暑假专项提升——长方体和正方体（专项训练）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体核心概念，通过分层题型构建“概念-公式-应用”逻辑链，提炼空间想象、等积变形等解题方法，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|5题|实际摆放空间限制、最大面重叠法|棱长总和→表面积/体积基础计算| |填空|6题|排水法求体积、展开图相对面判断|公式推导→组合体棱长/表面积计算| |计算|3题|组合体表面积“补形法”|基本公式→复杂图形表面积/体积| |作图|1题|正方体展开图“2-2-2”型补全|平面展开→立体图形构建| |解答|8题|等积变形、无盖水箱优化设计|实际问题→体积/表面积综合应用|

暑假专项提升--长方体和正方体 2025-2026学年小学数学人教版五年级下学期 一、选择题 1．一个正方体纸盒的棱长总和是96cm，它的棱长是（    ）cm。 A．6 B．8 C．12 D．24 2．聪聪有4块玻璃，其中有两块长8dm和宽6dm，另外两块长6dm和宽6dm，如果做一个无盖的玻璃鱼缸，还需配一块（    ）。 A． B． C． D． 3．商店有几个棱长为15cm的正方体盒子（有盖），用来装长和宽均为10cm，高为5cm的长方体“盲盒”，每个正方体盒子最多能装（    ）个“盲盒”。 A．3 B．4 C．5 D．6 4．将两个长15cm，宽10cm，厚6cm的长方体礼盒包成一包，至少需要（    ）cm2包装纸。 A．900 B．1020 C．840 D．1200 5．一个长为20分米的方木的横截面是边长为5分米的正方形，将它的长锯掉3分米后，原方木的体积比原来减少（    ）立方分米。 A．15 B．17 C．75 D．100 二、填空题 6．做一个微波炉的包装箱（如下图），至少要用多少平方米的硬纸板？ 分析：这里要求的是长方体的表面积，求上下两个面的面积和，列式为( )；求前后两个面的面积和，列式为( )；求左右两个面的面积和，列式为( )；求这个包装箱的表面积，列式为( )，至少要用硬纸板( )平方米。 7．小明用磁力球和磁力棒拼搭长方体框架，如图是已经拼搭好的部分。 (1)他至少还需要( )个磁力球、( )根7cm的磁力棒、( )根4cm的磁力棒、( )根3cm的磁力棒才可以拼搭成这个长方体框架。 (2)拼好后，所用的磁力棒的总长是( )cm。 8．如图，把一根长2.8米的长方体木料沿着高截成3段，表面积增加了60平方分米，原来这根木料的体积是( )立方分米。 9．一个正方体容器棱长是10厘米，放入一个西红柿完全浸没水中，水面上升了1.2厘米，这个西红柿的体积是( )立方厘米。 10．下图是一个正方体的展开图，如果将它折成正方体，A面所对的面是( )；B面所对的面是( )。 11．一个正方体，如果高减少3cm，就变成了一个长方体。这时表面积比原来减少60cm2。原来正方体的体积是( )cm3。 三、计算题 12．仔细观察，分别计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 13．求下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 14．求下列立体图形的表面积与体积。 （1）                                （2） 四、作图题 15．下图实线部分都是在白纸上面的无盖正方体的表面展开图，请你设计三种不同的方法，在图中添加一个正方形（涂色表示），使新图形剪下折叠后能够围成一个封闭的正方体。 五、解答题 16．实验小学教室长9m，宽6m，高3m，门窗面积约11.6m2，现在要粉刷教室的屋顶和四周，一共要粉刷多少平方米？如果粉刷每平方米需要材料费2.5元，粉刷这间教室要材料费多少钱？ 17．一个长方体玻璃缸，尺寸如图，水深2.8dm。如果投入一个正方体铁块，投入A正方体和投入B正方体，缸里溢出的水相差多少升？ 18．一个密封的长方体玻璃容器（玻璃厚度不计），长4分米、宽3分米、高8分米，里面水深5分米（如图1），现在以这个容器的右侧面为底，侧放在桌面上（如图2）。 （1）这时水深多少分米？ （2）容器（如图2）没有与水接触部分的面积是多少？ 19．在一个棱长为3cm的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞。洞口是边长为1cm的正方形（如图）。挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？ 20．顺丰快递员李叔叔收到寄给同一个人的两个完全一样的快递。（如图） （1）李叔叔想把上面两个快递都装进下面的这个快递纸箱里，能装下吗？用计算说明你判断的理由。（纸板厚度忽略不计） （2）请你设计一个快递纸箱，使它正好装下这两个鞋盒（纸板厚度忽略不计），那么它的长、宽，高分别是（    ）cm，（    ）cm，（    ）cm，然后计算出这个快递纸箱的容积。（一种方案即可） 21．如图，仓库里有A、B两种规格的铁皮各若干张，从中选出5张铁皮焊成一个无盖水箱。 （1）你能想出几种不同的选法？并算出每种选法做成的水箱容积各是多少升？ （2）如果选定容积最大且节省材料的方法做成水箱，请你算出需要多少平方分米铁皮？ （3）用（2）中做成的水箱盛水105升，浸没一个铁块后，水面离箱口0.5分米，铁块的体积是多少立方分米？ 22．如下图，有一个长方体容器，其中一个侧面有一个边长3cm的正方形开口，往容器里放了一些水，然后将容器倒过来摆放，水会减少704cm3。这个容器最初放了多少立方厘米的水？（容器厚度不计） 23．母亲节，哥哥和妹妹把亲手做的礼物分别放在两个正方体纸盒里，包上包装纸送给母亲。 （1）一个礼品盒的体积是多少立方分米？ （2）一个礼品盒6个面，两个这样的礼品盒用包装纸包在一起实际包了几个面？ （3）如果包装这两个礼品盒的用纸是其表面积的1.5倍，至少要用多少平方分米的包装纸？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 B B C A C 1．B 根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和除以12即可算出棱长。 96÷12＝8（cm） 正方体的棱长是8cm。 2．B 制作一个无盖的长方体玻璃鱼缸，需要底面1块、侧面4块，共计5块玻璃；根据题意可知，4块玻璃均有一边为6dm，说明鱼缸的高度为6dm，已有的玻璃作为侧面，其底边长度分别对应鱼缸的长和宽，据此解答。 根据分析可知：做成的玻璃鱼缸的长是8dm、宽是6dm、高是6dm，配的玻璃作为长方体的下面的面，即长×宽的面，所以应该配一块长是8dm、宽是6dm的长方形的玻璃。 所以应该配一块的玻璃。 3．C 此题不能用正方体盒子的容积除以长方体盲盒的体积，要考虑实际摆放的空间限制。要让长方体盲盒的不同棱对应正方体盒子的不同方向。 长方体盲盒的长是10cm，宽是10cm，高是5cm，正方体盒子的棱长是15cm。先按常规方向摆，高度方向可以摆15÷5＝3（层），底面只能摆放1个，所以可以放1×3＝3（个）。 放完3个后，正方体盒子里还有15cm×（15－10）cm×15cm的空间。把长方体盲盒换个方向放进剩余空间，可以放2个。所以一共可以放3＋2＝5（个）。 4．A 把长方体礼盒的最大面重叠在一起时需要的包装纸面积最小，求出此时两个长方体礼盒组成的大长方体的长、宽、高，再根据“”求出至少需要包装纸的面积。 分析可知，因为15cm＞10cm＞6cm，所以长、宽所组成面的面积最大。 长：15cm 宽：10cm 高：6×2＝12（cm） （15×10＋15×12＋10×12）×2 ＝（150＋180＋120）×2 ＝450×2 ＝900（cm2） 至少需要900cm2包装纸。 5．C 长方体体积＝横截面的面积×长，根据正方形面积＝边长×边长，计算出横截面的面积，横截面的面积×锯掉的长度＝减少的体积。 5×5×3＝75（立方分米） 原方木的体积比原来减少75立方分米。 6． 0.7×0.5×2 0.7×0.4×2 0.5×0.4×2 （0.7×0.5＋0.7×0.4＋0.5×0.4）×2 1.66 根据长方体的特征可知，长方体有6个面，相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形；根据长方形的面积公式S＝ab，即可求出长方体各个面的面积。 长方体上下面的面积和＝长×宽×2，前后的面积和＝长×高×2，左右面的面积和＝宽×高×2；然后把这六个面的面积相加，即是这个长方体包装箱的表面积，也就是至少要用硬纸板的面积。 分析：这里要求的是长方体的表面积，求上下两个面的面积和，列式为0.7×0.5×2；求前后两个面的面积和，列式为0.7×0.4×2；求左右两个面的面积和，列式为0.5×0.4×2；求这个包装箱的表面积，列式为（0.7×0.5＋0.7×0.4＋0.5×0.4）×2，至少要用硬纸板1.66平方米。 （0.7×0.5＋0.7×0.4＋0.5×0.4）×2 ＝（0.35＋0.28＋0.2）×2 ＝0.83×2 ＝1.66（平方米） 答：至少要用1.66平方米的硬纸板。 本题考查长方体的特征、长方体每个面面积的计算方法以及长方体表面积的计算。 7．(1) 5 1 2 3 (2)56 （1）磁力球对应长方体顶点，磁力棒对应长方体棱长，长方体有8个顶点，12条棱，相对的棱长度相等，据此填空； （2）根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算即可。 （1）他至少还需要5个磁力球、1根7cm的磁力棒、2根4cm的磁力棒、3根3cm的磁力棒才可以拼搭成这个长方体框架。 （2）（7＋4＋3）×4 ＝14×4 ＝56（cm） 所用的磁力棒的总长是56cm。 关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体棱长总和公式。 8．420 由图可知，把长方体木料截成3段，需要截2次，每截1次增加2个截面的面积，一共增加4个截面的面积，根据增加部分的面积求出每个截面的面积，最后利用“长方体的体积＝底面积×高”求出这根木料的体积，据此解答。 2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 2.8米＝28分米 60÷4×28 ＝15×28 ＝420（立方分米） 所以，原来这根木料的体积是420立方分米。 本题主要考查立体图形的切拼，根据增加部分的面积求出每个截面的面积并掌握长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 9．120 根据物体的体积＝上升部分水的体积，物体的体积＝长×宽×上升部分的高度，用10×10×1.2即可求出鹅卵石的体积。据此解答。 10×10×1.2＝120（立方厘米） 这个西红柿的体积是120立方厘米。 本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，注意物体的体积等于上升部分水的体积。 10． D E 根据正方体展开图的特征，此图属于正方体展开图为“2－2－2”型，A面所对的面是D，B面所对的面是E。 根据正方体展开图的特征，A面所对的面是D，B面所对的面是E。 根据正方体展开图的特征，结合自身空间想象能力，找到展开图的每个相对面。 11．125 分析题目，如果正方体的高减少3cm，则表面积就减少了4个相同的长方形的面，这个长方形的长是正方体的棱长、宽是3cm，据此先用60除以4求出一个面的面积，再除以3即可求出正方体的棱长，最后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 60÷4＝15（cm2） 15÷3＝5（cm） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（cm3） 因此，这个正方体的体积是125cm3。 12．正方体表面积：；体积：； 长方体表面积：；体积： 将正方体的棱长，长方体的长、宽、高，分别代入正方体、长方体的表面积、体积公式即可求得结果；正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长；长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高。 13．186cm2；135cm3 把立体图形上方正方体的上底面补在重叠的长方体面处，立体图形的表面积等于完成的长方体表面积，加上正方体的四个侧面积。立体图形的体积等于长方体的体积加上正方体的体积。 表面积： （9×3＋9×4＋3×4）×2＋3×3×4 ＝（27＋36＋12）×2＋3×3×4 ＝（63＋12）×2＋3×3×4 ＝75×2＋9×4 ＝150＋36 ＝186（cm2） 体积：9×3×4＋3×3×3 ＝27×4＋9×3 ＝108＋27 ＝135（cm3） 14．（1）324cm2；360cm3 （2）30m2；6m3 （1）根据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2，体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 （2）组合图形的表面积＝正方体表面积－长方体上下面的面积＋长方体的侧面积，其中长方体上下面是2个边长为1m的正方形，长方体的侧面是4个相同的长为2m、宽为1m的长方形；根据正方体的表面积公式S＝6a2，正方形的面积公式S＝a2，长方形的面积公式S＝ab；代入数据计算求解； 组合图形的体积＝正方体的体积－长方体的体积；根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 （1）表面积： （12×6＋12×5＋6×5）×2 ＝（72＋60＋30）×2 ＝162×2 ＝324（cm2） 体积： 12×6×5＝360（cm3） 长方体的表面积是324cm2，体积是360cm3。 （2）表面积： 2×2×6－1×1×2＋2×1×4 ＝24－2＋8 ＝30（m2） 体积： 2×2×2－1×1×2 ＝8－2 ＝6（m3） 组合图形的表面积是30m2，体积是6m3。 15．见详解 正方体的展开图有11种特征，分四种类型。从题意可知：无盖正方体的表面展开图最接近正方体的展开图中的“231”型和“33” 型（如下图） ： 据此添加一个正方形即可折叠后能够围成一个封闭的正方体。 根据分析可得： 16．132.4平方米；331元 用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗面积，求出粉刷面积；粉刷面积×每平方米费用＝材料费，据此列式解答。 9×6＋9×3×2＋6×3×2－11.6 ＝54＋54＋36－11.6 ＝132.4（平方米） 132.4×2.5＝331（元） 答：一共要粉刷132.4平方米，粉刷这间教室要材料费331元钱。 关键是掌握并灵活运用长方体表面积公式。 17．36升 根据长方体的体积计算公式：V＝abh，计算出玻璃缸的体积和玻璃缸内原有水的体积，玻璃缸的体积减水的体积即为玻璃缸剩余部分的体积；计算出A正方体和B正方体投入玻璃缸后水上升的体积，和缸内剩余部分体积对比，大于这部分体积，则有水溢出，小于这部分体积，则没有水溢出；有水溢出的前提下，分别计算A正方体溢出水体积和B正方体溢出的水体积，两个数值相减即为它们的差值。 玻璃缸剩余部分体积： 6×8×4－6×8×2.8 ＝192－134.4 ＝57.6（立方分米） A正方体投入玻璃缸中水上升的体积：4×4×4＝64（立方分米） B正方体投入玻璃缸中水上升的体积：5×5×4＝100（立方分米） 因为64＞57.6，100＞57.6，所以有水溢出 A正方体投入玻璃缸中水溢出的体积：64－57.6＝6.4（立方分米） B正方体投入玻璃缸中水溢出的体积：100－57.6＝42.4（立方分米） 42.4－6.4＝36（立方分米） 36立方分米＝36升 答：缸里溢出的水相差36升。 此题主要考查长方体、正方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是要先对比判断是否有水溢出，然后才能计算两个正方体溢出水的体积差。 18．（1）2.5分米 （2）57平方分米 （1）由题意，长方体内水的体积为4×3×5＝60（立方分米），现以这个容器的右侧面为底，侧放在桌面上，这时是以8×3的面为底面，要求此时的水深，可列式为：4×3×5÷（3 ×8）＝2.5（分米）； （2）观察图2，此时没有与水接触的部分的面积可看作是一个无盖的长方体的表面积，其中长、宽、高分别为8、3、（4－2.5）；利用这些数据，结合长方体表面积公式，可求得没有与水接触部分的面积是多少。 （1）4×3×5÷（3×8） ＝60÷24 ＝2.5（分米） 答：这是水深2.5分米。 （2）4－2.5＝1.5（分米） 8×3＋（3×1.5＋8×1.5）×2 ＝24＋16.5×2 ＝24＋33 ＝57（平方分米） 答：没有与水接触部分的面积是57平方分米。 （1）这一问属于体积的等积变形，要点是掌握其中不变的为水的体积； （2）这一问较为复杂，因为没有与水接触部分是5个面，且同属于一个长方体，所以可视作为一个无盖的长方体的表面积。 19．20立方厘米 所剩木块的体积是原正方体的体积减去挖去的三个洞的体积。三个洞在正方体的正中心相交成一个棱长1cm的正方体，在减去三个洞的体积时多减了两个相交的正方体的体积。 3×3×3－1×1×3×3＋1×1×1×2 ＝27－9＋2 ＝20（立方厘米） 答：挖洞后正方体木块的体积是20立方厘米。 在一个长方体或正方体上切（或挖）长方体或正方体，体积会减少，外表面减少，里面即多出了表面积，计算过程要防止重复减的情况。 20．（1）不能装下；理由见解析 （2）33；20；24；15840cm3 （1）可根据大盒子的长、宽、高分别是否是男鞋盒的2倍，满足一个条件即可得出答案。 （2）可将这两个男鞋盒放成两层，则大长方体的长、宽不变，高变为2倍，长方体容积＝长×宽×高，据此得出答案。 （1）不能装下。答出一种就算正确。 方法一：60÷2＝30（cm），30＜33，所以不能装下。 方法二：30÷2＝15（cm），15＜20，所以不能装下。 方法三：18÷2＝9（cm），9＜12，所以不能装下。 （2）33；20；24；33×20×24＝15840（cm³） 本题主要考查的是长方体的容积，解题的关键是熟练运用长方体容积计算公式，进而得出答案。 21．（1）三种；216升；252升；252升 （2）198平方分米 （3）126立方分米 （1）根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相对。由此可知，有三种不同的选法，①选5张A；②选1张A和4张B；③选2张A和3张B。根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据分别代入公式解答。 （2）根据（1）所得容积，选出容积最大且表面积小的选法，第②和③容积一样大，但A的面积小于B，所以③的表面积小，计算需要铁皮的面积即可。 （3）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出铁块和水的体积和，然后减去水的体积就是铁块的体积。 （1）第一种：选5张A，即是一个棱长为6分米的正方体： 6×6×6＝216（立方分米） 216立方分米＝216升 第二种：1张A和4张B，即是一个长6分米，宽6分米，高7分米的长方体： 7×6×6＝252（立方分米） 252立方米＝252升 第三种：2张A和3张B，即是一个长7分米，宽6分米，高6分米的长方体： 6×6×7＝252（立方分米） 252立方分米＝252升 （2）6×6×2＋6×7×3 ＝72＋126 ＝198（平方分米） 答：需要198平方分米铁皮。 （3）6×7×（6－0.5） ＝42×5.5 ＝231（立方分米） 105升＝105立方分米 231－105＝126（立方分米） 答：铁块的体积是126立方分米。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式 22．960立方厘米 正着放和倒着放，底面积相同，高减少了15－4厘米，用减少的体积÷减少的高＝长方体底面积，长方体底面积×原来的高＝最初水的体积。 704÷（15－4） ＝704÷11 ＝64（平方厘米） 64×15＝960（立方厘米） 答：这个容器最初放了960立方厘米的水 关键是掌握长方体体积公式，长方体体积＝底面积×高。 23．（1）8立方分米； （2）10个； （3）60平方分米 （1）正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把图中正方体的棱长代入公式计算； （2）2个正方体礼盒有（2×6）个面，如图把两个这样的礼品盒用包装纸包在一起减少2个面的面积； （3）先计算正方体一个面的面积，再乘一共需要计算面的数量，最后乘1.5，据此解答。 （1）2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方分米） 答：一个礼品盒的体积是8立方分米。 （2）2×6－2 ＝12－2 ＝10（个） 答：两个这样的礼品盒用包装纸包在一起实际包了10个面。 （3）2×2×10×1.5 ＝4×10×1.5 ＝40×1.5 ＝60（平方分米） 答：至少要用60平方分米的包装纸。 掌握正方体的表面积和体积计算方法是解答题目的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $