第06讲 全等三角形常见七大模型（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材苏科版

第06讲 全等三角形常见七大模型（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+7个模型归纳+7个题型+课后作业】 模块二 三角形的概念 同学们，在正式进入今天的数学课堂之前，我们先来玩一个大家平时都爱玩的“消消乐”小游戏.想象一下，屏幕上出现了各种各样的图案，我们需要快速找出两个完全相同的图案进行消除.在这个找相同的过程中，其实就隐藏着我们今天要学习的数学奥秘. 大家回想一下，当我们把一个图形进行平移、翻折或者旋转之后，虽然它的位置发生了变化，但它的形状和大小改变了吗？并没有.在数学中，我们把这种能够完全重合的图形称为全等图形.如果把两个全等的三角形进行平移、旋转或对称等变换，把它们组合在一起，就会变成我们题目中常见的各种复合图形. 面对这些复杂的图形，很多同学可能会觉得眼花缭乱，找不到解题的突破口. 但其实，只要我们练就一双“火眼金睛”，熟悉并掌握全等三角形的常见模型，就能像玩消消乐一样，快速识别出图形中隐藏的全等关系，让复杂的几何证明题迎刃而解.今天，就让我们一起走进全等三角形的常见模型，看看它们都有哪些奇妙的特征吧！ 【知识点 全等三角形的常用模型】 模型一：平移模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 模型二：翻折(轴对称)模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 模型三：手拉手模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 模型四：半角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系 模型五：一线三等角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 模型六：角平分线模型 模型七：婆罗摩笈多模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 向外作双等腰直角三角形（知中点，证垂直） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF 向外作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG 【题型1 平移模型】 【例1】如图，将沿直线的方向向右平移后到达的位置． (1)若，则平移的距离___________． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平移性质知，据此可得，即可得到平移的距离； （2）由得，，根据可得答案． 【详解】（1）解：∵将沿直线的方向向右平移后到达的位置． ∴， ∴， ∵， ∴ 则平移的距离为， 故答案为：3． （2）由（1）知， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 【变式1-1】如图，将沿方向平移得到，其中，，，求阴影部分的面积．    【答案】44 【分析】由推出，再计算即可． 【详解】解：由平移的性质可得：，， ∴，， ∵， ． ∴． ∵，， ∴， ∴ ， ∴阴影部分的面积为44． 【点睛】本题考查的是平移的性质，全等三角形的性质，熟练的利用平移的性质解题是关键． 【变式1-2】（24-25七年级下·四川德阳·期末）将沿方向平移得到，点，，分别对应点，，，若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，三角形的外角的性质，全等三角形的性质，根据平移的性质可得，进而可得，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵沿方向平移得到， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式1-3】如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为__． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质、矩形的面积公式，证明及是解题的关键． 由平移得，可得，再根据，即可求解． 【详解】解：由平移得， ， ， ∵四边形为长方形，， ， ， 故答案为：． 【题型2 翻折(轴对称)模型】 【例2】如图，沿边所在的直线翻折得到，，，则的周长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，折叠的性质，根据折叠性质得，根据全的三角形的性质，的周长就等于的周长，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：根据题意得，， ∴的周长就等于的周长， ∵， ∴的周长为：， ∴的周长为， 故答案为：． 【变式2-1】如图，已知与关于AB所在的直线对称，延长AD交CB的延长线于点E，若，且，则的度数为______． 【答案】/20度 【分析】根据与关于AB所在的直线对称，可知，由全等三角形的性质得，，，根据等量代换证明，即可得，即可求出的度数． 【详解】解：∵与关于AB所在的直线对称， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形外角的性质，根据题目证明出是解答本题的关键． 【变式2-2】如图所示，已知和关于直线对称，延长，，分别交，于点D，E，则与有什么数量关系，请说明理由． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质和全等三角形的判定和性质，利用轴对称的性质找出两个三角形中对应角和对应边相等是解题关键．根据轴对称的性质，再利用与所在的两个三角形全等解答即可． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 【变式2-3】如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则的长度为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据折叠的性质，先求出的面积，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：， ， ， 由翻折可知，≌，，    ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【题型3 手拉手模型】 【例3】（25-26八年级上·四川资阳·期中）已知：如图，和都是等腰直角三角形，，连结相交于点F，相交于点M．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证推出，进而即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即； ∵ ∴； ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 利用判定，再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可证得． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 【变式3-2】在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：； ②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系； (2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）①先证明，再利用证即可；②利用全等三角形的性质得到，再由即可得到结论； （2）由已知条件可得证出，，推出，再由，即可得到． 【详解】（1）证明：①∵， ∴，即． 在和中， 。 ∴． ②，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理以及性质是解题的关键． 【变式3-3】如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）求证：AD=BE； （2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）直接证明，即可得出结论； （2）由（1）可进一步推出为直角三角形，且，从而由求解即可． 【详解】（1）△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°， , 在与中， ， ； （2）是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，，, ， ， 则在中，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，及含角的直角三角形的性质，根据“手拉手”模型证明全等，并推导出直角三角形是解题关键． 【题型4 半角模型】 【例4】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 【变式4-1】如图，在△ABC中，，，在边上取两点M，N（点M在点N的左侧），使得，过点B作于点E，交于点D． (1)求证：； (2)连接交于点P，求证：点P是中点． 【答案】(1)过程见解析 (2)过程见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等得出即可答案； （2）过点作，交延长线于，利用证明，可得，由可得是等腰直角三角形，可得，即可得出，利用证明，得出，即可得结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． （2）如图，过点作，交延长线于， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即点是中点． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等，正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式4-2】如图，在中，．点D在线段AB上运动（不与A、B重合），连接CD，CE在CD右侧，且．当点E不与点A重合时，．连接DE． (1)当点D是AB中点时，的度数是___________； (2)当时，探究DE与AC的位置关系，并证明． (3)线段BD、AE、DE三者之间在数量上满足怎样的等量关系？请证明． 【答案】(1)45° (2)当CE在CA左侧时，DE∥AC；当CE在CA右侧时，DE⊥AC；理由见解析 (3)当CE在CA左侧时，BD+AE=DE；当CE在CA右侧时，BD-AE=DE． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠ACD=∠BCD，即可得出结论； （2）分两种情况，当CE在CA左侧时，由等腰三角形的性质得∠B=∠CAB=45°，再由 ∠ADE=45°，得∠CAB=∠ADE，然后由平行线的判定即可得出结论；当CE在CA右侧时，设DE与AC交于点G，由三角形内角和定理得∠AGD=90°，即可得出结论； （3）当CE在CA左侧时，过点C作CF⊥CE，交AB延长线于点F，证△CBF≌△CAE，得BF=AE，CF=CE．再证△DCE≌△DCF（SAS），得DE=DF，即可得出结论；当CE在CA右侧时，过点C作CF⊥CE，交AB于点F，证明△CBF≌△CAE，△DCE≌△DCF，再由全等三角形的性质得BF=AE，DE=DF．即可得出结论． 【详解】（1）解：∵AC=BC，D是AB中点， ∴∠ACD=∠BCD， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=45°， 故答案为：45° （2）解：当CE在CA左侧时，DE∥AC；当CE在CA右侧时，DE⊥AC；理由如下： 如图1，当CE在CA左侧时， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠B=∠CAB=45°， ∵∠ADE=45°， ∴∠CAB=∠ADE， ∴DE∥AC； 如图2，当CE在CA右侧时，设DE与AC交于点G， ∵∠ADE=45°，∠CAB=45°， ∴∠AGD=180°-∠ADE-∠CAB=90°， ∴DE⊥AC； 综上所述，当CE在CA左侧时，DE∥AC；当CE在CA右侧时，DE⊥AC； （3）解：如图3，当CE在CA左侧时，过点C作CF⊥CE，交AB延长线于点F， ∴∠ECF=∠ACB=90°， ∴∠ACE=∠BCF， ∵AE⊥AB， ∴∠EAB=90°， ∵∠CBA=∠CAB=45°， ∴∠CBF=∠CAE=135°， 在△CBF和△CAE中， ∵ ∴△CBF≌△CAE（ASA）， ∴BF=AE，CF=CE． ∵∠DCE=45°，∠ECF=90° ∴∠DCE=∠DCF=45°， 在△DCE和△DCF中， ∵， ∴△DCE≌△DCF（SAS）， ∴DE=DF． ∵BD+BF=DF， ∴BD+AE=DE； ②如图4，当CE在CA右侧，过点C作CF⊥CE，交AB于点F， ∵∠ACB=∠ECF=90°， ∴∠ACE=∠BCF， ∵AE⊥AB， ∴∠EAB=90°， ∵∠CBA=∠CAB=45°， ∴△CBF≌△CAE（ASA）， ∴BF=AE，CF=CE． ∵∠DCE=45°，∠ECF=90° ∴∠DCE=∠DCF=45°， ∵CD=CD， ∴△DCE≌△DCF（SAS）， ∴DE=DF． ∵DF=BD-BF， ∴BD-AE=DE； 综上所述，当CE在CA左侧时，BD+AE=DE；当CE在CA右侧时，BD-AE=DE． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论． 【变式4-3】如图，在四边形中，E为上一点，F为上一点，，． (1)求证：； (2)求证：平分，平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至点，使，连接，证，得到，再证明，得到，即可证明结论； （2）由得，得到平分，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接． ∵， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）证明：由得， ∴平分； ∵，， ∴， 平分． 【题型5 一线三等角模型】 【例5】一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（    ） A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm 【答案】C 【详解】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考虑证明△ACD和△CBE全等，可以证明DE的长为7块砖的厚度的和． 【分析】解：由题意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB， ∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a， ∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a， ∵a＝8cm， ∴7a＝56cm， ∴DE＝56cm， 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 【变式5-1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝3 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题． 【变式5-2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，求的长． 【答案】9 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是证明三角形全等．证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵，， ， ∵， ∴， ． 【变式5-3】如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．    【答案】全等，理由见解析 【分析】首先证明，即可证明，即可解题． 【详解】全等，理由如下： ，， ∴，． ∴； 在和中， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，掌握证明全等三角形的方法是解题的关键． 【题型6 角平分线模型】 【例6】如图，已知平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角，以及全等三角形的性质与判定，三角形的外角的定义及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先延长到点，使，连接，再得出，证明，即可作答． 【详解】解：延长到点，使，连接， ∵ 则， ， ， ， ∵， ∴ ∵平分 ∴， ∵ ， ∴ 故答案为：D． 【变式6-1】如图，在四边形中，，若平分，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形判定与性质，在上截取，使，连接，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由等量代换可得，继而可得，由于，可证； 【详解】解：在上截取，使，连接，      是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ． 【变式6-2】如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．    【答案】6 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】如图，在上取一点E，使，连接，    是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 【变式6-3】如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD； （2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形． 【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下： 如图，延长BE、AC交于点H， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠HAE， 在△BAE和△HAE中， ， ∴△BAE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝HE＝BH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD， ∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD， 在△BCH和△ACD中， ， ∴△BCH≌△ACD（ASA）， ∴BH＝AD， ∴BE＝AD． （2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下： ∵AC＝BC，AF＝BF， ∴CF⊥AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°， ∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键． 【题型7 婆罗摩笈多模型】 【例7】（24-25八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在中，分别以和为边作和，，，连接，延长交于F．若，求的值______． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 过点E作交延长线于点G，首先证明出，得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点E作交延长线于点G ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式7-1】如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为___________． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H．先证≌，推出，，再证≌，推出，最后利用三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图，作交的延长线于点H． 则， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ． 在和中， ∵， ≌ , ，． 是等腰直角三角形， ，， ． 在和中，   ∵， ≌ , ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【变式7-2】已知如图，，，，，、交于点F． (1)求证：； (2)猜想线段、的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用平行线的性质和等角的余角相等即可得证； （2）作的延长线于G，分别证明，，即可得证． 【详解】（1）证明： ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：． 理由：如图所示：作的延长线于G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，以及全等三角形的判定和性质．熟练掌握平行线的性质以及证明三角形全等是解题的关键． 【变式7-3】已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°． (1)如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数． (2)如图1，求证：EF＝2AD． (3)如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)∠BAC＝50° (2)见解析 (3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根据∠EAF+∠BAC＝180°构建方程即可解决问题； （2）延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，想办法证明△ABH≌△EAF即可解决问题； （3）结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．想办法证明△ACD≌△FAG，推出∠ACD＝∠FAG，再证明∠BCF＝150°即可． 【详解】（1）解：∵AE＝AB， ∴∠AEB＝∠ABE＝65°， ∴∠EAB＝50°， ∵AC＝AF， ∴∠ACF＝∠AFC＝75°， ∴∠CAF＝30°， ∵∠EAF+∠BAC＝180°， ∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°， ∴50°+2∠BAC+30°＝180°， ∴∠BAC＝50°． （2）证明：证明：如图，延长AD至点H，使DH=AD，连接BH ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=DC， 又∵DH=AD，∠BDH=∠ADC ∴△ADC≌△HDB（SAS）， ∴BH=AC，∠BHD=∠DAC， ∴BH=AF， ∵∠BHD=∠DAC， ∴BH∥AC， ∴∠BAC+∠ABH=180°， 又∵∠EAF+∠BAC=180°，   ∴∠ABH=∠EAF， 又∵AB=AE，BH=AF， ∴△AEF≌△BAH（SAS）， ∴EF=AH=2AD， ∴EF＝2AD； （3）结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°． 理由：由（2）得，AD＝EF，又点G为EF中点， ∴EG＝AD， 由（2）△AEF≌△BAH， ∴∠AEG=∠BAD， 在△EAG和△ABD中， ， ∴△EAG≌△ABD， ∴∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD， ∴△AEB是等边三角形，AG=CD， ∴∠ABE＝60°， ∴∠CBM＝60°， 在△ACD和△FAG中， ， ∴△ACD≌△FAG， ∴∠ACD＝∠FAG， ∵AC＝AF， ∴∠ACF＝∠AFC， 在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°， ∴60°+2∠BCF＝360°， ∴∠BCF＝150°， ∴∠BCA+∠ACF＝150°， ∴∠GAF+（180°﹣∠CAF）＝150°， ∴∠GAF﹣∠CAF＝60°． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 模块五 课后作业 1．如图，沿直角边所在直线向右平移的长度得到，交于点G，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】连接，根据平移的性质可得，，从而得到，可证得，从而得到，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵沿直角边所在直线向右平移的长度得到， ∴，， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，图形的平移，根据题意证明是解题的关键． 2．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠BAC＝155°，则∠θ的度数是（     ）    A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】B 【分析】由题意易得△ABC≌△ADC≌△ABE，然后由全等的性质可得∠EBA=∠CBA，∠BCA=∠DCA，最后三角形的外角性质可求解． 【详解】解：由题意得：△ABC≌△ADC≌△ABE， ∠EBA=∠CBA，∠BCA=∠DCA， ∠BAC＝155°， ∠ABC+∠ACB=25°， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形的外角性质，关键是根据三角形全等的性质得到角的等量关系，然后利用三角形的外角性质进行求解即可． 3．如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 【答案】B 【分析】根据题意证明即可得出结论． 【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴， ∵∠ACE＝90°， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 4．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　）    A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】利用旋转性质可得△ABF≌△ACD，根据全等三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB， ∴△ABF≌△ACD， ∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确， ∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确 无法判断BE＝CD，故①错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．如图，是经过平移得到的，，，则______．    【答案】/77度 【分析】本题考查图形平移的性质，全等三角形的性质和三角形内角和为，根据性质结合图形即可解题． 【详解】解：由平移性质可知：， ，， ，， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·吉林·阶段检测）如图，和关于直线对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，点B、C、D、E在同一条直线上，则图中有______对全等三角形． 【答案】2 【分析】本题考查对称的性质，三角形全等的判定，设直线l交于点G，交于点H，根据题对称的性质结合三角形判定定理判定即可得出结论． 【详解】解：如图，设直线l交于点G，交于点H， 和关于直线对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C， ， 点B、C、D、E在同一条直线上， ， ， ， 图中有2对全等三角形． 故答案为：2． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知且，且，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S等于______． 【答案】 【分析】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），直角三角形的两个锐角互余，求其他不规则图形的面积等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，由此可以证明≌，所以，；同理证得≌，，，从而可求得，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】解：且，， ， ， ， ，， ， 同理可证， ，， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点D为三角形内部一点且，点E为中点，连接，，作，且，当_____________时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是通过构造全等三角形转化角和边的关系． 分两种情况讨论为直角三角形时的角度，利用全等三角形的性质和角度关系计算的度数． 【详解】解：①当时，如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， , ， 点E为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴，则， ， ， ， ， ， 在和中： , ， ， ， ； ②当时，如图，延长到点，使，连接、， 同①理可得， ； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 9．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． (1)过点作于点，求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， ; （2）解：设 , 由（1）知，在和中， ， 解得 10．已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动， (1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； (2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论仍成立，理由见解析 【分析】本题考查角了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，作出辅助线构三角形是解题的关键． （1）过作于，于，由为的平分线，利用角平分线定理得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到与全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （2）同（1）可证明． 【详解】（1）解：过作于，于， ∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴． （2）画出图形，结论仍成立， 理由如下： 过作于，于， ∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；；； (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用判定≌，再根据全等三角形的性质求解； （2）利用“”字模型，证明同角的余角相等，多次利用三角形全等证出结果； （3）先利用“”字模型，证明，，利用全等三角形得到新的条件证，再将三角形面积进行等量代换求出最后答案． 【详解】（1）解：由题意知得，在和中，， ∴， ∴． （2）证明：如图：作， ∴ ， ∵， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作，， ∵，，， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，，，， ∴ ∵在 和 中，， ∴， ∴， ∴ ∴． 12．（25-26八年级上·福建泉州·期中）问题情境： 已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使． 任务一：当点在线段上时， （1）如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为________； 任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）． （3）如图3，当，，且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1），理由见解析；（2）①，，理由见解析；②；（3）的度数为或 【分析】（1）利用三角形内角和定理即可得出答案； （2）①先证得，得出：，，再根据直角三角形性质和垂直定义即可证得结论； ②根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论； （3）当点在线段上时，如图3，当点在的延长线上时，如图4，在射线上取一点，使，连接，先证明，可得：，，再由等腰三角形性质即可求得答案． 【详解】解：（1）； 理由：，， 又，， ； （2）①，，理由如下： 由（1）知：， 在和中， ， ， ，， 又， ， 即， ； ② ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）或，理由如下： 当点在线段上时，如图3，在射线上取一点，使，连接， 由（1）知：， 在和中， ， ， ，， 又， ， 即， ； 当点在的延长线上时，在射线上取一点，使，连接，如图4， 由（1）知：， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；构造全等三角形是解题的关键． 13．（25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【答案】（1）①垂直平分（或）；②，（2），（3）①当点在上时，，当点M在延长线上时，，当点在延长线上时，，②． 【分析】（1）根据、，由线段垂直平分线的判定定理即可得出垂直平分，根据等边三角形的性质求出，再根据，，求出，进而可得，由含直角三角形性质可得； （2）延长到使，连接，可得，进而可得，由此得出， （3）①分三种情况同理（2）可以证明结论． ②由（2）可得，由此即可得出． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补短法构造全等三角形． 【详解】（1）结论：， ∵等边 ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵，等边中， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使，连接，如图2， ∴， ∵等边中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， （3）①结论：当点在上时，，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，， 证明：当点在上时，由（2）得， 当点M在延长线上时，在取使，则：，连接，如图3， 同理可证 ， ∴ 当点在延长线上时，在取使，则：，连接，如图4， 同理可得：， ∴ 综上所述：当点在上时，，当点在延长线上时，，当点M在延长线上时，． ②， 解：记的周长为P， 由（2）得：， ∴， 记的周长为Q，， ∴ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 全等三角形常见七大模型（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+7个模型归纳+7个题型+课后作业】 模块二 三角形的概念 同学们，在正式进入今天的数学课堂之前，我们先来玩一个大家平时都爱玩的“消消乐”小游戏.想象一下，屏幕上出现了各种各样的图案，我们需要快速找出两个完全相同的图案进行消除.在这个找相同的过程中，其实就隐藏着我们今天要学习的数学奥秘. 大家回想一下，当我们把一个图形进行平移、翻折或者旋转之后，虽然它的位置发生了变化，但它的形状和大小改变了吗？并没有.在数学中，我们把这种能够完全重合的图形称为全等图形.如果把两个全等的三角形进行平移、旋转或对称等变换，把它们组合在一起，就会变成我们题目中常见的各种复合图形. 面对这些复杂的图形，很多同学可能会觉得眼花缭乱，找不到解题的突破口. 但其实，只要我们练就一双“火眼金睛”，熟悉并掌握全等三角形的常见模型，就能像玩消消乐一样，快速识别出图形中隐藏的全等关系，让复杂的几何证明题迎刃而解.今天，就让我们一起走进全等三角形的常见模型，看看它们都有哪些奇妙的特征吧！ 【知识点 全等三角形的常用模型】 模型一：平移模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 模型二：翻折(轴对称)模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 模型三：手拉手模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 模型四：半角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系 模型五：一线三等角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 模型六：角平分线模型 模型七：婆罗摩笈多模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 向外作双等腰直角三角形（知中点，证垂直） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF 向外作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG 【题型1 平移模型】 【例1】如图，将沿直线的方向向右平移后到达的位置． (1)若，则平移的距离___________． (2)若，，求的度数． 【变式1-1】如图，将沿方向平移得到，其中，，，求阴影部分的面积．    【变式1-2】（24-25七年级下·四川德阳·期末）将沿方向平移得到，点，，分别对应点，，，若，，则________． 【变式1-3】如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为__． 【题型2 翻折(轴对称)模型】 【例2】如图，沿边所在的直线翻折得到，，，则的周长是_____． 【变式2-1】如图，已知与关于AB所在的直线对称，延长AD交CB的延长线于点E，若，且，则的度数为______． 【变式2-2】如图所示，已知和关于直线对称，延长，，分别交，于点D，E，则与有什么数量关系，请说明理由． 【变式2-3】如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则的长度为（    ）    A． B．1 C． D．2 【题型3 手拉手模型】 【例3】（25-26八年级上·四川资阳·期中）已知：如图，和都是等腰直角三角形，，连结相交于点F，相交于点M．求证：． 【变式3-1】如图，已知，，，求证：． 【变式3-2】在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：； ②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系； (2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 【变式3-3】如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）求证：AD=BE； （2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的长． 【题型4 半角模型】 【例4】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【变式4-1】如图，在△ABC中，，，在边上取两点M，N（点M在点N的左侧），使得，过点B作于点E，交于点D． (1)求证：； (2)连接交于点P，求证：点P是中点． 【变式4-2】如图，在中，．点D在线段AB上运动（不与A、B重合），连接CD，CE在CD右侧，且．当点E不与点A重合时，．连接DE． (1)当点D是AB中点时，的度数是___________； (2)当时，探究DE与AC的位置关系，并证明． (3)线段BD、AE、DE三者之间在数量上满足怎样的等量关系？请证明． 【变式4-3】如图，在四边形中，E为上一点，F为上一点，，． (1)求证：； (2)求证：平分，平分． 【题型5 一线三等角模型】 【例5】一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（    ） A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm 【变式5-1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【变式5-2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，求的长． 【变式5-3】如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．    【题型6 角平分线模型】 【例6】如图，已知平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在四边形中，，若平分，求证：．    【变式6-2】如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．    【变式6-3】如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【题型7 婆罗摩笈多模型】 【例7】（24-25八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在中，分别以和为边作和，，，连接，延长交于F．若，求的值______． 【变式7-1】如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为___________． 【变式7-2】已知如图，，，，，、交于点F． (1)求证：； (2)猜想线段、的数量关系并证明． 【变式7-3】已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°． (1)如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数． (2)如图1，求证：EF＝2AD． (3)如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论． 模块五 课后作业 1．如图，沿直角边所在直线向右平移的长度得到，交于点G，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 2．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠BAC＝155°，则∠θ的度数是（     ）    A．60° B．50° C．40° D．30° 3．如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 4．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　）    A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④ 5．如图，是经过平移得到的，，，则______．    6．（24-25八年级上·吉林·阶段检测）如图，和关于直线对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，点B、C、D、E在同一条直线上，则图中有______对全等三角形． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知且，且，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S等于______． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点D为三角形内部一点且，点E为中点，连接，，作，且，当_____________时，为直角三角形． 9．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． (1)过点作于点，求证：； (2)若，，求的长． 10．已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动， (1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； (2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 11．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 12．（25-26八年级上·福建泉州·期中）问题情境： 已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使． 任务一：当点在线段上时， （1）如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为________； 任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）． （3）如图3，当，，且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 13．（25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $