暑假专项提升--长方体和正方体表面积和体积的实际应用（专项训练）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体表面积与体积的实际应用，通过公式变式、情境转化、组合拆分构建系统性解题方法，强化空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|5题|体积公式逆用（高=体积÷底面积）、切割增表面积比较|从棱长计算到体积/表面积公式直接应用| |填空|10题|棱长总和公式（高=棱长和÷4-长-宽）、组合体表面积减少量计算|概念（棱长、底面积）→公式推导→简单变式| |计算|5题|组合体表面积转化（补全法）、展开图还原尺寸|平面展开与立体图形转化，培养几何直观| |解答|10题|包装最省纸（减少最大面）、挖空体积（大体积-小体积）、实际场景（蓄水池、浴房）|从数学模型到生活应用，发展应用意识|

暑假专项提升--长方体和正方体表面积和体积的实际应用 2025-2026学年小学数学人教版五年级下学期 一、选择题 1．张叔叔家有一个体积为720立方分米的长方体木箱，这个木箱的底面是一个边长为12分米的正方形，该木箱的高是（    ）分米。 A．0.5 B．5 C．50 D．500 2．一个长方体冷藏柜的容积是150L，这个冷藏柜的底面是一个边长为5dm的正方形，冷藏柜的高是（    ）dm。（冷藏柜厚度忽略不计） A．6 B．7.5 C．10 D．30 3．石雕，指用各种可雕、可刻的石头，创造出具有一定空间的可视、可触的艺术形象，是国家级非物质文化遗产之一。张师傅用一块棱长4分米的正方体石料制作石雕，如果1立方分米的石料重2.5千克，这块石料重（    ）千克。 A．40 B．60 C．64 D．160 4．龙岩长汀素有“豆腐王国”的美称，108道全豆腐宴，切法、做法各不相同。一个长12cm、宽5cm、高6cm的长方体豆腐，下面四种切法中，（    ）切法增加的表面积最大。 A．B． C． D． 5．一个正方体礼盒的棱长总和是48厘米，包装这个礼盒至少需要（    ）平方厘米的彩纸。 A．144 B．96 C．64 D．48 二、填空题 6．一个长方体水箱长，宽，高，占地面积是( )，体积是( )。 7．一个正方体的棱长是，它的体积是( )。 8．一个正方体棱长9cm，这个正方体的棱长总和是( )。 9．一个长方体棱长总和是80cm，长是12cm，宽是6cm。这个长方体的高是( )cm。 10．一个长方体的长是8分米，宽是5分米，高是3分米，它的棱长总和是( )分米。 11．如下图，用三个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了100dm2，原来每个正方体的表面积是（ ）dm2，长方体的表面积是（ ）dm2。 12．在长方体纸盒子内放棱长为的小正方体，沿着长、宽、高摆放的情况如图，这个盒子内一共可以放( )个小正方体。 13．一个正方体的棱长之和是48dm，这个正方体的表面积是( )dm2。 14．用一根铁丝围成一个长方体，它的长是12分米，宽是6分米，高是18分米。如果把这根铁丝改围成一个正方体，这个正方体的棱长是( )分米。 15．一个长方体衣柜，长是60厘米，宽是45厘米，高是110厘米，这个木箱的占地面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。 三、计算题 16．计算下图的表面积。（单位：分米） 17．计算下面几何体的表面积。 18．根据展开图，求长方体的表面积。（单位：厘米）         19．计算折成的长方体体积和指定线段的长度。 20．计算长方体体积。 四、解答题 21．将4个长20厘米、宽8厘米、高6厘米的印泥盒子用彩色纸包在一起。 A．    B．    C．  D． (1)上面四种包装方式，最省包装纸的是( )。（填序号） (2)请用喜欢的方法说明理由。（提示：可以是说理，也可以是计算） 22．李阿姨把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，用剩下的纸折成一个无盖收纳盆。 (1)这个收纳盒所用纸板的面积是多少平方厘米？ (2)她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中，（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能挤压），收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？ 23．四名同学观察同一个空心冰雕“数字0”，得到以下信息，并在图中标出了部分数据。 信息①：从外面量，它的长是6分米，宽是2分米。 信息②：从外面量，这个冰雕左、右两个面的面积之和是40平方分米。 信息③：从前面看这个冰雕，上、下、左、右均厚1分米。 信息④：从里面量，它的长是4分米，高是8分米。 请你选择上面的三个信息______（填序号），并计算出这个冰雕的体积。 24．造纸术是我国“四大发明”之一。《天工开物》中记载竹子造纸需要经过取材、蒸煮、入帘、压纸和烘干五个主要步骤。这种方法造出的宣纸质地柔韧，经久耐用，广受人们喜爱，被称为"千年寿纸”。 (1)在“入帘”环节要把煮烂的竹木浆倒入纸槽。长方体纸槽从里面量长12分米，宽10分米，高5分米。这个纸槽最多能容纳多少升竹木浆？ (2)宣纸烘干后，为了运输过程中不受损坏，工匠制作了专门的木箱来装宣纸。如果这个长方体木箱（有盖）长6分米，宽5分米，高7分米，制作这个木箱至少需要多少平方分米的木板（木板的厚度不计）？ 25．4月23日是世界读书日，学校把每年的四月份定为读书活动月。妙妙分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示。寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是多少？体积是多少？ 26．小梦家要做一个靠墙的长方体玻璃浴房，无盖无底，如图所示，做这个浴房至少需要多少平方米的玻璃？若每平方米玻璃为250元，总安装费为260元。做这个浴房共要花多少元？（单位：米） 27．班级要评选红领巾文明小先锋，如图，班主任做了一个正方体投票箱，并在投票箱上挖了一个投票口。现要在投票箱的上面、下面及四周贴上红纸，至少需要多少平方分米的红纸？（单位：分米） 28．挖一个长8米，宽6米，深2米的蓄水池。 (1)这个蓄水池的占地面积是多少平方米？ (2)如果给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分面积是多少平方米？ (3)若每立方米水重1吨，这个蓄水池最多能蓄水多少吨？ 29．将一个棱长为5分米的正方体容器盛满水，然后将该正方体容器中的水倒入一个长10分米、宽5分米、高6分米的长方体容器中（水未溢出），请问长方体容器中水的高度是多少分米？ 30．如图1，一个棱长为的正方体，从正面的中心向后挖一个长方体（向后全部挖空），正面的孔是一个边长为的正方形，图1剩余部分的体积是多少？如果像图2这样从正面、上面、右面的中心各向后挖一个这样的孔，那么图2剩余部分的体积是多少？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 B A D B B 1．B 长方体体积等于底面积乘高。底面是正方形，边长12分米，底面积就是（12×12）平方分米；体积720立方分米，高等于体积除以底面积。 底面积：12×12＝144（平方分米） 高：720÷144＝5（分米） 2．A 由公式“长方体的体积＝长×宽×高”可得，高＝体积÷长÷宽。长方体的长和宽都是5dm，先将150L换算成150，再代入数据计算。 150L＝150 150÷5÷5＝6（dm） 因此，冷藏柜的高是6dm。 3．D 正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此计算出石料体积，石料体积×1立方分米的重量＝这块石料的重量。 4×4×4×2.5 ＝64×2.5 ＝160（千克） 这块石料重160千克。 4．B 长方体不同的切法，增加的表面积是两个切面的面积，切面为长方形，已知长方形的长12cm，宽是5cm，高是6cm，据此求出四个切面的大小，比较即可。 A．这种切法平行于长×宽的面切割，切面长是12cm，宽是5cm，增加的表面积为2个长×宽的面积，即2×12×5＝120（cm2）。 B．这种切法以长方体正面长方形对角切，切面的长比原来长方体的长大，宽是6cm，增加的表面积大于长12cm，宽6cm的切法； C．这种切法平行于长×高的面切割，切面是长12cm，高是6cm，增加的表面积为2个长×高的面积，即2×12×6＝144（cm2）。 D．这种切法平行于宽×高的面切割，切面的长是6cm，宽是5cm，增加的编辑为2个宽×高的面积，即2×6×5＝60（cm2） 增加的表面积＞144＞120＞60。所以四种切法中，切法增加的表面积最大。 5．B 正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体礼盒的棱长，求包装这个礼盒需要多少彩纸就是求这个正方体礼盒的表面积，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。 48÷12＝4（厘米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 包装这个礼盒至少需要96平方厘米的彩纸。 6． 占地面积指水箱的底面积，即底面积＝长×宽；长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 牢记长方体的体积公式，理解占地面积即长方体的底面积。 7．64 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此进行计算即可。 4×4×4＝64（） 牢记正方体的体积公式V＝a3。 8．108厘米 正方体有12条棱，每条棱长都相等，据此解答。 9×12＝108（厘米） 根据正方体的棱长特点即可解答。 9．2 长方体有12条棱，长、宽、高各有4条。根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据计算即可。 80÷4－12－6 ＝20－12－6 ＝8－6 ＝2（cm） 掌握长方体的特征以及灵活运用长方体棱长总和公式是解题的关键。 10．64 根据长方体的总棱长＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数值进行计算即可。 （8＋5＋3）×4 ＝16×4 ＝64（分米） 本题考查长方体的总棱长，熟记公式是解题的关键。 11． 150 350 先根据“减少的表面积＝4个侧面的面积和”，计算出1个侧面的面积，再根据“正方体的表面积＝6个侧面的面积和，长方体的表面积＝3个正方体的表面积－减少的表面积＝（3个正方体的侧面个数和－减少的侧面个数）×1个侧面的面积”代入数据解答即可。 100÷4＝25（dm2） 25×6＝150（dm2） 6×3－4 ＝18－4 ＝14（个） 25×14＝350（dm2） 12．96 盒子内沿着长、宽、高分别放了8个、4个、3个小正方体。依据长方体的体积公式V＝abh计算即可。 8×4×3＝96（个） 灵活运用长方体的体积公式。 13．96 由棱长和求棱长，再求表面积 棱长为48÷12＝4dm，表面积为4×4×6＝96dm2 14．12 由题意可知，该长方体和正方体的总棱长相等，根据长方体的总棱长＝（长＋宽＋高）×4，正方体的总棱长＝棱长×12，据此解答即可。 （12＋6＋18）×4÷12 ＝36×4÷12 ＝144÷12 ＝12（分米） 本题考查正方体和长方体的总棱长，熟记公式是解题的关键。 15． 2700 28500 求木箱的占地面积，就是求长方体的底面积，即“长×宽”；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别代入数据计算即可。 占地面积：60×45＝2700（平方厘米） 表面积： （60×45＋60×110＋45×110）×2 ＝（2700＋6600＋4950）×2 ＝14250×2 ＝28500（平方厘米） 掌握长方体的特征以及长方体的底面积、表面积计算公式是解题的关键。 16．248平方分米 表面积是指物体外表面积，通常是指物体表面的总面积。上面的两个小长方形和凹进去的长方形合在一起恰好就是一个长方体的表面积。则表面积＝长方体的表面积＋4个长方形的面积＋4个小正方形的面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方形的长是6分米，宽是2分米，面积＝长×宽。正方形的边长是2分米，面积＝边长×边长。 ＝ ＝ ＝（平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 则图形的表面积是248平方分米。 17．33.4m2 如图： 观察图形可知，两个长方体有重合的部分，把小长方体的上面向下平移，补给大长方体的上面；这样大长方体的表面积是6个面的面积之和，而小长方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积。 组合图形的表面积＝小长方体4个面的面积＋大长方体的表面积，小长方体4个面的面积＝（长×高＋宽×高）×2，大长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 （1.2×1＋2.5×1）×2＋（3×2.5＋3×1＋2.5×1）×2 ＝（1.2＋2.5）×2＋（7.5＋3＋2.5）×2 ＝3.7×2＋13×2 ＝7.4＋26 ＝33.4（m2） 几何体的表面积是33.4m2。 18．248平方厘米 由长方体的展开图可知：长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高是（28－10×2）÷2＝4（厘米）。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用（10×6＋10×4＋6×4）×2可求出这个长方体的表面积。 高：（28－10×2）÷2 ＝（28－20）÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 表面积：（10×6＋10×4＋6×4）×2 ＝（60＋40＋24）×2 ＝124×2 ＝248（平方厘米） 19．60cm3；5cm 根据题图中的展开图可知，这是一个底面积为30平方厘米，高为2厘米的长方体，根据“长方体的体积＝底面积×高”计算体积；把展开图进行折叠后可以知道，底面积的长为6厘米，要求的线段就是底面的宽，利用长方形的面积公式进行计算即可。 长方体体积： 线段长度： 20．900cm3 长方体的体积＝底面积×高，长方体中任意一个横截面都可以看作底面，再把与这个底面垂直的棱看作高即可。 21．(1)D (2)D种包装方式表面积最小，所以最省包装纸。 （1）要想更省包装纸，需使表面积最小，由题意可知：只要求出哪种情况下，拼组后的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。据此解答即可。（2）根据长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，先算出一个长方体的表面积，再用4个长方体的表面积之和减去减少的面的面积，分别计算每一种包装方式所需包装纸的面积。据此解答。 （1）A表面积减少了： 20×6×4＋8×6×4 ＝480＋192 ＝672（平方厘米） B表面积减少了：20×8×6＝960（平方厘米） C表面积减少了： 20×8×4＋8×6×4 ＝640＋192 ＝832（平方厘米） D表面积减少了： 20×8×4＋20×6×4 ＝640＋480 ＝1120（平方厘米） D种包装方式，减少的面积最大，最节省包装纸。 （2）20×8×2＋20×6×2＋8×6×2 ＝320＋240＋96 ＝656（平方厘米） 656×4＝2624（平方厘米） 2624－672＝1952（平方厘米） 2624－960＝1664（平方厘米） 2624－832＝1792（平方厘米） 2624－1120＝1504（平方厘米） 1504＜1664＜1792＜1952 答：D种包装方式表面积最小，所以最省包装纸。 22．(1)656平方厘米 (2)28个 （1）求收纳盒所用纸板的面积＝长方形面积－4个小正方形面积，根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，据此解答。 （2）收纳盒的长为（30－4×2）厘米，宽为（24－4×2）厘米，高为4厘米，由于茶叶不能超过收纳盒的上沿，放2层的话，高度大于收纳盒的高度，所以只能放一层，要想最多，则把茶叶盒侧着放，即3厘米的高度放收纳盒的长一面，用长除以3求出能放几个，再用收纳盒的宽除以4求出能放几行，再把两个结果相乘即可。 （1）30×24－4×4×4 ＝720－16×4 ＝720－64 ＝656（平方厘米） 答：这个收纳盒所用纸板的面积是656平方厘米。 （2）收纳盒的长：30－4×2 ＝30－8 ＝22（厘米） 收纳盒的宽：24－4×2 ＝24－8 ＝16（厘米） 22÷3＝7（个）……1（厘米） 16÷4＝4（个） 7×4×1 ＝28×1 ＝28（个） 答：收纳盒最多可以放28个茶叶盒。 23．第一种：选①②③；56立方分米 第二种：选①③④；56立方分米 第三种：选①②④；56立方分米 冰雕是由一个长方体中间挖去了一个小长方体形成的，体积＝大长方体体积−小长方体体积，小长方体的宽和大长方体的宽相等；第一种可选择①②③，根据②可得到长方体的高，再根据③得到空着部分的体积，进而得出答案；第二种可选择①③④，可计算得出答案；第三种可选择①②④，长方体体积＝长×宽×高，计算得出答案。 第一种方法：选择三个信息①②③，左右两面面积之和40立方分米，则高为：40÷2÷2＝10（分米），长为6分米，宽为2分米；从前面看”厚度分布，可推导宽度方向无厚度变化，因此内部宽度等于外部宽度；里面的长方体长是4分米，高8分米，宽2分米，则冰雕体积为： 6×2×104×2×8 ＝12064 ＝56（立方分米） 第二种方法：选择三个信息①③④，大长方体的高为：8＋1＋1＝10（分米）；则体积为： 6×2×104×2×8 ＝12064 ＝56（立方分米） 第三种方法：选用①②④，高为：40÷2÷2＝10（分米），则体积为： 6×2×104×2×8 ＝12064 ＝56（立方分米） 答：冰雕体积为56立方分米。 24．(1)600升 (2)214平方分米 （1）求纸槽容纳浆的体积就是求长方体容积，将长12分米，宽10分米，高5分米代入长方体的体积公式算出体积，再根据1立方分米＝1升将立方分米转为升即可得到这个长方体纸槽的容积。 （2）求木箱用料是求有盖长方体的表面积，将长6分米，宽5分米，高7分米代入长方体的表面积公式即可计算。 （1）12×10×5 ＝120×5 ＝600（立方分米） 600立方分米＝600升 答：最多能容纳600升竹木浆。 （2）（6×5＋6×7＋5×7）×2 ＝（30＋42＋35）×2 ＝107×2 ＝214（平方分米） 答：至少需要214平方分米木板。 25． 180平方厘米；960立方厘米 求这件手工作品的占地面积就是求三个长方体的底面积，可以看成一个长是厘米，宽是10厘米的长方形的面积；体积就是求三个长方体的体积之和。根据长方形的面积＝长×宽，，分别代入数据计算即可。 （6＋6＋6）×10 ＝18×10 ＝180（平方厘米） 6×8×10＋6×6×10＋6×2×10 ＝480＋360＋120 ＝960（立方厘米） 答：这件手工作品的占地面积是180平方厘米；体积是960立方厘米。 26．9.24平方米；2570元 浴房是靠墙的，说明后面是不需要安装玻璃；无盖无底，说明上面和下面也不需要安装玻璃；需要安装玻璃的有三个面：正面、左面与右面；计算出三个面的面积总和后再乘250求得玻璃的价钱，最后加上安装费即可。 玻璃总面积：1.2×2.2＋1.5×2.2×2 ＝2.64＋6.6 ＝9.24（平方米） 9.24×250＋260 ＝2310＋260 ＝2570（元） 答：做这个浴房至少需要9.24平方米玻璃；做这个浴房共要花2570元。 27．94.5平方分米 根据题意，在投票箱的上面、下面及四周贴上红纸，用正方体的表面积减去开口处长方形的面积就是需要红纸的面积，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方形的面积＝长×宽，分别把数据代入公式计算，再相减即可。 4×4×6－3×0.5 ＝16×6－1.5 ＝96－1.5 ＝94.5（平方分米） 答：至少需要94.5平方分米的红纸。 28．(1)48平方米 (2)104平方米 (3)96吨 （1）蓄水池的占地面积就是它的底面积，底面积＝长×宽； （2）抹水泥只需要抹底部和四周，一共5个面（不需要抹顶面），总面积＝底面积＋四个侧面的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （3）求蓄水的质量，先算蓄水池的容积（体积），将长、宽、高（深）代入体积公式：长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，用水的体积乘每立方米水的质量得到蓄水总质量。 （1）8×6＝48（平方米） 答：这个蓄水池的占地面积是48平方米。 （2）6×8＋（6×2＋8×2）×2 ＝48＋（12＋16）×2 ＝48＋28×2 ＝48＋56 ＝104（平方米） 答：抹水泥部分面积是104平方米。 （3）8×6×2＝96（立方米） 96×1＝96（吨） 答：最多能蓄水96吨。 29．2.5分米 先根据正方体的体积公式算出正方体里水的体积，倒水后水的体积不变，根据长方体的体积公式可知，即用水的体积除以长方体容器底面积就能得到水深。 5×5×5÷（10×5） ＝125÷50 ＝2.5（分米） 答：长方体容器中水的高度是2.5分米。 30．； 图1挖掉的是一个宽和高为2厘米 、长为6厘米 的长方体，用原来大正方体的体积减去挖掉的长方体的体积即可。可以先计算三条孔道的体积，因为三条孔道相交的地方是一个正方体，且这个正方体总共被计算了3次，实际只计算1次就可以，因此三条孔道的实际总体积为三条孔道的体积减去2个正方体的体积 ；然后用原来正方体的体积减去三条孔道的实际总体积即可。 ＝216－24 ＝192（cm3） ＝72－16 ＝56（cm3） ＝216－56 ＝160（cm3） 答：图1剩余部分的体积是。图2剩余部分的体积是。 本题考查长方体、正方体的体积，解答本题的关键是求出三条孔道的实际总体积。 学科网（北京）股份有限公司 $