精品解析：福建省泉州市永春县2025-2026学年下学期八年级期末质量检测数学试题

2026年春季八年级期末质量检测 数学试题 友情提示：所有答案必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 要使分式有意义，必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义时分母不为0，据此列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：的分母为， ∴， 解得． 2. 钙是人体必需的矿物质，已知成人每人每天钙的摄入量是，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形对角相等的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴． 4. 下列各式从左到右变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于A选项，，故A错误． 对于B选项， ，故B正确． 对于C选项，，故C错误． 对于D选项， 与没有公因式，无法约分，，故D错误． 5. 已知一次函数（k、b为常数，且）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．观察图象可得：一次函数、b为常数，且的图象经过第一、二、四象限，即可求解． 【详解】解：观察图象得：一次函数、b为常数，且的图象经过第一、二、四象限， ，． 故选：C． 6. 在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现分别得80分、90分，若将演唱技巧、舞台表现的成绩按计算，则该选手的最终成绩是（ ） A. 87分 B. 86分 C. 85分 D. 83分 【答案】D 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式，即可计算选手最终成绩． 【详解】解：根据题意得：该选手的最终成绩为：（分）． 7. 如图，在矩形中，，，的平分线与的延长线相交于点，与相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的定义、平行线的性质以及勾股定理，利用矩形的性质和角平分线证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质以及线段和差得到，再证明是等腰直角三角形，得到，最后勾股定理计算得到的长． 【详解】解：矩形， ，，， ，， 平分， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 8. 若关于的方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据增根使分式分母为0，确定增根的值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵原分式方程有增根， ∴使分母为0的根满足，即增根为， 方程两边同乘去分母，得， 将代入整式方程，得， 解得． 9. 如图，在菱形中，，，、两点分别从、两点同时出发，以相同的速度分别向终点、移动，连接，在整个移动的过程中，角度的变化情况为（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 先变大再变小 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的条件证明是等边三角形，再通过证明，推出且，从而始终为等边三角形，不变． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ． 又， 是等边三角形， ，． 在菱形中，， ． ∵、同时出发，速度相同， ∴设 在和中： （）． ，． ， 又， ． 中，且， 是等边三角形， ． 即无论、运动到什么位置，始终等于，大小不变． 10. 如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 【详解】解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若与成正比例，且时，则与的函数关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义设出解析式，代入已知的对应值求出比例系数，即可得到函数关系式． 【详解】解：设与的函数关系式为， 将，代入得：， 解得， 因此与的函数关系式为． 13. 已知菱形的两条对角线、的长分别为8和6，则这个菱形的面积为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：菱形的对角线、的长分别为和， 这个菱形的面积是． 14. 某地区近9天每天的最高温度（单位：）分别为：36、29、31、32、31、35、37、37、35，那么这组数据的上四分位数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原数据从小到大排序，再计算上四分位数对应的位置，最后根据位置规则得到结果． 【详解】解：将这个数据按从小到大排序，得：， ∴上四分位数为的中位数， 即这组数据的上四分位数为． 15. 已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数的性质判断的增减性，再由且，判断出，两点分别位于不同象限，根据象限内点的坐标特征列不等式组求解． 【详解】解：反比例函数中，， 该反比例函数图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 又， 点，不在同一象限，即在第三象限，在第一象限， ∴ ， ∴的取值范围为． 16. 如图，在矩形中，，点，分别在边和上，且，，连接，点、分别是，的中点，连接，则的长为__________ 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，连接，利用和内错角、对顶角证明，从而得出且是的中点．再结合是中点，利用中位线定理和勾股定理求解． 【详解】解：延长交于点，连接， 四边形是矩形， ，． ， ． 又是的中点， ． 又 ． ，． 即是线段的中点． 在中， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ． ， 在中，由勾股定理： ． ． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【详解】解：原式 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为；值为； 【解析】 【分析】先进行分式的除法运算，再进行减法运算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 当时，原式 19. 如图，在中，点，在对角线上，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，即可推出，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 20. 某中学八年级1班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加全校跳绳比赛，对他们进行了1分钟跳绳训练测试，6次测试的成绩如下（单位：次）： 甲：185，191，190，192，196，198； 乙：183，195，198，185，195，196． 为了比较两人的成绩，制作如下统计分析表： 平均数 中位数 方差 甲 192 191.5 乙 192 33.3 （1）填空：____，____； （2）从平均数和方差两个统计量作为选拔依据，应选拔哪位同学参加比赛，请说明理由． 【答案】（1）或； （2）选择甲同学参赛． 理由：甲、乙两人的平均数相同，均为192． ，即甲的方差小于乙的方差， 甲同学的成绩更加稳定． ∴应选派甲同学参加比赛． 【解析】 【分析】（1） 根据方差公式计算甲的方差；将乙的成绩从小到大排列后取中间两数的平均值求中位数． （2）平均数相同时，方差越小表示成绩越稳定，据此作出选择． 【小问1详解】 解：甲的平均数，由方差公式： ． 将乙的成绩从小到大排列：183，185，195，195，196，198． 共个数据，中位数为第个与第个数据的平均值， ． 【小问2详解】 略 21. 如图，四边形为矩形． （1）在线段上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求（1）中的面积． 【答案】（1）点为所求． （2）10 【解析】 【分析】（1）由题意可知，为直角三角形，，故只要满足即可，故作的垂直平分线即可； （2）设，则，在中，利用勾股定理构造方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 由作图已知，点在线段的垂直平分线上， ， 在矩形中，， ， 即， ，即， ． 22. 甲、乙两种型号的抽水机，甲型抽水机每天抽水量是乙型抽水机每天抽水量的1.2倍．每天抽水240吨需要甲型抽水机的台数比每天抽水150吨需要乙型抽水机的台数多一台． （1）求甲、乙两种型号抽水机每台每天各抽水多少吨？ （2）甲型抽水机每台售价4万元，乙型抽水机每台2.5万元．农场计划采购甲、乙两种型号的抽水机一共15台，要求每天总抽水量不低于820吨．求如何采购甲、乙两种型号的抽水机，才能使总费用最低，最低总费用为多少？ 【答案】（1）甲型抽水机每台每天抽水60吨，乙型抽水机每台每天抽水50吨． （2）甲型抽水机购7台，乙型抽水机购8台时费用最低，最低费用为48万元． 【解析】 【分析】（1）设乙型抽水机每台每天抽水吨，甲型抽水机每台每天抽水吨，以甲型和乙型抽水机的数量关系为等量构造方程求解即可； （2）设采购甲型抽水机台，列式表示总费用为万元，根据每天总抽水量不低于820吨列出不等式求出范围，利用一次函数的性质求最低费用即可． 【小问1详解】 解：设乙型抽水机每台每天抽水吨， 甲型抽水机每台每天抽水吨， 则， ， 经检验，符合题意， ． 答：甲型抽水机每台每天抽水60吨，乙型抽水机每台每天抽水50吨． 【小问2详解】 解：设采购甲型抽水机台， 乙型抽水机（）台，总费用为万元， ， ， ， ，随增大而增大， ∴当时，总费用最低，最低费用为48万元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）若直线与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数图象上，点为轴上一动点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入得出，代入，得出，再将代入反比例函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：过， ， ， ∴直线解析式为：． 【小问2详解】 解：过， ， ， 在反比例函数图像上， ， 在反比例函数图像上， ， 作点关于轴对称点，则， 过点作轴于，则，． 又，， ． 24. 【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水总质量的比表示盐水的浓度． （1）现有克盐水中含克盐，则盐水的浓度为，若放了一段时间，蒸发掉克纯水，盐水浓度变为，生活经验告诉我们，盐水会变咸，由此得到不等式：_____（填“”，“”或“”）； 【数学思考】 （2）将（1）中的“蒸发掉克纯水”改为“加入克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，由此得到新的不等式_______________（用含、、的式子表示），试证明你发现的新的不等式； 【结论运用】 （3）在四边形中，四条边的长度分别为、、、，（其中），试运用上面证明得到的不等式证明： ． 【答案】（1） （2）解：新的不等式：，证明如下： ， ，， ，， ∴， ∴，即． （3）证明：由（2）可得：，，，， ∴， 即． ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据盐水会变咸可得盐水浓度变大，据此解答即可； （2）先计算，再结合，进行判断即可； （3）得出，，，，据此即可得证． 【小问1详解】 解：∵生活经验告诉我们，盐水会变咸， ∴蒸发掉克纯水，盐水浓度变大， ∴． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 证明：略． 25. 已知四边形是边长为5的正方形，将矩形绕点旋转． （1）如图1，若． ①直接写出旋转过程中线段的最大值； ②连接、，若、交于点，求的度数； （2）如图2，若，，在旋转过程中，是否存在以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①8；②； （2）存在，的长为或4． 【解析】 【分析】（1）①根据已知条件，由两点之间线段最短，可以得到线段的最大值 ②由已知条件，证明，推得再利用三角形内角和，求出； （2）分类讨论当矩形旋转到不同位置时构成平行四边形的情况，分别求出线段的长． 【小问1详解】 ①解：由已知，，， ， 当时，的最大值为8； ②解：∵四边形为正方形， ，， ∵四边形为矩形， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， 又，， ； 【小问2详解】 解：①当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形， 此时，点与点重合， ； ②当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形此时，点、、三点共线， ； ③当矩形旋转至如图时，四边形为平行四边形， 此时， 又，， ， ， 又， ， 即点、、在同一条直线上． 在中，，由勾股定理得： ． 综上所述，的长为或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季八年级期末质量检测 数学试题 友情提示：所有答案必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 要使分式有意义，必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 钙是人体必需的矿物质，已知成人每人每天钙的摄入量是，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数（k、b为常数，且）的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现分别得80分、90分，若将演唱技巧、舞台表现的成绩按计算，则该选手的最终成绩是（ ） A. 87分 B. 86分 C. 85分 D. 83分 7. 如图，在矩形中，，，的平分线与的延长线相交于点，与相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 9. 如图，在菱形中，，，、两点分别从、两点同时出发，以相同的速度分别向终点、移动，连接，在整个移动的过程中，角度的变化情况为（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 先变大再变小 10. 如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算______． 12. 若与成正比例，且时，则与的函数关系式为__________． 13. 已知菱形的两条对角线、的长分别为8和6，则这个菱形的面积为__________． 14. 某地区近9天每天的最高温度（单位：）分别为：36、29、31、32、31、35、37、37、35，那么这组数据的上四分位数为__________． 15. 已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 16. 如图，在矩形中，，点，分别在边和上，且，，连接，点、分别是，的中点，连接，则的长为__________ 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，点，在对角线上，．求证：． 20. 某中学八年级1班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加全校跳绳比赛，对他们进行了1分钟跳绳训练测试，6次测试的成绩如下（单位：次）： 甲：185，191，190，192，196，198； 乙：183，195，198，185，195，196． 为了比较两人的成绩，制作如下统计分析表： 平均数 中位数 方差 甲 192 191.5 乙 192 33.3 （1）填空：____，____； （2）从平均数和方差两个统计量作为选拔依据，应选拔哪位同学参加比赛，请说明理由． 21. 如图，四边形为矩形． （1）在线段上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求（1）中的面积． 22. 甲、乙两种型号的抽水机，甲型抽水机每天抽水量是乙型抽水机每天抽水量的1.2倍．每天抽水240吨需要甲型抽水机的台数比每天抽水150吨需要乙型抽水机的台数多一台． （1）求甲、乙两种型号抽水机每台每天各抽水多少吨？ （2）甲型抽水机每台售价4万元，乙型抽水机每台2.5万元．农场计划采购甲、乙两种型号的抽水机一共15台，要求每天总抽水量不低于820吨．求如何采购甲、乙两种型号的抽水机，才能使总费用最低，最低总费用为多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）若直线与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数图象上，点为轴上一动点，求的最小值． 24. 【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水总质量的比表示盐水的浓度． （1）现有克盐水中含克盐，则盐水的浓度为，若放了一段时间，蒸发掉克纯水，盐水浓度变为，生活经验告诉我们，盐水会变咸，由此得到不等式：_____（填“”，“”或“”）； 【数学思考】 （2）将（1）中的“蒸发掉克纯水”改为“加入克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，由此得到新的不等式_______________（用含、、的式子表示），试证明你发现的新的不等式； 【结论运用】 （3）在四边形中，四条边的长度分别为、、、，（其中），试运用上面证明得到的不等式证明： ． 25. 已知四边形是边长为5的正方形，将矩形绕点旋转． （1）如图1，若． ①直接写出旋转过程中线段的最大值； ②连接、，若、交于点，求的度数； （2）如图2，若，，在旋转过程中，是否存在以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $