精品解析：河南许昌市襄城县部分学校2025-2026学年高二下学期7月期末摸底数学试题

高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 记数列为等比数列，已知，，则（ ） A. 32 B. 34 C. 38 D. 31 【答案】A 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，，， 所以， 因为，而，， 所以，所以， 即， 而，，所以. 2. 二项式展开式中，系数最大值为（ ） A. 280 B. 448 C. 560 D. 672 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理写出通项，再计算其奇数项的系数. 【详解】展开式通项公式为，且为整数， 要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项， 则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为， 故二项式展开式中，系数最大值为. 故选：C 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】随机变量，且, 故， 故选：A 4. 某班组织文艺晚会，准备从等7个节目中选出3个节目演出，要求两个节目中至少有一个被选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为（ ） A. 84 B. 72 C. 76 D. 130 【答案】D 【解析】 【分析】求出每种情况的数量，再利用分类加法计数原理相加即可. 【详解】依据题意分两类：第一类为：只有一个选中， 则不同演出顺序有种情况； 第二类为：同时选中，则不同演出顺序有种情况， 故不同演出顺序的种数为， 故选：D． 5. 经统计，我市每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概率为，在出现四级以上大风天气条件下，降雨的概率为，则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设为“每年四月份降雨”，为“四级以上大风天气”，则可由求出，从而可求. 【详解】设为“每年四月份降雨”，为“四级以上大风天气”， 则，， 故， 故. 故选：C. 6. 已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用导数法判断其单调性，再利用其单调性解不等式. 【详解】解：令， 则， 所以在R上递增， 又， 则不等式等价于， 所以， 即不等式的解集为. 7. 某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解. 【详解】依题意，服从超几何分布，则， 当取得最大值时，，即， 解得，，所以. 故选：B 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由三角形面积关系得出，再由勾股定理及椭圆的定义求出，利用余弦定理及求解即可. 【详解】设，由于与等高，， 所以，    又，，∴， 又，∴， 在中，， ∵， ， 在中，， 化简可得，解得， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，3，3，5，5，5，7，9，11的第80百分位数为9 B. 样本数据的相关系数越大，成对数据的相关程度也越强 C. 随机变量，则方差 D. 随机变量，则当变化时，为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出百分位数判断A，根据相关系数的性质判断B，由二项分布的方差公式及随机变量方差的性质计算后判断C，由正态分布的对称性判断D． 【详解】选项A，由于，已知数据是从小到大顺序排列的，第8个数是9，因此80百分位数为9，A正确； 选项B，样本数据的相关系数的绝对值越大，成对数据的相关程度也越强， 例如的数据比的数据的相关程度强，B错； 选项C，，则，，C正确； 选项D，，则，为定值，D正确． 10. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据递推关系代入即可求解AC，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD. 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，故C错误； 由B选项可得，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（ ） A. 当点为的中点时， B. 对于任意点，都有 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间的距离公式即可判断A，设，利用数量积即可判断B，设点到平面的距离为，得，求的范围即可判断C，利用向量法求点到直线的距离即可判断D. 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由棱长为2， 所以， 由点为的中点，所以， 所以，故A错误； 由，设， 所以， ，所以， 所以对于任意点，都有，故B正确； 设点到平面的距离为， 所以， 又点在线段上运动，所以， 所以，所以三棱锥体积的最小值为，故C正确； 由，所以， 所以点到直线的距离为 当且仅当时，等号成立，故点到直线的最短距离为, 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中含的项的系数是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理结合通项求解即可. 【详解】的展开式的通项． 令，得, 故答案为：. 13. 从不大于30的素数中，随机选取两个数，则被选取的两个数之和为30的概率是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出从不大于30的素数中随机选取两个数的方法总数，再求出被选取的两个数之和为30的方法总数，由古典概率的计算公式求解即可. 【详解】由题意可知不大于30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个． 从中随机选取两个数的情况有种， 其中被选取的两个数之和为30的情况有，，共3种， 故所求概率为． 故答案为：. 14. 在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，在平面内，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，且，则点的轨迹方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，根据面面垂直的性质可知，在平面内的投影为，的投影为，然后根据线面角的正切关系得，设，利用两点距离公式代入化简计算即可求得结果. 【详解】因为平面平面，且，平面平面， 所以平面，同理平面. 因此，在平面内的投影为，的投影为. 由，根据线面角的正切关系得， 将代入化简得. 设，则. 由，两边平方. 展开并整理得， 化简得. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. （1）求函数的极值； （2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）极大值是，极小值是； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值； （2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围. 【小问1详解】 ，由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是， 所以的极大值是，极小值是； 【小问2详解】 由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，， 若存在，使得不等式成立，则， 所以. 16. 某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测“和”大气成分分析“两项核心任务．已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为0.8（受行星表面地形复杂度的影响），成功完成“大气成分分析”任务的概率为0.5（受大气浓度稳定性的影响），两项任务的完成情况相互独立，互不影响． （1）求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率； （2）若同时发射2个该型号的探测器，记为这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）0.9 （2） 0 1 2 0.01 0.18 0.81 【解析】 【分析】（1）利用对立事件概率和为1的性质求解至少完成一项核心任务的概率即可； （2）由（1）可得2个探测器中至少完成一项核心任务的个数服从二项分布，再根据二项分布的性质求解分布列和期望. 【小问1详解】 该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率． 【小问2详解】 由（1）得，这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数服从二项分布，则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 0.01 0.18 0.81 17. 如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，. （1）若为中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）连接，可证 ，又因为底面，可得，即可得证. （2）如图建立空间直角坐标系，求出和平面 的一个法向量的坐标，则直线与平面所成角的正弦值. 试题解析： （Ⅰ）∵四边形为菱形，，连结，则为等边三角形， 又∵为中点∴，由得∴ ∵底面，底面∴，又∵ ∴平面 （Ⅱ）∵四边形为菱形，，， 得，，∴ 又∵底面， 分别以，，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 、、、 ∴，， 设平面的一个法向量， 则有，令，则 ∴直线与平面所成角的正弦值 ． 点晴：本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；第二问中通过建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量 ，结合得到结论. 18. 已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率P；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． （2）假如企业包装时要求把2件优等品和n（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B． ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值． 【答案】（1）0.8186； （2）①；② 3 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求得，得，判断产品为正品的质量差在内，利用正态曲线的对称性和相应的额概率值计算即得. （2）① 依题意，利用古典概型概率公式计算即得； ②依题，运用二项分布概率公式可得，利用求导得到当时即时，取得最大值. 【小问1详解】 由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为： ， 依题得，，，所以， 则优等品的质量差在即内，一等品的质量差在即内， 所以正品的质量差在和内，即内， 故该企业生产的产品为正品的概率： ； 【小问2详解】 ①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级不同有种选法， 故某箱产品抽检被记为B的概率为：． ②由题意，一箱产品抽检被记为的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为的概率为 ， 由， 所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为． 此时由，可解得：（舍去）， ∴时，5箱产品恰有3箱被记为的概率最大，最大值为． 19. 已知椭圆的长轴长为，且点在上． （1）求的方程． （2）若斜率为1的直线与交于A，B两点，求|AB|的最大值． （3）过点的直线交于P，Q（异于的左、右顶点）两点，直线PT，QT分别交直线于点M，N，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是，1 【解析】 【分析】（1）根据长轴长为求出，再将代入求出，从而得到椭圆方程. （2）设直线方程与椭圆联立，由判别式确定范围，用韦达定理和弦长公式求关于的表达式，进而求得最大值. （3）设直线方程与椭圆联立，求出M，N纵坐标，得出，几何韦达定理化简结果. 【小问1详解】 根据题意可得，所以． 将点的坐标代入，得，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 设的方程为． 由得， 由，得， ， 所以， 当时，|AB|取得最大值，最大值为． 【小问3详解】 设直线． 由得， 设． ，得． 直线PT的方程为， 令，得， 同理可得，， 所以． 因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 记数列为等比数列，已知，，则（ ） A. 32 B. 34 C. 38 D. 31 2. 二项式展开式中，系数最大值为（ ） A. 280 B. 448 C. 560 D. 672 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 某班组织文艺晚会，准备从等7个节目中选出3个节目演出，要求两个节目中至少有一个被选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为（ ） A. 84 B. 72 C. 76 D. 130 5. 经统计，我市每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概率为，在出现四级以上大风天气条件下，降雨的概率为，则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 7. 某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，3，3，5，5，5，7，9，11的第80百分位数为9 B. 样本数据的相关系数越大，成对数据的相关程度也越强 C. 随机变量，则方差 D. 随机变量，则当变化时，为定值 10. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（ ） A. 当点为的中点时， B. 对于任意点，都有 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中含的项的系数是___________. 13. 从不大于30的素数中，随机选取两个数，则被选取的两个数之和为30的概率是___________. 14. 在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，在平面内，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，且，则点的轨迹方程是___________. 四、解答题 15. 已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. （1）求函数的极值； （2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 16. 某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测“和”大气成分分析“两项核心任务．已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为0.8（受行星表面地形复杂度的影响），成功完成“大气成分分析”任务的概率为0.5（受大气浓度稳定性的影响），两项任务的完成情况相互独立，互不影响． （1）求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率； （2）若同时发射2个该型号的探测器，记为这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数，求的分布列与数学期望． 17. 如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，. （1）若为中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率P；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． （2）假如企业包装时要求把2件优等品和n（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B． ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值． 19. 已知椭圆的长轴长为，且点在上． （1）求的方程． （2）若斜率为1的直线与交于A，B两点，求|AB|的最大值． （3）过点的直线交于P，Q（异于的左、右顶点）两点，直线PT，QT分别交直线于点M，N，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $