25.3 课时2 传播问题与平均变化率问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.3 实际问题与一元二次方程（课时2 传播问题与平均变化率问题） 学案

人教版  九年级  数学

班级________  姓名________  学号________

一、学习目标

1. 掌握传播问题中传染模型(1+x)²和树干模型1+x+x²的区别与应用。

2. 理解平均变化率公式 a(1±x)ⁿ=b，能区分下降额与下降率。

3. 能根据实际问题判断模型类型，正确列方程并检验结果。

二、课前预习

【KWL预习法】

我已知道（K）：关于列方程解应用题，我已经知道：基本步骤（审→设→列→解→验→答）。已掌握一元二次方程的四种解法。理解百分数的含义。

我想知道（W）：_____________________________________________________________

【预习思考】

1. 百分数与小数如何互化？增长10%对应的乘数因子是多少？

   _______________________________________________________________

2. 直接开平方法解 (1+x)²=121 的步骤是什么？

   _______________________________________________________________

3. 怎样区分传播问题和树干问题？关键看什么？

   _______________________________________________________________

我的疑问：__________________________________________________________________

【预习自查】判断以下说法是否正确：

(1) (1+x)² = 1+2x+x²，可以直接用完全平方公式展开。          （   ）

(2) 传染问题和树干问题的模型完全相同。                        （   ）

(3) 平均下降率一定大于0且小于1。                              （   ）

三、课堂探究

【温馨提示】请认真阅读教材P19-21，跟随教师引导完成以下探究活动。注意比较两种传播模型的关键区别：传染源在第二轮是否继续参与。

【对比归纳】传播问题的两种模型

 

【探究1】传染模型：每轮传染x人，第1轮后人数____，第2轮后人数____。

第1轮传染后患病人数=________人；第2轮传染后患病人数=________________=________人。规律：经过n轮传染后总人数=________。

【探究2】树干模型：每个支干长出x个小分支。

主干____个 + 支干____个 + 小分支____个 = 总数。公式：________________。与传染模型的关键区别：主干在第______轮______再分支。

【探究3】平均变化率公式：a(1±x)²=b中每个字母的含义。

a表示________________；x表示________________；b表示________________；「+」用于______率，「−」用于______率。检验时x不能为______数，且≤______。

【例题】身高增长率比较：小明140(1+x)²=169.4

140(1+x)²=169.4 → (1+x)²=______ → 1+x=±______ → x₁=______=______%，x₂=______（舍去）。145(1+y)²=170 → 解得 y≈______%。∵ ______>______，∴ ______的增长率更大。

【模型判断练习】

 

四、课堂练习

1. 微博传播：1人发出，每轮每人邀请n个互不相同好友转发，两轮后1641人参与，列方程（  ）

A. (n+1)²=1641

B. (n-1)²=1641

C. n(n+1)=1641

D. 1+n+n²=1641

我的选择：______

2. 甲种药品成本80元，现在60元，设年平均下降率为x，列方程（  ）

A. 80(1-x²)=60

B. 80(1-x)²=60

C. 80(1-x)=60

D. 80(1-2x)=60

我的选择：______

3. 60个活体样本，两轮培育后24000个。（1）每轮分裂中一个分裂成多少个？（2）三轮后共多少个？

解：（1）设每轮分裂成x个。方程：____________=24000，x²=______，x=______（负根舍去）。

（2）24000×______=____________。答：______________。

4. 跳绳4月销300条，6月432条。（1）求月增长率；（2）进价30元/条，售价40元时月销600条，每涨1元减10条，利润10000元且让顾客实惠，定价多少？

解：（1）设月增长率为x。方程：____________=432，(1+x)²=______，x=______=______%。

（2）设售价a元。利润=(____)(________)=10000。方程：______________，解得a₁=____，a₂=____。∵让顾客实惠，∴取a=____。

五、课堂小结

用你自己的话，完成下列填空：

1. 传染模型的公式是：________________；树干模型的公式是：________________。关键区别：________________。

2. 平均变化率公式：________________。计算增长用______，计算下降用______。

3. 「下降额」是________________量，「下降率」是________________量，两者不可混淆。

【自我评价】

本节课我学会了：_____________________________________________________________