精品解析：云南省普洱市2023-2024学年高一下学期期末统测数学试题

绝密★启用前 普洱市2023—2024学年下学期高一年级期末统测试卷 高一数学 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第一册､必修第二册. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用檬皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若实数，满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 1 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是（ ） A. 110 B. 115 C. 120 D. 125 5. 若，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别为．若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 7. 如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中，假命题有（ ） A. 对立事件一定是互斥事件 B. 若为两个事件，则 C. 若事件彼此互斥，则 D. 若事件满足，则是对立事件 10. 如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 平面 11. 已知定义在R上的函数与满足，且，若为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于原点对称 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算_______． 13. 已知球的表面积为，球心到球内一点的距离为1，则过点的截面的面积的最小值为______． 14. 对定义在非空集合上的函数，以及函数，俄国数学家切比雪夫将函数的最大值称为函数与的“偏差”.若，，则函数与的“偏差”为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）求的值； （2）已知，求的值． 16. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中，，． （1）求的外接圆半径； （2）求周长的最大值． 17. 智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是: ，. （1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数) （2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表) （3）在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组，然后再从研究小组中选出名组长.求这名组长分别选自和的概率是多少？ 18. 已知在正三棱柱中，，点为的中点，点在的延长线上，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值. 19. 对于分别定义在上的函数以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. （1）若，判断与是否具有关系，并说明理由； （2）若，且与具有关系，求的像. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 普洱市2023—2024学年下学期高一年级期末统测试卷 高一数学 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第一册､必修第二册. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用檬皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出交集及并集再分别判断各个选项即可. 【详解】，A、B错误； ，C正确； 不正确，D错误. 故选：C. 2. 若实数，满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件求出，的值，即可得解. 【详解】因为实数，满足， 所以，则. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】多次利用诱导公式，将所求式化简，再代入条件求值即得. 【详解】由. 故选：B. 4. 随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是（ ） A. 110 B. 115 C. 120 D. 125 【答案】C 【解析】 【分析】设在老年人中发放的调查问卷份数为x，根据分层抽样的性质列方程求解. 【详解】设在老年人中发放的调查问卷份数为x， 则， 解得． 所以在老年人中发放的调查问卷份数是. 故选：C． 5. 若，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量夹角的坐标公式求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：. 6. 在中，角所对的边分别为．若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边，然后因式分解可得. 【详解】由余弦定理可得：， 即， 整理得：， 得或，所以为等腰或直角三角形. 故选：D 7. 如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段计算底面圆半径即可求解. 【详解】设底面圆半径为， 由母线长，可知侧面展开图扇形的圆心角为， 将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，最短距离为BM； 如图， 在中，， 所以, 所以, 故，解得， 所以圆锥的表面积为, 故选：B 【点睛】关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为，其次从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，绳子的最短距离即为展开图中线段的长，解三角即可求解底面圆半径，利用圆锥表面积公式求解. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解. 【详解】由得，的图象关于直线对称， 令，则是偶函数，又当时，恒有， 故在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 即得 解得或. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中，假命题有（ ） A. 对立事件一定是互斥事件 B. 若为两个事件，则 C. 若事件彼此互斥，则 D. 若事件满足，则是对立事件 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A；根据事件的和事件的概率可判断B；举反例可判断C，D, 【详解】对于A，因为对立事件一定是互斥事件，A正确； 对B，当且仅当A与B互斥时才有， 对于任意两个事件，满足，B不正确； 对C，若事件彼此互斥，不妨取分别表示掷骰子试验中的事件“掷出1点”，“掷出2点”，“掷出3点”， 则，所以C不正确； 对于D，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球， 从袋中任摸一个球，设事件A={摸到红球或黄球}，事件B={摸到黄球或黑球）， 满足， 但事件A与B不互斥，也不对立，D错误， 故选：BCD. 10. 如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面，得到，再结合，利用线面垂直的判定定理判断A；由，为的中点，得到，再结合平面判断C；根据平面即可判断B；由，得到与不平行，与不垂直，即可判断D. 【详解】平面，平面 ，又，平面且 平面，故A正确 由平面，平面 得 又，是的中点， 又平面， 平面，平面 ，故B,C正确 由平面，平面 得 因为与不平行 因此与不垂直 从而不与平面垂直，故D错误 故选：ABC. 11. 已知定义在R上的函数与满足，且，若为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于原点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】由为偶函数，故的图象关于对称，即可判断A；由条件可得①，令可判断B；由题意可得②，联立①②可得，可判断C；由为图象的一条对称轴，可得的对称轴，可判断D. 【详解】因为为偶函数，得，故的图象关于对称， 故，故A正确； 由得，，代入中， 得①，令，得，故B正确； 因为为偶函数，故， 故由得，， 则，故②， 联立①②，可得，故为图象的一条对称轴，故C正确； 而，故的图象关于y轴对称，故D错误， 故选：ABC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算_______． 【答案】 【解析】 【分析】应用有理数指数幂、对数的运算性质化简求值即可. 【详解】原式． 故答案为：. 13. 已知球的表面积为，球心到球内一点的距离为1，则过点的截面的面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出球的半径，数形结合得到当点为截面圆的圆心时，过点的截面的面积最小，利用勾股定理求出最小截面圆的半径，求出答案. 【详解】设球的半径为，则，解得，当点为截面圆的圆心时， 即⊥截面时，过点的截面的面积最小， 设此时截面的半径为，则， 所以过点的截面的面积最小值为. 故答案为： 14. 对定义在非空集合上的函数，以及函数，俄国数学家切比雪夫将函数的最大值称为函数与的“偏差”.若，，则函数与的“偏差”为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，直接，再由二次函数的最值求解. 【详解】， 因为，所以， 则， 故函数与的“偏差”为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系和诱导公式求解； （2）利用三角函数的齐次式求解. 【详解】.（1）依题意. （2）依题意，. 16. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中，，． （1）求的外接圆半径； （2）求周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用商数关系和平方关系化简求得，再利用正弦定理求解； （2）先利用余弦定理得到，再利用基本不等式求解. 【小问1详解】 解：依题意， 解得， 故的外接圆半径. 【小问2详解】 由余弦定理得， 因为，则， 则，故， 当且仅当时等号成立， 故周长的最大值为. 17. 智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是: ，. （1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数) （2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表) （3）在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组，然后再从研究小组中选出名组长.求这名组长分别选自和的概率是多少？ 【答案】(1) 分钟. (2)58分钟；(3) 【解析】 【分析】（1）根据中位数将频率二等分可直接求得结果；（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；（3）采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】（1）设中位数为，则 解得：（分钟） 这名手机使用者中使用时间的中位数是分钟 （2）平均每天使用手机时间为：（分钟） 即手机使用者平均每天使用手机时间为分钟 （3）设在内抽取的两人分别为，在内抽取的三人分别为， 则从五人中选出两人共有以下种情况： 两名组长分别选自和的共有以下种情况： 所求概率 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算平均数和中位数、古典概型概率问题的求解；关键是能够明确平均数和中位数的估算原理，从而计算得到结果；解决古典概型的常用方法为列举法，属于常考题型. 18. 已知在正三棱柱中，，点为的中点，点在的延长线上，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1） 因为，所以， 又为的中点，所以，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线段比例关系得到四边形为平行四边形，所以，进而证明出线面平行； （2）作出辅助线，证明出线面垂直，得到线线垂直，找到就是二面角的平面角，再由线段之间的关系得到二面角的正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，， 因为三棱柱是正三棱柱且，故⊥， 因为为的中点，所以，故为等腰直角三角形，， 因为，所以为等腰直角三角形，故， 所以⊥，又，所以⊥， 又因为平面⊥平面，交线为，⊥，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面，因为平面，， 所以就是二面角的平面角， 因为，，所以， 即二面角的正切值为. 19. 对于分别定义在上的函数以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. （1）若，判断与是否具有关系，并说明理由； （2）若，且与具有关系，求的像. 【答案】（1）与不具有关系，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可； （2）根据具有关系及三角函数的性质计算即可. 【小问1详解】 的值域为， 当时，由得， 因为的值域为， 故不存在，使， 即与不具有关系. 【小问2详解】 ，由， 得， 即，所以或， 得或， 又，得，所以的像为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $