第7讲 1.3全等三角形的判定（第4课时）暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七升八年级数学上册

苏科版数学八年级上册暑假预习讲义 第7讲 1.3全等三角形的判定（第4课时) 【学习目标】 1. 熟练掌握四种判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS，能根据题目条件灵活选择。 1. 能识别图形中的隐含条件（公共边、公共角、对顶角等）。 1. 能规范书写全等三角形的证明过程。 1. 能综合运用全等三角形的判定方法和性质解决较复杂的几何问题。 【知识梳理】 一、四种判定方法回顾 判定方法 简写 条件 简记口诀 边角边 SAS 两边及其夹角分别相等 边角边，夹角是关键 角边角 ASA 两角及其夹边分别相等 角边角，夹边中间找 角角边 AAS 两角及其中一角的对边分别相等 角角边，一边相对角 边边边 SSS 三边分别相等 边边边，三边最直接 核心要点： 1. SAS、ASA、AAS、SSS都能判定两个三角形全等。 1. AAA（三个角相等）不能判定全等（只能判定相似）。 1. SSA（两边及其中一边的对角相等）不能判定全等。 二、判定方法选择策略 已知条件特征 首选判定方法 说明 已知三组边相等 SSS 直接判定 已知两组边相等 + 夹角相等 SAS 角必须是两边的夹角 已知两组角相等 + 夹边相等 ASA 边是两角的公共边 已知两组角相等 + 对边相等 AAS 边是其中一角的对边 已知两组边相等 需再找一组边或角 若能找夹角用SAS，找第三边用SSS 已知一组边和一组角相等 需再找一组边或角 先结合图形找隐含条件 选择口诀： 三边找SSS，两边夹角找SAS；两角夹边找ASA，两角对边找AAS；四法都不行，回头再审题。 三、找隐含条件的常用方法 在证明全等时，图形中常常隐含一些相等的条件，需要善于发现： 隐含条件类型 说明 图形特征 公共边 两个三角形共用的边 重叠的边，用“公共边”标注 公共角 两个三角形共用的角 重叠的角，用“公共角”标注 对顶角 两条直线相交形成的对顶角 相交线的对顶角，由图形位置决定 等角的余角/补角 由已知角相等推出 需要推理得出 垂直/平行条件 由垂直得90°，由平行得角相等 题目条件中给出 四、全等三角形证明的规范格式 证明两个三角形全等时，一般按以下格式书写： 证明格式模板： 在△XXX 和△YYY 中， ∴ △XXX ≌ △YYY（判定方法）。 注意： 1. 条件之间用逗号或分号隔开，最后写判定依据。 1. 写全等符号时，对应顶点的字母要写在对应的位置上。 1. 证明过程中每一步都要有依据（已知、已证、公共边等）。 做一做（即时练习）： 1. 作已知角的平分线是根据三角形的全等判定（　　）作的． A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1. 如图，∠A＝∠E，AC⊥BE，AB＝EF，BE＝25，CF＝8，则AC＝　　． 1. 如图，直线，点为直线外一点． 过点作的垂线；用直尺和圆规作图，保留作图痕迹 你能证明上述作图的合理性吗？画出图形，简要说明画法，并说明理由 如图，已知四边形，满足，，若，，则四边形的面积为________． 【典例精讲】 【例1】（判定方法的灵活选择） 如图，点E、H、G、N共线，，添加：①；②；③；④这四个条件中的某一个，其中能判定的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据全等三角形的判定定理依次证明即可． 【详解】证明：①∵， ∴，即EG=NH， ∵， ∴，故符合题意； ②∵，， ∴，故符合题意； ③若， ∵， ∴根据不能证明，故不符合题意； ④∵， ∴∠EGF=∠MHN， 又∵， ∴，故符合题意； 故能判定的有①②④， 故选：B． 【例2】（含隐含条件的证明） 如图，已知AC，BD相交于点O，AB∥CD，BF＝DE，∠OAE＝∠OCF．求证AE＝CF． 【分析】由AB∥CD得∠B＝∠D，∠BAO＝∠DCO，而∠OAE＝∠OCF，可证明∠BAE＝∠DCF，由BF＝DE可证明BE＝DF，于是根据“有两个角及其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”可证明△ABE≌△CDF，得AE＝CF． 【解答】证明：如图，∵AB∥CD， ∴∠B＝∠D，∠BAO＝∠DCO， ∵∠OAE＝∠OCF， ∴∠BAO﹣∠OAE＝∠DCO﹣∠OCF， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵BF＝DE， ∴BF﹣EF＝DE﹣EF， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF． 【反思】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，准确地找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． 【例3】（多解探究——选择不同的判定方法） 如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD． (1)AB＝DC； (2)△ABC≌△DCB． 【分析】（1）证明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到结论； （2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可证得结论． 【详解】（1）证明：在△ABO与△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（ASA） ∴AB＝DC； （2）证明：∵△ABO≌△DCO， ∴OB＝OC， ∵OA＝OD， ∴OB＋OD＝OC＋OA， ∴BD＝AC， 在△ABC与△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）． 【反思】 同一道题可以有不同的证明方法。一题多解有助于加深对判定方法的理解，提高解题的灵活性。 【跟踪练习1】 1. 如图，∠1＝∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充的条件是（　　） A．AB＝AD，AC＝AE B．AB＝AD，BC＝DE C．AB＝DE，BC＝AE D．AC＝AE，BC＝DE 1. 如图，CA平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝46°，则∠BAE的度数为 　　． 1. 如图，四边形，，，于点E，于点F．与相等吗？请说明理由． 【举一反三】 1. 如图，点A，B分别在的两边上，点P在的角平分线上，连接PA，PB，下列不能保证的条件是（    ） A． B． C． D． 1. 下列条件中，不能判定△ABC ≌ △DEF 的是（　　） · A. ，， · B. ，， · C. ，， · D. ，， 1. 如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝60°，∠C＝35°，则∠DAO的度数是（　　） A．35° B．85° C．95° D．以上都不对 4.在学习了《全等三角形的判定》后，小龙编了这样一个题目：“如图，已知，，，求证：．”老师说他的已知条件给多了，你帮他去掉一个已知条件：______．（写出一个即可） 5.已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为　　． 6.中国现役的第五代隐形战斗机歼—20的机翼如图，为适应空气动力的要求，两个翼角，必须相等. 制造中，工作人员只需用刻度尺测量PA=PB，CA=CB就能满足要求，说明理由. 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、选择题。 1. 下列条件中，能判定两个三角形全等的是（　　） · A. 两边及其中一边的对角分别相等　　B. 三个角分别相等 · C. 两边及其夹角分别相等　　D. 两边分别相等 1. 如图，已知．若添加一个条件后，可得，则在下列条件中，可以添加的是（　　） A． B． C． D．平分 1. 如图，用尺规作图作一个角等于已知角，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（　　） A． B． C． D． 1. 如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数是（　　） A．58° B．45° C．77° D．64° 1. 如图，是的中线，交的延长于点，，，则的取值可能是（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 二、填空题。 1. 如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是 （只需添加一个你认为适合的条件）． 1. 如图，在△ABC 中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 8.如图，D为△ABC外一点，BD⊥AD，BD平分△ABC的一个外角，若2∠C+∠BAD＝180°，AB＝5，BC＝3，则AD的长为　 　． 三、解答题。 1. 如图，已知中，   求做：的高和，要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 判断线段与的数量关系，并证明你的猜想， 1. 如图，已知，E、F是上两点，且，求证：．（推理过程请注明理由） ◆ B组·能力提升 1. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边上，E是的中点，，交于一点G，若，则的面积为 ． 1. 如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM． （1）求证：AE＝BF． （2）连接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的长． 1. 如图，在△ABC中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：；(2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． ◆ C组·思维拓展 14.两组邻边分别相等的四边形是筝形．如图1，在筝形中，，，，相交于点O． (1)求证：． (2)如图2，在筝形中，过点A作交于点E．若，，求的长． 15.在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　　°． （2）如图2，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？请探求点D的位置，并求出此时∠EDC的度数，直接写出你的结论． 【本讲总结】 四种判定方法对比 判定方法 简写 条件 记忆口诀 边角边 SAS 两边及其夹角分别相等 边角边，夹角是关键 角边角 ASA 两角及其夹边分别相等 角边角，夹边中间找 角角边 AAS 两角及其中一角的对边分别相等 角角边，一边相对角 边边边 SSS 三边分别相等 边边边，三边最直接 判定方法选择策略 已知条件 首选方法 说明 三边 SSS 最直接 两边 + 夹角 SAS 角必须是夹角 两角 + 夹边 ASA 边是两角的公共边 两角 + 对边 AAS 边是其中一角的对边 两边 + 对角 不能判定 SSA不能判定全等 三个角 不能判定 AAA不能判定全等 常见错误提醒 错误类型 正确理解 误用SSA判定全等 两边及其中一边的对角相等不能判定全等 误用AAA判定全等 三个角相等只能判定相似，不能判定全等 找错对应边或对应角 根据全等符号或图形特征确定对应关系 证明格式不规范 先写“在△XXX和△YYY中”，再列条件，最后写判定依据 学习建议 1. 拿到题目后，先观察图形，找隐含条件（公共边、公共角、对顶角等）。 1. 根据已知条件，初步判断用哪种判定方法。 1. 全等三角形证明的规范格式： ① 写“在△XXX和△YYY中”； ② 列出三组相等条件（注意对应关系）； ③ 写出判定依据。 1. SSA和AAA是易错点，必须牢记它们不能判定全等。 1. 选择口诀：先看边，后看角；两边夹角SAS，两角夹边ASA；两角对边AAS，三边直接SSS。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：D 1. 答案：D 1. 答案：17 1. 答案： 如图即为所求 如图，连接、、、，直线交于点， 在和中， ≌ ， ， 即， 在和中 ≌ 又 解：设与交于点， ，， 由知，垂直平分， ， 故答案为． 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：D 1. 答案：88° 解：∵CA平分∠DCB， ∴∠ACB＝∠ACD， 在△ACB和△ACD中， ， ∴△ACB≌△ACD（SAS）， ∴∠B＝∠D， ∴∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD， ∵∠EAC＝∠D+∠ACD＝46°， ∴∠B+∠ACB＝46°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣46°＝134°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝134°﹣46°＝88°， 故答案为：88°． 1. 解：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 举一反三 1. 答案：B 2.答案：D 解析：A是SAS能判定；B是SAS能判定；C是AAS能判定；D是SSA不能判定。 3.B 4.（或或） 5.4 6.解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴； A组·基础过关 1. 答案：C 1. 答案：C 1. 答案：A 1. 答案：D 1. 答案：D 1. 答案：或或（任性一个即可） 1. 答案：②③④ 1. 答案：4 1. 答案：如图， 理由如下： 和为高， ， 在和中 ， ≌， ．  1. 证明：∵（已知） ∴（等式的性质） ∴ ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴（） B组·能力提升 1. 答案：8 1. （1）证明：∵BF∥AE， ∴∠EAM＝∠FBM， 在△AME和△BMF中， ， ∴△AME≌△BMF（AAS）， ∴AE＝BF； （2）解：∵△AME≌△BMF， ∴AE＝BF，EM＝FM，∠BFM＝∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠BFD＝90°， 在△AEC和△BFD中， ， ∴△AEC≌△BFD（ASA）， ∴EC＝FD， ∴EC﹣CF＝FD﹣CF， 即EF＝CD＝4， ∴EMEF＝2． 1. 答案：（1）证明：分别是的平分线，． ，． 又，．同理，．． 在和中，． （2）解：，理由如下：由（1）得，∴， 在和中，，．． ，． C组·思维拓展 14,答案： （1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴． ∵是等腰三角形， ∴． （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 15.解：（1）如图1中， ∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝45°+45°＝90°． 故答案为：90． （2）α+β＝180°． 理由如下：如图2中， ∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE＝∠B，β＝∠ABC+∠ACB， ∴α+β＝180°． （3）∵△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝EC， ∴CD+EC＝CD+BD＝BC， ∵△ECD的周长＝DE+CD+CE＝DE+BC， ∵BC为定值， ∴DE定值最小时，△DCE得到周长最小， ∵DE＝AD， ∴AD⊥BC时，AD定值最小，此时BD＝CD＝CE， ∴∠EDC＝（180°﹣120°）＝30°， ∴当点D运动到BC的中点时，△DEC是周长最小，此时∠EDC＝30°． 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（10题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（4题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（3题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $