25.3 课时3 循环问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.3 实际问题与一元二次方程（课时3 循环问题）

 

一、核心素养目标

1. 数学抽象

从握手、球赛等生活情境中抽象出单循环和双循环的数学模型

理解任意两者之间总次数 = 组合数 × 每对次数 的本质关系

2. 逻辑推理

能通过具体特例（n=2,3,4…）归纳出行列式，推导出通用公式 ½x(x-1) 和 x(x-1)

辨析单循环与双循环的本质区别：行为是否分先后/是否重复

3. 数学建模

掌握单循环公式 ½x(x-1) 和双循环公式 x(x-1) 的建模过程

能根据题目关键词（互送、互赠、握手、对决）快速判断循环类型

4. 数学运算

熟练解 ½x(x-1)=n 型和 x(x-1)=n 型一元二次方程

能根据实际意义舍去负根

二、教学重点与难点

教学重点：

1. 掌握单循环公式 ½x(x-1) 和双循环公式 x(x-1)

2. 能准确区分单循环与双循环的适用场景

3. 根据实际问题列出一元二次方程并正确求解、检验

教学难点：

1. 理解 ½x(x-1) 的本质是组合数 C(x,2)，即从x个元素中任选2个

2. 区分「球赛两两对决」与「互送礼物」在循环类型上的不同

3. 单循环总数除2的直观理解：避免重复计数

三、教学过程

环节一：情境导入（3-5分钟）

【教师活动】前面我们学习了几何面积问题、传播问题、平均增长率问题，今天学习一元二次方程实际应用最后一大必考题型——循环问题。生活中同学聚会握手、球类比赛两两对决、节日互送礼物、班级互通电话，全都属于循环问题，题型简单但极易混淆。

 

【互动提问】同学们参加过同学聚会吗？聚会上大家握手，你能算出总共握了多少次手吗？如果反过来——已知握手总次数，怎么算有多少人？

【学生活动】思考、讨论，尝试列举。例如：2人握1次，3人握3次，4人握6次……

【过渡语】这就是今天要学习的循环问题——生活中无处不在，数学描述非常简洁。让我们先回到本章第一节那个排球邀请赛。

【设计意图】以同学聚会握手这一学生熟悉的生活场景切入，降低认知门槛。」本章第一节排球邀请赛问题作为衔接，形成前后呼应，帮助学生建立知识体系。循环问题是25.3实际应用的最后一课时，本节将系统梳理单双循环的区分方法。

环节二：新知探究（20-25分钟）

探究一：单循环问题（每两者之间只进行一次）

【问题呈现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少个队参赛？（回到本章第一节的排球邀请赛问题）

【特值分析】总场数 = 7×4 = 28场。以3个队为例：A-B、A-C、B-C，共3场，即 ½×3×2=3。以4个队为例：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6场，即 ½×4×3=6。规律：x个队，每队与其他(x-1)个队各赛1场，共x(x-1)场，但A-B和B-A是同一场，需÷2。

【公式归纳】单循环公式：总次数 = ½x(x-1)。含义：从x个元素中任选2个的组合数C(x,2)。

单循环公式：总次数 = ½ x(x-1)

📕 📕 理解要点：½x(x-1) = C(x,2)，即组合数。从x个人中选2个握手，不区分先后。A与B握手 = B与A握手，是同一件事，所以÷2。

【列方程求解】由题意：½x(x-1) = 28，即 x(x-1) = 56，x² - x - 56 = 0，(x-8)(x+7) = 0，解得 x₁=8，x₂=-7（舍去）。答：应邀请8个队参赛。

½x(x-1) = 28x-1) = 56

x² - x - 56 = 0

 

x(

(x-8)(x+7) = 0

【答案】x₁=8，x₂=-7（舍去）。答：应邀请8个队参赛。

【重点辨析】方程有两个根，x₂=-7表示什么？人数不可能是负数，直接舍去。循环问题的解只需正整数值，负根一律舍去。

【互动提问】如果总共只有28场比赛，为什么答案是8个队而不是更多或更少？引导学生用公式验证：½×8×7=28。

【归纳总结】单循环：任意两者之间只发生一次行为，不分先后、不重复。常见题型：握手、篮球单场对决、合影、两两通话一次。

💡 💡 判断技巧：看到关键词「握」「对决」「合影」「通话」→ 想单循环 → 用 ½x(x-1)。

 

排球邀请赛情境图

探究二：双循环问题（每两者之间互相进行两次）

【问题呈现】若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300。他算得对吗？为什么？

【特值分析】双循环：A队和B队要打两场（A主场 vs B主场）。x个队，每队打(x-1)个对手，每轮打(x-1)场，共x队，总场数 = x(x-1)。注意：A-B和B-A是两场不同的比赛，不需要÷2。

【公式归纳】双循环公式：总次数 = x(x-1)。含义：从x个元素中任选2个，考虑先后顺序，即排列数A(x,2)。

单循环公式：总次数 = ½ x(x-1)

📕 📕 理解要点：½x(x-1) = C(x,2)，即组合数。从x个人中选2个握手，不区分先后。A与B握手 = B与A握手，是同一件事，所以÷2。