25.3 课时2 传播问题与平均变化率问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与一元二次方程”中的传播问题（传染模型与树干模型）及平均变化率问题，通过KWL预习法梳理已知与疑问，以对比归纳表格为支架，明晰两种传播模型的核心区别（第二轮初始源是否继续参与），衔接前后知识。 特色在于以现实问题（流感传播、微博转发等）为载体，培养数学眼光（抽象模型）、数学思维（推理公式应用）、数学语言（方程表达），通过模型判断练习与分层例题，帮助学生建立知识联系，提升应用意识，同时为教师提供结构化教学流程，高效落实教学目标。

25.3 实际问题与一元二次方程（课时2 传播问题与平均变化率问题） 学案 人教版 九年级 数学 班级________ 姓名________ 学号________ 一、学习目标 1. 掌握传播问题中传染模型(1+x)²和树干模型1+x+x²的区别与应用。 2. 理解平均变化率公式 a(1±x)ⁿ=b，能区分下降额与下降率。 3. 能根据实际问题判断模型类型，正确列方程并检验结果。 二、课前预习 【KWL预习法】 我已知道（K）：关于列方程解应用题，我已经知道：基本步骤（审→设→列→解→验→答）。已掌握一元二次方程的四种解法。理解百分数的含义。 我想知道（W）：_____________________________________________________________ 【预习思考】 1. 百分数与小数如何互化？增长10%对应的乘数因子是多少？ _______________________________________________________________ 2. 直接开平方法解 (1+x)²=121 的步骤是什么？ _______________________________________________________________ 3. 怎样区分传播问题和树干问题？关键看什么？ _______________________________________________________________ 我的疑问：__________________________________________________________________ 【预习自查】判断以下说法是否正确： (1) (1+x)² = 1+2x+x²，可以直接用完全平方公式展开。 （ ） (2) 传染问题和树干问题的模型完全相同。 （ ） (3) 平均下降率一定大于0且小于1。 （ ） 三、课堂探究 【温馨提示】请认真阅读教材P19-21，跟随教师引导完成以下探究活动。注意比较两种传播模型的关键区别：传染源在第二轮是否继续参与。 【对比归纳】传播问题的两种模型 类型 第一轮新增 第二轮新增 两轮后总数公式 第二轮时初始源？ 传染模型 x人 x(1+x)人 (1+x)² 继续传播 树干模型 x个支干 x²个小分支 ____________ ____________ 【探究1】传染模型：每轮传染x人，第1轮后人数____，第2轮后人数____。 第1轮传染后患病人数=________人；第2轮传染后患病人数=________________=________人。规律：经过n轮传染后总人数=________。 【探究2】树干模型：每个支干长出x个小分支。 主干____个 + 支干____个 + 小分支____个 = 总数。公式：________________。与传染模型的关键区别：主干在第______轮______再分支。 【探究3】平均变化率公式：a(1±x)²=b中每个字母的含义。 a表示________________；x表示________________；b表示________________；「+」用于______率，「−」用于______率。检验时x不能为______数，且≤______。 【例题】身高增长率比较：小明140(1+x)²=169.4 140(1+x)²=169.4 → (1+x)²=______ → 1+x=±______ → x₁=______=______%，x₂=______（舍去）。145(1+y)²=170 → 解得 y≈______%。∵ ______>______，∴ ______的增长率更大。 【模型判断练习】 实际问题 传染模型 树干模型 理由 1人患流感，每轮传染x人，两轮后共121人 ____ ____ ________________ 微博转发：每人邀请n个互不相同好友 ____ ____ ________________ 主干→支干→小分支，总数183 ____ ____ ________________ 细菌分裂：每个每次分裂成x个 ____ ____ ________________ 四、课堂练习 1. 微博传播：1人发出，每轮每人邀请n个互不相同好友转发，两轮后1641人参与，列方程（ ） A. (n+1)²=1641 B. (n-1)²=1641 C. n(n+1)=1641 D. 1+n+n²=1641 我的选择：______ 2. 甲种药品成本80元，现在60元，设年平均下降率为x，列方程（ ） A. 80(1-x²)=60 B. 80(1-x)²=60 C. 80(1-x)=60 D. 80(1-2x)=60 我的选择：______ 3. 60个活体样本，两轮培育后24000个。（1）每轮分裂中一个分裂成多少个？（2）三轮后共多少个？ 解：（1）设每轮分裂成x个。方程：____________=24000，x²=______，x=______（负根舍去）。 （2）24000×______=____________。答：______________。 4. 跳绳4月销300条，6月432条。（1）求月增长率；（2）进价30元/条，售价40元时月销600条，每涨1元减10条，利润10000元且让顾客实惠，定价多少？ 解：（1）设月增长率为x。方程：____________=432，(1+x)²=______，x=______=______%。 （2）设售价a元。利润=(____)(________)=10000。方程：______________，解得a₁=____，a₂=____。∵让顾客实惠，∴取a=____。 五、课堂小结 用你自己的话，完成下列填空： 1. 传染模型的公式是：________________；树干模型的公式是：________________。关键区别：________________。 2. 平均变化率公式：________________。计算增长用______，计算下降用______。 3. 「下降额」是________________量，「下降率」是________________量，两者不可混淆。 【自我评价】 本节课我学会了：_____________________________________________________________ 我还不太理解的地方：_________________________________________________________ 我觉得这节课最有意思的是：___________________________________________________ 六、课后作业 1. 教材 P22 习题21.3 第4题：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后有多少台电脑被感染？ 2. 教材 P22 习题21.3 第6题：某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？ 3. 思考：若某种传染病开始有2个人被传染，其他条件不变，两轮后的传染总人数公式应如何修改？ 参考答案 二、课前预习 KWL已知：关于列方程解应用题，我已经知道：基本步骤（审→设→列→解→验→答）。已掌握一元二次方程的四种解法。理解百分数的含义。 KWL想知：我想知道：传染病传播速度怎么用方程描述？增长率/下降率的计算公式是什么？传播问题和树干分支问题有什么不同？ 预习1：10%→0.1，乘数因子是1+0.1=1.1。 预习2：开平方得1+x=±11，解得x=10或x=-12（舍去）。 预习3：关键看第二轮时初始源是否继续参与传播/分支。 三、课堂探究 【对比归纳】答案 树干模型：第二轮新增x²个，两轮后总数1+x+x²，第二轮时初始源不再分支。 【探究1】答案：1+x、1+x+x(1+x)、(1+x)²、(1+x)ⁿ 【探究2】答案：1、x、x²、1+x+x²、二、不 【探究3】答案：变化前的量、平均增长率/下降率、变化2次后的量、增长、下降、负、1 【例题】答案：1.21、1.1、0.1、10、-2.1、8.3、10%、8.3%、小明 【模型判断练习】答案 1. 流感传染→传染模型（人继续传染）2. 微博转发→树干模型（已转者不再重复转） 3. 主干分支→树干模型 4. 细菌分裂→传染模型（每个每次继续分裂） 四、课堂练习 1. 答案：D 解析：每人邀请n个互不相同好友→转发者不再参与下一轮→树干模型→1+n+n²=1641。 2. 答案：B 解析：平均下降率公式a(1-x)²=b，a=80，b=60→80(1-x)²=60。 3. 答案：（1）20个；（2）480000个 解析：(1) 60x²=24000→x²=400→x=20。(2) 24000×20=480000。 4. 答案：（1）20%；（2）50元/条 解析：(1) 300(1+x)²=432→(1+x)²=1.44→x=20%。(2) (a-30)(1000-10a)=10000→a²-130a+4000=0→a=50或80，取50。 五、课堂小结 1. (1+x)²；1+x+x²；第二轮时初始源是否继续参与。 2. a(1±x)²=b；+（增长）；−（下降）。 3. 绝对量；相对量。 学科网（北京）股份有限公司 $