专题1.1 三角形中的线段和角（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版八年级数学上学期培优讲义

专题1.1 三角形中的线段和角 【本节预习目标】 1.掌握三角形三边关系定理，能判断三条线段能否构成三角形，会求第三边的取值范围，理解“两点之间，线段最短”的几何依据。 2.理解“大边对大角、大角对大边”的边角对应关系，能在同一个三角形中比较边或角的大小。 3.掌握三角形的中线、角平分线、高的定义与图形特征，能准确画出三类线段，了解其交点的位置规律。 4.能运用三边关系、三类重要线段的性质，解决周长、面积、角度相关的计算与简单证明问题。 5.能从工程、生活等实际情境中抽象出三角形模型，解决实际问题，发展几何直观与数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 线段基础 线段长度的和差计算；两点之间线段最短 以“两点之间线段最短”为依据，推导三角形三边关系定理 角与平行线 角平分线的定义；平行线的性质 将角平分线从射线拓展为三角形内的线段；形成“角平分线+平行线”典型几何模型 垂线与中点 过一点作已知直线的垂线；线段中点的定义 迁移垂线与中点知识，学习三角形的高与中线，拓展三角形内部的线段应用 三角形初步 三角形的基本概念与按边、按角分类 系统学习三角形的边、角、重要线段的性质，深化对三角形的量化认识 知识点1：三角形的三边关系 1.核心定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 符号语言：在中，三边长为，则 ，，； ，，。 理论依据：两点之间，线段最短。 2.快速判定方法 判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短线段的长度之和大于最长线段即可。若成立，则能构成三角形；若小于或等于，则不能构成，无需验证三组不等式。 知识点2：三角形的边角关系 1.大边对大角 在同一个三角形中，较长的边所对的角也较大。 符号语言：在中，，。 2.大角对大边 在同一个三角形中，较大的角所对的边也较长。 符号语言：在中，，。 注：边角对应关系仅在同一个三角形中成立，不可跨三角形直接使用。 知识点3：三角形的三条重要线段 线段类型 定义 交点名称 核心特征 中线 连接三角形一个顶点与它对边中点的线段 重心 三条中线均在三角形内部，交点在内部；任意一条中线平分三角形的面积 角平分线 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段 内心 三条角平分线均在三角形内部，交点在内部 高 从三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段 垂心 锐角三角形三条高都在内部；直角三角形两条高与直角边重合；钝角三角形两条高在三角形外部 【基础巩固题型】 【题型1】判断三条线段能否构成三角形 1.核心知识点 三角形三边关系定理；快速判定方法 2.解题方法技巧 ①先将三条线段按长度从小到大排序，无需逐一验证三组不等式； ②只需计算两条较短线段的和，与最长线段比较：和大于最长边则能构成，否则不能构成； ③遇到单位不一致的题目，先统一单位再进行比较计算。 【例题1】.（25-26七年级下·河南周口·期末）下列各组线段，能构成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，4，7 C．3，4，5 D．4，4，8 【答案】C 【分析】较短两条线段的长度和大于最长线段的长度，即可构成三角形，否则不能构成三角形，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，∴A不符合题意. 选项B中，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，∴B不符合题意. 选项C中，，满足三角形三边关系，能构成三角形，∴C符合题意. 选项D中，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，∴D不符合题意． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·福建厦门·期末）下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，判断能否组成三角形，只需验证两条较短线段的长度和是否大于最长线段的长度，满足条件即可组成三角形，反之不能． 【详解】解：A、， 不能组成三角形，不符合题意； B、， 能组成三角形，符合题意； C、， 不能组成三角形，不符合题意； D、， 不能组成三角形，不符合题意． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·重庆万州·期末）若三角形的两条边长分别为2和7，则第三边的边长可以是（     ） A．3 B．5 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系定理，先求出第三边的取值范围，再匹配符合范围的选项即可，三角形三边关系为三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边． 【详解】设第三边的长为c， ∵三角形已知两条边长分别为2和7， ∴，即， 选项中只有C选项的8满足该范围，因此选C． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·上海普陀·期末）用下列长度的三根木条首尾顺次连接（不计接头处损耗），不能做成三角形框架的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定三条线段能否构成三角形，只需验证两条较短边的和是否大于最长边，若大于则能构成，反之则不能． 【详解】解：A选项中，较短两边为和，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形， B选项中，，满足三边关系，能构成三角形， C选项中，，满足三边关系，能构成三角形， D选项中，，满足三边关系，能构成三角形， 【题型2】已知两边求第三边的取值范围 1.核心知识点 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 2.解题方法技巧 ①设第三边长为，直接根据“两边之差两边之和”写出取值范围； ②若附加“整数边”“最长边”“最短边”等限制条件，需在取值范围内筛选符合要求的值； ③结合周长奇偶性的题目，可通过已知两边和的奇偶性，推导第三边的奇偶性。 【例题2】.（26-27八年级·全国·暑假作业）一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：由三角形的三边关系得到：， ∴， ∴． 【变式题2-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）已知三角形的三边长分别是5，7，x，且x为整数，请写出一个满足条件的x的值：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，再选取范围内的整数即可． 【详解】解：根据三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得 化简得． 因为为整数， 所以在内的整数均满足条件， 此处取． 故答案为（答案不唯一）． 【变式题2-2】.（26-27八年级·全国·暑假作业）若三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长度可能是（     ） A．1 B．2 C．7 D．15 【答案】C 【分析】解题思路是先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合选项判断符合条件的长度． 【详解】解：设三角形第三边的长度为， ∵ 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和， ∴ ，即 ， 对比选项，只有在该范围内，因此选C． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·江苏泰州·期末）在中，，则边的长度可以是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据三边关系求出的取值范围，再结合选项即可解答． 【详解】解：设的长度为． ∵ ， ∴ ，代入得 ，即． 观察选项，只有B选项的满足． 【题型3】三角形重要线段的识别 1.核心知识点 中线、角平分线、高的定义与图形特征 2.解题方法技巧 ①中线的识别标志：对边出现中点，分得的两条线段长度相等； ②角平分线的识别标志：一个内角被分成两个相等的角； ③高的识别标志：线段与对边（或其延长线）垂直，存在直角； ④三类线段都是线段，而非直线或射线，两个端点分别为顶点与对边上的点。 【例题3】.（26-27七年级·全国·暑假作业）下列叙述正确的个数是（     ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：① 三角形的角平分线是三角形一个角的顶点与对边交点之间的线段，不是射线，故①错误； ② 三角形的中线将原三角形分成两个等底同高的小三角形，面积相等，②正确； ③ 三角形三条中线的交点才叫作三角形的重心，三条角平分线的交点不是重心，故③错误； ④ 只有三角形三条高所在的直线交于一点，三条高作为线段不一定交于同一点，故④错误； 综上，正确的结论只有个， 故选：A． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·上海杨浦·期末）如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是的边上的高，不是边上的高，故该选项说法错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法正确的是（    ） A．三条线段组成的图形叫三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线 D．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 【答案】C 【分析】本题主要考查对三角形定义，三角形的角平分线、中线、高等知识点的理解和掌握，能熟练地运用定义进行说理是解此题的关键．根据三角形定义，三角形的角平分线、中线、高的定义判断即可． 【详解】解：A、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接作出的图形叫三角形，故A错误； B、三角形的角平分线是线段，故B错误； C、任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故C正确； D、三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故D错误； 故选：C． 【题型4】利用边角关系比较角或边的大小 1.核心知识点 大边对大角，大角对大边 2.解题方法技巧 ①比较角的大小时，先确定角所对的边的长度，边越长则对应的角越大； ②比较边的大小时，先确定边所对的角的大小，角越大则对应的边越长； ③必须在同一个三角形内使用该结论，多个三角形需分别判断。 【例题4】.（25-26七年级下·江苏苏州·期末）在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系，根据大边对大角的性质，确定已知边对应的角，即可比较角的大小． 【详解】解：在中，对，对，， ，即． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式题4-2】.（2026·江苏·一模）某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相同，然后每位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中，最少能收到_______朵，最多能收到________朵． 【答案】 0 5 【分析】本题利用三角形的基本性质进行逻辑推理，先推导最多可能收到的小红花数量，再通过构造法得到最少可能收到的数量． 【详解】解：先推导最多收到的小红花数量： 若某位同学收到位同学送的花，对这位同学中任意两点，都满足，， 在中，是最长边，根据三角形大边对大角的性质，可得， 这位同学与点O的连线形成的个相邻夹角之和为， 因此， 解得，为正整数， 故的最大值为； 再推导最少收到的小红花数量： 可构造出符合题意的情况，即存在同学没有被其他任何同学选为最近距离点，例如多个点都将最近点选为同一个中心，除中心回送的一个点外，其余外围点都不会收到其他同学送的花，因此最少可以为． 【变式题4-3】.（26-27七年级·全国·暑假作业）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【题型5】等腰三角形的边长与周长计算 1.核心知识点 等腰三角形的边的特征；三角形三边关系的验证 2.解题方法技巧 ①题目未明确已知边是腰还是底时，必须分“该边为腰”“该边为底”两种情况分类讨论； ②每种情况求出三边长后，必须验证是否满足三边关系，不满足的情况要舍去； ③已知周长与一边长求腰长或底边长时，同样遵循“分类讨论+三边验证”的步骤。 【例题5】.（25-26七年级下·上海闵行·期末）已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【答案】 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质，计算三边长度和即可得到周长． 【详解】解：等腰三角形底边长为，腰长为， 这个三角形的周长为 ． 【变式题5-1】.（26-27七年级·全国·暑假作业）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形分一边为，分是腰长或底边长两种情况讨论． 【详解】解： 等腰周长为，一边长为， 当为腰长时，底边长为， 和谐比为：； 当为底边长时，腰长为， 和谐比为：． ∴ 和谐比为或． 故选：C． 【变式题5-2】.（26-27七年级·全国·暑假作业）已知等腰三角形的两边长分别是5和9，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．18 B．19 C．23 D．19或23 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系．分两种情况讨论：腰为5或腰为9，验证每种情况是否满足三角形三边关系，然后计算周长即可． 【详解】解：∵ 等腰三角形两边长分别为5和9， ∴ 可能情况为：腰为5、底为9或腰为9、底为5， 当腰为5、底为9时，三边为5，5，9，此时，满足三边关系， ∴ 周长为； 当腰为9、底为5时，三边为9，9，5，此时，满足三边关系， ∴ 周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长为19或23． 故选：D 【变式题5-3】.（26-27七年级·全国·暑假作业）若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为_____ 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的两条腰相等列出算式解答即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，底边长为， ∴腰长为， 故答案为：． 【培优提升题型】 【题型6】利用三边关系化简绝对值 1.核心知识点 三角形三边关系；绝对值的化简规则 2.解题方法技巧 ①第一步根据三边关系，判断每个绝对值内代数式的正负：两边之和减第三边为正，两边之差减第三边为负； ②第二步依据绝对值性质去符号：正数直接去掉绝对值，负数去掉绝对值后整体加负号； ③第三步去括号、合并同类项，得到最简结果。 【例题6】.（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断每个绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果． 【详解】∵，，是的三边长， ∴根据三角形三边关系可得 ，，， ∴ ， ， ， ∴ ． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·四川成都·期中）（1）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，求这个等腰三角形的周长． （2）已知a，b，c是的三边长，化简： 【答案】（1）22；（2） 【分析】（1）利用完全平方公式得出，．再根据等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用求解即可． （2）根据三角形三边关系得出，，，即可得出，，．进而化简绝对值，进行整式的加减运算即可． 【详解】解：（1）， ， ∴， ∴且， 解得，． 当a为腰长时，三边为4，4，9， ∵，不满足三边关系，舍去． 当b为腰长时，三边为4，9，9， ∵，，满足三边关系，周长为． （2）∵a，b，c是的三边， ∴，，， 即，，． ∴，， ． ∴ ． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·重庆·期中）已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号合并同类项即可． 【详解】解：∵的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系，可得，， ∴，， ∴ ． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·单元复习）已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系： （1）根据题意可得，，求得，，根据三角形三边关系，可得； （2）根据三角形三边关系，可得，，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，． ，． 根据三角形三边关系，可得，即． 为整数， 的最小值为3． （2）解：根据三角形三边关系，可得，，， ． 【题型7】三角形中线求线段与面积 1.核心知识点 中线的定义；中线平分三角形面积的性质 2.解题方法技巧 ①周长差问题：中线分成的两个小三角形的周长差，等于原三角形两条邻边的长度差（中线为公共边，相互抵消）； ②面积问题：三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分，多次取中点可依次对半平分面积； ③含多个中点的复杂图形，可逐步标记各部分面积的比例关系，逐层推导。 【例题7】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【答案】17 【分析】首先由三角形中线的定义得到，然后求出，然后求解即可． 【详解】解：∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长为20， ∴，即， ∴， ∴的周长． 【变式题7-1】.（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 【答案】6 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据三角形周长公式表示的周长，得到，再根据三角形周长公式表示的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长是，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，已知D为上一点，E，F分别为，的中点，若，则的面积为______． 【答案】16 【分析】由点为的中点得出，再由点为的中点，得出，，结合图形计算即可得出结果． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，点分别是边、的中点．若的面积等于12，则的面积等于___________． 【答案】 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵点E为的中点， ∴． 【题型8】三角形高与面积法的应用 1.核心知识点 三角形高的定义；三角形面积公式的灵活应用 2.解题方法技巧 ①同一三角形选取不同的边作为底，对应不同的高，面积始终相等，据此建立等式； ②核心公式：，计算时可先约去简化运算； ③经典模型：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和，等于一腰上的高。 【例题8】.（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵， 即， ∴． 【变式题8-1】.（2026·广西南宁·三模）如图，在中，，，，，则点到边的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，根据即可求出点到边的距离． 【详解】解：作，如图， ， ， ． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，是边上的中线，点到的距离为2，则的面积为________． 【答案】12 【详解】解：由题意得， 是边上的中线， ． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，该三角形的面积为18，O是边上任意一点，于点E，于点F，则等于______． 【答案】4 【分析】根据的面积的面积的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可． 【详解】解：如图所示：连接， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型9】角平分线与平行线结合的模型应用 1.核心知识点 角平分线的定义；平行线的性质 2.解题方法技巧 ①“角平分线+平行线”必出现等腰三角形，是本节核心几何模型； ②已知角平分线和平行线，可推导角相等，进而得到等腰三角形； ③已知等腰三角形和平行线，可反推角平分线，三类条件可两两互推第三个结论。 【例题9】.（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，，作一条直线，分别交，于点，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．若，则的大小为__________． 【答案】 【分析】由尺规作图痕迹可知为的角平分线，根据平行线的性质可得，进而求出的度数，最后利用平行线的性质即可求出的大小 ． 【详解】解：由题意可得，为的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在长方形中，连接，按尺规作图痕迹作射线交于点．若，则的度数为________． 【答案】/36度 【详解】解：在长方形中，， ， 按尺规作图痕迹可得平分， ． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·北京·期中）已知直线，直线交，于点，，点，分别为射线，射线上的点，点在直线上． (1)如图，点在线段上，，，则的度数为________； (2)作的角平分线，射线的反向延长线与的角平分线交于点． ①点在线段上时，在图中补全图形，写出与的数量关系，并说明理由； ②点在直线上时，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)； (2)①补全图形如下： 数量关系是： 由（1）得， 作交于点， ， 又平分，平分， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 即； ②． 【分析】（1）作交于点，结合平行线性质推得； （2）①结合角平分线的尺规作图方法先补全图形，作交于点，综合角平分线定义、平行线性质推出，，代入即可证；②分情况讨论，考虑当点在点上方时或在点下方两种情况，同样综合角平分线定义、平行线性质及图形中角的关系进行推理即可得解． 【详解】（1）解：作交于点， ， ， 又，， ， ； （2）解：①略； ②当点在点上方时，作交于点， 交于点，如下图： ， 又平分，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即； 当点在点下方时， 射线的反向延长线与的角平分线无交点； 综上，点在直线上时，． 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质、尺规作图作角平分线、角平分线的定义、几何图形中角度的计算，解题关键是结合题意梳理出角之间的关系． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·河北沧州·期末）学习完第十三章《三角形》和第十四章《全等三角形》等相关知识后，数学兴趣小组的同学开启了作角平分线的智慧之旅，深入探究了角平分线的作法． 问题：作的平分线 作法： （1）甲同学用尺规作出了角平分线； （2）乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线； （3）丙同学也用尺规作出了角平分线； （4）工人师傅利用带刻度的角尺，通过移动角尺使上下相同刻度在角的两边上，即得为的平分线． 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的过程中用了三角形全等的判定和性质，其判定三角形全等的依据是______； 对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定作法正确，其中也用到了三角形全等的判定方法，其依据是______（写出一种即可）； 对丙同学的作法陷入了沉思，大家由作图痕迹分析出：______，____________． 解决： (1)请将上述讨论补充完整； (2)完成对丙同学作法的证明，即将分析出的条件作为已知，证明为的平分线． 【答案】(1)；；；； (2)证明见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据、的判定方法证得三角形全等可得结论； （2）利用平行线的判定与性质、等腰三角形的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：甲同学用尺规作出了角平分线，其判定三角形全等的依据是；乙同学用到的三角形全等的判定方法，其依据是，由丙同学的作图痕迹可知、， 故答案为：；；；；； （2）解：由作图可知， ， ， ， ， ， 平分． 【题型10】利用三边关系证明线段不等关系 1.核心知识点 三角形两边之和大于第三边；辅助线构造三角形 2.解题方法技巧 ①证明线段和差的不等关系，需通过作辅助线构造三角形，将分散的线段集中到相关三角形中； ②常用辅助线：延长某条线段与另一边相交，或连接两点构造新三角形； ③得到多个不等式后，通过不等式相加、消去公共线段，推导出最终结论。 【例题10】.（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，P是内的一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用． 根据“三角形两边之和大于第三边”得到、，相加得到，减去得到，根据即可证明． 【详解】证明：如图，延长交于点D． 在中，根据“三角形两边之和大于第三边”有， 因为， 所以①， 在中，根据“三角形两边之和大于第三边”，有②， 将①和②相加，得：， 两边同时减去，得：， 因为， 所以．即． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图所示，是内的一点，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．在、、中，分别利用三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，然后把三个式子相加即可证得． 【详解】证明：在中，， 同理可得：，， ， ． 【变式题10-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是内一点，连接和． (1)试说明：； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，不等式的性质，关键是掌握三角形三边关系定理． （1）延长交于，由三角形三边关系定理得，，即可证明； （2）由三角形三边关系定理得，因此，得到． 【详解】（1）证明：延长交于， 由三角形三边关系定理得：，， ∴， ∴； （2）由三角形三边关系定理得：， 由（1）知， ∴， ，，， ∴． 【变式题10-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论． 【详解】证明：延长交于点，如图． 在中，， ， 即． 在中，， ， 即， ． 易错点 1、等腰三角形边长问题漏解或不验证：未分类讨论腰和底的两种情况，或分类后不验证三边关系，导致出现不符合三角形定义的错解。 2、边角关系跨三角形使用：忽略“同一个三角形中”的前提，在不同三角形中直接用边的大小比较角的大小，导致结论错误。 3、混淆三角形高的位置：默认所有三角形的高都在内部，忽略钝角三角形的高在外部的情况，导致相关长度、角度计算出错。 4、中线周长差计算错误：计算两个小三角形的周长差时，误将中线长度计入差值，实际上中线是公共边，周长差仅等于原三角形邻边的长度差。 重点 1、三角形三边关系定理及其应用，包括判断三条线段能否构成三角形、求第三边的取值范围。 2、三角形的中线、角平分线、高的定义与性质，以及相关的周长、面积计算。 3、同一个三角形中大边对大角、大角对大边的边角对应关系。 难点 1、利用三边关系证明线段不等关系，掌握构造辅助线的思路与方法。 2、高线相关的分类讨论问题，以及等面积法在复杂图形中的灵活应用。 一、单选题 1．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 2．中，，，，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系求出的取值范围，即可得出答案． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴． 在数轴上表示为： ． 3．如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可解答． 【详解】解：在中，边为底边，从顶点C向所在直线作垂线，垂足为F，因此边上的高是线段． 二、填空题 4．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较三个角的大小． 【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在中，边的对角为，边的对角为，边的对角为， ， ． 5．如图，在中，是的中点，，若的面积为4，则的面积为________． 【答案】6 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积即可求解． 【详解】解：∵，的面积为4， ∴的面积为， ∵是的中点， ∴． 6．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【答案】8 【详解】解：点、、分别是、、的中点， 、、， 是的中线， ， ， ． 三、解答题 7．已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，即； （2）解：是边上的中线， ∴． 8．如图，已知在三角形中，，，将三角形沿方向平移至三角形，使点B恰好是的中点，连接． (1)求三角形的面积； (2)已知，请直接写出点F到直线的距离________． 【答案】(1)12； (2)． 【分析】（1）根据平移的性质，结合三角形的面积公式进行求解即可； （2）根据平移的性质得到，设点F到直线的距离为，根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵沿射线方向平移至， ， ∵B是的中点， ， ∵， ； （2）解：∵平移， ∴， 设点F到直线的距离为，由（1）知：； ∴， ∴． 9．按要求完成下列各小题． (1)在中，，，的长为偶数，求的周长； (2)已知的三边长分别为3，7，m，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，结合为偶数确定的长度，再计算三角形周长； （2）先根据三角形三边关系得到的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，化简整式得到结果． 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴ ，即． 又∵为偶数， ∴． ∴的周长为． （2）解：∵的三边长分别为，，， ∴，即． ∴，，． ∴原式 ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 三角形中的线段和角 【本节预习目标】 1.掌握三角形三边关系定理，能判断三条线段能否构成三角形，会求第三边的取值范围，理解“两点之间，线段最短”的几何依据。 2.理解“大边对大角、大角对大边”的边角对应关系，能在同一个三角形中比较边或角的大小。 3.掌握三角形的中线、角平分线、高的定义与图形特征，能准确画出三类线段，了解其交点的位置规律。 4.能运用三边关系、三类重要线段的性质，解决周长、面积、角度相关的计算与简单证明问题。 5.能从工程、生活等实际情境中抽象出三角形模型，解决实际问题，发展几何直观与数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 线段基础 线段长度的和差计算；两点之间线段最短 以“两点之间线段最短”为依据，推导三角形三边关系定理 角与平行线 角平分线的定义；平行线的性质 将角平分线从射线拓展为三角形内的线段；形成“角平分线+平行线”典型几何模型 垂线与中点 过一点作已知直线的垂线；线段中点的定义 迁移垂线与中点知识，学习三角形的高与中线，拓展三角形内部的线段应用 三角形初步 三角形的基本概念与按边、按角分类 系统学习三角形的边、角、重要线段的性质，深化对三角形的量化认识 知识点1：三角形的三边关系 1.核心定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 符号语言：在中，三边长为，则 ，，； ，，。 理论依据：两点之间，线段最短。 2.快速判定方法 判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短线段的长度之和大于最长线段即可。若成立，则能构成三角形；若小于或等于，则不能构成，无需验证三组不等式。 知识点2：三角形的边角关系 1.大边对大角 在同一个三角形中，较长的边所对的角也较大。 符号语言：在中，，。 2.大角对大边 在同一个三角形中，较大的角所对的边也较长。 符号语言：在中，，。 注：边角对应关系仅在同一个三角形中成立，不可跨三角形直接使用。 知识点3：三角形的三条重要线段 线段类型 定义 交点名称 核心特征 中线 连接三角形一个顶点与它对边中点的线段 重心 三条中线均在三角形内部，交点在内部；任意一条中线平分三角形的面积 角平分线 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段 内心 三条角平分线均在三角形内部，交点在内部 高 从三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段 垂心 锐角三角形三条高都在内部；直角三角形两条高与直角边重合；钝角三角形两条高在三角形外部 【基础巩固题型】 【题型1】判断三条线段能否构成三角形 1.核心知识点 三角形三边关系定理；快速判定方法 2.解题方法技巧 ①先将三条线段按长度从小到大排序，无需逐一验证三组不等式； ②只需计算两条较短线段的和，与最长线段比较：和大于最长边则能构成，否则不能构成； ③遇到单位不一致的题目，先统一单位再进行比较计算。 【例题1】.（25-26七年级下·河南周口·期末）下列各组线段，能构成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，4，7 C．3，4，5 D．4，4，8 【变式题1-1】.（25-26七年级下·福建厦门·期末）下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·重庆万州·期末）若三角形的两条边长分别为2和7，则第三边的边长可以是（     ） A．3 B．5 C．8 D．9 【变式题1-3】.（25-26七年级下·上海普陀·期末）用下列长度的三根木条首尾顺次连接（不计接头处损耗），不能做成三角形框架的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【题型2】已知两边求第三边的取值范围 1.核心知识点 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 2.解题方法技巧 ①设第三边长为，直接根据“两边之差两边之和”写出取值范围； ②若附加“整数边”“最长边”“最短边”等限制条件，需在取值范围内筛选符合要求的值； ③结合周长奇偶性的题目，可通过已知两边和的奇偶性，推导第三边的奇偶性。 【例题2】.（26-27八年级·全国·暑假作业）一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 【变式题2-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）已知三角形的三边长分别是5，7，x，且x为整数，请写出一个满足条件的x的值：______． 【变式题2-2】.（26-27八年级·全国·暑假作业）若三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长度可能是（     ） A．1 B．2 C．7 D．15 【变式题2-3】.（25-26七年级下·江苏泰州·期末）在中，，则边的长度可以是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【题型3】三角形重要线段的识别 1.核心知识点 中线、角平分线、高的定义与图形特征 2.解题方法技巧 ①中线的识别标志：对边出现中点，分得的两条线段长度相等； ②角平分线的识别标志：一个内角被分成两个相等的角； ③高的识别标志：线段与对边（或其延长线）垂直，存在直角； ④三类线段都是线段，而非直线或射线，两个端点分别为顶点与对边上的点。 【例题3】.（26-27七年级·全国·暑假作业）下列叙述正确的个数是（     ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点． A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·上海杨浦·期末）如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【变式题3-2】.（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【变式题3-3】.（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法正确的是（    ） A．三条线段组成的图形叫三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线 D．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 【题型4】利用边角关系比较角或边的大小 1.核心知识点 大边对大角，大角对大边 2.解题方法技巧 ①比较角的大小时，先确定角所对的边的长度，边越长则对应的角越大； ②比较边的大小时，先确定边所对的角的大小，角越大则对应的边越长； ③必须在同一个三角形内使用该结论，多个三角形需分别判断。 【例题4】.（25-26七年级下·江苏苏州·期末）在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【变式题4-2】.（2026·江苏·一模）某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相同，然后每位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中，最少能收到_______朵，最多能收到________朵． 【变式题4-3】.（26-27七年级·全国·暑假作业）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5】等腰三角形的边长与周长计算 1.核心知识点 等腰三角形的边的特征；三角形三边关系的验证 2.解题方法技巧 ①题目未明确已知边是腰还是底时，必须分“该边为腰”“该边为底”两种情况分类讨论； ②每种情况求出三边长后，必须验证是否满足三边关系，不满足的情况要舍去； ③已知周长与一边长求腰长或底边长时，同样遵循“分类讨论+三边验证”的步骤。 【例题5】.（25-26七年级下·上海闵行·期末）已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【变式题5-1】.（26-27七年级·全国·暑假作业）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式题5-2】.（26-27七年级·全国·暑假作业）已知等腰三角形的两边长分别是5和9，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．18 B．19 C．23 D．19或23 【变式题5-3】.（26-27七年级·全国·暑假作业）若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为_____ 【培优提升题型】 【题型6】利用三边关系化简绝对值 1.核心知识点 三角形三边关系；绝对值的化简规则 2.解题方法技巧 ①第一步根据三边关系，判断每个绝对值内代数式的正负：两边之和减第三边为正，两边之差减第三边为负； ②第二步依据绝对值性质去符号：正数直接去掉绝对值，负数去掉绝对值后整体加负号； ③第三步去括号、合并同类项，得到最简结果。 【例题6】.（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 【变式题6-1】.（25-26七年级下·四川成都·期中）（1）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，求这个等腰三角形的周长． （2）已知a，b，c是的三边长，化简： 【变式题6-2】.（25-26七年级下·重庆·期中）已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·单元复习）已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 【题型7】三角形中线求线段与面积 1.核心知识点 中线的定义；中线平分三角形面积的性质 2.解题方法技巧 ①周长差问题：中线分成的两个小三角形的周长差，等于原三角形两条邻边的长度差（中线为公共边，相互抵消）； ②面积问题：三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分，多次取中点可依次对半平分面积； ③含多个中点的复杂图形，可逐步标记各部分面积的比例关系，逐层推导。 【例题7】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【变式题7-1】.（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则___． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，已知D为上一点，E，F分别为，的中点，若，则的面积为______． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，点分别是边、的中点．若的面积等于12，则的面积等于___________． 【题型8】三角形高与面积法的应用 1.核心知识点 三角形高的定义；三角形面积公式的灵活应用 2.解题方法技巧 ①同一三角形选取不同的边作为底，对应不同的高，面积始终相等，据此建立等式； ②核心公式：，计算时可先约去简化运算； ③经典模型：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和，等于一腰上的高。 【例题8】.（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式题8-1】.（2026·广西南宁·三模）如图，在中，，，，，则点到边的距离是（     ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，是边上的中线，点到的距离为2，则的面积为________． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，该三角形的面积为18，O是边上任意一点，于点E，于点F，则等于______． 【压轴素养题型】 【题型9】角平分线与平行线结合的模型应用 1.核心知识点 角平分线的定义；平行线的性质 2.解题方法技巧 ①“角平分线+平行线”必出现等腰三角形，是本节核心几何模型； ②已知角平分线和平行线，可推导角相等，进而得到等腰三角形； ③已知等腰三角形和平行线，可反推角平分线，三类条件可两两互推第三个结论。 【例题9】.（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，，作一条直线，分别交，于点，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．若，则的大小为__________． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在长方形中，连接，按尺规作图痕迹作射线交于点．若，则的度数为________． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·北京·期中）已知直线，直线交，于点，，点，分别为射线，射线上的点，点在直线上． (1)如图，点在线段上，，，则的度数为________； (2)作的角平分线，射线的反向延长线与的角平分线交于点． ①点在线段上时，在图中补全图形，写出与的数量关系，并说明理由； ②点在直线上时，直接写出与的数量关系． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·河北沧州·期末）学习完第十三章《三角形》和第十四章《全等三角形》等相关知识后，数学兴趣小组的同学开启了作角平分线的智慧之旅，深入探究了角平分线的作法． 问题：作的平分线 作法： （1）甲同学用尺规作出了角平分线； （2）乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线； （3）丙同学也用尺规作出了角平分线； （4）工人师傅利用带刻度的角尺，通过移动角尺使上下相同刻度在角的两边上，即得为的平分线． 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的过程中用了三角形全等的判定和性质，其判定三角形全等的依据是______； 对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定作法正确，其中也用到了三角形全等的判定方法，其依据是______（写出一种即可）； 对丙同学的作法陷入了沉思，大家由作图痕迹分析出：______，____________． 解决： (1)请将上述讨论补充完整； (2)完成对丙同学作法的证明，即将分析出的条件作为已知，证明为的平分线． 【题型10】利用三边关系证明线段不等关系 1.核心知识点 三角形两边之和大于第三边；辅助线构造三角形 2.解题方法技巧 ①证明线段和差的不等关系，需通过作辅助线构造三角形，将分散的线段集中到相关三角形中； ②常用辅助线：延长某条线段与另一边相交，或连接两点构造新三角形； ③得到多个不等式后，通过不等式相加、消去公共线段，推导出最终结论。 【例题10】.（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，P是内的一点，连接，，求证：． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图所示，是内的一点，试说明：． 【变式题10-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是内一点，连接和． (1)试说明：； (2)若，，，求的取值范围． 【变式题10-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 易错点 1、等腰三角形边长问题漏解或不验证：未分类讨论腰和底的两种情况，或分类后不验证三边关系，导致出现不符合三角形定义的错解。 2、边角关系跨三角形使用：忽略“同一个三角形中”的前提，在不同三角形中直接用边的大小比较角的大小，导致结论错误。 3、混淆三角形高的位置：默认所有三角形的高都在内部，忽略钝角三角形的高在外部的情况，导致相关长度、角度计算出错。 4、中线周长差计算错误：计算两个小三角形的周长差时，误将中线长度计入差值，实际上中线是公共边，周长差仅等于原三角形邻边的长度差。 重点 1、三角形三边关系定理及其应用，包括判断三条线段能否构成三角形、求第三边的取值范围。 2、三角形的中线、角平分线、高的定义与性质，以及相关的周长、面积计算。 3、同一个三角形中大边对大角、大角对大边的边角对应关系。 难点 1、利用三边关系证明线段不等关系，掌握构造辅助线的思路与方法。 2、高线相关的分类讨论问题，以及等面积法在复杂图形中的灵活应用。 一、单选题 1．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 2．中，，，，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 5．如图，在中，是的中点，，若的面积为4，则的面积为________． 6．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 三、解答题 7．已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 8．如图，已知在三角形中，，，将三角形沿方向平移至三角形，使点B恰好是的中点，连接． (1)求三角形的面积； (2)已知，请直接写出点F到直线的距离________． 9．按要求完成下列各小题． (1)在中，，，的长为偶数，求的周长； (2)已知的三边长分别为3，7，m，化简． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $