25.3 课时2 传播问题与平均增长率问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与一元二次方程”中的传播问题（传染病、植物分枝）和平均增长率问题，通过复习几何面积问题的平移法与设元方法，结合流感传播、价格涨幅情境导入，搭建前后知识支架。 以数学建模和逻辑推理为核心，通过传染病与植物分枝模型对比、甲/乙食品成本案例，辨析传染源参与情况和下降额与下降率，采用探究法和类比教学，帮助学生提升抽象能力和应用意识，为教师提供清晰的教学流程和易错点指导。

25.3 实际问题与一元二次方程（课时2 传播问题与平均增长率问题） 课题 25.3 实际问题与一元二次方程（课时2 传播问题与平均增长率问题） 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版 授课对象 九年级学生 授课时间 年 月 日 教学方法 探究法、类比教学法、讲练结合法 教学用具 多媒体课件 一、核心素养目标 1. 数学抽象 从传染病传播、植物分枝、成本下降等实际情境中抽象出一元二次方程模型 理解指数型增长/下降规律：a(1±x)ⁿ=b 的数学含义 2. 逻辑推理 区分传染源参与一轮传染还是每轮都传染，建立正确的递推关系 辨析「下降额」与「下降率」两个不同概念，理解绝对变化与相对变化的区别 3. 数学建模 掌握传播问题模型：1+x+x(1+x)=(1+x)²（每轮都传染）与 1+x+x²（只传染一轮）的区别 掌握平均变化率问题模型：a(1±x)²=b，理解增长率和下降率的统一公式 4. 数学运算 熟练运用直接开平方法和公式法解一元二次方程，根据实际意义舍去不符合的根 二、教学重点与难点 教学重点： 1. 掌握传播问题的建模方法：分清传染源是每轮都参与还是只参与一轮 2. 掌握平均增长率/下降率问题公式：a(1±x)²=b 3. 理解「下降额」与「下降率」的区别：下降额是绝对量，下降率是相对量 教学难点： 1. 传播问题中第二轮传染人数的计算：传染源×传染人数 还是 第一轮后总人数×传染人数？ 2. 平均下降率>100%为何要舍去？理解下降率的取值范围（0~100%） 3. 增长额大不等于增长率大——通过甲/乙食品成本的对比理解这一关键结论 三、教学过程 环节一：复习导入（3-5分钟） 【教师活动】上节课我们用一元二次方程解决了数字问题和几何面积问题。今天继续探究另外两类重要的实际应用：传播问题（传染病、电脑病毒、植物分枝）和平均增长率问题（成本下降、价格上涨）。这两类问题共同体现了指数型变化的数学规律。 【互动提问】上节课我们解决了几何面积问题，面积问题的核心技巧是什么？（引导学生回忆平移法） 【学生活动】回忆并回答：平移法——将道路移到边缘，不规则区域变为规则矩形。 【教师追问】不错。那么对于面积问题中的围栏模型，我们学习了三种设元方法，还记得是哪三种吗？哪种计算最简便？ 【学生活动】回答：周长设、面积设、对称设元。对称设元用平方差公式化简，计算最简便。 【过渡语】几何问题中我们利用平移把复杂图形简化。今天要解决的传播问题和增长率问题，同样需要找到规律、建立模型。不过这次的模型是指数型的，和几何模型完全不同。打开思路，我们开始。 【情境铺垫】同学们有没有想过，一场流感从一个人感染开始，为什么短短两周就能让整个班级倒下？这背后是指数增长的威力——今天我们就用一元二次方程来揭开这个数学原理。同样，商店的价格一年涨了40%，但每年涨幅是20%还是40%？你可能会说是20%，但如果两年后的价格是原来的1.44倍，真的是20%吗？带着这些疑问，我们进入今天的学习。 环节二：新知探究（25-30分钟） 探究一：传播问题——传染病模型 【问题呈现】某种传染病的传染速度很快。如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 【学生活动】阅读题目，尝试独立分析：第一轮传染多少人？第二轮呢？ 【分析讲解】分析：假设每轮每人传染x人。先把特例算一遍来理解：如果x=2，第一轮新增2人→共3人；第二轮3人每人都传染2人→新增6人→共9人。即1→1+2=3→3+6=9→相当于(1+2)²=9。推广到x：第1轮后共(1+x)人，第2轮后共(1+x)+(1+x)x=(1+x)²人。 📕 📕 理解要点：先用具体数字（x=2）算一遍，再推广到x。这是从特殊到一般的数学思想。学生只有把具体数字的递推过程想清楚，才能理解抽象公式(1+x)²的由来。 【思路分析】第一步：理解传播过程。假设每轮传染中平均每人传染x人。初始有1名患者（传染源）。第1轮：这名患者传染x人→新增x人→第1轮后共有(1+x)人患病。第2轮：注意——现在有(1+x)名患者，每个人都传染x人→新增(1+x)·x人→第2轮后累计(1+x)+(1+x)x=(1+x)(1+x)=(1+x)²人患病。 【重点讲解】画出示意图：初始1人→第1轮传染x人→共(1+x)人患病→第2轮中，每个患病的人都继续传染x人→新增(1+x)x人→累计(1+x)+(1+x)x=(1+x)(1+x)=(1+x)²。 📕 📕 理解要点：第二轮传染的基数不是1，是(1+x)！这是学生最容易出错的地方——以为第二轮还是1×x=x，实际应该是(1+x)×x。因为第一轮被传染的人也成了传染源。 【列方程求解】由题意：(1+x)²=121，直接开平方：1+x=±11，x₁=10，x₂=-12（舍去）。答：每轮传染中平均每人传染10人。 (1+x)² = 121 1+x = ±11 x₁=10，x₂=-12（舍去） 【答案】每轮传染中平均每人传染10人。 【思考探索】思考1：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？体会阻断病毒传播的必要性。 【学生活动】独立计算三轮后总人数，同桌交流。 【分析解答】三轮后总人数=(1+x)³=(1+10)³=11³=1331人。从1人到121人（两轮）再到1331人（三轮），传染呈指数级增长。必须及时隔离阻断传播！ ⭐ ⭐ 重要感悟：从1→121→1331，指数增长极为可怕。这就是为什么疫情初期必须第一时间阻断传播链。数学帮我们理解防疫政策的科学依据。 【拓展思考】思考2：如果按这样的传染速度，n轮后传染后又会有多少人被传染？ 【归纳】经过n轮传染后，共有(1+x)ⁿ人被传染。若最终有b人被传染，则(1+x)ⁿ=b。这是传播问题的通项公式。 n轮后：总数 = (1+x)ⁿ = b 💡 💡 规律总结：传播问题的核心：传染源每轮都参与，总人数按(1+x)的幂次增长。n表示轮数，这是指数函数的雏形——高中将正式学习。 【方法归纳】传染类型关键四问：①患者（传染源）只参与一轮的传染还是每轮都一直在传染？②每一轮有多少人（传染源）在传染？③每轮新增多少患者？④累计患者总数是多少？ 📕 📕 解题四步法：①确定初始传染源数量；②确定每轮每人传染人数x；③判断传染源是否每轮都参与；④按公式列方程解方程并检验。无论题目怎么变，这四步是不变的。 【规律总结】传染病模型中，已患病的人每一轮都会继续传染（传染源每轮都在增加）。第一轮后传染源从1人变为(1+x)人，第二轮的新增传染人数要以(1+x)人为基数计算。 📕 📕 核心要点：传染病模型：(1+x)ⁿ。传染源从1→(1+x)→(1+x)²...每一轮基数都在扩大。理解这个递推逻辑是建模的关键。 传染病传播过程示意图 传染病模型关键四问（方法归纳） 【方法指导】解决传播问题时，逐轮回答四个问题就不容易出错。①患者（传染源）只参与一轮还是每轮都在传染？传染病模型→每轮都在。②每一轮有多少人在传染？第1轮1人，第2轮(1+x)人，第n轮(1+x)ⁿ⁻¹人。③每轮新增多少患者？=传染源人数×x。④累计患者总数是多少？=(1+x)ⁿ。 探究一练习：植物分枝问题（变式） 【变式练习】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 【学生活动】先独立判断：这个模型和传染病模型一样吗？有什么区别？ 【对比分析】关键区别：与传染病模型不同，本题每个支干只长一次——传染源（支干）只参加一轮的分化，第二轮分化不需要考虑上一轮分化的支干再次分化。主干是初始源，只分一次出支干；每个支干也只分一次出小分支。所以第二轮新增数=支干数×每个支干分的小分支数，而支干本身不会再次分化。 ⚠️ ⚠️ 易错提示：植物分枝：支干只分一次，不会再次分化。所以第二轮新增=(支干数)×(每个支干分出的小分支数)=x·x=x²。这里没有(1+x)这个"每轮扩大的基数"。传染源不再参与第二轮！ 【列方程求解】设主干长出x个支干。主干数=1，支干数=x，小分支数=x²。总数为：1+x+x²=91。整理得x²+x-90=0，(x+10)(x-9)=0。解得x₁=9，x₂=-10（舍去）。答：每个支干长出9个小分支。 (1+x)² = 121 1+x = ±11 x₁=10，x₂=-12（舍去） 【答案】每轮传染中平均每人传染10人。 【规律总结】植物分枝模型与传染病模型的本质区别：传染病→传染源每轮都继续传染（公式：(1+x)ⁿ）；植物分枝→每级只分化一次（公式：1+x+x²+...+xⁿ）。从公式形式可以看出：传染病是指数型（幂），植物分枝是多项式型。 模型 传染源行为 两轮后公式 特点 传染病 每轮都参与传染 (1+x)² 指数型增长，n轮后(1+x)ⁿ 植物分枝 每级只分化一次 1+x+x² 多项式型，n级后1+x+...+xⁿ ⭐ ⭐ 判断口诀：一句话区分：每轮每个人都继续传→传染病模型（幂函数）；每级只分化一次→分枝模型（多项式）。读题时找关键词：继续/再次/又→传染模型；每个...又长出→看长出的对象是否继续长。 探究二：平均下降率问题——食品成本 【问题呈现】两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，乙种食品的成本是12000元。随着技术进步，现在甲种食品成本是6000元，乙种食品成本是7200元。哪种食品成本的年平均下降率较大？ 【概念辨析】但下降额≠下降率。下降额是绝对量（元），下降率是相对量（百分数）。需要分别算下降率来比较。 ⚠️ ⚠️ 易混概念：下降额：绝对变化量（元），计算公式=(初值-终值)÷年数。下降率：相对变化幅度（%），由方程a(1-x)²=b解出。两者单位不同、含义不同、计算方法不同！结论：下降额大的不一定下降率大。 【列方程求解：甲种食品】设甲种食品年平均下降率为x。由题意：10000(1-x)²=6000，(1-x)²=0.6，1-x≈±0.775，x₁≈0.225=22.5%，x₂≈1.775（舍去，下降率不能>100%）。∴甲下降率≈22.5%。 10000(1-x)² = 6000 (1-x)² = 0.6 1-x ≈ ±0.775 x₁ ≈ 0.225 = 22.5%，x₂ ≈ 1.775（舍去） 💡 💡 为什么舍去1.775：平均下降率意味着每年下降的百分比。如果x=177.5%，意味着成本第一年降177.5%→变为负数→实际无意义。下降率必须在0~100%之间（0%≤x≤100%）。 【列方程求解：乙种食品】同理设乙下降率为y：12000(1-y)²=7200，(1-y)²=0.6，y≈0.225=22.5%。两种食品下降率相同，都是22.5%。 12000(1-y)² = 7200 (1-y)² = 0.6 y ≈ 0.225 = 22.5% 【结果】两种食品年平均下降率相同，均为22.5%。 【深入思考】结论：甲下降额2000元<乙下降额2400元，但两种食品的下降率相同（22.5%）。下降额大的食品，它的下降率不一定大！比较变化情况，既要看下降额（绝对变化量），也要看下降率（相对变化幅度）。 ⭐ ⭐ 核心结论：乙下降额2400 > 甲下降额2000，但下降率相同（均为22.5%）。这说明：比较变化情况时，不能只看绝对变化量，还要看相对变化率。这在经济学、统计学中是最基础的思维方式。 【公式归纳】平均增长率/下降率公式：a(1±x)²=b。其中a是初始量，b是最终量，x是平均变化率。+x为增长率，-x为下降率。两期后公式中的指数为2（两年/两月/两次），n期则为n。 a(1 ± x)ⁿ = b 【注释】a=初始值，b=最终值，x=平均变化率，+为增长率，-为下降率，n=变化周期数。本节课n=2（两年/两月/两轮），考试若出现三期/三月则n=3。 【规律总结】增长率/下降率的取值范围：增长可以>100%（翻倍），下降率必须在0~100%之间（最多降到0）。解题时x>1的根一律舍去。 📕 📕 范围限定：下降率的取值范围：0≤x≤1（即0%~100%）。x>1对应的(1-x)为负，成本变为负数，不合理。增长率的范围更宽：x≥0即可（可以翻倍、三倍甚至更多）。 环节三：课堂练习（8-10分钟） 1. 早期甲肝流行，曾有2人同时患上甲肝。在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为____。 【答案】7 【解析】初始2人，每轮每人传染x人。第一轮后：2+2x=2(1+x)人。第二轮：2(1+x)+2(1+x)x=2(1+x)²=128。(1+x)²=64，1+x=8，x=7。 2. 某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨，平均每月增长率是x，可列方程为（ ） A. 500(1+2x)=720 B. 500(1+x)²=720 C. 500(1+x²)=720 D. 720(1+x)²=500 【答案】B 【解析】一月份500吨，二月份500(1+x)，三月份500(1+x)²=720。1月到3月过了两个月（2个增长周期），指数为2。 3. 电脑病毒感染的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染。每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 【答案】19 【解析】初始6台。每轮每台感染x台。两轮后：6(1+x)²=2400，(1+x)²=400，1+x=±20，x₁=19，x₂=-21（舍去）。 4. 某商店以每件16元购进商品，售价从每件25元经两月调整上涨到每件36元。（1）求该商品价格的平均每月增长率。（2）因需尽快售出决定降价，售价每下降0.5元每月多卖1件。当降价多少元时，商品每月的利润可达到1800元？ 【答案】（1）20% （2）10元 【解析】（1）设月增长率为x，25(1+x)²=36，(1+x)²=1.44，x=0.2=20%。（2）设降价y元，售价36-y，每件利润(36-y-16)=(20-y)元，每月销量160+2y件。(20-y)(160+2y)=1800，y²+60y-700=0，y₁=10，y₂=-70（舍去）。降价10元。 环节四：课堂小结（2-3分钟） 【教师引导】今天我们学习了两类实际问题：传播问题和平均增长率问题。两类问题的共同点是什么？最大的区别在哪？ 【课堂互动】学生分组讨论，代表回答。请一位同学上台完成板书设计中的对比表格。 【教师总结】共同点：都是a(1±x)ⁿ=b的形式。区别：传播问题要判断传染源是否每轮都参与（传染病→是，植物分枝→否）；增长率/下降率问题要注意绝对值vs相对值的辨析（下降额≠下降率）。检验时，负数根舍去，增长率/下降率>100%也要舍去。 【课堂互动】请用一句话总结你今天最大的收获。每位同学可以只攻一个细节——可以是传染病模型的递推过程，也可以是下降额和下降率的辨析。同桌互说，教师随机抽查。 【拓展延伸】今天我们学的传播问题(1+x)ⁿ=b，其实是指数函数的雏形。到了高中，你们会学习更一般的指数函数y=aˣ。而增长率问题的a(1+x)ⁿ=b，本质上也是指数增长模型——只要x>0，随着n增大，总量会快速增长。这就是所谓的复利效应。 四、板书设计 25.3 课时2 传播问题与平均增长率问题 一、传播问题（指数型增长） 1. 传染病模型：传染源每轮都传染 公式：(1+x)ⁿ=b（n轮后总人数） 2. 植物分枝模型：每级只分化一次 公式：1+x+x²+...+xⁿ（n级后总数） 3. 核心区别：传染源是否每轮都参与 二、平均增长率/下降率问题 1. 通用公式：a(1±x)²=b 2. 下降额（绝对量）≠ 下降率（百分数） 3. 下降率范围：0~100%，>1的根舍去 五、教学反思 1. 传染病模型中第一轮传染源只有1人，第二轮变成(1+x)人——学生是否理解这个「基数变化」是递推的关键？ 2. 植物分枝与传染病的区别是否讲透了？学生能否独立判断「传染源每轮都参与」还是「只参与一轮」？ 3. 从(1+x)²=121直接开平方时，学生是否忘记x可取负值？是否理解x=-12为什么舍去？ 4. 「下降额2000<2400但下降率相等」这个结论是否让学生感到意外？有没有充分引导他们体会统计中相对数的重要性？ 5. 增长率问题中，一月份到三月份过了两个月（指数为2），学生能否准确判断时间间隔与指数的对应关系？ 6. 降价问题（练习4第2问）涉及利润模型，是否作为本节内容的一部分还是留待下一课时？学生能否独立建立利润方程？ 六、补充说明 本节课是25.3的第二课时，涵盖传播问题和平均增长率问题两大类。传播问题是本章最具辨识度的模型——指数型增长，学生需要从(1+x)²这个简洁的表达式背后理解「每个人每轮都在传染」的递推逻辑。 植物分枝问题作为传播问题的变式，通过对比让学生深刻理解「传染源是否每轮参与」是判断公式类型的关键。课堂上建议先用传染病导入（学生感兴趣且有防疫经验），再用植物分枝进行对比，形成认知冲突。 平均增长率/下降率问题中，「下降额≠下降率」是核心概念。甲/乙食品成本的计算结果（下降额不同但下降率相同）非常有说服力，能帮助学生建立统计思维。 练习4的降价问题涉及利润模型，难度较高。如课堂时间不够，可将第2问留作课后思考题或下节课的导入。建议用表格法整理数量关系：设降价y元→售价→每件利润→销量→总利润。 最后强调一点：一元二次方程解应用题的根往往有两个，但实际意义决定了我们必须舍去不合理的根。本节课的舍根原则：①人数/个数不能为负→负根舍去；②下降率>100%→舍去；③结果超出实际限制→舍去。检验不是走过场，是数学建模的最后一道关。 【教学建议】以下拓展内容可视学情选择性讲解： 拓展一：对于基础较好的班级，可在传染病模型后引入「超级传播者」概念——假设一人传染x人变为x₁人，与普通传播模型对比，引导学生讨论(1+x₁)(1+x₂)...(1+xₙ)的乘积形式。 拓展二：平均增长率问题可延伸至「复合年增长率（CAGR）」——这是金融和商业分析中最基础的指标。学生初中掌握a(1+x)²=b，高中学习对数后即可解更一般的a(1+x)ⁿ=b（n≥3时开方然后取对数）。 一句话总结这节课的核心：传播问题看传染源是否每轮参与（分两类公式）；增长率问题看绝对值还是相对值（下降额≠下降率）；解出两个根，实际意义决定取舍。这三条记住了，25.3的课时2就全拿下了。 学科网（北京）股份有限公司 $