25.3 课时3 循环问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦单循环（½x(x-1)）和双循环（x(x-1)）问题，以握手情境导入，衔接本章第一节排球邀请赛问题，通过2人、3人等特值分析搭建从具体到抽象的学习支架，梳理循环问题知识脉络。 特色在于情境教学法（握手、主客场比赛等生活实例）和对比教学法（单双循环公式、关键词对比表），结合数学抽象（提炼模型）、逻辑推理（归纳公式）、数学建模（公式应用）核心素养，如通过互送贺卡例题强化双循环判断。帮助学生提升抽象思维和解题能力，为教师提供清晰教学流程和实用判断技巧。

25.3 实际问题与一元二次方程（课时3 循环问题） 课题 25.3 实际问题与一元二次方程（课时3 循环问题） 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版 授课对象 九年级学生 授课时间 年 月 日 教学方法 情境教学法、对比教学法、讲练结合法 教学用具 多媒体课件 一、核心素养目标 1. 数学抽象 从握手、球赛等生活情境中抽象出单循环和双循环的数学模型 理解任意两者之间总次数 = 组合数 × 每对次数 的本质关系 2. 逻辑推理 能通过具体特例（n=2,3,4…）归纳出行列式，推导出通用公式 ½x(x-1) 和 x(x-1) 辨析单循环与双循环的本质区别：行为是否分先后/是否重复 3. 数学建模 掌握单循环公式 ½x(x-1) 和双循环公式 x(x-1) 的建模过程 能根据题目关键词（互送、互赠、握手、对决）快速判断循环类型 4. 数学运算 熟练解 ½x(x-1)=n 型和 x(x-1)=n 型一元二次方程 能根据实际意义舍去负根 二、教学重点与难点 教学重点： 1. 掌握单循环公式 ½x(x-1) 和双循环公式 x(x-1) 2. 能准确区分单循环与双循环的适用场景 3. 根据实际问题列出一元二次方程并正确求解、检验 教学难点： 1. 理解 ½x(x-1) 的本质是组合数 C(x,2)，即从x个元素中任选2个 2. 区分「球赛两两对决」与「互送礼物」在循环类型上的不同 3. 单循环总数除2的直观理解：避免重复计数 三、教学过程 环节一：情境导入（3-5分钟） 【教师活动】前面我们学习了几何面积问题、传播问题、平均增长率问题，今天学习一元二次方程实际应用最后一大必考题型——循环问题。生活中同学聚会握手、球类比赛两两对决、节日互送礼物、班级互通电话，全都属于循环问题，题型简单但极易混淆。 【互动提问】同学们参加过同学聚会吗？聚会上大家握手，你能算出总共握了多少次手吗？如果反过来——已知握手总次数，怎么算有多少人？ 【学生活动】思考、讨论，尝试列举。例如：2人握1次，3人握3次，4人握6次…… 【过渡语】这就是今天要学习的循环问题——生活中无处不在，数学描述非常简洁。让我们先回到本章第一节那个排球邀请赛。 【设计意图】以同学聚会握手这一学生熟悉的生活场景切入，降低认知门槛。」本章第一节排球邀请赛问题作为衔接，形成前后呼应，帮助学生建立知识体系。循环问题是25.3实际应用的最后一课时，本节将系统梳理单双循环的区分方法。 环节二：新知探究（20-25分钟） 探究一：单循环问题（每两者之间只进行一次） 【问题呈现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少个队参赛？（回到本章第一节的排球邀请赛问题） 【特值分析】总场数 = 7×4 = 28场。以3个队为例：A-B、A-C、B-C，共3场，即 ½×3×2=3。以4个队为例：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6场，即 ½×4×3=6。规律：x个队，每队与其他(x-1)个队各赛1场，共x(x-1)场，但A-B和B-A是同一场，需÷2。 【公式归纳】单循环公式：总次数 = ½x(x-1)。含义：从x个元素中任选2个的组合数C(x,2)。 单循环公式：总次数 = ½ x(x-1) 📕 📕 理解要点：½x(x-1) = C(x,2)，即组合数。从x个人中选2个握手，不区分先后。A与B握手 = B与A握手，是同一件事，所以÷2。 【列方程求解】由题意：½x(x-1) = 28，即 x(x-1) = 56，x² - x - 56 = 0，(x-8)(x+7) = 0，解得 x₁=8，x₂=-7（舍去）。答：应邀请8个队参赛。 ½x(x-1) = 28x-1) = 56 x² - x - 56 = 0 x( (x-8)(x+7) = 0 【答案】x₁=8，x₂=-7（舍去）。答：应邀请8个队参赛。 【重点辨析】方程有两个根，x₂=-7表示什么？人数不可能是负数，直接舍去。循环问题的解只需正整数值，负根一律舍去。 【互动提问】如果总共只有28场比赛，为什么答案是8个队而不是更多或更少？引导学生用公式验证：½×8×7=28。 【归纳总结】单循环：任意两者之间只发生一次行为，不分先后、不重复。常见题型：握手、篮球单场对决、合影、两两通话一次。 💡 💡 判断技巧：看到关键词「握」「对决」「合影」「通话」→ 想单循环 → 用 ½x(x-1)。 排球邀请赛情境图 探究二：双循环问题（每两者之间互相进行两次） 【问题呈现】若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300。他算得对吗？为什么？ 【特值分析】双循环：A队和B队要打两场（A主场 vs B主场）。x个队，每队打(x-1)个对手，每轮打(x-1)场，共x队，总场数 = x(x-1)。注意：A-B和B-A是两场不同的比赛，不需要÷2。 【公式归纳】双循环公式：总次数 = x(x-1)。含义：从x个元素中任选2个，考虑先后顺序，即排列数A(x,2)。 单循环公式：总次数 = ½ x(x-1) 📕 📕 理解要点：½x(x-1) = C(x,2)，即组合数。从x个人中选2个握手，不区分先后。A与B握手 = B与A握手，是同一件事，所以÷2。 【列方程求解】设x支球队。由题意：x(x-1) = 300，即 x² - x - 300 = 0，(x-20)(x+15)……不对，检查：x²-x-300=0，Δ=1+1200=1201，不是完全平方数，x为正整数无解。所以他算错了。正确场数应是：若有x队，总场数= x(x-1)，必然是相邻两整数之积，300不是相邻整数之积。 ½x(x-1) = 28 x(x-1) = 56 x² - x - 56 = 0 (x-8)(x+7) = 0 【答案】x₁=8，x₂=-7（舍去）。答：应邀请8个队参赛。 【重点辨析】方程有两个根，x₂=-7表示什么？人数不可能是负数，直接舍去。循环问题的解只需正整数值，负根一律舍去。 【互动提问】如果总共只有28场比赛，为什么答案是8个队而不是更多或更少？引导学生用公式验证：½×8×7=28。 【归纳总结】双循环：任意两者之间互相发生两次行为，你来我往。常见题型：互赠贺卡、互送礼物、两队互赛两场（主客场）、互发消息。 💡 💡 判断技巧：看到关键词「握」「对决」「合影」「通话」→ 想单循环 → 用 ½x(x-1)。 主客场双循环比赛情境图 对比辨析：单循环 vs 双循环 【对比辨析】核心区别：单循环中A-B和B-A是同一行为（÷2），双循环中A-B和B-A是两个不同行为（不÷2）。口诀记忆：只有一次→单循环；互相两遍→双循环。 类型 公式 A-B与B-A 是否÷2 典型关键词 单循环 ½x(x-1) 是同一行为 ✓ ÷2 握手、对决、合影、通话 双循环 x(x-1) 是两次行为 ✗ 不÷2 互送、互赠、主客场、互发 ⭐ ⭐ 重点强调：判断循环类型只看一个标准：A对B的行为 和 B对A的行为 是否算同一件事？算同一件→单循环（÷2）；算两件→双循环（不÷2）。 【深入理解】为什么双循环是单循环的2倍？单循环：A-B只算1场。双循环：A-B（A主场）+ B-A（B主场）= 2场。所以双循环公式=2×½x(x-1)=x(x-1)。这正是双循环不÷2的根本原因——因为2和½正好抵消了。 📕 📕 理解要点：双循环 = 2 × 单循环。公式上就是 x(x-1) = 2 × ½x(x-1)，2和½抵消，所以双循环公式里没有½。这个理解比死记公式重要得多。 【例题巩固：握手问题】握手问题（单循环）：参会的每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加？½x(x-1)=10 → x(x-1)=20 → x²-x-20=0 → (x-5)(x+4)=0 → x=5（x=-4舍去）。5人。 ½x(x-1) = 10 x² - x - 20 = 0 (x-5)(x+4) = 0 【例题巩固：互送贺卡】互送贺卡（双循环）：中秋将至，小雯、小智和他们的好朋友互送贺卡，共送贺卡72张，共有多少人？x(x-1)=72 → x²-x-72=0 → (x-9)(x+8)=0 → x=9（x=-8舍去）。9人。 x(x-1) = 72 x² - x - 72 = 0 (x-9)(x+8) = 0 循环问题解题步骤 【解题步骤】① 判断循环类型：看关键词——「互送」「互赠」「主客场」「你来我往」→双循环；「握手」「对决」「合影」「通话」→单循环。② 套用公式：单循环 ½x(x-1)=总数；双循环 x(x-1)=总数。③ 解一元二次方程，舍去负根。④ 检验作答。 ① 判断循环类型：看关键词——「互送」「互赠」「主客场」「你来我往」→双循环；「握手」「对决」「合影」「通话」→单循环。 ② 套用公式：单循环 ½x(x-1)=总数；双循环 x(x-1)=总数。 ③ 解一元二次方程，舍去负根。 ④ 检验作答。 环节三：课堂练习（8-12分钟） 1. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数为（ B ）。 A. 4人 B. 5人 C. 6人 D. 7人 【答案】B 【解析】握手为单循环：½x(x-1)=10 → x(x-1)=20 → (x-5)(x+4)=0 → x=5。 2. 随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2256张照片，若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（ A ）。 A. x(x-1)=2256 B. x(x+1)=2256 C. 2x(x-1)=2256 D. ½x(x-1)=2256 【答案】A 【解析】互赠照片为双循环，每人赠送(x-1)张，x人共x(x-1)=2256。 3. 在第33届奥运会中国国家乒乓球队选拔赛的某个阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人，若每组共需进行15场比赛，则每组有多少人？ 【答案】每组6人 【解析】½x(x-1)=15 → x(x-1)=30 → x²-x-30=0 → (x-6)(x+5)=0 → x=6（x=-5舍去）。 环节四：课堂小结（2-3分钟） 【教师引导】今天我们学习了循环问题。回顾一下：单循环和双循环的公式各是什么？判断的关键是什么？ 【课堂互动】学生总结，教师补充。请一位同学上黑板完成板书设计的填写。 【教师点评】循环问题的核心就一个词：÷不÷2。单循环（握手/对决/合影）÷2；双循环（互送/互赠/主客场）不÷2。记住两个公式、会看关键词，循环问题就是送分题。 【拓展思考】如果人数从x增加到(x+1)，单循环总次数会增加多少？引导学生推导：½(x+1)x - ½x(x-1) = x。每增加1人，就新增x次行为（新人与原来的每个人各互动1次）。 ◆ 单循环（÷2）： 公式：½x(x-1) 特征：A-B和B-A是同一行为 关键词：握手、单场对决、合影、通话 ◆ 双循环（不÷2）： 公式：x(x-1) 特征：A-B和B-A是两个行为 关键词：互送贺卡、互赠礼物、主客场、互发消息 ◆ 解题步骤： ①判断类型（看关键词）→ ②套公式 → ③解方程 → ④检验（舍负根） 四、板书设计 25.3 课时3 循环问题 一、两类循环问题 📌 单循环：任意两者之间只进行一次 公式：½x(x-1) 不含先后顺序 握手、单场对决、合影、通话 📌 双循环：任意两者之间互相进行两次 公式：x(x-1) 含先后顺序 互送贺卡、互赠礼物、主客场 二、解题步骤 ① 看关键词判类型 → ② 套公式列方程 ③ 解一元二次方程 → ④ 舍负根验作答 ★ 核心区别：是否÷2取决于行为是否重复计数 单循环A-B = B-A（同一次）→ ÷2 双循环A-B ≠ B-A（两次）→ 不÷2 五、教学反思 1. 从排球邀请赛（回到本章第一节的问题）引入，是否有效唤起了学生的知识回忆，形成前后呼应？ 2. 通过特例归纳（3个队→4个队→x个队）推导公式的过程是否清晰？学生能否自主完成从具体到一般的抽象？ 3. 单双循环的对比辨析是否到位？学生能否通过关键词（互送/互赠 vs 握手/对决）自主判断循环类型？ 4. 「为什么÷2」的讲解是否透彻？学生是否真正理解÷2是因为A-B和B-A是同一行为？ 5. 双循环300场的判断题（方程根非正整数→算错了），学生是否理解这本质上是一个方程可解性的验证？ 6. 课堂练习从选择到解答的梯度设计，是否有效检测了不同层次学生的掌握程度？ 六、补充说明 本节课是25.3的第三课时（循环问题），承接几何问题（课时1）和传播问题/平均变化率问题（课时2），构成一元二次方程实际应用的三大题型体系。 循环问题的核心在于「÷还是不÷」——单循环÷2（A-B = B-A），双循环不÷2（A-B ≠ B-A）。建议通过握手（单循环）和互送礼物（双循环）两个直观情境帮助学生建立感知。 解题步骤简单（判断类型→套公式→解方程→检验），但题型极易混淆。教学中要强调关键词判断法：出现「互送」「互赠」「主客场」等双向词汇→双循环；出现「握手」「对决」「合影」等单向词→单循环。 本课内容量适中，节奏可适当放缓，让学生有充分时间辨析两类循环问题，确保人人过关。 板书设计采用对比式结构，左右分列单循环和双循环，直观呈现公式差异和关键词差异。课堂小结时建议让学生自己完成板书填充，加深记忆。 课后可布置一道开放性问题：请自编一道循环问题（单循环或双循环均可），并写出求解过程。此举既检测学生对循环类型的理解，又培养数学建模的应用意识。 学科网（北京）股份有限公司 $