暑假专项作业：长方体和正方体（专项练习）-2025-2026学年数学五年级下册人教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体核心考点，通过展开图还原、表面积体积计算及实际应用，系统提炼空间想象、公式迁移与转化思想，构建“概念-计算-应用”逻辑链条，培养空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |展开图与空间想象|2（正方体展开图重合点、几何体三视图）|“一四一”型展开图还原法、三视图观察法|从平面展开图到立体图形构建，发展空间观念| |表面积计算|5（侧面展开正方形、切割增表面积等）|侧面展开边长=底面周长、切割面面积累加|从基本公式到变式应用，强化几何直观| |体积计算|6（排水法测体积、拼合体积等）|排水法（体积差）、拼合体积不变原理|从规则体到不规则体转化，培养推理意识| |实际应用|7（粉刷教室、鱼缸边框等）|无盖表面积计算、棱长总和应用|从数学模型到生活问题解决，提升应用意识|

暑假专项作业：长方体和正方体-2025-2026学年数学五年级下册人教版 一、选择题 1．如图是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点1重合的点是点（    ）。 A．6和11 B．6和10 C．2和6 D．2和7 2．小学阶段，我们学习了很多的数学知识，它们之间有着密切的联系。下面各图表示的关系错误的是（    ）。 A．B． C． D． 3．两个体积相等的长方体，表面积（    ）。 A．可能相等 B．一定相等 C．一定不相等 D．不可能相等 4．按的方式摆放在桌面上，8个按这种方式摆放，有（    ）个面露在外面。 A．20 B．23 C．26 D．29 5．一个长方体纸盒的底面是边长为3厘米的正方形，侧面展开图正好也是一个正方形，做这个纸盒至少需要（    ）平方厘米的纸板。 A．54 B．81 C．162 D．306 6．将一根长8dm的长方体木料切成两部分（如图），得到一个棱长3dm的正方体和一个长方体，原来长方体木料的体积是（    ）dm3。 A．24 B．30 C．72 D．9 二、填空题 7．在括号里填入合适的数或量。 升( )立方厘米    10.7平方分米( )平方米 一瓶矿泉水约500( )    一个教室所占空间约是60( ) 8．一个长方体底面是一个正方形，把这个长方体的侧面展开后，形成一个周长是80cm的正方形。那么这个长方体的体积是( )。 9．中国冶铁历史悠久，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。齐国工匠从一块长方体铁块上截下一个体积为6912cm3的长方体后，剩下部分刚好是一个棱长为12cm的正方体。原长方体的体积是( )cm3，表面积是( )cm2。 10．小红用棱长是1cm的小正方体搭成如下图所示的三个几何体。 (1)从( )面看这三个几何体，看到的图形是完全一样的。 (2)①号几何体的表面积可以这样算： 照这样的算法，②号几何体的表面积是( )。（列式计算） (3)若把③号几何体继续补搭成一个大正方体，则至少还需要( )个小正方体。 11．将一个表面涂色的大正方体，切割成64个大小相同的小正方体，那么三面涂色的小正方体有( )个，两面涂色的小正方体有( )个。 12．把两个棱长为2dm的正方体木块拼成一个长方体，拼成的长方体的体积是( )，表面积是( )。 13．张老师带来了一个透明的塑料盒，盒子里装了一些的小正方体（如图），他把这个盒子放在讲台上，最多占( )的面积。如图放置，现要围着它贴一圈包装纸（上下面不贴），这张包装纸的面积至少要( )。 14．一个长方体容器，底面积是24dm2，水面高8dm，将一个体积是48dm3的铁块完全没入水中（水没有溢出），这时水面的高度是( )dm。 15．一个长方体，如果将它的宽增加4厘米就变成了一个正方体，这时表面积增加了160平方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米。 16．妈妈制作了消暑酸梅汤，盛放在一个长方体密封保鲜盒中，为方便冰箱存放，妈妈把这个保鲜盒竖立起来，此时酸梅汤高是( )厘米。 三、计算题 17．求下面图形的表面积和体积。（单位：分米） 18．计算下面图形的体积。（图中单位：cm） 四、解答题 19．学校要粉刷教室的屋顶和四壁。已知每间教室的长是7.5米，宽是6米，高是3米，门窗的总面积是12平方米。如果每平方米需要花9元涂料费，粉刷一间教室需要多少涂料费？ 20．AI智能模块化鱼缸是一款科技感十足的智能鱼缸，它拥有自动定时喂食、自动清洁等多种功能，让养鱼这件事变得更加简单。爷爷家的智能鱼缸是一个长50厘米、宽30厘米、高25厘米的长方体。为了让鱼缸更加牢固，要在鱼缸的所有边框装上防撞条，至少需要多长的防撞条？（损耗忽略不计） 21．五（3）班一个科学兴趣小组探究一块不规则石头的体积。同学把这块石头放入一个长40厘米，宽25厘米，高20厘米的容器中，容器中原来水深12厘米，放入石头后水深16厘米，石头完全浸入水中，这块石头的体积是多少？ 22．木工课上，李老师把一块长6分米、宽0.3米、高6厘米的长方体木头，按如图所示平均分成8块。这块木头被分开后，表面积增加了多少平方分米？（切割过程中的损耗忽略不计） 23．一个长方体如下图所示，如果高增加3厘米，就变成了正方体，且表面积比原来增加120平方厘米，那么原来长方体的体积是多少？    24．一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.2分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专项作业：长方体和正方体-2025-2026学年数学五年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A A C C C 1．C 【分析】确定该展开图为正方体展开图的“一四一”型，先确定基准面，明确各面折叠后的相邻与相对关系。 找到点1所在的边，判断折叠时与该边重合的其他边，因为正方体折叠时相邻面的公共边的端点会重合，所以沿着公共边的重合关系依次找到和点1重合的点。 【详解】当还原折成纸盒时，与点1重合的点是点2和6。 2．A 【分析】A．非零自然数分为质数、合数和1。​ B．自然数是整数的一部分。 ​C．四边形包含平行四边形和梯形；平行四边形包含长方形；长方形包含正方形。​ D．正方体是特殊的长方体，所以长方体包含正方体。 【详解】A．图里把非零自然数分成质数和合数，忽略了1，逻辑错误。 B．图里是整数包含自然数，表示的关系正确。 C．四边形包含平行四边形和梯形；平行四边形包含长方形；长方形包含正方形。​表示的关系正确。 D．长方体包含正方体，这个关系是正确的。 3．A 【分析】长方体的体积公式为，表面积公式为。体积相等的长方体，其长、宽、高不一定分别相等，因此形状不一定相同，表面积也不一定相等。但若两个长方体完全相同，则表面积相等。因此表面积可能相等，也可能不相等。 【详解】情况一：两个长方体的长、宽、高分别相等。此时它们的形状和大小完全相同，体积相等，表面积也相等。 情况二：两个长方体的长、宽、高不完全相等，但乘积相等。例如： 长方体的长、宽、高分别为、、，体积为， 表面积为 长方体的长、宽、高分别为、、，体积为， 表面积为 此时两个长方体体积相等，但表面积不相等。 综上所述，两个体积相等的长方体，表面积可能相等。 4．C 【分析】1个小正方体1个底面贴在桌面不露在外面，露在外面的有5个面；再增加一个正方体，2个小正方体并排有8个面露在外面；3个小正方体并排有11个面露在外面；每增加1个小正方体，露在外面的面就增加3个；据此总结规律：n个小正方体，有5＋3×（n－1）个面露在外面；据此进行解答即可。 【详解】将n＝8代入到5＋3×（n－1）进行计算： 5＋3×（8－1） ＝5＋3×7 ＝5＋21 ＝26（个） 5．C 【分析】先用底面正方形边长乘4求出底面周长，该周长等于长方体的高；底面积用边长乘边长求出一个底面面积再乘2，侧面积用底面周长乘高计算，最后将两部分面积相加求出纸盒纸板总面积。 【详解】高：3×4＝12（厘米） 两个底面积：3×3×2＝18（平方厘米） 侧面积：12×12＝144（平方厘米） 表面积：18＋144＝162（平方厘米） 6．C 【分析】分析题目，根据切开之后右边的正方体的棱长是3dm可知：原来的长方体木料的宽和高都是3dm，长方体的体积＝长×宽×高，据此列式求出木料的体积。 【详解】8×3×3 ＝24×3 ＝72（dm3） 原来长方体木料的体积是72dm3。 7． 150 0.107 毫升/mL 立方米/m3 【分析】1立方分米＝1升，1立方分米＝1000立方厘米，1平方米＝100平方分米，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，据此进行换算。 棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，大约是1个手指头的大小，1立方厘米＝1毫升；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小，1立方分米＝1升；棱长1米的正方体，体积是1立方米，大约是1台冰箱的大小。 【详解】×1000＝150（立方厘米），升150立方厘米 10.7÷100＝0.107（平方米），10.7平方分米0.107平方米 一瓶矿泉水如果是500升，太多了，因此一瓶矿泉水约500毫升；一个教室所占空间如果是60立方分米，太小了，因此一个教室所占空间约是60立方米。 8．500 【分析】已知侧面展开后正方形周长是80cm，根据正方形边长＝周长÷4求出正方形边长，这个边长既是长方体的高，也是长方体底面正方形的周长，因为底面是一个正方形，再根据边长＝周长÷4，求出长方体的底面边长，也就是长方体的长和宽，代入长方体体积＝长×宽×高求解。 【详解】80÷4＝20（cm） 20÷4＝5（cm） 5×5×20＝500（cm3） 9． 【分析】（）原长方体的底面特征：因为剩下部分是棱长的正方体，所以原长方体有两个相对的面是边长为的正方形，即原长方体的宽和高均为。 （）求截下的小长方体的长：因为截下的长方体体积已知，且其宽和高与原长方体的宽、高相等，所以用截下部分的体积除以底面积可得到截下部分的长。 （）求原长方体的长：因为原长方体的长等于剩下正方体的棱长加上截下部分的长，所以可得到原长方体的长。 （）计算原长方体体积：长方体体积底面积高，或者用剩下正方体的体积加上截下部分的体积，即可得到原体积。 （）计算原长方体表面积：根据长方体表面积公式，代入原长方体的长、宽、高计算即可。 【详解】①（） （） （） （） ② （） 10．(1)正/前 (2)（5＋5＋3）×2＝26（平方厘米） (3)57 【分析】（1）分别画出三个几何体从正面、上面和左面看到的图形，即可解答； （2）题干给出①的算法：表面积＝（上面看到的正方形个数＋前面看到的个数＋左面看到的个数）×2，因此对②计数：从上面看共看到5个正方形，从前面看共看到5个正方形，从左面看共看到3个正方形，代入计算即可； （3）观察③号几何体，最长边是4个小正方体的长度，因此补成的最小大正方体是棱长为4个小正方体，算出大正方体需要小正方体的个数，再减去原来的7个小正方体即可。 【详解】（1）图①从正面看：；从上面看：；从左面看：； 图②从正面看：；从上面看：；从左面看：； 图③从正面看：；从上面看：；从左面看：； 所以从正面看这三个几何体，看到的图形是完全一样的。 （2）（5＋5＋3）×2 ＝（10＋3）×2 ＝13×2 ＝26（平方厘米） （3）4×4×4＝64（个） 64－7＝57（个） 若把③号几何体继续补搭成一个大正方体，则至少还需要57个小正方体。 11． 8 24 【分析】假设切割成的小正方体的棱长是1厘米，64＝4×4×4，所以原来大正方体的棱长是4厘米，正方体有8个顶点，12条棱，6个面，且已知把这个棱长4厘米的正方体切成棱长为1厘米的小正方体，三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点上，即有8个三面涂色的小正方体；除了顶点只剩下2个小正方体，即有12×2＝24（个）两面涂色的小正方体；据此解答。 【详解】三面涂色的小正方体有8个 两面涂色的小正方体：12×2＝24（个） 12． 16 40 【分析】拼成的长方体的长是2＋2＝4dm，宽和高都是2dm，根据长方体体积公式V＝abh，表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2，分别求出体积和表面积。 【详解】2＋2＝4（dm） 4×2×2＝16（dm3） （4×2＋4×2＋2×2）×2 ＝（8＋8＋4）×2 ＝20×2 ＝40（dm2） 13． 15 32 【分析】由图可知：盒子的长能放5个小正方体、宽能放3个小正方体、高能放2个小正方体，据此确定塑料盒的长、宽、高。占地面积＝长×宽；包装纸的面积＝（长×高＋宽×高）×2。 【详解】因为1×1×1＝1（cm3） 所以小正方体的棱长为1cm。 由图可知： 塑料盒的长为：1×5＝5（cm）； 塑料盒的宽为：1×3＝3（cm）； 塑料盒的高为：1×2＝2（cm）。 塑料盒占地面积为：5×3＝15（cm2） 包装纸面积为： （5×2＋3×2）×2 ＝（10＋6）×2 ＝16×2 ＝32（cm2） 14．10 【分析】根据题意，将一个体积是48dm3的铁块完全没入长方体容器的水中，那么水上升部分的体积就是这个铁块的体积；根据长方体的高h＝V÷S，用铁块的体积除以长方体容器的底面积，求出水面上升的高度，再加上原来水的高度，就是这时水面的高度。 【详解】48÷24＋8 ＝2＋8 ＝10（dm） 15． 440 【分析】长方体的宽增加4厘米后变成正方体，说明原长方体的长和高相等，且都等于正方体的棱长，原长方体的宽比长（或高）少4厘米。宽增加后，表面积增加的部分是围绕宽增加方向的4个侧面的面积。这4个面是完全相同的长方形，长等于原长方体的长（或高），宽等于增加的4厘米。根据增加的表面积求出原长方体的长和高，接着求出原长方体的宽，最后利用长方体表面积公式计算原表面积。 【详解】（厘米） ， 所以原长方体的长和高都是10厘米。 （厘米），所以原长方体的宽为6厘米。 （平方厘米） 所以原来长方体的表面积是440平方厘米。 16．9.6 【分析】酸梅汤体积不变，先根据平放时长12厘米，宽8厘米，高4厘米。算出液体体积，再用体积除以竖立后底面积（8×5）得到新液面高度。。 【详解】12×8×4 ＝96×4 ＝384（立方厘米） 8×5＝40（平方厘米） 384÷40＝9.6（厘米） 17．长方体表面积：270平方分米；体积：252立方分米 正方体表面积：294平方分米；体积：343立方分米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高； 正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】长方体： 表面积：（12×6＋12×3.5＋6×3.5）×2 ＝（72＋42＋21）×2 ＝（114＋21）×2 ＝135×2 ＝270（平方分米） 体积：12×6×3.5 ＝72×3.5 ＝252（立方分米） 正方体： 表面积：7×7×6 ＝49×6 ＝294（平方分米） 体积：7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方分米） 18． 【分析】如图，作一个辅助线，把原来的图形分割成左右两个长方体。左侧的长方体：长5cm，宽8cm，高6cm，右侧长方体：长cm，宽8cm，高cm，分别计算两个长方体的体积，再相加即可。 【详解】（） （） （） 19．1026元 【分析】粉刷教室需要计算屋顶和四壁的面积，即长方体上面和前后左右4个侧面的面积之和，共 5个面。先求出这5个面的总面积，再减去门窗面积得到实际粉刷面积，最后乘每平方米的涂料费即可求出总费用。 【详解】 ＝126（平方米） 实际粉刷面积： 126－12＝114（平方米） 总涂料费： （元） 答：粉刷一间教室需要1026元涂料费。 20．420厘米 【分析】分析题目，要求在鱼缸的所有边框装上防撞条，即求长方体12条棱的长度之和，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此列式计算。 【详解】（50＋30＋25）×4 ＝105×4 ＝420（厘米） 答：至少需要420厘米的防撞条。 21．4000立方厘米 【分析】将这块不规则石头完全浸入水中，水面不管升高多少厘米，长方体容器的底面积是不变的；根据题意可知水面上升了（16－12）厘米，由长方体的体积＝长×宽×高，求出升高的那部分水的体积，即是这块石头的体积。 【详解】40×25×（16－12） ＝40×25×4 ＝40×（25×4） ＝40×100 ＝4000（立方厘米） 答：这块石头的体积是4000立方厘米。 22．46.8平方分米 【分析】观察可知，平均分成八块要切三下，每次一下就会增加2个长方形面积，所以表面积增加了6个长方形的面积，分别是2个长是6分米，宽0.3分米的长方形，2个长是6分米，宽是6厘米的长方形，2个长是0.3米，宽是3厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，据此解答即可，注意单位换算。 【详解】0.3米＝3分米 6厘米＝0.6（分米） 6×3×2＋6×0.6×2＋3×0.6×2 ＝18×2＋3.6×2＋1.8×2 ＝36＋7.2＋3.6 ＝46.8（平方分米） 答：表面积增加了46.8平方分米。 23．700立方厘米 【分析】增加的是4个小长方形的面积和。因为高增加3厘米后变成了正方体，所以原长方体的长和宽相等，得出增加的4个面的面积相等。表面积增加了120平方厘米，用120÷4先求出增加的1个面的面积；再用增加的1个面的面积÷3求出小长方形的长、宽，即求长（或宽）列式为120÷4÷3，再根据原来的高比长少3厘米求出原来的高，最后运用长方体的体积计算公式求出原长方体的体积。 【详解】长（或宽）：120÷4÷3 ＝30÷3 ＝10（厘米） 高：10－3＝7（厘米） 体积：10×10×7 ＝100×7 ＝700（立方厘米） 答：原来长方体的体积是700立方厘米。 【点睛】一个长方体高增加一段，表面积增加的部分是增加的那部分前、后、左、右4个侧面的面积和。 24．（1）196平方分米 （2）不会溢出 （3）5.875分米 【分析】（1）根据题意，长方体玻璃鱼缸（无盖）缺少上面（长和宽组成的长方形），所以玻璃的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （2）先求出水的体积与正方体铁块的体积之和，再计算鱼缸体积，如果水和铁块的体积比鱼缸体积大就会溢出，如果比鱼缸体积小则不会溢出，根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长； （3）根据（2）中计算可知水不会溢出，水深＝水与铁块的体积÷鱼缸底面积；据此解答。 【详解】（1）8×5＋（8×6＋5×6）×2 ＝40＋78×2 ＝40＋156 ＝196（平方分米） 答：做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃196平方分米。 （2）8×5×5.2＋3×3×3 ＝40×5.2＋27 ＝208＋27 ＝235（立方分米） 8×5×6 ＝40×6 ＝240（立方分米） 240＞235 答：鱼缸里的水不会溢出。 （3）235÷（5×8） ＝235÷40 ＝5.875（分米） 答：现在水深是5.875分米。 【点睛】此题考查了长方体的表面积、体积计算，关键灵活运用公式解答。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $