1.4.2(第1课时)用空间向量研究距离问题同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固-更上层楼-探究发现”三层设计，以空间距离计算为核心，实现从单一知识点应用到综合探究的递进，培养空间观念与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|点到直线/平面距离、平行平面距离|10题，含选择（1-6）、填空（7-9）、解答（10），直接应用距离公式，强化运算能力| |更上层楼|法向量应用、复杂几何体距离|3题，多选题（11）结合方程求解，四棱台（12）、正方体（13）情境，提升推理能力| |探究发现|动态与存在性问题|2题，线段上动点距离最小值（14）、存在性探究（15），发展创新意识|

课时作业(十) 1．已知点A(1，1，1)，直线l过原点O，且平行于向量(1，0，2)，则点A到直线l的距离是(　　) A．3　　　　　　　　　 B. C. D. 2．空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3，1)，N(3，－2，2)，则点P到直线MN的距离为(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A. B. C. D．3 4.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离是(　　) A. B. C. D. 5.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　) A．5 B．8 C. D. 6．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于(　　) A. B. C. D．1 7．已知△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于________． 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，已知E为CC′上一点，且2CE＝EC′，在平面CDD′C′内作EF∥A′B，交C′D′于点F，则直线EF与A′B之间的距离为________． 9．在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(0，2，0)，且M(2，2，4)为平面A1B1C1上一点，则三棱柱A1B1C1－ABC的高为________． 10．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点． (1)求点M到直线AC1的距离； (2)求点N到平面MA1C1的距离． 11．【多选题】已知平面α的一个法向量为n＝(－1，－2，2)，点A(x2，2x＋1，2)为平面α内一点，若点P(0，1，2)到平面α的距离为4，则x的值为(　　) A．2 B．1 C．－3 D．－6 12.如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AA1＝A1B1＝AB＝1，∠ABC＝，则点B到直线A1D的距离为(　　) A．2 B．2 C. D. 13.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为(　　) A. B. C. D. 14．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，则点P到直线AA1的距离的最小值为________． 15.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ABC＝90°，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，问：在线段PA上是否存在一点M，使其到平面PCD的距离为？若存在，试确定M点的位置；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业(十) 1．已知点A(1，1，1)，直线l过原点O，且平行于向量(1，0，2)，则点A到直线l的距离是(　　) A．3　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　B 解析　连接OA，∵l的方向向量s＝(1，0，2)，＝(1，1，1)， ∴由点到直线距离公式，得A到直线l的距离为＝＝. 2．空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3，1)，N(3，－2，2)，则点P到直线MN的距离为(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 答案　A 解析　因为＝(1，1，1)，所以的一个单位方向向量为u＝(1，1，1)．连接PM，因为＝(1，－1，3)，故||＝＝，·u＝(1－1＋3)＝，所以点P到直线MN的距离为＝＝2.故选A. 3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A. B. C. D．3 答案　A 解析　∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，连接OA，∴＝(1，2，3)，又两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，∴两平面间的距离d＝＝＝.故选A. 4.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　连接A1D，OD1，建立如图所示的空间直角坐标系．则O，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，所以＝.由AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，所以AB⊥A1D，又AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1.故平面ABC1D1的一个法向量为＝(1，0，1)．所以O到平面ABC1D1的距离d＝＝＝. 5.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　) A．5 B．8 C. D. 答案　C 解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，12，0)，D1(0，0，5)．设B(x，12，0)(x>0)，则B1(x，12，5)．设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥，n⊥，得n·＝(a，b，c)·(－x，0，0)＝－ax＝0，n·＝(a，b，c)·(0，－12，5)＝－12b＋5c＝0，所以a＝0，b＝c，所以可取n＝(0，5，12)．又＝(0，0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝.因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为. 6．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于(　　) A. B. C. D．1 答案　C 解析　∵平面α⊥平面β，α∩β＝l，且AC⊥l，BD⊥l，AC⊂平面α，BD⊂平面β，∴AC⊥平面β，BD⊥平面α，依题意建立空间直角坐标系如图所示，在Rt△ACB中，可得BC＝，在Rt△BDC中，可得CD＝，故A(0，0，1)，B(1，，0)，C(0，0，0)，D(0，，0)， 则＝(0，0，1)，＝(1，，0)，＝(0，，0)． 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令y＝1，可得n＝(－，1，0)， 故所求距离d＝＝＝.故选C. 7．已知△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于________． 答案　5 解析　设＝λ，O为原点，连接OD，OA，OB， 则＝＋＝＋λ＝(1，－1，2)＋λ(0，4，－3)＝(1，－1＋4λ，2－3λ)，＝－＝(1，－1＋4λ，2－3λ)－(5，－6，2)＝(－4，5＋4λ，－3λ)，因为⊥，所以·＝0，即0＋4(5＋4λ)＋9λ＝0，解得λ＝－，所以＝，所以||＝＝5. 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，已知E为CC′上一点，且2CE＝EC′，在平面CDD′C′内作EF∥A′B，交C′D′于点F，则直线EF与A′B之间的距离为________． 答案　 解析　以A为坐标原点，AB，AD，AA′所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A′(0，0，1)，B(1，0，0)，E，直线EF与A′B之间的距离等于E到直线A′B的距离，连接BE，则＝(－1，0，1)，＝，·＝，||＝，||＝＝，cos〈，〉＝＝＝，又〈，〉∈[0，π]，所以sin〈，〉＝＝，所以直线EF与A′B之间的距离为||sin〈，〉＝×＝. 9．在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(0，2，0)，且M(2，2，4)为平面A1B1C1上一点，则三棱柱A1B1C1－ABC的高为________． 答案　2 解析　连接AM，由A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(0，2，0)，M(2，2，4)，则＝(－1，1，0)，＝(－1，2，－1)，＝(1，2，3)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 所以 令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n＝(1，1，1)是平面ABC的一个法向量，所以点M到平面ABC的距离为d＝＝＝2，故三棱柱A1B1C1－ABC的高为2. 10．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点． (1)求点M到直线AC1的距离； (2)求点N到平面MA1C1的距离． 解析　(1)连接AM，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0＝，＝(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d＝＝＝. (2)连接MN，如图．设平面MA1C1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，因为N(1，1，0)，所以＝(－1，1，－1)，故N到平面MA1C1的距离d′＝＝＝. 11．【多选题】已知平面α的一个法向量为n＝(－1，－2，2)，点A(x2，2x＋1，2)为平面α内一点，若点P(0，1，2)到平面α的距离为4，则x的值为(　　) A．2 B．1 C．－3 D．－6 答案　AD 解析　连接AP，因为＝(0，1，2)－(x2，2x＋1，2)＝(－x2，－2x，0)，n＝(－1，－2，2)，所以·n＝x2＋4x，|n|＝＝3，所以点P到平面α的距离为d＝＝＝4，解得x＝2或x＝－6. 12.如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AA1＝A1B1＝AB＝1，∠ABC＝，则点B到直线A1D的距离为(　　) A．2 B．2 C. D. 答案　D 解析　以A为原点，分别以直线AB，过A垂直于CD的直线，直线AA1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示，连接A1B，因为AA1＝A1B1＝AB＝1，∠ABC＝且四边形ABCD是菱形，所以B(2，0，0)，A1(0，0，1)，且D，即D(－1，，0)，所以＝(－1，，－1)，＝(2，0，－1)，设点B到直线A1D的距离为d，所以d＝＝＝. 13.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1)，因为＝＋＋，所以＝，＝(1，0，0)，＝，所以P点到AB的距离d＝＝＝. 14．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，则点P到直线AA1的距离的最小值为________． 答案　 解析　如图，连接AE，AP，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(1，2，0)，D1(0，0，2)，A(2，0，0)，A1(2，0，2)，所以＝(－1，－2，2)，＝(0，0，2)，＝(－1，2，0)，因为点P在线段D1E上，设＝λ＝(－λ，－2λ，2λ)，λ∈[0，1]，则＝＋＝(－1－λ，2－2λ，2λ)，所以向量在向量上投影向量的模为d＝＝＝2λ，而||＝，则点P到直线AA1的距离h＝＝＝≥，当λ＝时取等号，所以点P到直线AA1的距离的最小值为. 15.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ABC＝90°，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，问：在线段PA上是否存在一点M，使其到平面PCD的距离为？若存在，试确定M点的位置；若不存在，请说明理由． 解析　如图，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，则＝(1，1，－2)，＝(0，2，－2)． 设线段PA上有一点M(0，0，z0)，z0∈[0，2]，平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即 令z＝1，得所以n＝(1，1，1)， 所以与n方向相同的单位向量为n0＝＝. 又＝(0，0，2－z0)， 故点M到平面PCD的距离为d＝|n0·|＝|2－z0|. 令d＝，可解得z0＝3(舍去)或z0＝1.故M为PA的中点． 综上可知，当M为线段PA的中点时，其到平面PCD的距离为. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $