用线段垂直平分线的性质定理求解． 【详解】解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴． 13．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是_____________． 【答案】6 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长是． 14．如图，在中，分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点，连接，若，则长为___________． 【答案】5 【分析】根据垂直平分线上的性质解答即可． 【详解】解：由题意知点在的垂直平分线上， 则． 15．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键. （1）根据线段的垂直平分线的性质得到，，等量代换得到； （2）根据三角形周长公式求出，再根据（1）中结论计算，得到答案． 【详解】（1）垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）的周长为， ， ， ， ，， ， ， 即． 题型4 利用垂直平分线的性质求角度 16．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，得到，，再得到，根据题意得到是的角平分线，得到，进一步得到，即可求解． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵点到的距离相等， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，在中，，是的平分线，， 垂足为点E， 点P为线段上一动点．若，点 P 为线段的垂直平分线与的交点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据点 P 为线段的垂直平分线与的交点，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，证明，得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵点 P 为线段的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 18．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接．若，则的度数是____________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，则，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握并运用是解决问题的关键． 19．如图，在中，垂直平分线． (1)求作：的角平分线交于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据作角平分线的方法作出的角平分线交于点F即可； （2）过点作于点M，交的延长线于点N．证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为的角平分线； （2）解：如图，过点作于点M，交的延长线于点N． ∵平分，，， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证，即可证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴． 题型5 利用垂直平分线的性质求面积 21．如图，在中，是的垂直平分线，若，则图中阴影部分图形的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，轴对称图形的性质，解题的关键是掌握垂线两边的部分对称． 根据对称性，阴影部分的面积等于的面积的一半，求出三角形的面积，可得图中阴影部分的面积． 【详解】解：是的垂直平分线，根据对称性，阴影部分的面积等于的面积的一半， ， 故选：D． 22．如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连接，，若四边形与四边形的面积分别为和，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线、垂直平分线的定义，由是的中线，是边的中垂线，则，，，由四边形与四边形的面积分别为和，可得，从而求出，即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，是边的中垂线， ∴，，， ∵四边形与四边形的面积分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴，即的面积为， 故选：． 23．如图，在中，是的中线，是边的垂直平分线，且与相交于点G，连接，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为______．    【答案】22 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算．根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形的面积分别为8和13， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：22． 24．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，则△ABC的面积是___cm2． 【答案】24． 【分析】根据线段垂直平分线性质得出BD＝DC，求出AB+AC＝14cm，进而得出AB，根据直角三角形面积公式代入求出即可． 【详解】∵DE是BC边上的垂直平分线， ∴BD＝DC， ∵△ABD的周长为14cm， ∴BD+AD+AB＝14cm， ∴AB+AD+CD＝14cm， ∴AB+AC＝14cm， ∵AC＝8cm， ∴AB＝6cm， ∴△ABC的面积是 （cm2） 故答案为：24． 【点睛】本题考查了三角形面积和线段垂直平分线性质，熟练掌握线段垂直平分线上点到线段的两个端点的距离相等． 25．在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【详解】（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角平分线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 题型6 尺规作垂直平分线 26．如图，A，B，C三点表示三个居民区，为了方便居民就近购物，计划新建一个综合超市，要使超市到三个居民区距离相等，请你在图中用尺规确定超市位置． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质的应用，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等知，作出的中垂线相交于点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为超市位置． 27．如图，中，． (1)用尺规作边上的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长为7，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据作垂直平分线的尺规作图的方法作图即可； （2）由垂直平分线的性质得到，由可推出，即可解答． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 28．如图，三角形纸片． (1)将折叠，使点与点重合，折痕交于点，请用尺规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)点是折痕上一动点，若，则的周长的最小值为____． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图和性质、轴对称性质、最短距离问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键． （1）由轴对称性质，作的垂直平分线即可； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质得， 则的周长为，当且仅当A、P、B共线时取等号，此时点P与点D重合，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求： （2）解：如图，连接， ∵直线l是的 垂直平分线， ∴， ∴的周长为，当且仅当A、P、B共线时取等号，此时点P与点D重合， ∵， ∴的周长的最小值为， 故答案为：11． 29．如图，在等腰中，，． (1)利用尺规完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点，使，标出点位置． (2)在（1）的基础上，只利用直尺，画出点，使点到三个顶点的距离相等． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图：作轴对称图形和作一条线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质． （1）①分别以为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接和即可； ②作的垂直平分线，交的延长线于点，则； （2）连接交的垂直平分线于点，点到三个顶点的距离相等． 【详解】（1）解：①，如图所示． ； ②点的位置如图所示； （2）解：点的位置如图所示． 30．如图，已知． (1)用尺规作的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为12． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，由的周长为18，求得，进而即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：由题意得，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为12． 【易错警示】 画弧半径必须大于线段一半，半径过小无交点，等于半长仅交于中点。要在线段上下各画一组弧，得到两个交点再连线，只画单侧弧会出错。作图全程不能改变圆规开度，最后连接两交点得到直线，勿忘书写作图结论，规范答题避免失分。 题型7 角平分线的基本辨识 31．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（   ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．以上均不正确 【答案】A 【详解】解：平分的依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 32．若内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．以上都不是 【答案】A 【详解】解：∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴点O到三条边的距离相等，则点O在的三个角的平分线上， ∴O为三条角平分线的交点． 33．以下说法中错误的是（　　） A．如果直线是线段的垂直平分线，点在上，那么 B．如果点到线段两个端点的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上 C．如果点是内一点，、分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，是上一点，那么点到、的距离相等 【答案】C 【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质与判定定理逐项判断即可；本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线和角平分线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，点在上， ∴（垂直平分线的性质），故A正确； ∵点到线段两个端点的距离相等， ∴点在线段的垂直平分线上（垂直平分线的判定），故B正确； ∵点是内一点，、分别在、上，， 但和不一定是点到、的距离， ∴无法推出是角平分线，故C错误； ∵是的平分线，是上一点， ∴点到、的距离相等（角平分线的性质），故D正确； 故选：C． 34．如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明是角平分线即可解决问题． 【详解】解：于点，于点，且， ， ， ， 故答案为：． 35．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为______． 【答案】 【分析】本题考查了角的平分线的判定定理，平行线的性质，熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键．设上面的直尺与射线的交点为，直尺宽度为过点作于点，由直尺宽度可得，即可得到平分，则，最后由直尺平行可得． 【详解】解：如图，设上面的直尺与射线的交点为，直尺宽度为过点作于点， 则由直尺宽度可得， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【易错警示】 角平分线是以角顶点为端点的射线，三角形角平分线为线段，不可说成直线。只有从顶点出发、将角分成两个等角的射线才是平分线，顶点不在角上的等分线不算。区分角平分线、中线，做题看清图形，表述严谨，防止概念混淆造成推理错误。 题型8 角平分线的判定 36．如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】略． 37．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 38．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键． 过点D作于点F，根据证得，进而证得，根据角平分线定理证明即可． 【详解】证明：如图，过点D作于点F， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分． 39．已知，如图，在中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 要求：在横线“______”上填证明步骤，在括号“（    ）”中填证明依据 证明：过点P分别作，，． ∵平分 （已知），且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（    ） ∴平分． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质和判定方法，进行作答即可． 【详解】证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知），且，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且，， ∴， ∴（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上） ∴平分． 40．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据： ） ∵， ∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据中垂线的性质，证明两个直角三角形全等，角平分线的判定定理，进行作答即可． 【详解】证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） ∵， ∴． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据：到角两边距离相等的点在角的角平分线上） 即平分． 题型9 利用角平分线的性质求长度 41．如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． 42．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为______． 【答案】4 【分析】过点D作于点E，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到两边的距离相等”，即可进行解答． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴，即点到的距离为4． 43．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点P，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ， ∵是的角平分线，， ， ∵在和中， ， ， ． (2)2 【分析】（1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证； （2）根据（1）可知，结合已知条件得到，进而得到． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）可知， ， ∴， ∴． 44．如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的性质可得，进一步可证，得到，即可求解； （2）证得，结合可得即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 45．如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由证明，即可得出结论； （2）证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据题意得： ， ∴． 题型10 利用角平分线的性质求角度 46．如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先过点E作，根据角平分线的性质得出，得到，根据全等三角形的性质从而得到，即可解答． 【详解】解：过点E作，如图 ∴ ∵平分，且E是的中点， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 47．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，计算即可求解． 【详解】如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ， 同理可得， ， ，， 是的平分线， ． 48．如图，点是的角平分线上一点，分别在上，且．则与的关系是___________． 【答案】相等或互补 【分析】当时，可证明，得到；当时，过点D分别作，，利用角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质得出，结合图形，利用等量代换即可得出结果． 【详解】解：如图所示，当时， ∵为的平分线上一点， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作，，垂足分别为G，H， ∵为的平分线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上所述，与的关系是相等或互补． 49．如图，，平分，交于点D． (1)按下列要求画出相应的图形： ①作于点E； ②作交于点F (2)若，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作出垂线即可． （2）利用平行线的性质由求出，再利用角平分线定义求出，最后利用平行线的内错角相等求出． 【详解】（1）解：过点作，垂足为； ②过点作，交于点， 则． （2）解：， ， 平分， ， ， ． 50．如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质定理得到，，进而得到，从而得到结论； （2）易证得和，进而得到和，从而得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 平分，平分，，，， ，， ， ，， 点在的角平分线上， ∴平分； （2）解：，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 题型11 利用角平分线的性质求面积 51．如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，， ∴，，， 由三角形三边关系得， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴可能的值为8， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 52．如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线，以及利用方程思想解决三角形的面积问题，作于，于，得，则，设的面积为，则，由为的中点，从而，根据的面积比的面积大，列出方程即可求解，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】作于，于， ∵平分， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∵为的中点， ∴， ∵的面积比的面积大， ∴的面积比的面积大， ∴， ∴， ∴ 故选：． 53．如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 【答案】 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，由角平分线的性质可得，从而得到，则，由中线的性质可得． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 54．如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形面积，由是的角平分线，，分别是和的高，则有，通过，求得，所以，最后通过即可求解，掌握角平分线性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 55．已知：如图，平分，于E，于F，且． (1)若，则　　． (2)若的面积是24，的面积是16，则的面积等于　 ． 【答案】(1)10 (2)4 【分析】（1）利用角平分线的性质可得，根据等角的补角相等得，利用证出，求出，证明，推出，由可得，即可得； （2）利用全等三角形的面积相等，设的面积为x，列出方程可得结果． 【详解】（1）∵平分，于E，于F ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． （2）∵， ∴， 设的面积为x， ∵的面积是24，面积是16， ∴， ∴． 即的面积等于4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 题型12 尺规作角平分线 56．如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 【答案】(1)的平分线如图所示： (2)3 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可； （2）作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求出即可. 【详解】（1）略； （2）解：作于点E，如图， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴. 57．如图，在中，点 是 上的一点，且 ． (1)实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明：是的平分线， ． 在和中 ． ． 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径作弧，与、相交，分别以交点为圆心，大于两个交点之间距离的一半为半径作弧，交于一点，过点B和两弧的交点作射线，交于点E； （2）结合角平分线的定义，可得，证明，即可证得结论； 【详解】（1）略 （2）略 58．如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且． 【答案】(1)如图，点即为所求作的点； (2)如图，点即为所求作的点． 【分析】（1）由题意得，点在的垂直平分线，即作的垂直平分线交于点，点即为所求作的点； （2）延长至点，作的平分线的过点的垂线，延长交于点，作的平分线交于点，过点作的垂线交于点，点即为所求作的点． 【详解】（1）略 （2）解：图略 理由：于点，于点，平分 ， 在和中， ， ， ， 将沿着直线折叠，点能落在边上的点处． 59．如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D； (2)应用与计算：若，，，求点D到的距离． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)3 【分析】（1）利用尺规作图的基本方法，作的角平分线． （2） 利用角平分线的性质，得点到的距离等于，再通过面积法列方程求解． 【详解】（1）解：以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在内部交于一点，作射线，交于点，即为所求． （2）解：过点作于点， 平分，，， ， 设， ， ， 即， ， 解得， 点到的距离为． 60．如图，中，． (1)基本尺规作图：作的角平分线交于，过点作于．（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)若，求的周长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）由尺规作图-作角平分线的方法步骤求解即可； （2）先由角平分线性质得到，再由两个直角三角形全等的判定与性质得出，求出，数形结合即可求得到的周长． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【易错警示】 以顶点画弧时圆规开度不可变动，两交点要落在角的两条边上。再分别以两交点画弧，半径需保持一致，否则无内侧交点。连线必须从角顶点延伸出去，不能只画线段。作图完整后要写明结论，作图步骤遗漏、半径随意更改都会导致图形出错，答题扣分。 题型13 线段垂直平分线与角平分线综合 61．如图，是的角平分线，，，垂足分别为，，连接，与相交于点，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．用角平分线性质、全等三角形判定验证正确选项，用反证法论证错误选项． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵平分， ∴垂直平分， ∴，故项正确． 假设，结合垂直平分，则与互相平分，即四边形是平行四边形． 但四边形是矩形（），需，而题目无此条件，与假设矛盾． 故项错误． 假设，则． ∵， ∴，则，题目无此条件，与假设矛盾．故项错误． 假设，则． ∵， ∴四边形中，题目无此条件，与假设矛盾．故项错误． 故选：． 62．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，若，则的长度为（    ） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质． 连接，过点作于点，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，根据证明，可得，再根据证明，可得，继而可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作并交延长线于点， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ∴， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ． 故选：B． 63．如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点、过点作于点，若，，则____________． 【答案】 【分析】连接、，作于，由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案． 【详解】连接、，作于，如图所示： 点在的垂直平分线上， ， 点在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，   ， ． 64．如图，的外角的角平分线与边的中垂线交于点，过作于点，则、、三条线段之间的数量关系为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，理解题意和准确构造辅助线是解题的关键； 连接，，过点作，交于点，证明，得到，再证明，从而得到，，即可推出． 【详解】解：如图所示，连接，，过点作，交于点， ∵是的角平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴、、三条线段之间的数量关系为， 故答案为：． 65．问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小杜发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证小杜的证明思路是：如图2，过点作，分别交于点，交于点，利用等面积法来证明． (1)尝试证明：请参照小杜的思路，利用图2证明； (2)基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若则的长为___________； (3)拓展升华：如图4，中，平分，的垂直平分线交的延长线于点，当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明，再结合面积比可得结论． （2）由折叠的性质可得出，，由（1）可知，，可得，结合与轴对称的性质可求出答案． （3）根据（1）可得，从而求得，再根据中垂线可得，结合即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，是的角平分线， ∴， ∵，而， ∴， ∴． （2）解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处， ，， 由（1）可知，， 又∵， ，， ， ， ； ． （3）解：为的角平分线， ，， ，，， ， ， 的中垂线交延长线于， ， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、中垂线的性质、轴对称的性质，多项式的乘法运算，熟练掌握性质定理是解题的关键． 题型14 线段垂直平分线与角平分线中的最值 66．如图，在中，，点P是边上一动点，点D在边上，且，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，利用转化的思想求解． 过点A作的对称点，连接，交于点，过点作，，垂足分别为，过点B作，垂足为点，则由对称可得，因为，那么当点三点共线时，取得最小值，此时点即为点的位置，再证明，即可求解． 【详解】解：过点A作的对称点，连接，交于点，过点作，，垂足分别为，过点B作，垂足为点， 由对称可得， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值，此时点即为点的位置， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴当取最小值时， 故选：B． 67．如图，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为（   ） A．15 B．13 C．12 D．11 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质以及两点之间线段最短的原理；连接，由垂直平分线的性质可得，将的周长进行转化，即可求解． 【详解】如图，连接， 由垂直平分线的性质可知：， ， ， 的最小值为， 周长的最小值为． 故选：． 68．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，若分别为线段上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．10 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂线段最短、三角形的面积等知识点，掌握相关性质定理是解题的关键． 如图：过点A作交于一点，再连接，得，则的最小值为，再运用三角形的面积公式列式求得的长即可． 【详解】解：如图：过点A作交于一点，再连接， ∵的垂直平分线分别交于点， ∴， ∵分别为线段上的动点， ∴的最小值为， ∵， ∴，即，解得：， ∴的最小值为10． 故选C． 69．如图，在四边形中，，，是的中点，，则长的最大值是__________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系．解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将分散的线段和集中到一个三角形中，利用线段垂直平分线的性质将转化为，最后根据三角形两边之和大于第三边确定最大值． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， 是的中点 在和 中 ， 又 是线段的垂直平分线 当点，，三点共线时，取得最大值，最大值为 ， 的最大值为 的最大值为． 70．如图，在四边形中，对角线平分，，四边形的面积为16， ① 若，那么的面积为_______． ② 若与在不发生变化的情况下，当取最小时，的面积为______． 【答案】 12 8 【分析】①，则，，求得，设，则，利用四边形的面积为16，即可求解； ②延长至点P，使得，连接，过P作平行，并且使得，证明，得到，，推出当A，B，Q共线时，最小，即最小，再证明，求得与面积相等，据此求解即可． 【详解】解：①∵对角线平分， ∴点到和的距离相等， 设这个距离为，再设，则，， ∴，， ∴， 设，则， ∵四边形的面积为16，∴， 解得， ∴； ②延长至点P，使得，连接，过P作平行，并且使得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴当A，B，Q共线时，最小，即最小， ∵平行， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与面积相等， ∴的面积为． 题型15 线段垂直平分线与角平分线中辅助线添加问题 71．如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出，再由，分别垂直平分线段和线段，求出，即可求解． 【详解】（1）解：，分别垂直平分线段和线段， ，， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2），分别垂直平分线段和线段， ，，， ，， ，， ， ， 四边形的内角和为， ， ； 故答案为：； （3）如图所示， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， 的周长为8， ， 的周长为18， ， ， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 72．如图，在中，． (1)在图1中作的平分线交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． (3)如图2，平分，是线段上一点，延长交线段于点，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，以及角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）过点作于点，由角平分线的性质得到，再结合三角形面积公式求解即可． （3）过点分别作于，于，根据角平分线的性质可得，再证明，即可得证． 【详解】（1）解：即为的平分线，如图所示 （2）解：如图，过点作于点． 因为平分，，， 所以， 所以 （3）证明：过点分别作于，于． 平分 同理 在和中： 73．【回顾】如图1，点是的平分线上一点，过点作于点，于点，依据角平分线的性质可得． （1）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （2）【拓展】如图3，的外角，的平分线与内角的平分线交于点，若，请直接写出的度数． 【答案】（1）①见解析，②，，之间的数量关系为，理由见解析；（2）． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）①过D作于F，则；证即可； ②根据推出，再证，得，即可； （2）过P作交延长线于H，于G，于K，由题意得，，推出，得出平分，即可求解； 【详解】（1）①证明：过D作于F，如图： ∵是的平分线，， ∴， ∵，且． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：之间的数量关系为，理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：过P作交延长线于H，于G，于K，如图： ∵平分 ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 74．如下图，在中，平分，交于点，过点作交的延长线于点，为边上一点，且．已知，连接． (1)的度数为 ． (2)求证：平分． (3)若，，，且，求的面积（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)35° (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）利用直角三角形两锐角互余求出，再根据平角定义求出； （2）作垂线利用角平分线的性质证明线段相等进而证明平分； （3）根据三角形面积公式求出的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴． （2）解：证明：如图，过点作于点，于点． ，， ． ，， ． 又平分，， ， ， 平分． （3）解：， ． 由（2），得， ，解得， ， ． 75．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 【易错警示】 线段垂直平分线需同时满足平分线段、与线段垂直两个条件，缺一不可。它仅针对线段，射线、直线无垂直平分线。切勿认为过线段中点的直线就是垂直平分线，也不能仅凭一条垂线就判定。做题注意区分垂线、中线与垂直平分线，证明时两个条件都要写全，避免逻辑漏洞。 1．到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点 【答案】B 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 2．如图，在中，是边的垂直平分线，，．则的长为（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质求出即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴． 3．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接.若，，则的长为（   ） A．10 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，线段的和差，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质定理． 根据线段垂直平分线的性质定理进行求解即可． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，，平分，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据角平分线的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵平分，且， ∴， ∴ ． 5．正方形网格中，位置如图，点O、A、B三点都是格点，则格点C、D、E、F中到两边距离相等的点是（    ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，将“到两边距离相等的点”转化为“在的平分线上的点”，通过图象即可找出符合条件的点． 【详解】解：由题意，可知该点在的平分线上， 通过图象可知，点E在的平分线上， 故选： C． 6．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质．由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．以下说法中错误的是（　　） A．如果直线l是线段的垂直平分线，点P在l上，那么 B．如果点P到线段两个端点的距离相等，那么点P在线段的垂直平分线上 C．如果点P是内一点，M、N分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，P是上一点，那么点P到、的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线和角平分线的性质与判定，熟练掌握以上知识点，是做题的关键．根据线段的垂直平分线和角平分线的性质与判定，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵直线l是线段的垂直平分线，点P在l上，则， ∴ A正确，故不符合题意； ∵点P到线段两个端点的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上， ∴ B正确，故不符合题意； ∵ 角平分线的判定要求点到和的垂直距离相等，但选项C中和是点到和上点M、N的距离，不一定垂直， ∴ 不能推出是的平分线， ∴ C错误，故符合题意； ∵是的平分线，P是上一点，则点P到、的距离相等， ∴ D正确，故不符合题意． 故选：C． 8．如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可． 【详解】解：如图所示，过点D作分别垂直于，垂足分别为E、F、G，连接， ∵，的角平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D到的距离为1， 故选：A． 9．如图，中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若的面积为10，，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与最短路径问题，解题的关键是利用垂直平分线的性质将转化为，再结合垂线段最短确定最小值． 由直线垂直平分得，则；当、、共线且时，最小，此时为的高，结合面积公式求出即可． 【详解】解：连接，如图 直线垂直平分， ， 当、、共线且时，取得最小值，即的长． 由的面积，，得，解得， 故的最小值为5． 故选：B． 10．如图，三角形中，的平分线交于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．先根据角平分线的性质得，证明，可得，继而证得①；又由线段垂直平分线的判定，可得②垂直平分；然后利用三角形的面积公式求解即可得③． 【详解】解：①∵三角形中，的平分线交于点D，过点D作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵，， ∴点D在的垂直平分线上，点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故②正确； ③∵，，， ∴； 故③正确； ④∵不一定等于， ∴不一定平行． 故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 故选：A． 11．如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为______． 【答案】14 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据周长的定义计算即可． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴，． ∴四边形的周长． 故答案为：14． 12．如图，在中，，是的角平分线，，，则点D到的距离是______． 【答案】6 【分析】过点作于点，求得，根据角平分线的性质可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，是的角平分线，， ，即点D到的距离是． 13．如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为_______．    【答案】4 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到结论，重点把握线段垂直平分线即可得到等腰三角形． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长是， ，即， 的周长是， ， ， ． 14．如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为______． 【答案】8 【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解． 【详解】解：∵分别是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 15．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为7，则_______． 【答案】 【分析】根据垂直平分得，则计算即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， ． 16．如图，点分别在的垂直平分线上，，，三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为___． 【答案】 20 【分析】根据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出，，即可求解． 【详解】解：点A，D分别在，的垂直平分线上， ，， ， ， ． 17．如图，在中，，，，将沿折叠，使得点 B恰好落在边上的点E处，折痕为，若点F为上一动点，则的周长最小值为____________ 【答案】8 【分析】根据折叠的性质可知，垂直平分，进而得到，，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知，当B、F、C三点共线时周长最小，进而求解 ． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，， 垂直平分， ， ， ， 的周长为， 当点B、F、C在同一条直线上时，的值最小，最小值为 ， ， 的周长最小值为． 18．在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 【答案】7或13/13或7 【分析】分点D在点E左侧和点D在点E右侧两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）得到，再结合和的长度进行求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴， 当点D在点E左侧时，； 当点D在点E右侧时，； 故的值为7或13． 19．如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是______． 【答案】 ①②④⑤ 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点，证明是解此题的关键；根据角平分线的性质即可判断①；证明得到② ， 即可判断②，根据即可判断④，根据同角的余角相等即可判断⑤，并得到③错误． 【详解】解：∵，平分，， ∴，故①正确； 在和中， ∴， ∴ ， ∴平分，故②正确 ，故④正确； ∵ ∴，故⑤正确； ∵，而， ∴， ∴平分错误，故③错误； 综上所述，正确的有①②④⑤． 20．如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，利用角平分线的性质，推导点到、的距离相等是解题关键． 作到、、的垂线，可由角平分线性质得三条垂线段相等，然后通过的面积求出垂线段长度，用该长度计算的面积即可． 【详解】解：如图，过点分别作、、的垂线，交延长线于点，交延长线于点，交于点． 平分，平分， ，， ， 已知，，， ， 解得，即， ． 故答案为：． 21．如图，在中， ，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，求的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长． 22．如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，证明出是解题的关键． （1）先利用证明，再根据全等三角形的对应角相等即可得出； （2）根据全等三角形的对应角相等得出，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，垂足为E，，垂足为F， ∴， ∵， ∴． 23．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，进而得，再根据周长，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴周长． 24．如图所示，在中，，点G为的中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)直接写出的长 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质定理， 对于（1），先根据线段垂直平分线的性质定理得出，再根据角平分线性质定理得，然后根据“斜边、直角边”证明，则此题可证； 对于（2），先根据“斜边直角边”证明，可得，进而得出，再代入数值求出，此题可解． 【详解】（1）证明：连接， ∵点G是的中点，且， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵平分，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：8； ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：8． 25．如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． (1)求证：； (2)若在中，，，求BE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，,根据的平分线与的垂直平分线交于点D，得到和，进而得到和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得即可； （2）由题意证得和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得，进而证得，计算求解的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，, 点D在的垂直平分线上 ，，平分 ， 在和中， ； （2）解：在和中， ． 答：BE的长为． 26．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点F是在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即； （2）解：点F是在边的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴点F是在边的垂直平分线． 27．尺规作图： 如图，在三角形中，，请仅用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，并完成填空． (1)作的平分线，交边于点D； (2)作点C关于直线的对称点E； (3)连接，则的周长=______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法解答即可； （2）过点C尺规作的垂线，与的交点即为点E， （3）证明，得到，，求出，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：的平分线如图所示： （2）解：点C关于直线的对称点E如图所示： （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴C、E关于直线对称，即垂直平分，， ∴， ∴的周长． 28．如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）连接，．根据角平分线的性质定理得出，，根据是的垂直平分线，得出．证明，即可得． （2）根据全等三角形的性质得出，结合，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，． 是的角平分线，，， ． 是的垂直平分线， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ． （2）解：， ． ， ， ，， ． 在和中， ， ， ． ． ． 的长为36． 29．如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由即可得到答案； （2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，且于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，，； （2）解：成立． 已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点． 求证：． 证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴＝． 30．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）过点作于，根据全等三角形的性质，得到，利用面积公式推出，即可得证； （3）证明，，推出，进而得到的面积，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ． （2）过点作于，如图所示： ， ，， 又，即， ， 又，， ， 平分． （3）在和中，， ， 同理：， ， ， 的面积， ， ， 解得：； 故答案为：3． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 线段垂直平分线与角平分线 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 垂直平分线的基本辨识 题型2 垂直平分线的判定 题型3 利用垂直平分线的性质求长度 题型4 利用垂直平分线的性质求角度 题型5 利用垂直平分线的性质求面积 题型6 尺规作垂直平分线 题型7 角平分线的基本辨识 题型8 角平分线的判定 题型9 利用角平分线的性质求长度 题型10 利用角平分线的性质求角度 题型11 利用角平分线的性质求面积 题型12 尺规作角平分线 题型13 线段垂直平分线与角平分线综合 题型14 线段垂直平分线与角平分线中的最值 题型15 线段垂直平分线与角平分线中辅助线添加问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 垂直平分线 尺规作垂直平分线 角平分线 尺规作角平分线 1.准确说出线段垂直平分线、角平分线的定义，区分射线、线段、直线三类图形。 2.熟练掌握两条核心性质定理，并能规范写出几何推理步骤。 3.掌握对应的判定定理，能区分性质（由线得边等）与判定（由边等得线）的因果逻辑。 4.会用尺规独立作出线段垂直平分线、已知角的平分线，规范书写作图结论。 能结合三角形，利用两条定理进行线段相等、角度相等、周长转化的计算与证明。 学习重点：性质、判定定理的理解与规范证明运用；尺规作图。 学习难点：区分两条定理的适用条件；判定时不漏关键前提，不混淆外心、内心对应结论。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 线段的轴对称性 知识点1：线段的轴对称性 1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 即时即练 1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 2．如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是_____ ． 3．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 知识点02 线段垂直平分线的画法（尺规作图） 1.分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C、D； 2.过C、D两点作直线（直线CD就是线段AB的垂直平分线）. 即时即练 4．如图，已知 (1)在上作点P，使点P到A、C两点的距离相等(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)． (2)在(1) 中， 连接， 已知， 求 的周长． 5．如图，已知，点D在边上，且． (1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 6．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)已知图①是轴对称图形，在图①中作出该图形的对称轴； (2)如图②，直线是线段的垂直平分线，点是直线外一点，位置如图所示．作出点的对称点． 知识点03 线段垂直平分线的易错归纳 概念理解易错 混淆 “垂直平分线” 与 “垂线 / 中线” 错：只垂直线段就是垂直平分线；只平分线段就是垂直平分线。 正：必须同时满足两个条件：①过线段中点（平分）；②与线段垂直，二者缺一不可。 误认为任意直线都有垂直平分线 垂直平分线只针对线段，射线、直线没有垂直平分线（两端无限延伸，无中点）。 性质定理使用易错性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两个端点距离相等。 找错点、找错线段 例：点 P 在 AB 垂直平分线上，错写PA=PB写成PA=AB； 反向乱用，缺少判定条件 只说PA=PB，直接下结论 “直线是 AB 垂直平分线”。 正：若一点到线段两端距离相等，只能说明这个点在垂直平分线上，一条直线要成为垂直平分线，至少需要两个这样的点才能确定直线。 漏写垂直、平分条件直接证边相等 证明题只写 “MN 是 AB 垂直平分线，∴PA=PB” 看似简单，但答题规范必须明确点明垂直平分的双重条件。 判定定理典型错题判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 单点判定直线，逻辑断层 错误写法：∵PA=PB，∴直线 PM 垂直平分 AB。 正确逻辑： ① PA=PB得到P 在 AB 垂直平分线上； ② QA=QB得到Q在 AB 垂直平分线上； ③ 两点确定一条直线，∴直线 PQ 垂直平分 AB。 图形看错，线段端点混淆 比如△ABC 中，DA=DB，误判定 D 在 AC 垂直平分线上。 作图易错（尺规作垂直平分线） 圆弧半径过小，两弧无交点 作图要求：以线段两端为圆心，大于线段一半长为半径画弧；等于一半只会交于中点，小于一半无交点。 只画一侧圆弧，漏掉上下两组交点 只画上面一组弧，只连一个点，作出的不是直线，只是一条射线。 作图结论写错 做完图不写：直线 MN 即为线段 AB 的垂直平分线。 即时即练 7．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，求的长 8．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 9．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 知识点04 角的轴对称性 1角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴； 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 即时即练 10．如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（     ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 11．下列说法错误的是（    ） A．到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 12．如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 知识点05 角平分线的画法（尺规作图） 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 即时即练 13．如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图） 14．如图，已知．用直尺和圆规按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图1中边上作出点，使得点到、的距离相等； (2)在图2中边上作出点，使得． 15．如图，在中，． (1)利用无刻度直尺与圆规按要求作图：作出的角平分线，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)判断与面积之间的大小关系，并说明理由． 知识点06 角平分线易错点归纳 概念区分出错 角平分线是从顶点出发的射线，三角形的角平分线是线段；若线条端点不在角顶点，就算分出两个等角，也不是角平分线，常错说成角平分线是直线。 性质忘写垂直条件 角平分线上的点到角两边距离相等，距离必须是垂线段。做题经常不标注垂直，直接拿斜线段相等证明，步骤不完整扣分。 判定缺少关键前提 判定点在角平分线上，需要同时满足：点在角内部、到两边垂线段相等。容易漏写 “在角内”，或是没有垂直就直接判定平分角。 和线段垂直平分线结论混淆 角平分线交点：到三角形三边距离相等；垂直平分线交点：到三角形三个顶点距离相等，两类结论经常记反混用。 作图与角度计算失误 尺规作图随意改变圆弧半径、画完不延长射线；内外角平分线夹角公式记混，不会用垂线段相等进行线段、周长等量代换。 即时即练 16．如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，则的长为________． 17．如图∶在中，点G为中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． (1)求证∶； (2)求证∶． 18．如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型1 垂直平分线的基本辨识 1．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 2．如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 3．珠海市香洲区有三个小区、、，其所在位置构成，市政府打算修建一个大型体育公园，使得该体育公园到三个小区的距离相等，则点应设计在（   ） A．三角形三条高的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 4．如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是______________． 5．有下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点在线段外且，过点作直线，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．其中正确的是___________（填序号）． 题型2 垂直平分线的判定 6．如图，平分，于点E，于点F，求证：垂直平分． 7．如图，已知是的高，E是上一点，，求证：． 8．已知：如图，内部一点P在的垂直平分线上，且．求证：点P在的垂直平分线上． 9．如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 10．如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 题型3 利用垂直平分线的性质求长度 11．如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 13．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是_____________． 14．如图，在中，分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点，连接，若，则长为___________． 15．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 题型4 利用垂直平分线的性质求角度 16．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．如图，在中，，是的平分线，， 垂足为点E， 点P为线段上一动点．若，点 P 为线段的垂直平分线与的交点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 18．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接．若，则的度数是____________． 19．如图，在中，垂直平分线． (1)求作：的角平分线交于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数． 20．如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 题型5 利用垂直平分线的性质求面积 21．如图，在中，是的垂直平分线，若，则图中阴影部分图形的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 22．如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连接，，若四边形与四边形的面积分别为和，则的面积为（   ） A． B． C． D． 23．如图，在中，是的中线，是边的垂直平分线，且与相交于点G，连接，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为______．    24．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，则△ABC的面积是___cm2． 25．在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 题型6 尺规作垂直平分线 26．如图，A，B，C三点表示三个居民区，为了方便居民就近购物，计划新建一个综合超市，要使超市到三个居民区距离相等，请你在图中用尺规确定超市位置． 27．如图，中，． (1)用尺规作边上的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长为7，，求的长． 28．如图，三角形纸片． (1)将折叠，使点与点重合，折痕交于点，请用尺规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)点是折痕上一动点，若，则的周长的最小值为____． 29．如图，在等腰中，，． (1)利用尺规完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作关于直线对称的； ②在直线上找一点，使，标出点位置． (2)在（1）的基础上，只利用直尺，画出点，使点到三个顶点的距离相等． 30．如图，已知． (1)用尺规作的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 【易错警示】 画弧半径必须大于线段一半，半径过小无交点，等于半长仅交于中点。要在线段上下各画一组弧，得到两个交点再连线，只画单侧弧会出错。作图全程不能改变圆规开度，最后连接两交点得到直线，勿忘书写作图结论，规范答题避免失分。 题型7 角平分线的基本辨识 31．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（   ） A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．以上均不正确 32．若内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．以上都不是 33．以下说法中错误的是（　　） A．如果直线是线段的垂直平分线，点在上，那么 B．如果点到线段两个端点的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上 C．如果点是内一点，、分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，是上一点，那么点到、的距离相等 34．如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 35．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为______． 【易错警示】 角平分线是以角顶点为端点的射线，三角形角平分线为线段，不可说成直线。只有从顶点出发、将角分成两个等角的射线才是平分线，顶点不在角上的等分线不算。区分角平分线、中线，做题看清图形，表述严谨，防止概念混淆造成推理错误。 题型8 角平分线的判定 36．如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 37．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 38．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 39．已知，如图，在中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 要求：在横线“______”上填证明步骤，在括号“（    ）”中填证明依据 证明：过点P分别作，，． ∵平分 （已知），且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（    ） ∴平分． 40．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据： ） ∵， ∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 题型9 利用角平分线的性质求长度 41．如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 42．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为______． 43．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点P，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 44．如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 45．如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型10 利用角平分线的性质求角度 46．如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 47．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 48．如图，点是的角平分线上一点，分别在上，且．则与的关系是___________． 49．如图，，平分，交于点D． (1)按下列要求画出相应的图形： ①作于点E； ②作交于点F (2)若，求的度数． 50．如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，．求证： (1)平分； (2)． 题型11 利用角平分线的性质求面积 51．如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 52．如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是（    ） A． B． C． D． 53．如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 54．如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是，则的面积是______． 55．已知：如图，平分，于E，于F，且． (1)若，则　　． (2)若的面积是24，的面积是16，则的面积等于　 ． 题型12 尺规作角平分线 56．如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 57．如图，在中，点 是 上的一点，且 ． (1)实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 58．如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且． 59．如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D； (2)应用与计算：若，，，求点D到的距离． 60．如图，中，． (1)基本尺规作图：作的角平分线交于，过点作于．（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)若，求的周长． 【易错警示】 以顶点画弧时圆规开度不可变动，两交点要落在角的两条边上。再分别以两交点画弧，半径需保持一致，否则无内侧交点。连线必须从角顶点延伸出去，不能只画线段。作图完整后要写明结论，作图步骤遗漏、半径随意更改都会导致图形出错，答题扣分。 题型13 线段垂直平分线与角平分线综合 61．如图，是的角平分线，，，垂足分别为，，连接，与相交于点，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 62．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，若，则的长度为（    ） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 63．如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点、过点作于点，若，，则____________． 64．如图，的外角的角平分线与边的中垂线交于点，过作于点，则、、三条线段之间的数量关系为______． 65．问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小杜发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证小杜的证明思路是：如图2，过点作，分别交于点，交于点，利用等面积法来证明． (1)尝试证明：请参照小杜的思路，利用图2证明； (2)基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若则的长为___________； (3)拓展升华：如图4，中，平分，的垂直平分线交的延长线于点，当时，求的长． 题型14 线段垂直平分线与角平分线中的最值 66．如图，在中，，点P是边上一动点，点D在边上，且，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D． 67．如图，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为（   ） A．15 B．13 C．12 D．11 68．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，若分别为线段上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．10 D．7 69．如图，在四边形中，，，是的中点，，则长的最大值是__________． 70．如图，在四边形中，对角线平分，，四边形的面积为16， ① 若，那么的面积为_______． ② 若与在不发生变化的情况下，当取最小时，的面积为______． 题型15 线段垂直平分线与角平分线中辅助线添加问题 71．如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 72．如图，在中，． (1)在图1中作的平分线交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． (3)如图2，平分，是线段上一点，延长交线段于点，，求证：． 73．【回顾】如图1，点是的平分线上一点，过点作于点，于点，依据角平分线的性质可得． （1）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （2）【拓展】如图3，的外角，的平分线与内角的平分线交于点，若，请直接写出的度数． 74．如下图，在中，平分，交于点，过点作交的延长线于点，为边上一点，且．已知，连接． (1)的度数为 ． (2)求证：平分． (3)若，，，且，求的面积（用含，的代数式表示）． 75．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N． (1)求证：； (2)若，求． 【易错警示】 线段垂直平分线需同时满足平分线段、与线段垂直两个条件，缺一不可。它仅针对线段，射线、直线无垂直平分线。切勿认为过线段中点的直线就是垂直平分线，也不能仅凭一条垂线就判定。做题注意区分垂线、中线与垂直平分线，证明时两个条件都要写全，避免逻辑漏洞。 1．到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点 2．如图，在中，是边的垂直平分线，，．则的长为（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 3．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接.若，，则的长为（   ） A．10 B．6 C．4 D．2 4．如图，，平分，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．正方形网格中，位置如图，点O、A、B三点都是格点，则格点C、D、E、F中到两边距离相等的点是（    ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 6．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 7．以下说法中错误的是（　　） A．如果直线l是线段的垂直平分线，点P在l上，那么 B．如果点P到线段两个端点的距离相等，那么点P在线段的垂直平分线上 C．如果点P是内一点，M、N分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，P是上一点，那么点P到、的距离相等 8．如图，中，，，，，点D是，的角平分线的交点，则点D到的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．3.5 9．如图，中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若的面积为10，，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图，三角形中，的平分线交于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 11．如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为______． 12．如图，在中，，是的角平分线，，，则点D到的距离是______． 13．如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为_______．    14．如图，在中，线段，的垂直平分线，分别交于点G，H，，相交于点F，若线段的长为8，则的周长为______． 15．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为7，则_______． 16．如图，点分别在的垂直平分线上，，，三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为___． 17．如图，在中，，，，将沿折叠，使得点 B恰好落在边上的点E处，折痕为，若点F为上一动点，则的周长最小值为____________ 18．在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 故的值为7或13． 19．如图中，，平分，于，给出下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确的是______． 20．如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则_____． 21．如图，在中， ，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，求的周长． 22．如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知，求的长． 23．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求周长． 24．如图所示，在中，，点G为的中点，交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)直接写出的长 ． 25．如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． (1)求证：； (2)若在中，，，求BE的长． 26．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 27．尺规作图： 如图，在三角形中，，请仅用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，并完成填空． (1)作的平分线，交边于点D； (2)作点C关于直线的对称点E； (3)连接，则的周长=______． 28．如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 29．如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 30．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $