河南许昌市襄城县部分学校2025-2026学年高二下学期7月期末摸底数学试题

高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分， 1.记数列(anJ为等比数列，已知ag=4,a4a6=2aga5,则ag=() A.32 B.34 C.38 D.31 2.二项式(x-2)'展开式中，系数最大值为() A.280 B.448 C.560 D.672 3.已知随机变量5~N(2,σ2)，且P(5>2.2)=0.4,则P1.8<5<2)=() A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 4.某班组织文艺晚会，准备从A,B等7个节目中选出3个节目演出，要求A,B两个节目中 至少有一个被选中，且A,B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序 的种数为() A.84 B.72 C.76 D.130 5.经统计，我市每年四月份降雨的概率为出现四级以上大风天气的概率为始在出 现四级以上大风天气条件下，降雨的概率为品 则在已知降雨的条件下，出现四级以上 大风天气的概率为() A. B. C. D.克 6.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x).若对任意x∈R,都有f(x)+1>0,且 f(2)=一2，则不等式f(x)>-x的解集为（) A(-0,-2)B.(-2,+∞) C.(-,2) D.(2,+∞) 7.某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有 1个，现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X, 则当P(X=)取得最大值时，k=() A.2 B.3 C.4 D.5 8.已知椭圆r号+芳=1a>b>0)的左右焦点分别为F1,P2w过P2的直线与椭圆r交 于A,B两点，与y轴交于C点若F1C1F1A,S△C2=4S△A,P2,则椭圆Γ的离心率为(） A.得 B. c.9 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合愿 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.数据1,3,3,5,5,5,7,9,11的第80百分位数为9 B.样本数据的相关系数「越大，成对数据的相关程度也越强 C.随机变量X~B(8,),则方差D(2x+1)=6 D.随机变量X~N(2,σ2)，则当o变化时，P(1<X<2)+P仪>3)为定值 10.已知数列(an}满足a1=1,an+1+an=3×2n,设(anJ的前n项和为Sn,下列结论中 正确的是() A.a2=5 B.数列{an-2)是等比数列 C.S4=24 D.S2a=22n+1-2 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD一A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E 上，则下列说法正确的是() D A.当点P为D1E的中点时，PC1= B,对于任意点R,都有A1PLAB1 C.三棱锥A1一ABP体积的最小值为 D.点P到直线CC的距离的最小值为S 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2x-y)7的展开式中含xy的项的系数是 13.从不大于30的素数中，随机选取两个数，则被选取的两个数之和为30的概率是 14.在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形， ADI/BC,AD=2BC,AD⊥AB,∠BPC=∠APD,在平面PAB内，以AB的中点O 为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，且 A(-2,0),B(2,0),则点P的轨迹方程是」 四、解答题 15.已知曲线y=f)=x-ar2+bx+1在点(0，f(0)处的切线的斜率为3，且当x=3时， 函数f(x)取得极值 )求函数的极值： 2)若存在xe[0,3引，使得不等式f(x)一m≤0成立，求m的取值范围. 16,某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测“和”头气成分分析 “两项核心任务.已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为0.8（受行 星表面地形复杂度的影响)，成功完成“大气成分分析”任务的概率为0.5（受大气浓度稳定 性的影响)，两项任务的完成情况相互独立，互不影响， (1)求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率： (2)若同时发射2个该型号的探测器，记X为这2个探测器中至少完成一项核心任务的个 数，求X的分布列与数学期望。 17.如图所示，在四棱台ABCD-AB,CD,中，A4⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形， ∠BAD=120°，AB=4=2AB1=2. D (1)若M为CD中点，求证：AM⊥平面AABB, (2)求直线DD,与平面ABD所成角的正弦值 18.(17分)已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从态 分布N(uσ)，并把质量差在（一可，μ+σ）内的产品称为优等品，质量差在(+a,μ+ 2σ)内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处 理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质置差的样本致据统计如下： 频率/组距 0.045-…w= 0.020 888 465666768696质量差 (单位：mg) (1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均。 作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，记质量差服从正态分布X~N(山σ2)， 求该企业生产的产品为正品的概率P:(同一组中的数据用该组区间的中点值代爱) 参考数据：若随机变量服从正态分布N(山，σ2)，则P(μ-σ<5≤μ+)≈0,6827，(- 2a<5≤μ+2o)≈0.9545，P(μ-3a<5≤μ+3σ)≈0.9973 (2)假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，且n∈N)件一等品装在同一个箱 子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱 产品记为A,否则该箱产品记为B. ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p; ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为p),求当n为何值时，p)取得曼大值。 起精国C号+岁-0>6> C: 19.1 的长轴长为4W5,且点T位，)在C上. (1)求C的方程.(2)若斜率为1的直线1与C交于A,B两点，求AB的最大值.·(3)过 点H(4,0)的直线交C于P,Q(异于C的左、右顶点)两点，直线PT,QT分别交直线x=4 MH 于点MN,试问HN是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由2025-2026学年下高二数学答案 一、单选题 1【详解】设等比数列{a}的公比为9，q≠0，n∈N, 所以a=aq-1, 因为446=2a45,而a446=a52,44=a42, 以a=2a,所0=2 a-g-2.面4=ag.a=ag,所以u=0g=ag广-2a-2 2.【详解】(x-2)展开式通项公式为T,+1=C(-2)'x-,0≤r≤7且r为整数， 要想系数最大，则”为偶数，是展开式中的奇数项， 则第1项的系数为1，第3项的系数为84，第5项的系数为560，第7项的系数为448， 故二项式(x-2)展开式中，系数最大值为560.故选：C 3.【详解】随机变量5~N(2,o2),且P(5>2.2)=0.4, 故P(1.8<号<2)=P(2<5<2.2)=0.5-0.4=0.1,故选：A 4.【详解】依据题意分两类：第一类为：A,B只有一个选中， 则不同演出顺序有C·C·A=120种情况； 第二类为：A,B同时选中，则不同演出顺序有C·A经=10种情况， 故不同演出顺序的种数为120+10=130，故选：D. 5.【分析】设A为“每年四月份降雨，B为“四级以上大风天气”，则可由P(AB)=求出 P(AB),从而可求P(B|A). 【详解】设A为“每年四月份降雨”，B为四级以上大风天气”， 则P(AB)=GP(A=,P(B)=G 故PAB)=P4B)P()=×启 数W器-答-云故选：c 11 64 6.【详解】解：令g(x)=fx)+x, 则g(x)=f(x)+1>0,所以g(x)在R上递增，又g(2)=f(2)+2=0,则不等式f(x)>-x 等价于g(x)>g(2),所以x>2,即不等式f(x)>-x的解集为(2，+o) 7.【详解】依题意，X服从超几何分布，则P(X=)= C(e1≤k≤)， C [k(k-1)≤(6-)(9-k) 当P(X=)取得最大值时， 即 ≥CC’ (8-)5-)≤k(k+1) C 20≤k<2 解 ,k∈Z,所以k=3故选：B 8.【详解】设|F2A=t,由于△CF1F2与△AF1F2等高，S△cF1F2=4S△AF1F2; 所以IF2Cl=4t=IF1C, XFC 1F A,IACI=5t,FAl =3t,AF+lAF2l=2a=4t,.t= 在△CF20中，cos-CF20=&cos-AF2F1+cosLCF20=0, c0sLAF2P1-品在△AF2F1中，c0sLAF2F1=A+H2lA=2c2-a2 2F2ALFF2 ac 化简可得2a2=5c2,解得e= 2=，故选：D a2 二、选择题 9.【答案】ACD 【分析】计算出百分位数判断A,根据相关系数的性质判断B,由二项分布的方差公式及随 机变量方差的性质计算后判断C,由正态分布的对称性判断D. 【详解】选项A,由于9×0=7.2，已知数据是从小到大顺序排列的，第8个数是9，因 此80百分位数为9，A正确： 选项B,样本数据的相关系数r的绝对值越大，成对数据的相关程度也越强， 例如r=-0.8的数据比=02的数据的相关程度强，B错； 选项C,X~B(8,),则D()=8××}=3D(2x+1)=4D()=6,C正确； 选项D,X~N(2,σ2)，则P(1<X<2)+PX>3)=P(2<X<3)+P(X>3)=P(X> 2)=0.5,为定值，D正确. 10.【详解】当n=1时，可得a2+a1=3×2=6,又因为a1=1,所以a2=5,故A正确： 由an+1+an=3×2",得an+1=-an+3×2, 所以41-2=a+3x20-2中=22=-1，又a1-21=1-2=-1, an-2n an-2n 所以数列{a,-2")是以-1为首项，-1为公比的等比数列，故B正确： S4=(a1+a2)+(a3+a4)=3×21+3×23=30,故C错误： 由B选项可得a-2m=（-1)×(-1)”-1,所以a=2n+(-1)”, 所以S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2m S2m=21+(-1)1+22+(-1)2+23+(-1)3+…+22m+(-1)2m =21+22+23+…+22m+(-1)1+(-1)2+(-1)3+…+(-1)20 =2-2约+-(01=2m*1-2,故D正确 1-2 1-(-1) 故选：ABD 11.【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，由棱长为2 所以A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),E(1,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2) 由点P为D1的中点，所以P(,1,1), 所以Pc1=、G-0)°+(1-22+(1-22=故A错误： 由D1E=(1,2,-2),A1D1=（-2,0,0),设D1P=1D1E,0≤1≤1， 所以A1P=A1D1+D12=(-2,0,0)+1(1,2,-2)=(-2+,2%,-2), AB1=(0,2,2),所以A1P·AB1=0×(-2+λ)+2×21+2×(2)=0， 所以对于任意点P,都有A1P1AB1,故B正确： 设点P到平面A1AB的距离为h, 所以VA1-ABp=Vp-ABA1=号Sa4BA,h=号×A8lAA1h=号×号×2X2h=号h, 又点P在线段D1E上运动，所以1≤h≤2， 所以VA1-ABP=VP-ABA1=h≥子所以三棱锥A1-ABP体积的最小值为，故C正确； 由C1D1=(0,-2,0),所以C1P=C1D1+D1P=(0,-2,0)+1(1,2,-2)=(0,21-2,-2) 所以点P到直线CC1的距离为 d=| cP .CC √5λ2+(21-2)2-(-2)2=√52-81+4 -+2 5 当且仅当1-等时，等号成立，故点P到直线C1的最短距离为，故选：BC 三、填空题， 12.(2x-)的展开式的通项I,+1=C7(2x)7-(y=(1y.2-Cx7-y. 令r=3,得T4=(-1)3×2-3×Cxy3=-560x4y, 故答案为：-560 13.【详解】由题意可知不大于30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10 个.从中随机选取两个数的情况有C。=45种，其中被选取的两个数之和为30的情况有 (7,23),11,19),13,17),共3种，故所求概率为 31 4515 14.【详解】因为平面PAB⊥平面ABCD,且AD LAB,平面PABO平面ABCD=AB, 所以AD⊥平面PAB,同理BC⊥平面PAB.因此，PD在平面PAB内的投影为PA,PC BC AD 的投影为PB.由∠BPC=∠APD,根据线面角的正切关系得 PB PA 将AD=2BC代入化简得PA=2PB 设P(x,y),则PA=Vx+2'+y2,PB=Vx-2+y 由PA=2PB,两边平方(x+2)}+y2=4(x-2)}+y2 展开并整理得x2+4x+4+y2=4x2-16x+16+4y2, 10) 化简得x 3 +y2=6 9(x0). 四、解答题 15.【答案】解：()由题得：f'(x)=x2-2Qx+b, 结合题意可得 f0)=b=3 f3)=-6a+b+9=01 解得化=子经检验符合题意，故f-言x-2+3x+1, f(x)=x2-4红+3.令f(x)>0,解得x>3或x<1, 令f(x)<0,解得1<x<3,故f(x)在(-∞，)，(3，+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减， 所以f)的极大值为f)=子，f()的极小值为f(3)=1: (2)由(I)可知f(x)在01)上单调递增，在(1,3)上单调递减，又因为f(0=1,f(3)=1,所以 f(x)mn=1,所以要使不等式fx)-m≤0能成立，则fx)mm≤m. 所以m>1,故m取值范围是[l,+o). 16.【小问1详解】 该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率P=1-1-0.8)1-0.5)=0.9. 【小问2详解】 由(1)得，这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数X服从二项分布B(2,0.9),则 X=0,1,2,P(X=1)=C×0.9×0.1=0.18,P(X=2)=C×0.92=0.81, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.01 0.18 0.81 E(X)=2×0.9=1.8 11)详见解折：(2)号 【详解】(I),四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，连结AC,则△ACD为等边三角形， 又，M为CD中点.AM⊥CD,由CD/IAB得∴.AM⊥AB :AA⊥底面ABCD,AMC底面ABCD∴.AM⊥AA,又，AB∩AA=A ∴.AM⊥平面AAB,B (Ⅱ)四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=A4=2AB=2, 得DM=1,AM=√5，.∠AMD=∠BAM=90°又'A4⊥底面ABCD, 分别以AB,AM,A4为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-z 4an2.ae0叭.f-1io、a-号9 任9小n(sa0.4gaa- 设平面ABD的一个法向量n=(x,y,z), 则有 rB0-0=3x+5y=0y=x=√z,令=1，则n=5,) nAB=0 、2x-2z=0 ∴.直线DD与平面ABD所成角B的正弦值 sine=cos(n,DD n DD 18.【详解】(1)由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为： x=0.010×10×46+56+0.020×10×56+66+0.045×10×6+76+0.020×10×76+86+ 2 2 2 2 0.005×10×86+96=70, 2 依题得，1≈=70,0≈s≈10，所以X~N(70,102), 则优等品的质量差在（μ-o,μ+o)即(60,80）内，一等品的质量差在（μ+0，μ+2o)即(80,90） 内，所以正品的质量差在(60,80)和(80,90)内，即(60,90)内， 故该企业生产的产品为正品的概率：P=P(60<X<90)=P(60<X<80)+P(80<X< 90)=P(-a,μ+0)+P(+0,μ+2o)=0.6827+(0.9545-0.6827)=2×(0.6827+ 0.9545)=0.8186: (2)①从n+2件正品中任选两个，有C品+2种选法，其中等级不同有C·C=2n种选法， 故某箱产品抽检被记为B的概率为：P=C-m”一= 2n 4n C+2 n2+3n+2 2 ②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p,则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为 fp)=C3p3(1-p)2=10p3(1-2p+p2)=10p3-2p4+p5), 由f(p=103p2-8p3+5p4)=10p2(3-8p+5p2)=10p2(p-1)(5p-3), 所以当pe(0,)时，f(p)>0,函数fp)单调递增，当p∈(，1)时，fp)<0,函数fp) 单调递减， 所以当p=甜，f抑)取得最大值，最大值为)=c·()×()2=智 此时由p=+m+2=号可解得：n=3(n=号EN舍去)， 3 ∴n=3时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为器 19.【小问1详解】 根据题意可得2a=4√5，所以a=25. 将点T的坐标代入。+少 云+6=1，得 =1，解得b2=4,所以C的方程为+少 91 1241. 【小问2详解】 设1的方程为y=x+m,A(x,),B(x2,2) y=x+, 得4x2+6x+37m2-12=0, 124 由△，=36m2-16(3m2-12)=12(16-m2)>0,得m2<16, +书三 25 3m 3m2-12 4 所以ABFV1+1 n4x3m-12=2:23 4 4 当m2=0时，AB取得最大值，最大值为2√6， 【小问3详解】 设直线PQ:x=y+4. 「x=y+4, 得(t+3)y2+8y+4=0, 设P(x3,3),(x4,y4) -8t △，=(8-4(+3水4>0.得f>L+4=3%4-7+3 4 直线PT的方程为y-1=当- 53r-3), 令x=4,得w=当+1=当-1+5-3_Q+0y=1+0y x3-3 x3-3x3-3y+1 同理可得，w= (1+t)y4 y4+1 所以 (y4+1)1+03 yyy,+y (y3+1)1+t)y4 tyays+ys 因为y3y4= 2仍+y: 所以 MHty3y+y3