精品解析：云南普洱市部分校2025-2026学年高一下学期6月期末复习检测数学试卷

2025-2026学年下学期高一年级期末复习检测 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：必修第一册，必修第二册． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据并集的定义，合并两个集合的所有元素并去重即可求解. 【详解】根据并集的定义,，，可得. 【点睛】 2. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为1. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 4. 某校举办咖啡文化知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，现随机抽取100名学生的成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生成绩的分位数为（ ） A. 75 B. 80 C. 84 D. 86 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，求出参数的值，然后计算各组频率，确定，分位数所在的区间，最后利用面积比例关系计算得出结果． 【详解】由频率分布直方图可知，组距为， 根据所有小矩形的面积之和为，得，解得， 分数在的频率为；分数在的频率为； 分数在的频率为；分数在的频率为； 分数在的频率为， 因为前四组的频率之和为， 前五组的频率之和为， 所以分位数位于区间内， 设分位数为，，解得， 所以估计这名学生成绩的分位数为． 5. 在中，边上的高等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理先求，利用余弦定理即可求解. 【详解】由题意得：，又，所以，所以， 所以， 由余弦定理得：. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线与平面，直线与直线，平面与平面不同位置的定义，判定定理及性质定理，以及几何特征，逐项分析即可． 【详解】选项A，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确； 选项B，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确； 选项C，若，，，则，故C选项正确； 选项D，，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C. 7. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析出为直角三角形，求出的值，结合投影向量的定义可求得结果. 【详解】如下图所示， 因为， 所以为等边三角形，即， 因为， 所以为的中点， 所以，故，故， 设在上的投影向量为， 故， 所以， 因此，在上的投影向量为. 8. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角函数关系及两角和的正切公式求出，再联立两角和的余弦公式求得与的值，最后由两角差的余弦公式求得. 【详解】因为为锐角，所以， 由，得 ， 所以， 即， 又，所以 ， 解得，即， 故. 又， 得，所以. 所以 . 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 为方程的一个根 【答案】BD 【解析】 【分析】先通过复数除法运算求出复数，再结合复数的模、几何意义、共轭复数性质、二次方程根的验证逐一判断选项. 【详解】 首先计算：由，对分母有理化得 . 选项A：复数的模，错误； 选项B：在复平面内对应点坐标为，实部和虚部均为正，位于第一象限，正确； 选项C：根据共轭复数性质，，错误； 选项D：将代入方程， 左边，等于右边，故是该方程的一个根，正确. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于中心对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先利用三角恒等变换将化简为标准余弦型函数，再结合三角函数的周期、对称性、单调性及图象平移性质逐项判断即可． 【详解】 ， 对于A，的最小正周期，A正确； 对于B，因为， 所以不关于中心对称，B错误； 对于C，当时，， 而在上单调递增，， 所以在上单调递增，C正确； 对于D，将向左平移个单位后得到， 若为奇函数，则，解得， 又，所以的最小值为，D正确． 11. 正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内（含边界）一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在唯一的点，使得平面 B. 过三点的平面截正方体所得截面面积是 C. 动点到平面的距离的最大值为 D. 若直线与平面所成角的正弦值为，则动点的轨迹长度为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用面面平行的性质，找几何体的截面，等体积转换以及找出动点的轨迹等进行求解. 【详解】对于A，如图，取中点，连接，，，. 在中，，分别是，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 在正方形中，，分别是，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面平面. 所以只要点在线段上，即有平面，所以平面.故A错误； 对于B，如图，因为，所以四点共面，则过三点的平面截正方体所得截面是梯形. 因为正方体的棱长为2， 所以，，， 所以四边形为等腰梯形.如下图过作于点. 所以. 所以梯形面积为，故B正确； 对于C，由选项B可得. 设动点到平面的距离为.当点在线段上时，. 当点不在线段上时，，即. 所以，即. 因为点是正方形内（含边界）一动点，则当点与重合时，取得最大值， 此时面积最大值为.所以.故C正确； 对于D，如图，连接，. 因为平面，所以直线与平面所成的角为. 又因为平面，所以.所以 所以.所以. 所以点在正方形的轨迹为以为圆心，半径为的圆的四分之一. 所以动点的轨迹长度为，故D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式对正项和放缩，验证等号成立条件即可求得最小值. 【详解】已知，因此，， 根据基本不等式可得：   当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为. 13. 某茶业公司为检测两片试验茶园的普洱茶鲜叶质量，从A茶园抽取30株茶树，其平均单株产量为，方差为49；从B茶园抽取20株茶树，其平均单株产量为，方差为64，则抽取的这50株茶树的平均产量为_________，方差为_________． 【答案】 ①. 208 ②. 151 【解析】 【详解】抽取的这50株茶树的平均产量为， 方差为. 14. 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的表面积为，则这个球的体积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出正四面体的边长，再求出棱切球的半径，从而得到这个球的体积. 【详解】设该正四面体的棱长为，因其表面积为，则，解得 正四面体，分别为棱中点，连接， 则易得， 故，且，故四边形是平行四边形， 设，则是的中点， 因和均为正三角形，则， 又因，平面，则平面，因平面，则， 同理可证， 由正四面体对称性，点到 6 条棱的垂直距离全部相等，故为棱切球的球心， 球心到棱距离： 代入 ，所以 所以球体积是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. （1）设，已知是平面内两个不共线的向量，，，且三点共线．求的值； （2）已知，若，求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算先计算，再由共线向量定理即可求解； （2）由题设条件计算，再由向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）由题意得：， 又三点共线，存在，使得，即， 故得，所以； （2）由已知得：，， 又，则， 即， 则得，即， 所以. 16. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若是的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合余弦定理求解即可； （2）由三角形的面积公式和中线长公式求解即可. 【小问1详解】 已知，则， 由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 联立解得. 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 由（1）可知， 记，在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以， ①②两式相加并整理得， 则. 17. 为普及普洱本土特色产业与科创知识，普洱市科技馆开展“绿色科创体验周”科普活动，设置了两个活动方案，参观者可任选一个方案进行挑战，若挑战成功将获得一份纪念品． 方案一：准备4张“绿色食品知识卡”（涵盖普洱茶､咖啡､热带水果､特色农产品）和2张“生物医药知识卡”（涵盖中药材种植､生物制造产业），参观者从6张卡片中一次性随机抽取2张，如果两张卡片类型不同（即一张绿色食品知识卡､一张生物医药知识卡），则挑战成功． 方案二：回答3道关于普洱特色产业的问题，若至少答对1道题，则挑战成功． （1）求参观者在方案一中挑战成功的概率； （2）如果小明选择方案二，已知他每道题答对的概率均为，且每道题的回答相互独立．你觉得他的选择是否合理？请通过计算说明你的理由． 【答案】（1） （2） 小明的选择合理 【解析】 【分析】（1） 根据古典概型的概率公式计算挑战成功概率； （2）利用对立事件的概率关系求解方案二的成功概率，通过两方案概率比较判断选择的合理性. 【小问1详解】 记4张“绿色食品知识卡”分别为，记2张“生物医药知识卡”分别为. 则从6张卡片中一次性抽取2张，样本空间为Ω. 记参观者在方案一中挑战成功为事件， 则， 所以. 即方案一挑战成功的概率为 . 【小问2详解】 设小明选择方案二挑战成功为事件，其对立事件为3道题全部答错. 由已知得，每道题答错的概率为，且各题回答结果相互独立， 所以  . 所以.  又，， 即， 所以方案二挑战成功概率更高，因此小明的选择合理. 18. 如图1，四边形为菱形，是边长为2的等边三角形，点为的中点，将沿边折起，使平面平面，连接，得到如图2所示的几何体． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：如下图，在图2中，连接. 在等边三角形中，为的中点，所以. 在中，，，所以为等边三角形. 因为为的中点，所以. 因为 ，平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在；. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证明. （2）利用条件可得为二面角的平面角，再求得为等腰直角三角形即可. （3）假设存在，可得平行于平面内直线，在中，可利用平行线之间的比例得到，从而得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以为二面角的平面角. 因为平面平面，平面 平面，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 在等边三角形中，，所以. 在等边三角形中，. 所以为等腰直角三角形，则. 所以二面角的大小为. 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使得平面. 如图，连接交于点，连接. 因为，，所以. 因为平面，平面，平面 平面， 所以. 在中，，所以. 所以在线段上存在点，使得平面，且. 19. 已知二次函数满足，且是偶函数，设函数，且满足． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有四个不同的实数解．求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出二次函数 的解析式，再根据条件求出它的待定系数；（2）通过换元法，把原不等式化为在上恒成立，继续利用换元法，从而得到；（3）通过换元法，把问题转化为，要求 在 有两个不等实根. 【小问1详解】 设二次函数 ，故 是偶函数 对称轴为 ，即 因此 ，，所以，得 得 ，所以 【小问2详解】 由(1)得 . 令 ，，故 ， 不等式在上恒成立 即在上恒成立，所以，从而 ， 在上恒成立， 设 ，， ， 在 单调递减， ， 要 恒成立，则，所以 【小问3详解】 令 ，则 ，且一个 对应两个 （）； 只对应一个 ，要有四个不同实数解，等价于：关于 的方程在 内有两个不等实根，代入 ，即 ， 整理得， 记 ，要求 在 有两个不等实根，满足 ， 恒成立， 对称轴 ， ，， 综上，实数 取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高一年级期末复习检测 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：必修第一册，必修第二册． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某校举办咖啡文化知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，现随机抽取100名学生的成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生成绩的分位数为（ ） A. 75 B. 80 C. 84 D. 86 5. 在中，边上的高等于，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 为方程的一个根 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于中心对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 11. 正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内（含边界）一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在唯一的点，使得平面 B. 过三点的平面截正方体所得截面面积是 C. 动点到平面的距离的最大值为 D. 若直线与平面所成角的正弦值为，则动点的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的最小值为_________． 13. 某茶业公司为检测两片试验茶园的普洱茶鲜叶质量，从A茶园抽取30株茶树，其平均单株产量为，方差为49；从B茶园抽取20株茶树，其平均单株产量为，方差为64，则抽取的这50株茶树的平均产量为_________，方差为_________． 14. 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的表面积为，则这个球的体积为_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. （1）设，已知是平面内两个不共线的向量，，，且三点共线．求的值； （2）已知，若，求与夹角的余弦值． 16. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若是的中点，求的长． 17. 为普及普洱本土特色产业与科创知识，普洱市科技馆开展“绿色科创体验周”科普活动，设置了两个活动方案，参观者可任选一个方案进行挑战，若挑战成功将获得一份纪念品． 方案一：准备4张“绿色食品知识卡”（涵盖普洱茶､咖啡､热带水果､特色农产品）和2张“生物医药知识卡”（涵盖中药材种植､生物制造产业），参观者从6张卡片中一次性随机抽取2张，如果两张卡片类型不同（即一张绿色食品知识卡､一张生物医药知识卡），则挑战成功． 方案二：回答3道关于普洱特色产业的问题，若至少答对1道题，则挑战成功． （1）求参观者在方案一中挑战成功的概率； （2）如果小明选择方案二，已知他每道题答对的概率均为，且每道题的回答相互独立．你觉得他的选择是否合理？请通过计算说明你的理由． 18. 如图1，四边形为菱形，是边长为2的等边三角形，点为的中点，将沿边折起，使平面平面，连接，得到如图2所示的几何体． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知二次函数满足，且是偶函数，设函数，且满足． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有四个不同的实数解．求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $